Динамичность образа геометрического объекта проявляется в способности не только его видоизменять, но и видеть в статическом изображении движение, перемещение объектов, способ их соединения, получения. Все эти преобразования выполняются уже в «мысленном пространстве», в то время как графические изображения остаются объективно неизменными. Итак, к действиям, способствующим развитию динамичности пространственных представлений, отнесем:

- умение выбирать и произвольно менять точку отсчета (позицию наблюдения);

- умение мысленно фиксировать изменения в содержании образа геометрической конфигурации.

При изучении геометрии такое качество, как динамичность пространственных представлений лежит в основе познания геометрического пространства, требующего умения переходить из одной системы отсчета к другой. Динамичность лежит в основе формирования понятия проекции, позволяет использовать идею фузионизма - совместного изучения плоских и пространственных фигур - в процессе развития пространственных представлений. Наиболее отчетливо данное качество проявляется при решении тех задач, где требуется мысленное изменение точки отсчета, отказ от ранее принятой системы отсчета и выбор другой. Умение рассматривать объект с разных точек зрения является основополагающим умением при решении многих геометрических задач: на построение сечений пространственных фигур, на выполнение геометрических преобразований, проекционных задач и др. Развитию этого качества способствует гибкость визуального мышления

Целенаправленность визуального мышления характеризуется стремлением осуществлять разумный выбор действий при решении задач, постоянно ориентируясь на поставленную цель, в стремлении отыскать кратчайший путь ее решения. Наличие этого качества важно при поиске плана решения задачи, при извлечении дополнительной визуальной информации из наглядности.

Тип оперирования образами пространственных объектов относится к одному из основных показателей развития пространственных представлений.

Под типом оперирования понимают способ преобразования формированного пространственного представления. Все многообразие случаев оперирования пространственными представлениями можно свести к трем основным; тарирование, приводящее к изменению положения воображаемого объекта (1тип), к изменению его структуры (2 тип) и комбинации этих преобразований (3 тип). На формирование типов оперирования оказывают непосредственное влияние все из выше перечисленных показателей.

Первый тип оперирования характеризуется тем, что исходный геометрический образ, уже созданный на наглядной основе, мысленно видоизменяется в процессе решения задачи, причем эти изменения касаются пространственного положения и не затрагивают структурных особенностей образа. К первому типу оперирования относятся различные мысленные вращения, перемещения уже созданного образа как в пределах одной плоскости, так и с выходом из нее. Такое оперирование приводит к существенному видоизменению исходного образа, созданного на наглядной основе, которая объективно остается при этом неизменной. Данный тип оперирования используется при решении задач, требующих выполнения геометрических преобразований заданных объектов. Например, задач на построение образов геометрических фигур при осевой, центральной симметрии, симметрии относительно плоскости, при повороте, параллельном переносе на плоскости и в пространстве.

Второй тип оперирования характеризуется тем, что исходный геометрический образ под влиянием задачи преобразуется по структуре. Это достигается благодаря различным трансформациям исходного образа путем мысленной перегруппировки его составных элементов с помощью применения различных приемов наложения, совмещения, добавления, усечения и т.п. При втором типе оперирования образ изменяется настолько, что становится мало похожим на исходный. Степень новизны создаваемого образа намного выше той, которая наблюдалась при первом типе оперирования, так как исходный образ подвергся здесь более радикальному преобразованию. Намного выше также и умственная активность, поскольку все преобразования образа осуществляются, как правило, в уме, без непосредственной опоры на изображение. Все производные преобразования и их результаты приходится удерживать в памяти, как бы видеть их мысленным взором. Приведем пример задачи на данный тип преобразования: «Из двух равнобедренных треугольников с равными основаниями составить фигуру, имеющую ось симметрии, если:

а) треугольники равны,

б) треугольники не равны».

Задача требует мысленных преобразований плоских фигур. Можно привести пример аналогичных задач на оперирование объемными фигурами.

Третий тип оперирования характеризуется тем, что преобразования исходного геометрического образа выполняются длительно и неоднократно. Они представляют собой целую серию умственных действий, последовательно сменяющих друг друга и направленных на преобразование исходного образа одновременно и по пространственному положению, и по структуре. Вот пример такого типа задач: «Что собой представляет множество точек, симметричных данной точке А, относительно всех плоскостей, проходящих через данную прямую?»

Требуемые преобразования осуществляются здесь по определенной логике, где четко предусматривается содержание, характер и последовательность каждого пространственного преобразования. К действиям, которые способствуют совершенствованию типов оперирования пространственными представлениями, отнесем следующие:

- умение мысленно изменять положение образа геометрической конфигурации (1-й тип оперирования);

- умение мысленно изменять структуру образа геометрической конфигурации (2-й тип оперирования);

- умение изменять образ геометрической конфигурации одновременно по положению и по структуре (3-й тип оперирования);

- умение конструировать образы новых геометрических конфигураций и воспроизводить их с помощью модели, рисунка, чертежа или словесного описания (высший тип оперирования).

Данные качества проявляются на всех этапах формирования пространственных представлений при обучении геометрии, но наибольшее значение они имеют на этапе включения пространственных представлений в новые связи и новые условия, заданные задачей. Таким образом, очевидно влияние качеств визуального мышления на показатели развития пространственных представлений. В результате визуальной деятельности формируются пространственные представления, поэтому качества визуального мышления проецируются в определенные свойства пространственных представлений.

