Ученик 2.

Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом.

Учитель.

Сформулируйте теорему о вписанном угле.

Ученик 3.

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Решение задач по плакатам 3 и 4

(самостоятельно с последующим обсуждением решений тех задач, с которыми не справились большинство учащихся)

Учитель.

Вашему вниманию представлен плакат (плакат № 3, 4, смотри приложение). По данным рисунков найдите градусную меру углов, обозначенных буквами , , , , и .

III. Изучение нового материала (15 мин)

1. Решить задачу с целью подготовки учащихся к восприятию нового материала:

Рис. 20 [4].

Доказать: ?АЕС подобен ?ДЕВ

Найти: АЕ, если ВЕ = 4 см, ДЕ = 6 см,

СЕ = 2 см.

2. Доказательство теоремы об пересекающихся хордах можно провести в виде задачи:

Учитель.

Докажите, что если две хорды АВ и СД окружности пересекаются в точке Е, то .

Попробуйте доказать самостоятельно в тетрадях, а затем обобщим ее решение у доски.

Ученик.

а) ?АСЕ подобен ?ДВЕ ( как вписанные углы, опирающиеся на дугу ВС; как вертикальные).

б) .

Учитель.

Сформулируйте эту теорему.

Ученик.

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды [2].

IV. Закрепление изученного материала (10 мин)

1. Разобрать всем классом задачи № 667, № 670.

Задача № 667 (рис. 22).

?ОВВ1 равнобедренный. является высотой и медианой ?ОВВ1, то есть ВС=В1С. АА1 и ВВ1 хорды, пересекающиеся в точке С [4].

Так как ВС=В1С, то , см, а см.

Ответ: см.

Задача № 670 (рис. 582).

?ABP подобен ?ВАО по двум углам (, - общий), ,.

2. Решите самостоятельно задачи № 666 а), 671 а) [4].

V. Подведение итогов урока (2 мин)

Учитель.

Итак, урок подошел к завершению. Мы с вами закрепили знания,

полученные на уроках 1 и 2, с помощью задач. Данные понятия помогут нам при решении задач.

VI. Домашнее задание (2 мин)

Дома предлагаю прочитать п. 71 учебника, а также выполнить задачи № 666 б), в), 671 б), 660, 668 [3].

6.4. Урок № 4

Тема: Центральные и вписанные углы

Методы обучения: наглядный, словесный, практический.

Цели урока:

обучающая: Систематизировать теоретические знания по теме: «Центральные и вписанные углы». Совершенствовать навыки решения задач.

развивающая: Развивать логическое, абстрактное мышление, быстроту внимания; формировать приемы умственной деятельности: сравнения, аналогии, сопоставления; углублять и систематизировать знания по данной теме; формировать умения видеть ключевую задачу в более сложной математической задаче; развивать точную, лаконичную речь.

воспитательная: Учить преодолевать трудности; работать в быстром темпе, собираться с мыслями и принимать решение; воспитывать стремление к совершенствованию знаний.

Ход урок

I.Организационный момент (3 мин)

Поздороваться с учащимися. Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.

II. Актуализация знаний учащихся (7 мин)

Теоретический опрос

Сформулировать и доказать теорему о произведении отрезков пересекающихся хорд.

Проверка домашнего задания

Проверить домашние задачи № 660, 668 [4].

III. Решение задач (8 мин)

1. Разобрать задачу № 669.

Задача № 669 (рис. 24)

Построить: отрезок .

Построение:

а) на прямой построить отрезок АВ, равный сумме длин отрезков MN и PK;

б) построить середину отрезка АВ - точку О;

в) построить окружность с центром в точке О и радиусом, равным АО;

г) построить перпендикуляр к отрезку АВ через точку Q, лежащую на отрезке АВ так, что AQ = MN, BQ = PK;

д) построить точку пересечения данного перпендикуляра с построенной окружностью - точку Е;

е) отрезок EQ - искомый [4].

2. Решить самостоятельно с последующей проверкой задачи № 662, 664.

