4.1.4. Задания на сравнение фигур чертежа

решения задачи

4.1.6. Задания на рассмотрение фигур чертежа с разных точек

зрения

4.2. Задания на оперирование геометрическими образами

Эти задания отличаются тем, что их выполнение не предполагает опору на чертеж (данный в готовом виде или сделанный учеником по условию задачи). Вся работа с исходным образом осуществляется в основном «в воображении». Эти задания вызывают наибольшие трудности у тех учащихся, которые не могут «удержать» образ (он как бы расплывается, размывается, исчезает, а не имея четкого исходного образа, нельзя им мысленно «манипулировать»).

Есть здесь и другая трудность. Ученики, создающие отчетливые исходные образы, тоже затрудняются их мысленно видоизменять. Но эти затруднения отличны от тех, при которых образ, наоборот, не сохраняется, а расплывается. По условию задачи надо образ не столько «удержать», сколько его видоизменить (преобразовать в новый), т. е. отвлечься от него, а это как раз и трудно для тех учеников, у которых возникают яркие образы. Таким образом, трудность в оперировании геометрическими образами по своему психологическому содержанию различна, что требует использования разных методических приемов (дидактических материалов) в целях ее выявления, индивидуальной коррекции.

Использование заданий на оперирование геометрическими образами должно, поэтому предваряться заданиями на их создание, поскольку механизм создания образа во многом определяет и механизм оперирования образом.

Традиционно в методике обучения геометрии чертеж считается основой такого механизма. Однако опора на него полезна не всегда и не всем ученикам. Используя его как костыли, ученики перестают работать методом «в воображении». И, кроме того, сам чертеж (в ходе решения задачи) выполняет далеко не однородную функцию. Недостаточно его иметь. Необходимо выполнять разнообразные действия по его переосмысливанию, мысленному видоизменению исходных данных, что является важным этапом на пути к переходу на оперирование образом по представлению, т.е. без зрительной опоры на чертеж.

Эти задания могут быть составлены на разном геометрическом материале (как планиметрии, так и стереометрии). Наиболее удобен для их разработки материал, излагающий знания о различных пространственных перемещениях: симметрия, параллельный перенос, повороты разных видов, гомотетия и др. Они широко используются в школьном курсе геометрии.

Эти задания характеризуются тем, что образ, уже созданный на чувственной основе (при опоре на словесное описание задачи, ее чертеж) подвергается преобразованиям, касающимся изменения только его пространственного положения.

Примеры таких заданий показывают, что при их выполнении необходимо сначала создать исходный пространственный образ, а затем мысленно его преобразовать по положению относительно исходного образа.

Пример 7: Четыре параллельные прямые пересекают параллельные плоскости в вершинах параллелограммов ABCD и A₁B₁C₁D₁ соответственно. Докажите, что параллелограммы ABCD и A₁B₁C₁D₁ совмещаются параллельным переносом (рис. 8).

Решение: Так как плоскости параллельны и прямые параллельны, то АА₁ = ВВ₁ = СС₁ = DD₁. A₁D₁DA, B₁C₁CB, A₁B₁BC, C₁D₁DC - параллелограммы (для того, чтобы четырехугольник был параллелограммом, достаточно равенства и параллельности одной пары его сторон). Тем самым выполняются свойства параллельного переноса: точки смещаются по параллельным прямым на одно и тоже расстояние; каждая прямая переходит в параллельную ей прямую. Следовательно, параллелограммы ABCD и A₁B₁C₁D₁ совмещаются параллельным переносом.

Эти задания в отличие от предыдущих (см. 4.2.1) предполагают более сложные мыслительные преобразования исходного геометрического образа, затрагивающие его структурные изменения. Следить в «уме» за этими изменениями довольно трудно. К сожалению, в практике обучения, чтобы снять эту трудность ученикам рекомендуется использовать бумажные модели, позволяющие путем реальных манипуляций с ними, найти новую структурную конфигурацию. Конечно, такой методический прием облегчает многим ученикам выполнение этих заданий. Но использовать его как обязательный, по-видимому, не следует, так как он тормозит деятельность воображения.

Такие задания могут быть составлены на разном учебном материале, важно, чтобы они включали геометрические преобразования (поворот, осевую симметрию, параллельный перенос и т.п.).

Такие задачи можно решать в уме, по словесному описанию, а можно сначала сделать исходный чертеж, а затем уже мысленно выполнять требуемые преобразования.

