Тема «Центральные и вписанные углы» по данному учебному пособию изучается в 8 классе в пунктах «Углы и окружности», «Центральный угол», «Вписанный угол опирающийся на диаметр», «Произвольный угол, вписанный в окружность», «Углы с вершиной внутри и вне круга», «Угол между хордой и касательной», на изучение темы отводится 7 часов, по 3 часа в неделю и 1 час факультативного занятия. Данный учебник состоит из 17 глав, в нем имеется богатый теоретический материал, изложенный доступным образом. Главной задачей учебника является задача развития интереса. Система задач, в курсе удачно реализует идею уровневой дифференциации. Для этого введены обозначения «В» - важная, «Т» - трудная задача [17].

Главной особенностью рассматриваемого учебника является тот факт, что в учебнике не только выстаивается теория, но и изучаются методы решения геометрических задач, причем последнее является важнейшей целью обучения геометрии. На фоне содержательных задач показываются основные, подходы, приёмы, идеи, которые могли быть использованы при решении геометрических задач. Рассмотрев данный учебник, мы видим, что он имеет много преимуществ. Таким образом, делам вывод, что его также можно использовать для изучения темы «Центральные и вписанные углы» [17].

Все перечисленные учебники хороши, но для изучения данной темы необходим ходовой учебник. Примером такого учебника, наиболее полно отвечающего потребностям ученика и методическим особенностям изложения темы «Центральные и вписанные углы», может быть названа книга Атанасян Л.С. и др. «Геометрия 7-9». Книга разбита на 13 глав, имеет 3 приложения и снабжена более чем 1000 разнообразных задач, разного уровня сложности. Тема «Центральные и вписанные углы» по данному учебному пособию изучается в курсе геометрии 8 класса в главе «Окружность», на изучение темы отводится 4 часов, по 2 часа в неделю. Теоретический материал учебника изложен достаточно интересно с учетом психологических особенностей школьников. В учебнике много оригинальных приемов изложения, которые используются авторами не ради желания блеснуть своим особым подходом, а ради стремления сделать учебник доступным учащимся и одновременно строгим. Изложение материала в данном учебнике носит дедуктивный характер, аксиомы вводятся постепенно по мере необходимости. Гораздо больше внимания авторы отводят наглядности, что говорит о появлении тенденции построения наглядно- аксиоматических курсов геометрии для 7-9 классов.

Теоретический материал разбивается на небольшие смысловые порции, что позволяет ученику лучше осознать и выучить теоретический материал по данной теме. После изучения каждого параграфа идет система задач на закрепление изученного материала, а после изученной темы идет система упражнений и вопросов для закрепления и повторения изученной темы «Центральные и вписанные углы» [2].

Система задач позволяет развить интерес учащихся к математике с учетом их математической подготовки. Большое внимание уделяется тщательной формулировке задач, нередко приводится несколько решений одной и той же задачи. Система упражнений, обеспечивает процесс формирования понятий, о рассматриваем треугольнике, выработку умений и навыков, овладение математическим языком, развитие логического мышления. Все это значительной степени помогает учителю организовать учебный процесс на уроке. Такая структура учебника по теме «Центральные и вписанные углы» удобна для ученика, этот учебник нетрудно читать дома, поэтому данный учебник, я считаю, лучшим для темы «Центральные и вписанные углы». Но также при изучении этой темы рекомендуется использовать задачный материал из других учебников. Связи с тем, что данный учебник является самым ходовым в учебных заведениях, мы рекомендуем использовать именно его.

§4. Тематическое планирование уроков в 8 классе по теме «Центральные и вписанные углы»

Учебник Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов и другие «Геометрия 7-9»

(2 часа в неделю, всего 5 часов)

Тема	Количество часов
Центральные и вписанные углы (5 ч)
Градусная мера дуги окружности	1
Теорема о вписанном угле	1
Теорема об отрезках пересекающихся хорд	1
Обобщающий урок по теме «Центральные и вписанные углы». Самостоятельная работа (20 минут)	1
Контрольная работа по теме «Центральные и вписанные углы»	1
Факультатив «Другие углы, связанные с окружностью»	1

школа угол геометрия урок

§ 5. Методические рекомендации к изучению темы «Центральные и вписанные углы» (5 ч)

Назначение параграфа - ввести понятие градусной меры дуги окружности, центрального и вписанных углов и показать, как они используются при решении задач [3].

Материал параграфа рекомендуется распределять по урокам следующим образом: градусная мера дуги окружности - 1 урок; теоремы о вписанном угле - 1 урок; теорема об отрезках пересекающихся хорд - 1 урок; решение задач - 1 урок; контрольная работа - 1 урок.

На рисунке 2:

, , - центральные углы;

и - полуокружности;

и меньшие полуокружности;

и большие полуокружности;

; ; ;

.