IV. Самостоятельная работа (20 мин)

(см. прил.)

V. Домашнее задание (2 мин)

Итак, урок подошел к завершению. Дома предлагаю выполнить следующие задачи: № 661, 663, 673.

6.5. Урок № 5

Контрольная работа по теме «Центральные и вписанные углы»

Цели урока:

обучающая: Проверить знания, умения и навыки учащихся по теме «Центральные и вписанные углы в окружность».

развивающая: Развивать логическое, абстрактное мышление, быстроту внимания; формировать приемы умственной деятельности: сравнения, аналогии, сопоставления; углублять и систематизировать знания по данной теме; формировать умения видеть ключевую задачу в более сложной математической задаче; развивать точную, лаконичную речь.

воспитательная: Учить преодолевать трудности; работать в быстром темпе, собираться с мыслями и принимать решение; воспитывать стремление к совершенствованию знаний.

Ход урок

I.Организационный момент (3 мин)

Поздороваться с учащимися. Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.

II. Выполнение контрольной работы (35 мин)

(см. прил.)

III. Домашнее задание (2 мин)

Решить задачи, с которыми ученики не справились в классе [3].

6.6. Факультатив

Тема: Другие углы, связанные с окружностью [11]

Методы обучения: наглядный, словесный, практический.

Цели урока:

обучающая: Научить учащихся применять известные приемы доказательства при решении математических задач.

развивающая: Развивать логическое, абстрактное мышление, быстроту внимания; формировать приемы умственной деятельности: сравнения, аналогии, сопоставления; углублять и систематизировать знания по данной теме; формировать умения видеть ключевую задачу в более сложной математической задаче; развивать точную, лаконичную речь.

воспитательная: Учить преодолевать трудности; работать в быстром темпе, собираться с мыслями и принимать решение; воспитывать стремление к совершенствованию знаний [11].

Ход урок

I.Организационный момент (3 мин)

Поздороваться с учащимися. Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.

II. Актуализация опорных знаний (12 мин)

Учитель.

С данной темой мы работаем уже не один урок, но выяснить все факты об углах, связанных с окружностью, пока не удалось. На этом уроке попытаемся доказать теоремы самостоятельно, используя один из приемов рассуждений. Напомню, мы изучили теорему о вписанном угле. На доске заранее приготовлен рисунок.



Учитель.

Запишите, что следует из данной теоремы (рис.25) [11].

Ученик.

или .

Учитель.

Сформулируйте определение вписанного угла, центрального угла.

Ученик.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом [11].

Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом.

Работа с заранее приготовленным рисунком.

Учитель.

На уроках мы выяснили (ученики отвечают по рисунку 26), что…

Ученик.

.

Учитель.

На уроке увидели (ученики отвечают по рисунку 27), что …

Ученик.

[11].

Учитель.

При доказательстве теоремы о вписанном угле были использованы определения вписанного и центрального углов, а также определение внешнего угла. Какой метод доказательства мы использовали?

Ученик.

Достраивали и использовали свойство внешнего угла треугольника.

Учитель.

Посмотрите на плакат (см. прил. плакат № 5). Что осталось рассмотреть и чем нам предстоит заниматься на уроке?

Ученик.

Угол с вершиной вне окружности, угол между касательной и хордой, угол с вершиной внутри угла [11].

3. Объяснение нового материала (12 мин)

Учитель.

Начертите в тетради три окружности, такие же, как на плакате.

Докажите, что [11].

Ученик.

Доказательство (предложенное учениками).

1) Достроим до треугольника (проведем КС);

2) - вписанный угол, а так же внешний угол треугольника КВС;

3) или , но , а это ;

4)

Учитель.

Сформулируйте утверждение, которое мы доказывали.

Ученик.

(Были сформулированы следующие варианты утверждения).

1. Угол, образованный двумя секущими, выходящими из одной точки, измеряется полуразностью дуг, заключенных внутри угла [11].

2. Угол, вершина которого расположена вне круга, а каждая из сторон пересекает окружность в двух точках, измеряется полуразностью дуг, заключенных внутри угла.

