Система кружковой работы по математической логике в 6 классе основной школы

В начале идет геометрический материал, при изучении которого мы возвращаемся к вопросу о размере и форме, который в 5 классе привел учеников к понятию равенства фигур. В шестом классе ученики подойдут к понятию подобия фигур, которое в свою очередь приводит к понятию масштаба, отношениям и пропорциям. От деления в заданном отношении школьники переходят к рассмотрению вопросов делимости. Признаки делимости оказываются удобной базой для введения понятия множества и основных операций с множествами. Понятие симметрии фигур применяется при введении координатной прямой. Действия с отрицательными и положительными числами - основная задача 6 класса. Знакомство с отрицательными числами позволяет с помощью переноса членов из одной части в другую решать уравнения первой степени с одним неизвестным. При решении задач ученики продолжают отрабатывать навыки арифметических действий с обыкновенными и десятичными дробями. Рассматриваются формулы длины окружности, площади круга, кругового сектора, объема шара и площади сферы. Вводится понятие географических координат, координатной плоскости, на которой, в частности, решаются различные геометрические задачи, отмечаются множества точек, координаты которых удовлетворяют тем или иным условиям. Изучаются столбчатые и круговые диаграммы.

Как и учебник пятого класса, учебник шестого класса завершает глава «Повторение», в которой на фоне кратких исторических сведений школьникам предлагаются основные типы задач, рассмотренных в курсе. 5 и 6 класса. В эту же главу включены четыре практикума по вычислениям, решению текстовых задач, по планиметрии и по развитию пространственного воображения школьников. Предполагается использование материала практикумов в течение всего учебного года.

Изучение программы по математике для общеобразовательных учреждений показало, что элементы логики в качестве объекта изучения не входят в содержание курса математики средней школы. Остается выяснить, присутствует ли в действующих школьных учебниках по математике материал, направленный на формирование логической грамотности учащихся.

В силу этого необходимо ответить на следующие вопросы.

1) Существуют ли учебники по математике, в которых рассматриваются отдельные вопросы из области логики?

2) Какова доля логических задач в отдельно взятом учебнике по отношению к общему количеству задач учебника? (При этом нас интересуют как учебники, в которых присутствуют элементы логики, так и учебники, в которых вопросы из области логики не рассматриваются).

Для получения ответов на поставленные вопросы нами был проведен анализ основных действующих учебников по математике, соответствующих различным ступеням обучения:

1) учебников по математике для 5-б классов;

2) учебников по алгебре и по геометрии для 7-9 классов;

3) учебника по алгебре и началам анализа и учебника по геометрии для 10-11 классов.

Прежде чем перейти к изложению результатов анализа основных учебников по математике, укажем, какие задачи были отнесены нами к логическим задачам.

Задачи, предлагаемые в школьных учебниках по математике, в зависимости от того, какие знания и умения нужны для их решения, условно могут быть разделены на следующие группы.

1. Задачи, для решения которых необходимо и достаточно знание материала, изучаемого в курсе математики.

В данную группу задач входят: вычислительные примеры; примеры по решению уравнений и неравенств; текстовые задачи; упражнения, связанные с темой «Функция»; геометрические задачи.

2. Задачи, для решения которых необходимо не только знание основного материала курса математики, а нужно еще проявить сообразительность и смекалку.

Например, к этой группе может быть отнесена следующая задача:

«Некто имеет 12 пинт меда и хочет отлить из этого количества половину, но у него нет сосуда вместимостью в б пинт. У него 2 сосуда: один вместимостью в 8 пинт, а другой вместимостью в 5 пинт. Каким образом налить б пинт меда в сосуд на 8 пинт? Какое наименьшее число переливаний необходимо при этом сделать?».

Видно, что для решения этой задачи нужно владеть элементарными вычислительными навыками. Однако готового алгоритма решения этой задачи нет, для получения правильного ответа необходимо проявить сообразительность.

3. Задачи, для решения которых не нужно никаких знаний из курса математики, но у школьников должны быть хорошо сформированы такие мыслительные навыки как умение рассуждать по аналогии, делать обобщения, конкретизировать и т. Д.