В классе рекомендуется решить задачи № 650 (а, в) - устно, 651 (а), 716.

Перед тем как преступать к изучению п. 71 «Теорема о вписанном угле», целесообразно провести подготовительную работу (устно по заранее заготовленным чертежам):

1. На рисунке 3 изображена окружность с центром О, . Найдите углы треугольника АВО.

2. На рисунке 4 изображена окружность с центром О, КМ - биссектриса угла АОВ. Докажите, что ОМ - биссектриса угла АОВ.

При доказательстве теоремы о вписанном угле учитель может разобрать только первый случай возможного расположения центра окружности относительно сторон угла [3].

Доказательство для двух других случаев после предварительного обсуждения идеи, на которой оно основано, а также обоснованием двух следствий можно предложить учащимся провести самостоятельно. На уроке предлагается использовать плакат № 1, 2, 3, 4 «Центральные и вписанные углы», являющиеся учебно - демонстративными. Целью данного плаката является формирование умения находить градусную меру центральных и вписанных углов [3].

При введении понятия вписанный угол следует обратить внимание на два важных момента: первое вершина угла лежит на окружности и второе - стороны угла пересекают окружность. Формирование умения соотносить вписанный угол с соответствующими ему центральным углом и формирование умения применять теорему о вписанном угле в ходе решения задач затруднено сложностью чертежей. Именно поэтому использование плаката в этой теме полезно, так как не требует от учителя значительных затрат времени на построение чертежей, что позволяет сэкономить время при подготовке к уроку, а также время на самом уроке, и выполнить большее число заданий на усвоение введенной терминологии, тем более, что в учебнике таких упражнений нет [3].

Основные требования к учащимся

В результате изучения параграфа учащиеся должны знать какой угол называется центральным и какой вписанным, как определяется градусная мера дуги окружности, теорему о вписанном угле, следствия из нее, уметь доказывать эту теорему и применять при решении задач типа 651- 657, 659, 666 - 669.

Теорема о вписанном угле

Данной теореме предшествует введение понятия вписанного угла. Оно сопровождается решениями задач, в процессе которых осуществляется знакомство с понятием вписанного угла, усваиваются действия распознавания вписанных углов, их построения, выведения следствий из факта принадлежности углов к классу вписанных и их совокупности. При отборе задач следует помнить о том, что изучение теоремы надо предварить актуализацией знаний и умений, используемых при ее доказательстве, знакомством с фактом, отраженным в теореме, и способом ее доказательства. Применительно к рассматриваемой теореме эти функции выполняет следующая задача: «Найти угол ABC, вписанный в окружность с центром О, если и ». Работа с ней может быть организована разными способами [18].

1-й способ. Учитель обращается к учащимся с вопросом: нельзя ли указать угол, связанный с дугой АС, зная который можно найти угол ABC? Выясняется, что таким углом является угол АОС. (свойство центрального угла изучено на предыдущем уроке, акцентирование на нем внимания уже поэтому важно). Заметим и то, что решение задачи опирается на эвристику: сравнение двух объектов осуществляется посредством третьего, находящегося с исходными в известных отношениях. Таким объектом и будет угол АОС. Поскольку треугольник АВО равнобедренный, то . Следовательно,, откуда .

2-й способ. Можно организовать самостоятельную работу по специальным карточкам, задание предлагается на готовом чертеже. Карточка содержит и указания, число которых зависит от возможностей учащихся. Приведем примеры наборов таких указаний [18].

а) Как связаны и ? АВО?

б) Как найти , зная ?

в) Найдите .

2. а) Найдите .

б) Докажите, что .

в) Найдите.

Еще раз подчеркнем важность заключительного этапа работы с упражнением. Основная его цель заключается в выявлении зависимости между углом ABC и дугой АС, на которую он опирается, и метода ее установления, суть которого в следующем: зависимость между и устанавливается посредством введения , отношения которого с углом ABC и дугой АС известны [18].

Итак, выполнение упражнения позволило открыть зависимость между вписанным углом и дугой, на которую он опирается, и способ ее обоснования в том случае, когда сторона угла содержит диаметр окружности. Теперь можно сформулировать теорему, выполнить рисунок, записать «Дано», «Требуется доказать» и коллективно наметить способ доказательства. Оформление доказательства учащиеся могут выполнить самостоятельно. Доказательство теоремы во втором и третьем случаях может быть рассмотрено самостоятельно в классе либо дома, при этом, естественно, учитель показывает, как эти случаи сводятся к первому случаю [18].

Работа с доказательством теоремы может быть организована и по-другому. Сильные учащиеся могут разобрать доказательство сами, некоторым же учащимся может быть оказана помощь в виде упражнений на специальных карточках. Приведем один из возможных вариантов такой карточки.