3. Угол, составленный двумя секущими, измеряется полуразностью дуг, заключенных между его сторонами [11].

Учитель.

Обратите внимание на второй чертеж. Докажите, что .

Ученик.

Доказательство (предложенное учениками).

1) Достроим до треугольника (проведем ВД и DТ);

2) (вписанный угол, опирающийся на полуокружность);

3) (угол между касательной и диаметром);

4) (Свойство острых углов прямоугольного треугольника);

5) (вписанный угол);

6) , .

Вывод: , следовательно, .

Учитель.

Сформулируйте утверждение, которое доказывали.

Ученик.

(Были сформулированы следующие варианты утверждения).

1. Угол, составленный касательной и хордой, измеряется половиной дуги, заключенной внутри него.

2. Угол между касательной к окружности и хордой, проведенной через точку касания, равен половине дуги, заключенной внутри этого угла.

Учитель.

Осталось определить, чему равен угол В (чертеж плаката см. прил.).

Ученик.

Доказательство (предложенное учениками).

1. Достроим до треугольника ВКС;

2. - внешний угол треугольника ВКС, , и - вписанные, , , и - вертикальные ;

3. , то есть .

Учитель.

Сформулируйте утверждение которое доказывали.

Ученик.

Угол с вершиной внутри круга измеряется полусуммой двух дуг, одна из которых расположена внутри этого угла, а другая - внутри угла, вертикальному к данному [11].

4. Итоги урока (1 мин)

Итак, урок подошел к завершению. Мы доказали три важных утверждения, которые в дальнейшем помогут нам легко решать задачи.

5. Домашнее задание (2 мин)

Дома предлагаю прочитать доказательство третьего утверждения, предложенное в учебнике, это № 718. предлагаю посмотреть на плакат, перечертить оставшиеся две окружности и выполнить доказательство. А также выполнить № 668 [11].

Спасибо за урок.

Заключение

Данная работа посвящена одной из тем школьного курса геометрии «Углы» в 8 классе средней общеобразовательной школы.

В результате проведенного исследования были реализованы следующие задачи:

- изучены и проанализированы основные теоретические положения по данной теме;

- проведен анализ психолого-педагогической и учебно-методической литературы;

- были определены методические особенности этой темы;

- подобраны дидактические материалы;

- создано электронное пособие по данной теме;

- разработаны уроки и факультативное занятие.

В процессе написания работы были разработаны методические рекомендации для изучения материала, включенного в школьный курс геометрии.

Апробация данной выпускной квалификационной работы была проведена в 8 классе МОУСОШ №17 им. В.И. Головченко п.Ильич Темрюкского района Краснодарского края.

Практическая значимость данной работы заключается в том, что данный материал может использовать студентами педагогических Вузов для работы на лабораторных занятиях по методике преподавания математики, внося свои поправки и умозаключения. Для начинающих специалистов данная работа будет интересна некоторыми методическими рекомендациями. В данной работе разработаны и проверены учебные материалы для преподавания темы «Углы» в 8 классе средней общеобразовательной школы. Подобраны системы задач для указанной темы, в том числе разработаны методические рекомендации для учителей по организации обучения по представленному материалу.

Литература

1. Аверьянов Д.И., Алтынов П.И., Баврин И.И. и др. Математика: Большой справочник для школьников и поступающих в вузы. - 2-е изд. - М.: Дрофа, 1999. - 864 с.: ил.

2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия 7 - 9. - М.: Просвещение, 1999. - 335 с.

3. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Глазков Ю.А. и др. Изучение геометрии в 7 - 9 классах: Метод. рекомендации к учебнику.: Кн. для учителя. - М.: Просвещение, 2000. - 255 с.: ил.

4. Гаврилова Н.Ф. Поурочные разработки по геометрии: 8 класс, М.: ВАКО, 2004. -288 с.

5. Груденов Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики: Кн. для учителя. - М.: Просвещение, 1990. - 224с.: ил.