Пример 8: Дан ?АВС. Плоскость, параллельная прямой АВ, пересекает сторону АС этого треугольника в точке А₁, а сторону ВС - в точке В₁. Найдите длину отрезка А₁В₁, если АВ = 15 см, и АА₁:АС = 2:3 (рис. 9).

Решение: Для построения используется признак параллельности прямой и плоскости.

АВ || А₁В₁, тогда ?АВС ~ ?А₁В₁С₁.

(по свойству преобразования подобия). Найдем искомое:

. Следовательно, А₁В₁ = 5 см.

Эти задания наиболее сложные. Они предполагают неоднократные преобразования образа фигуры и по положению, и по структуре одновременно, что приводит к созданию нового геометрического образа. Подобные задания хорошо развивают пространственное мышление, подготавливают учащихся к решению целого ряда конструктивно-технических (технологических) задач, что особенно важно для обеспечения единой линии развития пространственное мышления в системе непрерывного образования (особенно технического).

К сожалению, эти задания используются на уроках очень мало, учителя их относят к заданиям повышенной трудности. С их помощью проверяется возможность ученика последовательно осуществлять мысленные преобразования образа, изменяющие его пространственное положение и структуру. Эти преобразования могут осуществляться по отношению к структуре замкнутой фигуры (ее внутреннего пространства), а могут изменять ее положение и структуру по отношению к другим фигурам (ее внешнее пространство).

Описанные задания на все три типа оперирования геометрическими образами отличаются тем, что в них и создаваемый исходный образ, и его видоизменения осуществляются в уме, без опоры на чертеж, что придает им диагностическую ценность. С помощью таких заданий можно установить, как ученик оперирует образом, что его особенно затрудняет. При этом удается оценить не только, какой образ возникает, но и как он создается и преобразуется каждым учеником. Использование этих заданий в практике экспериментального обучения показало, в частности, что при создании образа (оперировании им) ученики используют различные способы:

отображение фигуры по отдельным элементам (точкам, отрезкам) и их последующее объединение;

отображение сначала одного, целостного элемента (прямая, луч, полуплоскость) и последовательное «достраивание» в уме остальных элементов;

оперирование целостным образом фигуры и экстраполяция искомого результата.

Если тот или иной способ (его использование) носит устойчивый характер (что легко проверить при предъявлении серии заданий), можно говорить об индивидуальных проявлениях способов работы с образом и по ним судить об уровне развития пространственное мышления. Отметим, что при использовании каждого способа можно правильно решить задачу, но с точки зрения оценки пространственное мышления эти способы не равнозначны.

Для выявления тех способов создания образов, которыми фактически пользуются ученики, можно (особенно в старших классах) использовать такой прием: после того, как задача решена, предложить рассказать о том, какие действия по преобразованию образа геометрической фигуры были использованы. Ученики с удивлением узнают, что, решая одну и ту же задачу, они применяли разные способы мысленного «видения» геометрической фигуры. Такой методический прием имеет большое не только диагностическое, но и развивающее значение.

Пример 9: Докажите, что середины сторон пространственного четырехугольника являются вершинами параллелограмма (рис. 10).

Решение: Целесообразно рассматривать фигуру с разных сторон: каждые две пересекающиеся прямые задают плоскость (аксиома задания плоскости) > треугольник > параллельность и равенство противолежащих сторон параллелограмма из свойства средней линии треугольника > A₁B₁C₁D₁ - параллелограмм (по определению).

Глава 5. Дидактические материалы по теме «Параллельность в пространстве»

Эффективность учебно-воспитательного процесса во многом зависит от умения учащихся самостоятельно получать и применять знания. Проблема методики формирования умений самостоятельной работы учащихся является актуальной для каждого преподавателя математики. Преподавание геометрии дает возможность в наибольшей степени развить у учащихся умение самостоятельной работы, особенно при решении задач. У учащихся необходимо формировать различные способы создания образов и оперирования ими.

Задания на создание геометрических образов используются в трех видах:

1. создание наглядного образа;

2. изменение чертежа, заданного в готовом виде, в ходе решения задачи;

3. мысленное видоизменение чертежа (по воображению) без изменения его исходного вида.

Для того, чтобы развивать у учащихся умение самостоятельно решать геометрические задачи, необходимо иметь дидактические материалы (задачи, упражнения), в которых бы учитывались особенности создания пространственных образов и оперирование ими.

Знание учителем конкретных особенностей создания учеником геометрических образов позволяет ему успешно проводить коррекционную работу, развивать пространственное мышление ученика в нужном направлении.