Основанием для ее составления является доказательство теоремы о вписанном угле, оформленное в виде данной таблицы.

Утверждения	Обоснования
1. 2.--------------------------------------------- 3. ?АОВ -- равнобедренный 4. 5. 6. 7. -------------------------------------------- 8.	----------------------------------------------- Внешний угол равнобедренного треугольника АВО -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Утверждения 6 и 1 ----------------------------------------------

Количество пропусков определяется способностями учащихся. Такие карточки могут быть подготовлены учителем и даны учащимся при домашнем (или классном) разборе двух других случаев [18].

При обсуждении работы по карточкам следует прибегать к развертыванию того или иного логического шага. Например:

Шаг 3. В приведенной карточке ученик, продолжая строчку 3, запишет: ОА=ОС. Развертывание этого силлогизма предполагает указать большую посылку, малую посылку и вывод. Малая посылка и вывод зафиксированы на карточке [18].

Большой посылкой является определение равнобедренного треугольника. Рассматриваемый силлогизм имеет строение:

Б.П.: Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным.

М.П.: В треугольнике АОВ ОА=ОВ.

___________________________________________________________

Вывод: Треугольник АОВ -- равнобедренный.

Шаг 4. Б. П.: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

М.П.: и -- углы при основании равнобедренного треугольника АОВ.

___________________________________________________________

Вывод:

Выполнение заданий на развертывание логических шагов может осуществляться как письменно, так и устно [18].

Заметим, что акцентирование внимания школьников на дедуктивных выводах может осуществляться при выполнении упражнений на распознавание объектов, принадлежащих понятию, на выведение следствий из факта принадлежности объекта понятию, т. е. в процессе формирования понятия вписанного угла [18].

Закрепив теорему о вписанном угле на ряде простых упражнений на нахождение по данным рисунка либо величины вписанного угла, либо дуги окружности, переходим к решению более сложной задачи. Пусть это будет задача 658 («Геометрия, 7--9» авторов Л. С. Атанасяна и др.):

Через точку А к данной окружности проведены касательная АВ (В -- точка касания) и секущая AD, проходящая через центр О (D -- точка на окружности, О лежит между А и D). Найдите и , если (рис. 1).

Данную задачу можно решать разными способами. Рассмотрим один из них.

. В равнобедренном треугольнике BOD ..

Полезно обратить внимание учащихся на угол DBK (К -- точка луча АВ, не лежащая между А и В). Он равен 55°10'. Этот угол хотя и не является вписанным, но имеет с ним много общего: его вершина принадлежит окружности, одна сторона пересекает окружность, а другая является касательной к ней. Из решения задачи следует, что этот угол, т. е. угол, образованный касательной и хордой окружности, проведенной из точки касания, измеряется половиной дуги, заключенной внутри его [18].

Обратим внимание на угол BAD. Замечаем, что он равен полуразности дуг BD и BE. Сформулируем замеченное утверждение: угол, вершина которого лежит вне круга, а стороны образуют касательная, проведенная через вершину, и секущая, проходящая через центр круга, измеряется полуразностью дуг, заключенных между его сторонами. Обобщая это утверждение, мы приходим к гипотезе о том, что угол, вершина которого лежит вне круга, а стороны его пересекают круг, измеряется полуразностью дуг, заключенных между его сторонами [18].

Итак, фиксируем первое сформулированное утверждение: угол, образованный касательной и хордой, измеряется половиной дуги, заключенной внутри его. Использование теоремы о том, что касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, позволяет легко обосновать частный случай утверждения: угол, образованный касательной и диаметром, измеряется половиной дуги, заключенной внутри его. Последнее усиливает мысль о справедливости утверждения, к доказательству которого следует перейти. Отметим, что в учебнике А. В. Погорелова оно значится как задача 59 (§ 11) [18].

Теперь можно перейти к обоснованию второго сформулированного утверждения. Однако опять-таки попробуем убедиться в его справедливости. Этому поможет, например, задача 661 (учебник Л. С. Атанасяна и др.):

Найдите острый угол, образованный двумя секущими, проведенными из точки, лежащей вне окружности, если дуги, заключенные между секущими, равны 140° и 52°.

Решение данной задачи моделирует доказательство утверждения в общем случае [18].

Возникает проблема выяснения связи угла, образованного двумя пересекающимися хордами окружности, с дугами, заключенными внутри сторон. Эта проблема содержится в задаче 662.

Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Е. Найдите угол ВЕС, если , .

Выполнение этого упражнения позволит ученику самостоятельно решить указанную проблему. Более того, оно открывает ученику содержание теоремы о пересечении хорд окружности. Действительно, в процессе решения задачи легко установить подобие треугольников АСЕ и BED, откуда и будет следовать равенство, фиксируемое в указанной теореме. (Ниже рассмотрен иной подход к ознакомлению школьников с этой теоремой.) [18].