6. Гусев В.А. Психолого - педагогические основы обучения математике. - М.: Издательский центр «Академия», 2003. - 432 с.

7. Гусев В.А., Орлов В.В. Методика обучения геометрии: Учебное пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений/ - М.: Издательский центр «Академия», 2003. - 368 с.

8. Колягин Ю.М., Оганесян В.А., Саннинский В.Я., Луканкин Г.Л. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика. Учеб. пособие для студентов физ. -мат. фак. пед. институтов. М.: Просвещение, 1975. - 462 с.

9. Кружецкий В.А. Психология математических способностей школьников. - М.: Просвещение, 1968. - 320с.

10. Кузнецова В.А., Миндюк Н.Г. Программа для образовательных школ, гимназий, лицеев. Математика 5 -11 кл. - М.: Дрофа, 2002. - 320с.

11. Малкова Н.А. Углы, связанные с окружностью// Математика. Еженедельное приложение к газете «Первое сентября». 2003. № 43. с.10 -11.

12. Метельский Н.В. Дидактика математики: Общая методика и ее проблемы. [Учебное пособие для Вузов] - 2-е изд., перераб. - Мн.: Изд - во БГУ, 1982. - 25 с.

13. Мищенко Т.Н. Геометрия 7- 9. Плакаты// Математика. Еженедельное приложение к газете «Первое сентября». 2003. № 40. с.11 -14.

14. Мухина Л.С. Возрастная психология. -М.: Просвещение, 2000. - 394 с.

15. Оганесян В.А., Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Санкин В.Л. Методика преподавания математики в средней школе: общая методика. Учебное пособие для студентов физ. - мат. фак. пед. ин - тов. - 2-е изд. перераб. и доп. М.: Просвещение, 1980. -368 с.

16. Погорелов А.В. Геометрия: Учеб. Пособие для 7 - 11 кл. сред. шк. - 7-е изд. - М.: Просвещение, 1989. - 302 с.: ил.

17. Рязанский А. Р., Фролова О. В. Из опыта преподавания в VIII классе по новому учебнику. «Геометрия 7-9» Шарыгин И.Ф.// Математика в школе. 1998. № 5. С. 58 - 59.

18. Саранцев Г.И. Методика обучения математике в средней школе: Учеб. пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и ун -тов. - М.: Просвещение, 2002. - 224 с.: ил.

19. Смирнова И. М., Смирнов В. А. О новом учебнике «Геометрия 7-9» Смирнова И. М, Смирнов В. Д.// Математика в школе. 2000. № 2. С. 59 - 60.

20. Чаманов М.А. Гибкая технология проблемно - модульного обучения. - М.: Народное образование 1996. - 286 с.

Приложение №1

Тестовые задания по теме «Центральные и вписанные углы»

№ 1. Дуга называется полуокружностью, если отрезок соединяющий ее концы, является

1) диаметром - верно

2) радиусом

3) хордой

4) дугой

№ 2. Угол с вершиной в центре окружности называется

1) вертикальным

2) вписанным

3) центральным - верно

4) смежным

№ 3. Центральным углом называется

1) угол при пересечении двух хорд

2) угол с вершиной в центре окружности - верно

3) угол при пересечении двух касательных

4) угол, вершина которого лежит на окружности

№ 4. Сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна

1) - верно

2)

3)

4)

№ 5. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется

1) смежным углом

2) центральным углом

3) вертикальным углом

4) вписанным углом - верно

№ 6. Вписанным углом называется

1) угол при пересе6чении двух хорд

2) угол с вершиной в центре окружности

3) угол, вершина которого лежит на окружности - верно

4) угол при пересе6чении двух касательных

№ 7. Вписанный угол измеряется

1) половиной дуги на которую он опирается - верно

2) дугой, на которую он опирается

3) 1\3 дуги, на которую он опирается

4) 1\4 дуги, на которую он опирается

№ 8. Центральный угол измеряется

1) половиной дуги на которую он опирается

2) дугой, на которую он опирается - верно

3) 1\3 дуги, на которую он опирается

4) 1\4 дуги, на которую он опирается

№ 9. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу,

1) равны - верно

2) равны 1\3 дуги, на которую они опирается

3) равны 1\4 дуги, на которую они опирается

4) не равны

№ 10. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность,

1) тупой

2) острый

3) прямой - верно

4) развернутый

№ 11. Вписанный угол равен . Чему равна дуга, на которую он опирается?