В совокупности все качества визуального мышления способствуют совершенствованию типов оперирования пространственными представлениями, конструированию новых образов пространственных объектов, а также характеризует сформированность полных, устойчивых, динамичных пространственных представлений.

Деятельность, лежащая в основе формирования того или иного показателя пространственных представлений, характеризуется выделенными действиями, наличие которых гарантирует его (показателя) развитие.

При разработке содержания, ориентированного на формирование и развитие пространственных представлений при обучении математике, необходимо учитывать свойства пространственных представлений, используя упражнения, в процессе решения которых формируются и совершенствуются выделенные действия. Они могут быть использованы при разработке типологии упражнений, ориентированных на развитие пространственных представлений обучаемых (с учетом их возрастных и индивидуальных особенностей), а также для диагностики сформированности пространственных представлений обучаемых.

Подводя итоги, следует отметить, что процесс формирования пространственного образа объекта является достаточно сложным процессом. На него влияет очень много факторов как объективных (недостатки наглядных моделей, трудность самого процесса объективного восприятия действительности), так и субъективных (активность обучаемого, его внимательность, сформированность пространственных представлений и т.д.). В то же время без хорошо сформированных пространственных представлений невозможно эффективное изучение геометрии. Возникает необходимость разработки эффективной методики формирования пространственных образов геометрических объектов, которая свела бы до минимума негативное влияние вышеназванных факторов.

Глава 2
Методика применения компьютерной анимации
на уроках геометрии

2.1. Организация процесса формирования пространственного образа
с помощью компьютерной анимации

При формировании пространственного образа, c использованием компьютерной анимации, целесообразно выделить следующие шаги, на каждом из которых используются свои модели реального объекта:

1. Реальная модель изучаемого объекта (макет, пример из окружающего мира, рисунок).

2. Динамическая анимационная модель.

3. Статическое изображение (чертёж).

4. Пространственный образ.

Каждый следующий шаг отличается от предыдущего гораздо большей степенью абстрагирования. Как уже было отмечено, на каждом из этих шагов используется своя модель реального объекта, но в то же время неизменной остаётся схема восприятия каждой из модели обучаемыми. В качестве схемы мы предлагаем схему представленную в пункте 1.2 данной выпускной квалификационной работы (рис. 2). Таким образом, весь процесс формирования пространственного образа геометрического объекта на уроках геометрии можно представить в виде следующей схемы (рис. 3).

58

Таким образом, пройдя первые три этапа, на четвёртом, должен быть получен объективный пространственный образ объекта. На каждом из этих трех этапов должна происходить тщательная проработка схемы формирования пространственного образа с помощью системы упражнений. На четвертом этапе происходит работа непосредственно с самим пространственным образом без опоры на наглядное изображение.

В отличие от традиционного процесса формирования пространственного образа, здесь добавляется ещё один шаг - динамическая анимационная модель (ДАМ). Он позволяет сделать плавный переход от реальной модели изучаемого объекта к его статическому изображению на плоскости. ДАМ - это модель объекта, которая теряет материальную основу, но по-прежнему остаётся наглядной и не сложной для восприятия. ДАМ позволяет отображать особенности не только внешнего строения объекта, но и внутреннего, позволяет оперативно подстраиваться под конкретный урок, особенности учеников.

В настоящее время компьютерная графика широко используется при подготовке специалистов различного профиля. Результаты проведенного нами исследования существующих подходов и методик использования компьютерной графики показали, что, в основном, она применяется как средство визуализации принимаемых решений и практически не используется как средство для получения новых знаний и сведений об окружающем мире. Однако современные графические пакеты могут быть использованы дополнительно, как средство интенсификации процесса получения новой информации об окружающих нас реальных объектах.

Правомерность использования компьютерной графики в качестве вспомогательного средства в процессе обучения геометрии основывается на том факте, что рисунок любого объемного тела является имитацией трехмерного пространства на плоском двумерном листе бумаги. Применение же трехмерного компьютерного моделирования позволяет облегчить процесс понимания конструкции реального трехмерного тела, а также дает возможность проследить пространственные линии связей с помощью каркасной модели объекта и, в конечном счете, получить реалистическую визуализацию с помощью наложения текстур и фактур.

Перспективы использования компьютерной графики в преподавании математики связаны, прежде всего, с эффективной реализацией дидактического принципа наглядности в обучении. Его воплощение в обучении различным предметам, наряду с другими принципами дидактики, является одним из ведущих факторов обучения и развития. Отметим тот факт, что опыт применения компьютера на уроках геометрии сводится, в основном, к использованию компьютерной графики в виде статичных изображений, или рисунков. Опыта же применения компьютерной анимации на уроках геометрии на данный момент методика преподавания математики не имеет, но, как мы полагаем, именно такой вид наглядности дает значительно больший эффект, нежели использование статичных изображений. Программные продукты, реализующие возможность работы с компьютерной графикой, дают, во-первых, возможность создания динамических образов, иллюстрирующих математические понятия в пространстве и времени, во-вторых, возможность интерактивной работы, когда обучаемый сам становится участником события. Во втором случае речь идет о создании самими учащимися наглядных образов геометрических понятий (точка, фигура, преобразование и т.п.) в процессе обучения программированию. При этом многие понятия, известные из математики или представляемые пока интуитивно, более глубоко раскрывают свою сущность и становятся понятными именно на основе своего образного восприятия.