В развитие темы «Вписанные углы» можно предусмотреть задачи на оценку способов доказательства, опровержение готовых доказательств и т. д.

Пример:

Задача 663: Отрезок АС -- диаметр окружности, АВ -- хорда, МА -- касательная, угол MAВ острый. Докажите, что .

Авторы учебника предполагают, по-видимому, решение, не основанное на утверждении о том, что угол, образованный касательной и хордой, измеряется половиной дуги, заключенной внутри его (оно рассматривается в следующей задаче): . В следующей задаче 664 требуется доказать, что угол МАВ измеряется половиной дуги АВ, расположенной внутри угла МАВ, где AM -- касательная к окружности, АВ -- хорда этой окружности [18].

Возникает вопрос: можно ли решение предыдущей задачи считать доказательством данного утверждения? (Полнота доказательства утверждения предполагает рассмотрение случая, когда угол, образованный касательной и хордой, является тупым.)

И еще один важный аспект в контексте обучения доказательству -- формирование эвристик. Равенство углов, связанных с многоугольником, иногда удается доказать, введя вписанные углы, т. е. описать около многоугольника или его части окружность. В качестве примера рассмотрим задачу 732.

В прямоугольном треугольнике ABC из точки М стороны АС проведен перпендикуляр МН к гипотенузе АВ. Докажите, что углы МНС и МВС равны.

В четырехугольнике НМСВ противоположные углы Н и С -- прямые, поэтому около него можно описать окружность. В новой конструкции углы МНС и МВС являются вписанными, опирающимися на дугу МС [18].

Теорема о пересечении хорд окружности

Актуализация опорных знаний и умений может быть осуществлена посредством серии упражнений:

а) выделите на рисунке 6 вписанные углы;

б) определите, каково соотношение между ними;

в) сделайте вывод об отношении между треугольниками АКС и BKD;

г) запишите отношение между сторонами этих треугольников.

Можно выполнить упражнения на переход от соотношения вида к соотношению вида АК:CK=KD:BK, которое используется в доказательстве теоремы [18].

Указанная последовательность упражнений позволяет не только актуализировать опорные знания, но и служит приемом проверки изученного на предыдущем уроке материала. Организация выполнения упражнений может быть осуществлена разными способами:

а) Учитель заранее выполняет рисунок на доске, предъявляет учащимся вопросы, и осуществляется коллективное выполнение упражнения.

б) Ученикам выдается карточка с рисунком, на доске вывешивается плакат с вопросами (формулировки вопросов могут быть зафиксированы на доске и с помощью кодоскопа). Учащиеся самостоятельно выполняют упражнения, учитель при этом консультирует учащихся и координирует их действия [18].

Проследим действия учащихся:

а) вписанные углы: , , , ;

б) (опираются на ),

(опираются на ),

в) ?AKC подобен ?BKD ( , );

г) .

Предлагаем учащимся записать первое равенство отношений

AK:KD=CK:KB, содержащееся в пропорции г), в виде равенства произведений . Читаем полученное равенство: если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. Затем сообщается теорема о пересечении хорд, учащиеся в тетрадях выполняют рисунок, учитель может выполнить его на доске (этот рисунок служит и средством контроля правильности выполнения рисунка учащимися), записывается (в тетрадях и на доске) факт, подлежащий доказательству [18].

Обратим внимание читателя на то, что открытие теоремы учащимися было сделано посредством выполнения цепочки упражнений, актуализирующих опорные знания и умения, адекватные рассматриваемой теореме. Учащиеся были подведены сразу к общей формулировке закономерности. В данной ситуации этот путь является самым оптимальным, потому что открыть теорему посредством измерений, построений малоестественно.

Работа с доказательством теоремы может быть осуществлена по-разному. Она может вестись в контексте как восходящего анализа, так и нисходящего. Рассмотрим эти приемы:

а) Коллективный поиск способа доказательства с последующей самостоятельной работой [18].

Учитель ведет примерно следующую беседу с учащимися.

Учитель. Итак, нам нужно доказать равенство двух произведений. Каким образом можно преобразовать это равенство? (Предыдущие упражнения помогут проявлению нужного действия: преобразовать равенство произведений в равенство отношений AK:KD=CK:KB.)

Учитель. Что нужно знать для доказательства полученного равенства?

Ученик. Подобие треугольников АКС и BDK.

Учитель. Что можно утверждать об указанных треугольниках?

Ученик. , (либо ) [18].

Затем осуществляется самостоятельная работа с учебником. Учитель акцентирует внимание учащихся на основных положениях доказательства. (Почему ? Откуда следует подобие треугольников АКС и BKD? Что следует из подобия этих треугольников?)