1)

2)

3)

4) - верно

№ 12. Центральный угол равен . Чему равна дуга, на которую он опирается?

1)

2)

3) - верно

4)

№ 13. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен

1) - верно

2)

3)

4)

№ 14. Центральный угол равен . Чему равен угол опирающийся на туже дугу?

1) - верно

2)

3)

4)

№ 15. Чему равен вписанный угол, если дуга на которую он опирается, равна ?

1) - верно

2)

3)

4)

Приложение 2

Задачи с решениями

Учебник Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов и другие «Геометрия 7-9»

№ 649 [ 2]

Начертите окружность с центром О и отметьте на ней точку А. Постройте хорду АВ так, чтобы: а) ; б) ;

в) ; г) .

а) AB=AO=BO=R б)

в) ?АСО = ?ВОС - равносторонние. г)

№ 650 [ 2]

Радиус окружности с центром О равен 16. Найдите хорду АВ, если: а); б) ; в) .

а) Дано: Окружность (О; 16).

Найти: АВ - ?

Решение:

1) Если , то ?АОВ - равносторонний, АВ = 16

2) Если , то ?АОВ - прямоугольный

3) Если , то

№ 651 [ 2]

Хорды АВ и СD окружности с центром О равны. а) Докажите, что две дуги с концами А и В соответственно равны двум дугам с концами С и D. б) Найдите дуги с концами С и D, если .

Окружность (О; R); АВ = CD.

Доказать: ; .

Доказательство:

Рассмотрим ?АОВ и ?АОD; ОА=ОС=R; ОВ=OD=R; АВ=CD (по условию), ?АОВ=?COD (по трем сторонам),

, ч. т. д.

б) Дано: Окружность (О; R); АВ = CD; .

Найти: и - ?

Решение:

1) Из предыдущего пункта АВ = CD,

т. к. .

2) Тогда .

Ответ: и .

№ 652 [ 2]

На полуокружности АВ взяты точки С и Dтак, что , . Найдите хорду CD, если радиус окружности равен 15см.

Дано: , ; R=15 см.

Найти: CD - ?

Решение:

1);

2) В ?COD: , OC=OD=15 см; , ; , (см); (см).

№ 653[ 2]

Найдите вписанный угол АВС, если дуга АС, на которую он опирается, равна: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Дано: - вписанный.

Найти: -?

а) Если , то

б) Если , то

в) Если , то

г) Если , то

д) Если , то

№ 654 [ 2]

По данным рисунка найдите х.



а)

б)

в)

г) .

№ 655 [ 2]

Центральный угол АОВ на больше вписанного угла, опирающегося на дугу АВ. Найдите каждый из этих углов.

Дано: на .

Найти: , - ?

Решение:

Пусть , тогда

Так как , то ;

; ; ; ; .

№ 656 [ 2]

Хорда АВ стягивает дугу, равную , а хорда АС - дугу в . Найдите угол ВАС.

а) Дано: , .

Найти: - ?

Решение:

;

Значит, .

б);

Значит, .

Ответ: или .

№ 657 [ 2]

Точки А и В разделяют окружность на две дуги , меньшая из которых равна , а большая точкой М делится в отношении 6 : 5, считая от точки А, Найдите угол ВАМ.



Дано: ; ; .

Найти: - ?

Решение:

1)

Так как , то

, ; ;

, .

2) .

Ответ: .

№ 658 [ 2]

Через точку А к данной окружности проведены касательные АВ ( В - точка касания) и секущая АD, проходящая через центр О ( D - точка на окружности, О лежит между А и D).