Для разработки методики одним из важных этапов являлся выбор графического пакета, отвечающего требованиям методики обучения. В качестве основных требований нами были определены следующие:

- разнообразный круг инструментов для моделирования объемных объектов;

- визуализация модели с любых точек зрения;

- доступные инструменты редактирования формы и пропорций модели;

- использование графических текстур;

В качестве дополнительных требований были приняты:

- дружественный интерфейс;

- ограниченные машинные ресурсы;

- доступная для учебных заведений цена.

По указанным требованиям был проведен сравнительный анализ пакетов 3D компьютерной графики (Cinema 4D XL 6*, Мауа 3.0, 3D Studio MAX, Houldini 4,0*, LightWave 6*, SoftimagelXSI), позволивший выявить, что различные программы решают аналогичные задачи, используя при этом функции под различными названиями.

В результате анализа графических пакетов по указанным признакам выявлено очевидное преимущество системы 3D Studio MAX. Этот пакет используют для 3D моделирования объектов многие Российские вузы. 3D Studio МАХ обладает достаточно полным набором инструментов, пригодных для моделирования основных геометрических тел, который не уступает, а в некоторых случаях и превосходит программы-конкуренты, и обладает самой низкой ценой. Таким образом, именно 3D Studio МАХ был принят в качестве среды функционирования разработанной методики.

2.2 Методика формирования
пространственного образа на уроках геометрии

Одним из основных условий формирования пространственных представлений в процессе обучения геометрии является использование упражнений, ориентированных на формирование и развитие комплекса умений, составляющих содержание пространственных представлений и характеризующих их сформированность. Но не все упражнения можно считать такими, а лишь те, которые требуют оперирования ранее созданными пространственными представлениями, в которых происходит включение пространственных представлений в новые связи, помещение их в новые условия, определяемые условием задачи. В ходе визуального анализа формируется тактика переработки этой информации в соответствии с поставленными задачами, оперирование созданными пространственными представлениями в процессе их решения, происходит мысленное составление плана работы. По своим целям и учебным возможностям этот этап можно отнести к поисковой деятельности. Обучаемый определяет порядок действий, пытается в уме выполнить некоторые из знакомых ему операций, рассмотреть возможные варианты решения задачи, прогнозировать результат. Каждый геометрический образ имеет определенную структуру, позволяющую зрительно выделить и проанализировать его логический «фундамент».

В процессе решения задач, ориентированные на развитие пространственных представлений, представления приобретают новые формы, направляющие мыслительную деятельность обучаемого так, что из исходных данных он может извлечь ориентиры и подсказки, построить догадку, приводящую к получению правильного ответа. В ходе поиска решения задачи осуществляется порождение новых пространственных представлений, несущих определенную визуально-логическую нагрузку и делающих видимым значение исходного объекта или его свойства. Отправными моментами и точками опоры такого процесса является запас готовых, пространственных представлений, их элементы и структура, визуально обозримые связи между ними.

Следует выделить основные типы упражнений, ориентированные на формирование и развитие пространственных представлений при обучении геометрии [15]:

- упражнения на исследование свойств геометрических объектов (узнавание).

- упражнения на изображение геометрических конфигураций (воспроизведение).

- упражнения на преобразование образов геометрических конфигураций (оперирование).

- упражнения на конструирование новых образов геометрических конфигураций.

Разработка данной типологии основана на видах деятельности, составляющих содержание процесса формирования и развития пространственных представлений при обучении (узнавание, воспроизведение, оперирование и конструирование пространственных представлений). Необходимо отметить, что в каждой из этих групп должны присутствовать упражнения, решение которых требует использования средств наглядности (моделей, рисунков, чертежей и т.п.) и упражнения, заданные словесным описанием и решаемые в воображении. В контексте данной работы данная типология получила некоторое обобщение и более подробное описание типов упражнений, а также внедрением в процесс решения задач наглядной основы - динамической анимационной модели.

I. Упражнения на исследование свойств геометрических объектов

Суть этой группы упражнений состоит в следующем: пространственный объект задается с помощью модели, рисунка, чертежа или словесного описания. Требуется исследовать его свойства - выделить форму, определить размеры или взаимное расположение его элементов и т.п.

а) Задачи-вопросы на распознавание объекта по изображению или словесному описанию. Их основная цель - определить, принадлежит ли данный объект объему указанного понятия. Распознавание пространственных объектов осуществляется с опорой на ранее сформированные пространственные представления и знания о них.

Пример 1. Существует ли четырехугольная пирамида, все ребра которой равны между собой?

Пример 2. Могут ли все боковые грани шестиугольной пирамиды быть равносторонними треугольниками?

Пример 3. Установите вид параллелепипеда, если а) все грани равны; б) все грани равновелики; в) все его диагонали равны; г) два диагональных сечения перпендикулярны основанию; д) две его смежные грани - квадраты; е) перпендикулярное сечение к каждому ребру является прямоугольником?

б) Задачи на выделение требуемых фигур из состава чертежа.

Пример. ABCDEKMO - изображение куба. Выпишите все изображенные на рисунке пирамиды и призмы, указывая вид фигуры.

в) Задачи на сопоставление различных видов изображений данного пространственного объекта (модели, развертки, чертежа, рисунка, проекции и т.п.)

Пример. Какие из предложенных на рисунке конфигураций являются развертками данного куба?

г) Задачи на определение взаимного расположения объектов и их элементов.

Пример 1. Вершины А и В параллелограмма лежат в плоскости в, а его вершина С не принадлежит этой плоскости. Как могут быть расположены относительно в стороны AD и CD параллелограмма?