б) Коллективный поиск способа доказательства с последующим использованием карточек.

Первая часть приема осуществляется так же, как и в предыдущем случае. Вторая часть приема реализуется с помощью карточек.

Вот одна из них.

Утверждения	Обоснования
1. 2.--------------------------------------------- 3. ?АКС подобен ?ВКD 4. AK:DK=CK:KB 5. --------------------------------------------	----------------------------------------------- Углы вертикальные ---------------------------------------------------------------------------------------------- Утверждения 4

Естественно, некоторые ученики могут разобраться в доказательстве без карточек, другие нуждаются в более тщательном пояснении (карточки для них будут содержать незначительное число пропусков) [18].

в) Самостоятельная работа с учебником. Этот прием может быть реализован следующим образом. Учитель предлагает учащимся прочитать абзац доказательства и ответить на вопросы. Чтение первого абзаца сопровождается вопросами: о каких фигурах идет речь в прочитанном абзаце? Могут ли эти хорды располагаться не так, как на рисунке учебника? (Они могут быть перпендикулярными, одна из хорд либо обе могут быть диаметрами окружности.)

Усвоение второго абзаца осуществляется посредством ответов на вопросы: почему ? Почему ? Почему ?АКС подобен ?ВКD?

Откуда следует равенство

?

Почему утверждаем, что ?

г) Коллективный поиск способа доказательства теоремы и коллективное доказательство.

Этот прием отличается от рассмотренных выше тем, что доказательство осуществляется всеми учащимися под руководством учителя. При этом запись некоторых шагов доказательства на доске учителем может осуществляться после соответствующей записи учащимися в тетрадях [18].

Работу с доказательством можно вести и в контексте нисходящего анализа. Этот вид соотносится с приемом опровержения утверждения: из утверждения выводится следствие, противоречащее заведомо истинному предложению. Если же окажется, что к такому следствию не придем, тогда усиливается уверенность в справедливости доказываемого утверждения и находится отправное положение в доказательстве теоремы [18].

Итак, пусть

. (1)

Из верности равенства (1) следует верность равенства

. (2)

Из равенства (2) и того, что углы АКС и DKB вертикальные, следует подобие треугольников АКС и DKB.

Из подобия треугольников АКС и DKB следует равенство соответствующих углов, т. е.

и . (3)

Углы 1 и 2, 3 и 4 действительно равны, поскольку они опираются соответственно на дугу AD и дугу ВС [18].

Процесс выведения следствий из доказываемого утверждения не привел ни к каким противоречиям. Этот результат еще раз подтверждает верность утверждения и указывает отправное действие в доказательстве теоремы, заключающееся в построении треугольников АКС и BKD (ВКС и AKD). Затем осуществляется переход к доказательству их подобия и выведение следствий, конечным из которых будет являться доказываемое утверждение.

В процессе работы с доказательством, как уже было отмечено, можно предлагать учащимся развернуть тот или иной силлогизм: выделить общее и частное положения, вывод, указать правило вывода. На этапе применения теоремы следует развивать видение ситуаций, удовлетворяющих теореме, ее конкретных приложений. Надо предложить учащимся рассмотреть случай, когда хорды перпендикулярны и одна из них является диаметром. Этот случай является частным, а потому доказанная теорема справедлива для него. Доказанное равенство в этой ситуации (АВ -- диаметр) имеет следующий вид: (легко доказать, что CK=KD). Учащиеся должны будут перевести полученный результат на язык новой ситуации и сформулировать доказанное утверждение. Такая работа имеет большое значение для математического воспитания школьников. Ее продолжением будет построение интерпретации доказанного факта, когда отрезок СК мыслится как высота, опущенная из вершины прямого угла треугольника АСВ на гипотенузу АВ [18].

Развитие закономерности можно получить за счет использования обобщения, приводящего к рассмотрению ситуации, которую образуют прямые, содержащие хорды АВ и CD и пересекающиеся в некоторой точке, не принадлежащей кругу. Предельный случай ситуации возникает тогда, когда секущая становится касательной, и т. д.

Еще раз подчеркнем важность выделения идеи доказательства. В рассматриваемом случае в основе доказательства теоремы лежит идея подобия треугольников в сочетании со свойствами вписанных углов. Эта идея лежит также в основе доказательства теорем-обобщений, их частных случаев. Так, доказательство теоремы о произведении отрезков секущих, проведенных из одной точки к окружности, аналогично доказательству теоремы о произведении отрезков хорд окружности, пересекающихся в некоторой точке. Эта идея работает и при доказательстве утверждения о равенстве квадрата отрезка касательной и произведения отрезков секущей, имеющей с касательной общую точку, отличную от точки касания. Весь блок утверждений, доказательства которых опираются на идею подобия треугольников в сочетании со свойствами вписанных углов, должен быть выделен и сгруппирован вокруг стержневой мысли доказательства [18].