Дано: АВ - касательная; AD - секущая; DОкр(О; ОВ); .

Найти: , - ?

Решение:

1) - вписанный значит,

.

2) ?DBK - прямоугольный,

т.к. .

Значит,-; .

3) ?BOD - равнобедренный, т.к. OB=OD=R.

Значит,,отсюда .

4)В?ADB; Ответ: или .

№ 659 [ 2]

Докажите, что градусные меры дуг окружности, заключенных между параллельными хордами, равны.

Дано: АВ¦CD.

Доказать:.

Доказательство:

1) Рассмотрим и - накрест лежащие при АВ¦CD и секущей АС, значит, .

2) ; .

№ 660 [ 2]

Через точку, лежащую вне окружности, проведены две секущие, образующие угол в . Большая дуга окружности, заключенная между сторонами этого угла равна . Найдите меньшую дугу.

Дано: АС, АЕ - секущие,

, .

Найти: - ?

Решение:

1) - вписанный,

значит, .

2) и смежные,

значит, .



3) В ?ВЕС: , , значит,

Отсюда: ; .

№ 661 [ 2]

Найдите острый угол, образованный двумясе6кущими, проведенными из точки, лежащей вне окружности, если дуги, заключенные между секущими, равны и .

Дано: АС, FC - секущие; , .

Найти: - ?

Решение:

1) - вписанный, значит, ; .

2) - вписанный, значит,

; .

3) В ?ВСF; , (как смежный с ) .

Овеет: .

№ 662 [ 2]

Хорды АВ и СD окружности пересекаются в точке Е. Найдите угол ВЕС, если , .

Дано: ; , .

Найти: .

Решение:

1)

, .

2) В ?АЕС: ; .

3) и - смежные, значит, .

Ответ: .

№ 663 [ 2]

Отрезок АС - диаметр окружности, АВ - хорда, МА - касательная, угол МАВ острый. Докажите, что .

Дано: AС - диаметр; Окр (О;R); АВ - хорда, АМ - касательная; .

Доказать: .

Доказательство:

1) ?АВС - прямоугольный, т.к.

; .

2) Т.к. АМ - касательная к окружности, то ,

т.е. .

3) Сравним (*) и (**), получим: , ч.т.д.

№ 664 [ 2]

Прямая АМ - касательная к окружности, АВ - хорда этой окружности. Докажите, что угол МАВ измеряется половиной дуги АВ, расположенной внутри угла МАВ.

Дано: АМ - касательная, АВ - хорда.

Доказать: .

Доказательство:

?АОВ - равнобедренный, т.к. АО = ВО = R.

Значит,, тогда , т.к. - центральный, то.

Т.к. АМ - касательная, то . Значит, . Сравним (*) и (**), получим: , ч.т.д.

№ 665 [ 2]

Вершины треугольника АВС лежат на окружности. Докажите, что если АВ - диаметр окружности, и .

Дано: А, В, С Окр; АВ - диаметр.

Доказать: , .

Доказательство:

- вписанный,значит, .

?АВС - прямоугольный, значит , , т.к. по свойству углов прямоугольного треугольника , значит, каждый из углов меньше , ч.т.д.

№ 666 [ 2]

Хорды АВ и СD окружности пересекаются в точке Е. Найдите ЕD, если: а) АЕ = 5, ВЕ = 2, СЕ = 2,5; б) АЕ = 16, ВЕ = 9, СЕ = ЕD; в) АЕ = 0,2, ВЕ = 0,5, СЕ = 0,4.

Дано: .

Найти: ED - ?

Решение:



а) Если АЕ = 5, ВЕ = 2, СЕ =2,5, то по свойству хорд , ;

; ED = 4.

б) Если АВ =16, ЕВ = 9, СЕ = ED, то ;

; ; .

в) Если АЕ = 0,2; ВЕ = 0,5; СЕ = 0,4, то

; ; ;

; .

№ 667 [ 2]

Диаметр АА₁ окружности перпендикулярен к хорде ВВ1 и пересекает ее в точке С. Найдите ВВ1, если АС = 4 см, СА1=8 см.