Пример 2. Как могут быть расположены относительно плоскости в основания трапеции, если плоскость проходит через среднюю линию трапеции?

Пример 3. Прямая р не имеет общих точек с линией пересечения плоскостей в и г. При этом р принадлежит г. Как она может быть расположена относительно плоскости в?

Пример 4. Прямая а пересекается с прямой b, лежащей в плоскости г и перпендикулярна этой прямой. Перпендикулярна ли а плоскости г?

Использование приведённых заданий способствует совершенствованию умений, характеризующих процесс создания и оперирования пространственными образами. Например, решение задач на вычленение из состава чертежа требуемых фигур, на определение взаимного расположения пространственных объектов или их элементов, требует не только зрительного выделения фигур, но и применения различных критериев анализа пространственного образа, что дает возможность мысленно переставлять элементы чертежа и выделять на этой основе новые фигуры. Таким образом, задания этой группы способствуют развитию умений удерживать образ в памяти, рассматривать его с различных точек зрения, анализировать пространственный образ, вычленять его форму и т.д.

Задания на распознавание объекта на основе сопоставления его различных изображений предполагает мысленное сопоставление разнотипных изображений объекта (рисунка и чертежа, развертки и модели и т.п.). Задание способствует формированию и развитию умения создавать пространственный образ на основе восприятия различных изображений.

В процессе выполнения заданий на распознавание пространственных объектов по их словесному описанию, необходимо мысленно представить описываемый объект и его элементы, удерживая его в памяти, проводить анализ и синтез пространственного образа, в некоторых случаях осуществлять глазомерную оценку линейных и угловых величин.

Таким образом, задания данного типа служат для развития умения распознавать пространственные образы, что характеризует уровень их создания, но в процессе создания часто приходится и оперировать образами, мысленно изменяя их пространственное положение, структуру, переходя от одного вида наглядности к другому. Эти действия способствуют активному развитию пространственных представлений.

Кроме того, для формирования и совершенствования вышеназванных действий, характеризующих развитые пространственные представления, большое значение имеет деятельность преподавателя. В процессе обучения, направленного на развитие пространственных представлений, кроме общих методов и методических приемов, могут использоваться специальные приемы, способствующие этой работе. Такие, например, как создание ситуации, способствующей активному оперированию пространственными представлениями, творческое конструирование новых образов геометрических конфигураций.

Так при изучении темы «Многогранники» преподаватель, демонстрируя модель куба, предлагает мысленно удалить одну его грань и, заглянув в куб через эту грань, изобразить в тетрадях тот геометрический образ, который они при этом увидят. Студенты изображают субъективно новый для них пространственный образ. В качестве самопроверки учащимся предлагается динамическая анимационная модель [Приложение ДАМ-1].

Далее предлагается мысленно представить модель тетраэдра и проделать в уме те же действия, что и с моделью куба. Получается еще один субъективно новый для учащихся образ.

При этом второе задание выполняется без опоры на наглядную основу. Успешное выполнение этого задания требовало от учащегося создания исходного геометрического образа (модели тетраэдра), мысленного изменения позиции наблюдения по восприятию модели тетраэдра, создания нового пространственного образа. В целом эта деятельность направлена на творческое конструирование нового пространственного образа, она предполагает активное оперирование образом, его трансформацию, изменение положения в пространстве. Все эти умения являются основными характеристиками развитого пространственного мышления человека.

Целенаправленное и систематическое использование методических приемов будет, очевидно, способствовать развитию пространственных представлений учащихся в процессе изучения геометрии.

II. Упражнения на изображение геометрических объектов

Задания этого типа предполагают изображение пространственного объекта, заданного своей проекцией или словесным описанием, с помощью рисунка, чертежа, а также построение проекций данных геометрических фигур по их наглядному изображению и т.п.

К таким заданиям можно отнести следующие виды задач.

а) Задачи на изображение пространственной фигуры, заданной словесным описанием.

Пример 1. В пирамиде с основанием в виде правильного треугольника одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания. Что представляют собой грани такой пирамиды? Каким образом проходит высота пирамиды? Изобразите данную пирамиду?

Пример 2. В основании наклонной призмы правильный пятиугольник. Сколько граней у данной призмы? Какими геометрическими фигурами являются ее грани? Могут ли среди боковых граней быть прямоугольники? Изобразите данную призму [Приложение ДАМ-2].

б) Задачи, в которых требуется достроить фигуру или восстановить чертеж.

Пример. 1. Достройте изображение фигуры до куба:

58

Пример 2. Достройте изображение фигуры до треугольной пирамиды:

58

Пример 3. Достройте изображение фигуры до произвольного многогранника:

58

Пример 4. Достройте изображение многогранников по заданным вершинам:

а) треугольная пирамида:

58

б) треугольная призма:

58

в) Задачи на построение и использование разверток пространственных фигур.

Пример 1. Нарисуйте разные развертки: а) правильного тетраэдра, б) куба.

Пример 2. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ (AB = BC) как провести на его поверхности кратчайшую линию, соединяющую вершины В и D₁ (ответ может быть получен при помощи развертки двух смежных граней)?

Пример 3. Постройте развертку наклонной треугольной призмы.

г) Задачи, в которых по наглядному изображению или словесному описанию пространственного объекта требуется построить ее проекции.

Пример 1. Какая фигура может быть проекцией: а) отрезка, б) треугольника на данную плоскость (рассмотреть различные направления проектирования)?