Итак, существуют разные способы введения теоремы. Она может быть открыта учащимися в процессе выполнения упражнений, различных измерений, построений, анализа явлений окружающей действительности. Она может быть сообщена и учителем, особенно в старших классах, сформулирована по аналогии и т. д. После ознакомления с теоремой желательно проверить ее справедливость на частных случаях, на моделях, постараться поискать контрпримеры, которые опровергали бы закономерность в определенных ситуациях. В случае наличия контрпримеров необходимо откорректировать условие теоремы, затем попробовать вывести из предположения о справедливости доказываемого утверждения заведомо ложное утверждение. Наличие такого факта отвергает справедливость доказываемого положения, а отсутствие подкрепляет предположение о его истинности [18].

§ 6. Планы - конспекты уроков по теме «Центральные и вписанные углы»

6.1 Урок № 1

Тема: Градусная мера дуги окружности

Тип урока: Объяснение нового материала.

Методы обучения: наглядный, словесный, практический.

Цели урока:

обучающая: Ввести понятие градусной меры дуги окружности, центрального угла. Научить решать простейшие задачи на вычисление градусной меры дуги окружности.

развивающая: Развивать логическое, абстрактное мышление, быстроту внимания; формировать приемы умственной деятельности: сравнения, аналогии, сопоставления; углублять и систематизировать знания по данной теме; формировать умения видеть ключевую задачу в более сложной математической задаче; развивать точную, лаконичную речь.

воспитательная: Учить преодолевать трудности; работать в быстром темпе, собираться с мыслями и принимать решение; воспитывать стремление к совершенствованию знаний.

Ход урок

I.Организационный момент (3 мин)

Поздороваться с учащимися. Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.

II. Изучение нового материала ( 20 мин)

1. Ввести понятие дугу окружности, используя рисунок 6. Ознакомить со способами обозначения дуг [2].

Проводится фронтальная работа.

Учитель.



Давайте изобразим окружность и отметим две точки А и В.

Учитель.

На сколько дуг разделяют окружность точки А и В?

Ученик.

Точки А и В разделяют окружность на две дуги.

Учитель.

Чтобы различить эти дуги, на каждой из них отметим промежуточную точку, например L и М (рис. 7).Дуги обозначаются так: и . Иногда используют обозначения без промежуточной точки: (когда ясно, о какой из двух дуг идет речь) [2].

2. Ввести понятие полуокружности, используя рисунок 8 а).

Учитель.

Посмотрите на рисунок 8, а), что на нем изображено?

Ученик 1.

Окружность.

Ученик 2.

Отрезок АВ.

Ученик 3.

Дуга АLВ.

Учитель.

Чем является отрезок АВ в окружности?

Ученик 4.

Диаметром.

Учитель.

Дуга АLВ называется полуокружностью. Давайте попробуем сформулировать определение полуокружности [2].

Ученик 1.

Если дугу соединяет диаметр, то она называется полуокружностью.

Учитель.

Через какие точки дуги проходит диаметр.

Ученик 2.

Через концы дуги.

Учитель.

Как мы теперь можем дать определение полуокружности?

Ученик 3.

Если через концы дуги проходит диаметр, то она называется полуокружностью.

Учитель.

Итак, мы може6м сказать, что дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий ее концы, является диаметром окружности.

Если мы с вами посмотрим на рисунок 8, а), то увидим, что на нем изображены две полуокружности, одна из которых выделена жирной линией.

3. Ввести понятие центрального угла и градусной меры дуги окружности.

Определение: Центральным углом называется угол с вершиной в центре окружности [2].

Учитель.

Давайте начертим окружность, так чтобы стороны центрального угла окружности с центром О пересекались в точках А и В. На рисунке мы с вами

видим, что у нас получилось две дуги с концами А и В (рис. 8).

Мы можем сказать, что если развернутый, то ему соответствует две полуокружности (рис. 8, а). Если неразвернутый, то говорят, что дуга АВ, расположена внутри этого угла, меньше полуокружности. На рисунке 8, б) эта дуга выделена жирной линией. Про другую дугу с концами А и В говорят, что она больше полуокружности (дуга АLВ на рисунке 8, б) [2].

Учитель.

Ребята у каждой величины есть мера измерения. Например: отрезок у нас измеряется в мм, см, дм и т.д.

Учитель.

А как вы думаете в чем измеряется длина дуги окружности?

Ученик.

Дугу окружности можно измерять в градусах.

Учитель.

Если дуга АВ окружности с центром О меньше полуокружности или является полуокружностью, то ее градусная мера считается равной градусной мере центрального угла АОВ (см. рис. 8, а, б) [2].