Дано: А1А - диаметр, , , АС = 4 см, СА1 = 8 см.

Найти: ВВ1 - ?

Решение:

1) Т.к. , то ОС является высотой равнобедренного ?ВОВ1, а значит, ОС -медиана, т.е ВС = СВ1.

2) По свойству хорд ,

; ; ; . Отсюда, см.

№ 668 [ 2]

Докажите, что перпендикуляр, проведенный из какой - нибудь точки окружности к диаметру, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые основание перпендикуляра делит диаметр.

Дано: АВ - диаметр, ; .

Доказать: .

Доказательство:

Т.к. , то по аналогичным рассуждениям в предыдущей задаче СК = КD.

По свойству хорд: , т.к. СК = КD, то ;

, ч.т.д.

№ 669 [ 2]

Пользуясь предыдущей задачей, постройте отрезок, средний пропорциональный между данными отрезками.

Дано:

Построить: .

Ход построения:

1) Прямую l.

2) Отложить два отрезка KN = a, NM = b.

3) Построить окружность с центром на l и диаметром KM.

4) Восстановить перпендикуляр к l через точку N.

5) Этот перпендикуляр пересекает окружность в точках А и В.

6) AN и BN - искомые отрезки.

№ 670 [ 2]

Через точку А проведены касательная АВ (В - точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках Р и Q. Докажите, что

Дано: АВ - касательная; AQ - секущая.

Доказать: .

Доказательство:

Рассмотрим ?АВР и ?АQВ:

- общий; (см. № 664); ?АВР подобен ?АQВ (по двум углам) . По свойству пропорции , ч.т.д.

№ 671 [ 2]

Через точку А касательная АВ (В - точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках С и D. Найдите СD, если: а) АВ = 4 см, АС = 2 см; б) АВ = 5 см, АD = 10 см.

Дано: АВ - касательная; AD - секущая.

Найти: CD - ?

Решение:

а) Если АВ = 4см, АС = 2см, то ; ; ; ; CD =6см.

б) Если АВ = 5см, AD = 10см, то ;

АС = 2,5см; см.

№ 672 [ 2]

Через точку А, лежащую вне окружности, проведены две секущие , одна из которых пересекает окружность в точках В1, С1, а другая - в точках В2, С2. Докажите, что .

Дано: АС₁ и АС2 - секущие.

Доказать: .

Доказательство:

Рассмотрим ?АС1В2 и ?АС2В1, - общий; ?АС1В2 подобен ?АС2В1 (по двум углам) по свойству пропорции ч.т.д.

Приложение 3

Карточки по теме «Центральные и вписанные углы»

_____________________________________________________________

1 - А

1. Сформулируйте определение центрального угла и выполните необходимый рисунок.

На рисунке каждая окружность разделена на равные части. Найдите градусную меру центральных углов.

2. Вписанный угол на меньше центрального, опирающегося на ту же дугу. Найдите градусные меры этих углов.

2 - А

1. Сформулируйте, проиллюстрировав на примерах:

а) определение дуги окружности;

б) определение градусной меры дуги окружности;

в) чему равна градусная мера суммы двух дуг одной окружности с общими концами?



Найдите градусную меру дуг окружностей, соответствующих углам, отмеченным на рисунках.

2. Окружность разделена на две дуги, причем градусная мера одной из них на больше градусной меры другой. Чему равны соответствующие этим дугам центральные углы?

3 - Б

1. Сформулируйте определение вписанного угла и нарисуйте:

а) центральный угол и соответствующий ему вписанный угол. Сколько вписанных углов соответствует одному центральному углу?

б) вписанный и соответствующий ему центральный угол. Сколько центральных углов соответствует данному вписанному углу?

2. Докажите, что вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен .

4 - Б

1. Сформулируйте теорему о вписанном угле. Докажите теорему для случая, когда прямая, проходящая через вершину угла и центр окружности, не лежит между сторонами угла.