Пример 2. Какое наименьшее число сторон может иметь параллельная проекция на плоскость выпуклого многогранника, имеющего n граней?

Пример 3. Многогранник имеет n вершин. Показать, что существует его параллельная проекция на плоскость, имеющая: не менее четырех вершин, не более n - 1 вершины.

д) Задачи, в которых по заданной проекции пространственного объекта необходимо восстановить его наглядное изображение.

Пример. Нарисуйте многогранник, заданный проекциями на три попарно перпендикулярные плоскости:

58

Развитие и совершенствование умений решать геометрические задачи обуславливает графическая культура учащихся, их умения выполнять рисунки, способность и навыки к визуализации задачи. Развитию конструктивных умений и навыков активно способствует приведенная группа задач. Кроме того, все они направлены на развитие пространственных представлений и воображения. Ведь в процессе решения таких задач, прежде чем изобразить пространственный объект с помощью рисунка или чертежа, необходимо отчетливо представить его, мысленно выполнить определенные конструктивные операции с его элементами. Задачи, выполняемые без применения чертежных инструментов, развивают глазомер, точность движений, что также является характеристикой развитых пространственных представлений.

Как уже было сказано, чертеж является важнейшим средством формирования и развития пространственных представлений. При этом необходимо обращать внимание на рассмотрение различных изображений одного и того же тела. Дело в том, что, привыкая работать с шаблонными изображениями пространственных фигур, учащиеся оказываются беспомощными, когда им надо создать образ по чертежу, на котором пространственный объект расположен нетрадиционно. Выполнение таких изображений и работа с ними способствуют совершенствованию умения рассматривать объект с различных точек зрения, удерживая его образ в памяти, анализировать созданный пространственный образ, менять пространственное положение объекта.

Развитию этих умений также способствуют задачи, в которых требуется достроить пространственную фигуру или восстановить чертеж, выполняя который необходимо сначала представить пространственный объект, потом сопоставить его с данными элементами чертежа. При этом по одним и тем же элементам (отрезкам, точкам) иногда возможны различные изображения фигуры.

Большую роль для развития умений оперировать созданным пространственным образом играют задачи на построение и использование разверток пространственных фигур. В процессе построения развертки необходимо мысленно развернуть геометрическую фигуру, сопоставить полученный результат с наглядным изображением (или существующим представлением), осуществлять анализ и синтез пространственного образа, удерживая его в памяти, изменять пространственное положение и структуру образа. В результате этих действий получен новый образ - развертка.

При изучении темы «Изображение пространственных фигур на плоскости» целесообразно на практическом занятии рассмотреть решение проекционных задач. Например, такой.

Какая фигура получится при проектировании двух скрещивающихся перпендикулярных прямых а и b на плоскость?

III. Упражнения на выполнение геометрических преобразований
на плоскости и в пространстве

Этот тип включает упражнения на различные геометрические преобразования исходных образов пространственных фигур, которые выполняются как в пределах плоскости, так и в пространстве. К ним можно отнести следующие задачи.

а) Задачи на отыскание множеств точек - образов при определенном геометрическом преобразовании точки.

Постройте произвольный прямоугольник и его образ при симметрии с центром в точке пересечения его диагоналей. Какая фигура является пересечением (объединением) данного прямоугольника и его образа?

б) Задачи на установление числа осей (плоскостей, центров) симметрии.

Пример 1. Найти множество осей симметрии у двух данных точек М и Р на плоскости и в пространстве.

Пример 2. Сколько плоскостей симметрии имеет а) куб, б) цилиндр?

Пример 3. Приведите пример фигуры, имеющей более одного центра симметрии.

в) Задачи на построение осей (центров, плоскостей) симметрии или фигур имеющих оси (центры, плоскости) симметрии.

Пример 1. Начертите два угла, таких, что один из них может быть получен из другого с помощью центральной симметрии.

Пример 2. Отметьте три точки А, В, С. Дополните это множество четвертой точкой D так, чтобы фигура Ф = {A, B, C, D} имела а) центр симметрии; б) ось симметрии. Рассмотрите все возможные случаи.

Пример 3. Будет ли фигура, являющаяся объединением полосы и прямой, не принадлежащей ей, иметь центр симметрии? Рассмотрите все возможные случаи.

г) Задачи на создание новых образов пространственных объектов путем геометрических преобразований исходных.

Пример. В прямоугольнике ABCD мысленно проведите прямую АК (К - середина стороны ВС), представьте, что прямоугольник разрезан по ней и треугольник АВК повернут вокруг точки К так, что ВК и КС совместились. В какую фигуру превратиться прямоугольник?

При решении стереометрических задач, являющихся аналогами соответствующих им планиметрических, целесообразно от пространственной задачи перейти к плоскостной, заменяя в условии задачи пространственную фигуру на аналогичную ей плоскостную, и решив задачу на плоскости, снова перейти к пространственным фигурам.

IV. Упражнения на конструирование и моделирование
новых образов геометрических объектов

Задания данной группы предполагают выполнение мысленного или графического реконструирования и моделирования образ пространственных объектов.

Пример. Нарисуйте фигуру, получающуюся в пересечении двух равных цилиндров, оси которых пересекаются под прямым углом [Приложение ДАМ-3]?

В процессе решения таких задач осуществляется конструирование качественно новых пространственных образов и новых отношений между ними, формируются и совершенствуются умения мысленно преобразовывать исходный образ по форме, величине, пространственному положению, то есть, их решение требует активного оперирования пространственными образами и высокого уровня развития пространственных представлений и воображения.