Далее разработана серия дидактических задач на разновидности «создания образа» по чертежу по теме: «Параллельность в пространстве». Задачи разбиты по типам урока: изучение нового материала; применение знаний, умений и навыков; проверка знаний, умений и навыков. Серия задач содержит задания на перевод словесных данных задачи в графический образ; выделение существенных признаков геометрических понятий; вычленение фигуры из состава чертежа; сравнение фигур (преобразование подобия); рассмотрение фигур чертежа с разных точек зрения; видоизменение пространственного положения, структуры исходного образа.

Все задачи даются в словесной формулировке для того, чтобы выявить у учащихся умение создавать пространственный образ по словесному описанию, уравнивания при этом исходные условия создания образа. К каждой задаче указаны применяемые определения, признаки, свойства геометрических понятий.

Изучение темы «Параллельность в пространстве» можно разделить на 3 части:

1. параллельность прямых;

2. параллельность прямой и плоскости;

3. параллельность плоскостей.

5.1. Уроки изучения нового материала

1.01. Сделайте чертеж: Прямая MP параллельна плоскости б, а прямая МТ пересекает эту плоскость в точке Т (рис. 11).

64

1.02. Сделайте чертеж: Плоскость б пересекает три параллельные прямые a, b и c соответственно в точках А, В и С, принадлежащих одной прямой (рис. 12).

1.03. Сделайте чертеж: Плоскость б пересекает три параллельные прямые a, b и c соответственно в вершинах ?АВС (рис. 13).

64

1.04. Нарисуйте куб ABCDA₁B₁C₁D₁ (рис. 14). 1) Выделите в нем ребро ВВ₁ и назовите все ребра куба: а) параллельные ему; б) пересекающие его; в) скрещивающиеся с ним. 2) Выделите диагональ AD₁ грани ADA₁D₁ куба и назовите диагонали граней: а) параллельные AD₁; б) пересекающие ее; в) скрещивающиеся с ней. Ответ обоснуйте.

2.01. Сделайте чертеж: Плоскость б проходит через середины сторон АВ и АС треугольника АВС и не содержит вершины А (рис. 15).

2.02. Сделайте чертеж: Прямая MP параллельна плоскости б, а плоскость РМТ пересекает эту плоскость по прямой КТ (рис. 16).

64

2.03. Сделайте чертеж: Прямая а параллельна каждой из параллельных плоскостей б и в (рис. 17).

2.04. Известно, что прямая m параллельна плоскости б. Параллельна ли эта прямая любой прямой, лежащей в этой плоскости б (рис. 18)? Ответ обоснуйте.

Решение: Пусть прямая а принадлежит плоскости б. Выберем на прямой m произвольно точку М и проведем через нее и прямую а плоскость в (аксиома задания плоскости). Прямые m и а не пересекаются (по условию), тогда они либо параллельны (), либо скрещиваются (). Следовательно, прямыми, параллельными прямой m, будут только те, с помощью которых можно задать плоскость (при участии m).

64

2.06. Даны две скрещивающиеся прямые а и b (рис. 19). Через каждую точку прямой а проводится прямая, параллельная прямой b. Докажите, что все такие прямые лежат в одной плоскости. Как расположена эта плоскость по отношению к прямой b? Ответ обоснуйте.

Решение: Пусть m || b , , тогда m и а задают плоскость б. Возьмем в плоскости б прямую с || b. По признаку параллельности прямых: с || m, тогда они задают некоторую плоскость в. По условию , значит, они тоже задают плоскость, которая совпадает с б. Следовательно, все прямые, параллельные b и пересекающие а лежат в плоскости, которая в свою очередь параллельна b (по признаку параллельности прямой и плоскости).

2.07. В тетраэдре ABCD точки K, F, N и M - середины ребер соответственно AD, BD, BC и AC (рис. 20). Заполните таблицу, выбрав (обведя в кружок) определенное вами расположение указанных прямой и плоскости: А - пересекаются, Б - параллельны, В - прямая лежит в плоскости, Г - невозможно определить:

64

3.01. Сделайте чертеж: Плоскости б и в имеют общую прямую а, плоскости б и г - общую прямую b, а плоскости в и г - общую прямую с. Прямые а и b параллельны (рис. 21).

3.02. Сделайте чертеж: Плоскости б и в имеют общую прямую а, плоскости б и г - общую прямую b, а плоскости в и г параллельны (рис. 22).

64

3.03. Сделайте чертеж: Сторона ВС треугольника АВС лежит на плоскости б. Через вершину А и точку М - середину стороны АС - проведены соответственно плоскости в и г, пересекающие плоскость ?АВС по прямым АК и МТ (рис. 23).