Если же дуга АВ больше полуокружности, то ее градусная мера считается равной (см. рис. 8, в).

Учитель.

Чему равна сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами?

Ученик.

Сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна [2].

Градусная мера дуги АВ (дуги АLВ), как и сама дуга, обозначается символом ().

Учитель.

На рисунке 9 градусная мера дуги САВ равна .

Обычно говорят кратко: «Дуга САВ равна » - и пишут: . На этом же рисунке , [2].

III. Закрепление изученного материала (10 мин)

В классе рекомендуется решить задачи 650(а, в)- устно, 651(а), 716(см. прил. зад. с реш.) [3].

IV. Подведение итогов урока (5 мин)

Учитель.

Какой угол называется центральным углом окружности?

Ученик.

Центральным углом называется угол с вершиной в центре окружности.

Учитель.

Объясните, какая дуга называется полуокружностью, какая дуга меньше полуокружности, а какая больше полуокружности?

Ученик.

Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий ее концы. Является диаметром окружности.

Учитель.

Как определяется градусная мера дуги? Как она обозначается?

Ученик.

Градусная мера дуги АВ (дуги АLВ) обозначается символом ().

Учитель.

Итак, урок подошел к завершению. Мы познакомились с понятием градусной меры дуги окружности, центрального угла, полуокружности. Данные понятия помогут нам легко решать задачи.

V. Домашнее задание (2 мин)

Дома предлагаю прочитать п. 70 стр. 162-164, а также выполнить задачи 650(б), 651(б), 652 и ответить на вопросы 8, 9, 10 стр. 179 [3].

Спасибо за урок.

6.2 Урок № 2

Тема: Теорема о вписанном угле

Тип урока: Объяснение нового материала.

Методы обучения: наглядный, словесный, практический.

Цели урока:

обучающая: Ввести понятие вписанного угла. Рассмотреть теорему о вписанном угле и следствия из нее. Показать применение теоремы о вписанном угле и следствия из нее при решении задач.

развивающая: Развивать логическое, абстрактное мышление, быстроту внимания; формировать приемы умственной деятельности: сравнения, аналогии, сопоставления; углублять и систематизировать знания по данной теме; формировать умения видеть ключевую задачу в более сложной математической задаче; развивать точную, лаконичную речь.

воспитательная: Учить преодолевать трудности; работать в быстром темпе, собираться с мыслями и принимать решение; воспитывать стремление к совершенствованию знаний.

Ход урок

I.Организационный момент (3 мин)

Поздороваться с учащимися. Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.

II. Актуализация знаний учащихся (10 мин)

Проверка домашнего задания

Проверить домашнюю задачу № 652.

Повторение теоретического материала в процессе решения задач по плакату № 1 (см. прил.) (устно) [4].

1. Рис. 1 (см. прил. плакат № 1)

Дано: в два раза меньше .

Найти: , .2.

2. Рис. 2 (см. прил. плакат № 1)

Дано: на меньше .

Найти: .

3. Рис. 3 (см. прил. плакат № 1)

Дано: ::=3 : 4 : 5.

Найти: , , [4].

4. Рис. 4 (см. прил. плакат № 1)

Дано: ::=2 : 3 : 4.

Найти: , , .

Решение задач на готовых чертежах с целью подготовки учащихся к воспроизведению нового материала

Учитель.

Давайте повторим все факты, которые мы изучили на прошлом уроке. На доске заранее приготовлены рисунки [18].

По данным рисункам, решить задачи:

1) На рисунке 10 изображена окружность с центром О, . Найдите углы треугольника АОВ и .

Ученик. .

2) Дана окружность (рис.11) с центром О, КМ - биссектриса угла АКВ. Докажите, что ОМ - биссектриса угла АОВ [18].

III. Изучение нового материала (15 мин)

1. Ввести понятие вписанного угла, используя заготовленный на доске рисунок 12.

Учитель.

Ребята на доске изображен угол АВС, он называется вписанным. Давайте попробуем дать определение вписанного угла.

Учитель.

Что мы можем сказать об этом угле?

Ученик.

Вершина вписанного угла лежит на окружности.

Учитель.

А что мы можем сказать о сторонах этого угла?

Ученик.

Стороны вписанного угла пересекают окружность.

Учитель.

Попытайтесь сформулировать определение вписанного угла.

Ученик.

1. Если вершина угла лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, то угол называется вписанным.

2. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.

Учитель.

На данном рисунке мы видим, что дуга АМС расположена внутри этого угла. В таком случае говорят, что вписанный угол АВС опирается на дугу АМС.

2. Доказать теорему о вписанном угле.

Рассмотрение теоремы можно начать с доказательства отдельных частных случаев, и тогда учащиеся смогут сформулировать эту теорему как обобщение полученных результатов самостоятельно.