Анализ заданий каждой из выделенных групп выявил присутствие всех трех видов оперирования пространственным образом, что позволило сделать вывод о том, что их использование будет активно способствовать развитию тех или иных умений, характеризующих как процесс создания, так и процесс оперирования образами геометрических объектов, а, следовательно, и повышению уровня развития пространственных представлений. Кроме того, они совершенствуют и некоторые общие умения, и навыки, например, способность к оперированию знаковой и графической символикой, навыки изображения пространственных объектов на плоскости, а также помогают обогащению и развитию математической речи обучаемых. Таким образом, совокупность данных упражнений можно рассматривать как одно из средств развития пространственных представлений учащихся в процессе изучения геометрии.

Методику формирования пространственного образа геометрического объекта при помощи компьютерной анимации рассмотрим на примере изучения четырехугольной пирамиды.

1. Учащимся предъявляется модель правильной четырехугольной пирамиды, лучше, если этих моделей будет как можно больше (в идеале по одной каждому ученику). Можно предложить учащимся самим сформулировать определение правильной пирамиды, иначе определение даёт учитель. На этом можно считать шаг законченным, т.к. схема формирования пространственного образа полностью пройдена.

2. Учащимся предоставляется динамическая анимационная модель [Приложение ДАМ-7]. Снова называются ее основные элементы. Рассматривается каркасная модель пирамиды, обращается внимание на видимые и невидимые линии фигуры. Целесообразно рассматривать упражнения на исследование свойств геометрических объектов, например, следующих.

а) На рисунке изображена пирамида ABCDM где ABCD - квадрат, МО - перпендикуляр к плоскости основания. Е и К - середины сторон AD и CD соответственно. Укажите:

- плоскость, перпендикулярную диагонали АС (BD);

- плоскость, перпендикулярную стороне AD (DC) и содержащую вершину М;

- указать все пары взаимно перпендикулярных плоскостей;

- указать все имеющиеся пары взаимно перпендикулярных скрещивающихся прямых.

б) Может ли квадрат быть разверткой правильной четырехугольной пирамиды?

в) Основанием пирамиды является квадрат. Сколько граней могут быть прямоугольными треугольниками?

3. Может быть проведен разговор о способе построения пирамиды (исходя из определения), первый чертеж чертится на доске вместе с учителем. Начерченная фигура показывается на экране динамической анимационной моделью. Второй чертеж учащимся предлагается выполнить самостоятельно, но изобразить не произвольную пирамиду, а пирамиду, отображаемую на экране. Рассматриваются упражнения на изображение геометрических объектов.

А) Достройте изображение до четырехугольной пирамиды:

58

Б) Постройте пирамиду, среди граней которой есть два прямоугольных треугольника.

Можно рассмотреть упражнения на конструирование и моделирование новых образов геометрических объектов.

Какая фигура получиться в пересечении двух равных правильных четырехугольных пирамид, высоты которых совпадают, а вершина одной из пирамид является центром основания второй пирамиды? [Приложение ДАМ-10] Преимущество ДАМ перед обыкновенным чертежом заключается в том, что ДАМ позволяет показать все возможные случаи.

2.3. Организация и основные результаты опытной работы

В ходе исследований нами была проведена опытная работа. Она осуществлялась в Вятском государственном гуманитарном университете среди студентов первого курса математического факультета. Из трех учебных групп были выбраны 15 студентов, которые непосредственно приходили заниматься на факультатив, и 10 студентов было набрано в число опытной группы для сравнения полученных результатов.

Основными целями, поставленными перед опытной работой в рамках проводимого нами исследования, можно назвать следующие:

- выявление возможности применения компьютерной анимации на уроках геометрии;

- оценка эффективности разработанной методики.

Среди общеобразовательных целей, поставленных перед опытной работой, можно выделить следующие:

Образовательные: обобщить и систематизировать знания школьного курса геометрии, создать условия для формирования умений решать стереометрические задачи.

Развивающие: создать условия для развития пространственных представлений учащихся, творческой и мыслительной деятельности учащихся на уроке, интеллектуальных качеств личности школьников таких, как самостоятельность; создать условия для формирования навыков коллективной и самостоятельной работы.

Воспитательные: создать условия для привития учащимся интереса к предмету посредством применения информационных технологий и формирования умений аккуратно и грамотно выполнять математические записи, внимательности, графической культуры учащихся.

Занятия проводились постоянно без длительных перерывов два раза в неделю по университетскому расписанию (два академических часа - одно занятие). Факультатив состоял из 16 академических часов. Темой данного факультатива были «Многогранники». Обусловлено это, прежде всего, составом слушателей, для которых было достаточно полезным повторение и систематизация изученных в школе геометрических тел и их свойств. Программу факультатива можно представить следующим образом:

Количество часов	Тема занятий
2	Входной тест пространственного мышления. Вводное занятие.
2	Сфера и шар.
2	Цилиндр.
2	Конус.
2	Призма параллелепипед.
2	Пирамида.
2	Задачи на комбинации многогранников.
2	Заключительный тест пространственного мышления.