2. Точки А, В и С делят окружность на три дуги, градусные меры которых относятся как 2 : 3 : 7. Найдите углы треугольника АВС.

Приложение 4

Использование информационных технологий при изучении темы

«Углы» в 8 классе средней общеобразовательной школы

В многочисленных публикациях, как в нашей стране, так и за рубежом отмечается, что компьютер может быть использован при изучении естественно - математических и гуманитарных дисциплин для решения самых различных задач: выполнения сложных вычислительных операций, анализа результатов учебных экспериментов, построения и интерпретация математических моделей, химических и других явлений и процессов. Он может выполнять функции информационной системы, банка данных, автоматизированного справочника. Указываются и многие другие возможности применения компьютеров в учебном процессе.

Отмечается, частности, что компьютеры могут быть с успехом использованы на всех стадиях учебного задания: они оказывают значительное влияние на контрольно - оценочные функции урока, придают ему игровой характер, способствует активизации учебно - познавательной деятельности учащихся. Компьютеры позволяют добиться качественно более высокого уровня наглядности предлагаемого материала, значительно расширяют возможности включения разнообразных упражнений в процессе обучения, а непрерывная обратная связь, подкрепленная тщательно продуманными стимулами учения, оживляет учебный процесс, способствует повышению его динамизма, что, в конечном счете, к достижению едва ли не главной цели собственно процессуальной стороны обучения - формированию положительного отношения учащихся к изучаемому материалу, интереса к нему, удовлетворения результатами каждого локального этапа в обучении.

Предлагаемая обучающе - контролирующая программа по теме «Центральные и вписанные углы» в сущности, представляет собой модель школьного учебника по этой теме. Программа создана в Delphi - это среда разработки, ориентированная на работу в Windows, в основе которой лежит технология визуального проектирования и методология объектно - ориентированного программирования. Для представления программы в Delphi используется разработанный фирмой Borland язык Object Pascal, в основе которого лежит ставший классическим Turbo Pascal. Программа достаточно проста в обращении, имеет удобный интерфейс, а снабжение представляемого материала наглядными графическими изображениями помогает сделать процесс обучения не только эффективным, но и достаточно интересным.

При запуске программы появляется главная форма, содержащая следующие основные пункты меню: «Теория», «Журнал», «О программе», «Выход».А теперь - подробнее о каждом пункте.

Название первого пункта меню - «Теория» говорит само за себя. В нем представлен теоретический материал, рассчитанный на изучение темы «Центральные и вписанные углы».

В программе рассмотрены примеры задач на нахождение углов, кроме того, в каждом подразделе представлена система заданий для самостоятельного решения.

Используемый материал дает возможность составить для учащихся индивидуальные задания с учетом их возможностей. Программа помогает экономить время учителя и учащихся в проведении занятий, и, кроме того, не представляет особой трудности внесения корректирующих изменений в ее теоретическую и практическую часть.

Проверка знаний осуществляется с помощью теста (пункт меню «Тест»), что обеспечивает обратную связь и своевременную коррекцию знаний. Тест рассчитан примерно на один урок, в течении которого ученики должны справиться с заданиями. Время на каждое задание не ограничено, поэтому тестирующийся в праве сам решать, сколько ему затратить времени на каждое из заданий. Вопросы выбираются случайным образом из пятнадцати и они полностью соответствуют материалу по теме «Центральные и вписанные углы».

Если учитель не успел просмотреть данные после тестирования, то они автоматически заносятся в электронный журнал (пункт меню «Журнал»), который можно открыть и просмотреть. Причем изменять данные без соответствующей подготовки невозможно, что препятствует подмене результатов теста.

Таковы основные преимущества электронной обучающее - контролирующей программы.

Однако важно отметить, что основной формой организации учебного процесса был и остается урок. И не следует забыть об этом, доверяя образование персональному компьютеру. Как бы ни были развиты информационные технологии, компьютер не заменяет учителя, а является хорошим помощником в достижении высоких и прочных результатов обучения.

Размещено на Allbest.ru