Учитель.

Для того, чтобы нам с вами сформулировать теорему о вписанном угле, давайте у доски решим вместе с вами три задачи [4].

Ученик 1.

Задача № 1.

Угол АВС вписанный, причем ВС - диаметр. Причем луч ВО совпадает с одной из сторон угла АВС. Найти - ?

Решение. Дуга АС меньше полуокружности, поэтому .

Так как угол АОС - внешний равнобедренного треугольника АВО, а углы 1 и 2 при основании равнобедренного треугольника равны, то .

Отсюда следует, что или .

Ученик 2.

Задача № 2.

Угол АВС вписанный. Луч ВО пересекает дугу АС в некоторой точке D (рис. 14). Причем луч ВО делит угол АВС на два угла. Найдите - ?

Решение. Точка D разделяет дугу АС на две дуги: и . По доказанному и . Складывая эти равенства почленно получаем: или [15].

Задача № 3.

Угол АВС вписанный. Луч ВО не делит угол АВС на два угла и не совпадает со сторонами этого угла.

Учитель.

Пользуясь рисунком 15 решите эту задачу самостоятельно, а затем обсудим с вами решение этой задачи (к доске вызвать одного ученика, чтобы он записал решение этой задачи) [4].

Учитель.

Итак, что мы получили в результате решения этих трех задач?

Ученик.

Мы получили одинаковый результат .

Учитель.

Сформулируйте теорему, которую мы доказали с помощью этих трех задач?

Ученик.

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Учитель.

Из данной теоремы вытекает два следствия. Давайте сформулируем эти следствия.

Учитель.

Что можно сказать об углах изображенных на рисунке 16.

Ученик.

Даны вписанные углы, они опираются на одну и туже дугу, они равны.

Учитель.

Мы с вами сформулировали следствие 1 из теоремы.

Следствие 1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и туже дугу равны (рис 16).

Учитель.

Что можно сказать об углах изображенных на рисунке 17.

Ученик.

1. Вписанные углы опираются на диаметр.

2. Вписанные углы опирающиеся на диаметр прямые.

Учитель.

Мы с вами сформулировали следствие 2 из теоремы.

Следствие 2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, -прямой (рис. 17) [2].

Учитель.

Желающие могут дома самостоятельно доказать эти следствия и получить дополнительные оценки.

IV. Закрепление изученного материала (10 мин)

1. Решить устно задачу № 653.

2. Задачу № 656 разобрать всем классом.

Задача № 656.

Ученик 1.

1 случай (см. рис. 18)

, ,, . Вписанный угол ВАС опирается на дугу CDB и равен ее половине, то есть [4].

Ученик 2.

2 случай (см. рис. 19)

. является вписанным и равен половине дуги на которую он опирается, то есть .

Ответ. и .

Самостоятельно решить задачи № 654 а), в), 658 [3].

IV. Подведение итогов урока (10 мин)

Учитель.

Итак, урок подошел к завершению. Мы познакомились с понятием вписанного угла, доказали теорему о вписанном угле. Данные понятия помогут нам легко решать задачи.

V. Домашнее задание (2 мин)

Дома предлагаю прочитать п.71 стр.164-166, а также выполнить задачи 654 б), г), 655, 657, 659 и ответить на вопросы11, 12, 13, 14 стр. 179 [3].

Спасибо за урок.

6.3 Урок № 3

Тема: Теорема об отрезках пересекающихся хорд

Методы обучения: наглядный, словесный, практический.

Цели урока:

обучающая: Рассмотреть теорему об отрезках пересекающихся хорд и показать ее применение при решении задач. Совершенствовать навыки решения задач на применение теоремы о вписанном угле и ее следствий.

развивающая: Развивать логическое, абстрактное мышление, быстроту внимания; формировать приемы умственной деятельности: сравнения, аналогии, сопоставления; углублять и систематизировать знания по данной теме; формировать умения видеть ключевую задачу в более сложной математической задаче; развивать точную, лаконичную речь.

воспитательная: Учить преодолевать трудности; работать в быстром темпе, собираться с мыслями и принимать решение; воспитывать стремление к совершенствованию знаний.

Ход урок

I.Организационный момент (3 мин)

Поздороваться с учащимися. Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.

II. Актуализация опорных знаний учащихся (10 мин)

Проверка домашнего задания

Проверить домашнюю задачу № 659 [4].

Теоретический опрос

1. Докажите теорему о вписанном угле (к доске вызывать 3 ученика):

первый ученик - случай 1;

второй ученик - случай 2;

третий ученик - случай 3;

Учитель.

Какой угол называется вписанным углом окружности?

Ученик 1.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.

Учитель.

Какой угол называется центральным углом окружности?