В качестве оценки развития пространственного мышления был выбран тест пространственного мышления Ираиды Сергеевны Якиманской [14]. Содержит набор заданий (формы А и Б входной и заключительные тесты) на материале геометрии, черчения, изобразительного искусства. Состоит из 15 видов заданий (бланки тестов - приложение 1 и 2). Тест направлен на выявление особенностей пространственного мышления учащихся в процессе создания образа (6 видов заданий) и оперирование образами (9 видов заданий). Задания на оперирование образами включают все три типа оперирования. Задачи отличаются по содержанию. Каждое задание представлено двумя задачами различного уровня сложности. Таки образом одна форма включает в себя 30 заданий. Тест пространственного мышления соответствует статистическим критериям, которым должна удовлетворять диагностическая методика [14]. Оценка теста выполнялась по количеству верно выполненных заданий, за каждое верное задание тестируемый получал один балл.

Занятия проводились в обычной учебной аудитории. Единственной особенностью было то, что доска на уроке использовалась очень редко. Роль доски играл экран, на который проецировалось изображение с компьютера. Сразу следует отметить, что подобная организация имеет свои плюсы и минусы по отношению к организации занятий в компьютерных аудиториях. С одной стороны от учащихся не требуется знание программы 3D Studio MAX, происходит меньшая нагрузка на глаза учеников, чем, если бы они сидели каждый за своим ПК, возможен больший контроль над деятельностью учащихся. Среди минусов можно выделить следующий - ученикам не предоставляется свобода выбора изображения, т.е. все манипуляции с анимационной моделью производит учитель, а, следовательно, он показывает лишь те моменты, которые он лично для себя считает важными. В основном же, по нашему мнению, оба способа организации приемлемы и оставляют за собой право быть основными при организации подобного рода занятий.

Оценка результатов опытной работы производилась по результатам входного и заключительного тестов. Оценка теста проводилась по количеству выполненных заданий, за правильно выполненное задание тестируемый зарабатывает один балл. Тест состоит из 15 заданий, в каждом из которых по две задачи, следовательно, максимально возможное количество баллов полученных в результате теста не может превышать 30 баллов.

Ниже приведена статистическая обработка полученных результатов.

С целью оценки результатов эксперимента посредством применения статистических методов учащимся были предложены два теста (первый - в начале, второй - в конце опытной работы). При анализе выполнения работ проводилось сравнение результатов тестов у учащихся контрольных и экспериментальных групп. Представим результаты тестов. Максимальное количество баллов, которое мог заработать ученик 30 баллов.

Результаты работ в начале и в конце эксперимента представлены соответственно в таблицах, где КГ - контрольная группа, в которой проводились лишь входной и заключительные тесты. Непосредственно на занятия ходили учащиеся из экспериментальной группы (ЭГ).

По результатам входного теста имеем следующее распределение правильных ответов:



Количество правильных ответов	Количество человек в КГ	Количество человек в ЭГ
15	1	0
16	1	0
17	1	1
18	2	1
19	4	3
20	2	2
21	3	1
22	0	1
24	0	1
25	1	0
Выполнено заданий в среднем по группе	64%	66,3%

По результатам заключительного теста:

Количество правильных ответов	Количество человек в ЭГ	Количество человек в КГ
15	0	1
18	1	1
19	3	2
20	3	3
22	1	1
23	1	0
24	1	2
25	1	0
26	2	0
28	2	0
Выполнено заданий в среднем по группе	74,6%	67%

Таблица 2

Для наглядности полученных результатов рассмотрим динамику развития пространственного мышления по трем группам вопросов:

диаграмма 1

Тест условно разбит на три группы вопросов по 10 вопросов в каждой. На диаграмме представлении средний балл по каждой группе заданий. По результатам заключительного теста получена следующая ситуация:

диаграмма 1

Анализ результатов выполнения теста в начале эксперимента позволил нам выдвинуть нулевую гипотезу : «выборки, представленные в таблице 1, однородны (распределение учащихся по баллам существенно не различается)». Составим конкурирующую гипотезу : «выборки, представленные в таблице 1, неоднородны (распределение учащихся по баллам различается существенно)». Гипотеза проверена по критерию . Найдена числовая характеристика по формуле (1)

(1),

где и - число учащихся КГ и ЭГ соответственно, получивших определенный балл k=(1;30), , - число учащихся в КГ и ЭГ соответственно.

Таким образом,

По таблице критических точек распределения для уровня значимости и числа степеней свободы =23 найдено критическое значение .

Так как , то гипотеза принимается на уровне значимости 0,05. Поэтому можно утверждать, что на начало эксперимента качество знаний учащихся в контрольной и экспериментальной группах существенно не различается.

При анализе выполнения теста учащимися в конце эксперимента нами была ввыдвинута нулевая гипотеза: «выборки, представленные в таблице 2, однородны (распределение учащихся по баллам существенно не различается)» при конкурирующей гипотезе : «выборки, представленные в таблице 2, неоднородны (распределение учащихся по баллам различается существенно)».

Гипотеза проверена по критерию . Найдена числовая характеристика

Так как , то гипотеза отвергается в пользу гипотезы. Поэтому на уровне значимости 0,05 можно утверждать, что после эксперимента качество знаний учащихся в контрольной и экспериментальной группах различается существенно.

Для того чтобы убедиться в положительном влиянии предложенной методики на качество знаний учащихся, проверим гипотезу о равенстве средних генеральных значений.

Выдвинута нулевая гипотеза : (средние баллы в КК и ЭК существенно не различаются) при конкурирующей гипотезе : (средний балл в КГ существенно меньше среднего балла в ЭГ). Вычислена числовая характеристика

, где

- средние баллы в КК и ЭК соответственно.