3.04. В тетраэдре РАВС проведено сечение А₁В₁Р₁, параллельное грани АВР. Определите взаимное расположение медиан РЕ и Р₁Е₁ треугольников соответственно АВР и А₁В₁Р₁ (рис. 24).

Решение: Рассмотреть 3 случая взаимного расположения прямых в пространстве: параллельность, пересечение, скрещивание. Итог: РЕ || Р₁Е₁.

64

3.05. Постройте сечение треугольной пирамиды РАВС плоскостью, которая проходит через внутреннюю точку К основания АВС и параллельна грани РАВ (рис.25).

Решение: Плоскость сечения проходит через точку К, пересекает грани АРС, СРВ и АВС пирамиды и параллельна АРВ. Следовательно, прямые пересечения с гранями параллельны соответствующим ребрам грани АРВ. Построение следует начать с нижнего основания через известную точку К. Далее через полученные точки пересечения с ребрами АС и ВС провести параллельные прямые АР и ВР соответственно.

1. Через вершины параллелограмма ABCD, лежащего в одной из двух параллельных плоскостей, проведены параллельные прямые, пересекающие вторую плоскость в точках А₁, В₁, С₁ и D₁. Докажите, что четырехугольник А₁В₁С₁D₁ тоже параллелограмм (рис. 43).

64

Решение: АА₁ = DD₁ = СС₁ = ВВ₁ (отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны). Попарно параллельные прямые задают параллелограммы (задание плоскости через параллельные прямые), следовательно D₁А₁ || DА || СВ || С₁В₁. По определению А₁В₁С₁D₁ параллелограмм.

2. Докажите, что через любую из скрещивающихся прямых можно провести плоскость, параллельную другой прямой (модификация задачи 2.14).

3. Даны две параллельные плоскости, точка вне этих плоскостей и окружность в одной из этих плоскостей (рис. 44). Через каждую точку Х окружности и данную точку проводится прямая, пересекающая вторую плоскость в некоторой точке Х₁. Что представляет собой геометрическое место точек Х₁?

Решение: Заметим, что при данном преобразовании расстояние между точками изменяется в одно и тоже число раз (рассмотрение двух пересекающихся прямых и обобщение на множество прямых, обладающих данным свойством). Данный факт и указанный способ преобразования дает основание считать, что геометрическим местом точек Х₁ является окружность, гомотетичная данной, с коэффициентом гомотетии .

II вариант

1. Докажите, что если четыре прямые, проходящие через точку А, пересекает плоскость б в вершинах параллелограмма, то они пересекают любую плоскость, параллельную б и не проходящую через А, тоже в вершинах параллелограмма (рис. 45).

Решение: Используется метод, подобный задаче 1 I варианта. Указание: Две пересекающиеся прямые задают плоскость - параллелограмм, в котором они являются диагоналями.

2. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков АВ и ВС, параллельна прямой, проходящей через середины отрезков AD и CD (пример 9).

3. Даны две параллельные плоскости, пересекающая их прямая и окружность в одной из плоскостей (рис. 46). Через каждую точку Х окружности проводится прямая, параллельная данной прямой и пересекающая вторую плоскость в некоторой точке Х₁. Что представляет собой геометрическое место точек Х₁?

Решение: Аналогично задаче 3 I варианта, но с применением подобия фигур.

Заключение

Дидактические материалы разрабатывались в соответствии с показателями, характеризующими пространственное мышление. По своему содержанию:

§ Обеспечивали выявление не только конечного результата выполнения задания, но и процесса его достижения; при этом были довольно краткими, не требовали для своего решения больших временных затрат;

§ Составлялись на различном графическом материале и предполагали в основном оперирование формой, величиной изображаемых объектов, их пространственным положением.

Использование этого материала позволяет наиболее адекватно характеризовать пространственное мышление по интересующим показателям и вместе с тем сделать эти задания учебными по содержанию. Задания включают все основные типы оперирования, описанные в работе, и составляют определенный ряд, восходящий от простых преобразований с опорой на восприятие ко все более сложным, осуществляемым в уме, что определяло и порядок их предъявления. При этом учитывался характер графической основы, степень ее обобщенности, условности.

Приведенные в курсовой работе материалы показывают, что графические работы в стереометрии играют большую роль в формировании пространственного (образного) мышления учащихся, как компонента сложного интеллектуального образования.

В работе раскрывается содержание, структура и функции пространственного мышления, формируемого на графической основе; описываются дидактические условия составления заданий на выявление наличных возможностей учащихся в создании геометрических образов, их коррекции и развитии в нужном направлении.