Поскольку ,

,

,

, то

.

По таблице критических точек распределения Стьюдента на уровне значимости и числа степеней свободы =. Так как , то гипотеза отвергается. Следовательно, на уровне значимости 0,05 можно утверждать, что средний балл в КГ существенно ниже, чем в ЭГ.

Полученные результаты позволяют сделать следующий вывод: развитие пространственного мышления в экспериментальных и контрольных группах после опытной работы различны. Результаты учащихся экспериментальной группы имеют тенденцию быть выше, чем результаты учащихся контрольной группы. На основании этого можно утверждать, что предложенная методика положительно влияет на качество знаний учащихся.

Относительно целей, поставленных перед данной опытной работой, можно сказать следующее. Проведенная опытная работа выявила огромный неиспользуемый потенциал компьютера в обучении геометрии, который заключается в применении компьютерной анимации при формировании пространственного образа. Проведенная опытная работа позволила сделать вывод о том, что разработанная нами методика является достаточно эффективной, и оставляет за собой право быть используемой в преподавании геометрии. Относительно достижения общеобразовательных целей объективных выводов сделать нельзя, в виду отсутствия контролирующих перечисленные умения и навыки работ, и относительно краткосрочной опытной работы.

Заключение

Настоящее исследование посвящено решению актуальной проблемы теории и методики обучения математике - развитие пространственного мышления учащихся в процессе изучения геометрии. Основным средством для решения этой проблем был выбран компьютер, который позволил выделить новый вид учебной наглядности - компьютерная анимация, реализующаяся посредством пакета прикладных программ 3D Studio MAX.

В соответствии с поставленными целями перед данной выпускной квалификационной работой и результатами, полученными в ходе исследования, можно сделать следующие выводы:

Анализ научно-методической литературы, посвященной вопросам формирования и развития пространственных представлений, позволил выделить основные психические и физиологические основы восприятия человеком объектов окружающего мира. В результате была выработана общая схема восприятия, которая легла в основу разработанной методики формирования пространственных представлений.

Была выявлена возможность применения компьютерной анимации в процессе формирования пространственных представлений. Компьютерная анимация заполнила некоторый пробел в процессе формирования пространственного образа геометрического объекта, она позволила осуществить плавный переход от натуральной вещественной модели к условно-графическому изображению - чертежу, что в значительной степени повышает уровень объективности пространственных представлений обучаемого.

Была разработана соответствующая методика формирования пространственного образа геометрического объекта при помощи компьютерной анимации. По результатам опытной работы можно сделать вывод о положительном влиянии разработанной методики на формирование пространственных представлений учащихся. Систематизация результатов научно-методических исследований позволила выявить условия формирования пространственных представлений обучаемых: использование различных видов деятельности, в первую очередь деятельности по решению специально подобранных упражнений, ориентированных на развитие пространственных представлений обучаемых; взаимосвязь формирования пространственных представлений с развитием логического мышления и речи учащихся; использование рациональной системы средств наглядности. Как показала практика преподавания, учет и использование этих условий и приемов успешно способствует работе по развитию пространственных представлений обучаемых. Опытная работа по применению разработанной методики показала ее эффективность. Опытная работа доказала, что целенаправленное и рациональное внедрение в практику новой учебной наглядности - компьютерной анимации ведет к повышению уровня развития пространственных представлений учащихся.

Сделанные выводы дают основание полагать, что справедливость гипотезы исследования экспериментально подтверждена, все поставленные задачи исследования решены.

Библиографический список

1. Величковский, Б.М. Психология восприятия [Текст] / Б.М. Величковский, В.П. Зинченко, А.Р. Лурия. - М., 1973.

2. Запорожец, А.В. Избранные психологические труды [Текст] / А.В. Запорожец. - М., 1986.

3. Лурия, А.Р. Ощущения и восприятие [Текст] / А.Р. Лурия. - М., 1975.

4. Рубинштейн, С.Л. Основы общей психологии [Текст] / С.Л. Рубинштейн. - СПб.: Питер, 2002. - 720 с.

5. Арнхейм, Р. Визуальное мышление [Текст] / Р. Арнхейм // Хрестоматия по общей психологии. - М.: Изд-во МГУ, 1981.

6. Резник, Н.А. Развитие визуального мышления на уроках математики [Текст] / Н.А. Резник, М.И. Башмаков // Математика в школе. - 1981. - №1. - С. 4-7.

7. Виленкин Н.Я. Математика [текст] / Н.Я.Виленкин, А.М.Пышкало, В.Б.Рождественнская, Л.П.Лаврова - М.: Просвящение,1997.-315с.

8. Зинченко В.П. Исследование визуального мышления [текст] // Вопросы психологии. 1973. №2. с. 56-73.

9. Кабанова-Меллер Е.Н. Анализ развития пространственного мышления школьников [текст] // Советская педагогика. 1956. №4 с. 28-38.

10. Кондрушенко Ю.М. Формирование пространственных представлений в связи с развитием логического мышления учащихся при изучении начал стереометрии: Автореф. дисс. ... канд. пед. наук. - М., 1993. -16с.

11. Линькова Н.П. К вопросу о развитии пространственного мышления [текст]// Вопросы психологии способностей школьников. - М.: Просвещение, 1991. -127с.

12. Лурия А.Р. Ум мнемониста [текст]// Хрестоматия по общей психологии. Психология мышления. -Изд-во МГУ, 1981.