4. Задачи, для решения которых не требуется никаких специальных знаний из области математики, но нужны умение проводить логический анализ ситуации, умение отличать доказанное от недоказанного и умение выводить следствия из известных фактов путем логических рассуждений.

5. Задачи, для решения которых, помимо знания курса математики, также требуется обладать некоторым комплексом элементарных логических понятий и действий.

К пятой группе относятся следующие классы задач:

1. Задачи, в которых требуется определить, какие из предложенных утверждений являются верными, а какие -- нет.

2. Задачи, в которых необходимо вставить пропущенное в утверждении число, знак действия и т.п. так, чтобы получилось верное утверждение.

3. Задачи, в которых требуется построить предложения, по смыслу отрицающие данные.

4. Задачи, в которых нужно обосновать истинность или ложность утверждения.

5. Задачи, связанные с логическим действием «классификация».

Таким образом, учебники по математике для 5-6 классов авторов Г.В. Дорофеева, Л.Г. Петерсон более полно по сравнению с учебниками отвечают идеям интеграции школьного курса математики и элементов логики. Однако в вышеназванном учебнике не уделено должное внимание изучению основных логических операций (конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции) и соответственно построению отрицаний конъюнкции и дизъюнкции. Между тем, как раз умения, связанные с пониманием и правильным употреблением логических союзов, и умения строить отрицания сложных высказываний.

Итак, проведенный анализ учебной программы для средней школы и основных действующих учебников по математике привел к следующим заключениям.

1. Элементы логики не входят в программный материал по математике.

2. Большинство школьных учебников по математике не содержит теоретического материала из области логики и доля логических задач в этих учебниках весьма незначительна.

З. Среди всего многообразия учебников по математике в наибольшей степени требованию одновременного изучения курса математики и элементов логики отвечает учебник для 5-6 классов авторов Г.В. Дорофеева и Л.Г. Петерсон. Однако и в данном учебнике не рассматривается весь спектр вопросов из области логики, необходимый для успешного привития школьникам логической грамотности.

Таким образом, в практике современной школы не реализуются объективно существующие возможности для интеграции курса математики и элементов логики, и, в более широком контексте, возможности формирования и развития логических и общелогических умений школьников.

2.2 Анализ учебников алгебры 7-9 классов

Перед тем, как перейти непосредственно к рассмотрению учебников Г.К.Муравина, К.С.Муравина и О.В.Муравиной, остановимся несколько подробнее на системе упражнений.

Система упражнений сплетена из заданий, представляющих три основные группы.

К стандартным упражнениям относятся две из них. Номера заданий первой группы не имеют специальных обозначений, - эти задания определяют как бы нижнюю границу умений, которые необходимо выработать у школьников. Задания второй группы, номера которых, отмечены белым кружком, хотя и несколько сложнее, чем задания первой группы, однако, в своей массе, не требуют от учащихся особых интеллектуальных усилий, - их целью является обеспечение формирования обязательных умений. Такие задания определяют уровень умений школьников в процессе изучения темы, так как некоторое его снижение по прошествии времени неизбежно. Используя техническую терминологию можно сказать, что «напряжение на входе» всегда выше, чем на «выходе».

Основной формой работы с этими двумя группами заданий является самостоятельная работа (серии самостоятельных работ) с немедленным разбором результатов. Число заданий именно этих двух групп было увеличено при доработке.

В системе упражнений довольно большую часть составляют задания третьей группы, отмеченные черным кружком. Эти задания нестандартные, их дидактическая функция - активизация мыслительной деятельности школьников. Хотя в своей массе эти задания достаточно простые, предполагается, что перед выполнением многих из них в классе вырабатывается и обсуждается план решения. После чего они становятся посильными для большинства школьников.

Задания первых трех групп предназначены для всего класса. Однако в системе упражнений имеются и задания, адресованные только сильным учащимся. Эти задания отмечены значком «*» и их массовое выполнение или даже разбор их решений со всем классом не предполагается.

Кроме того, среди упражнений учебников встречаются специальные отмеченные черным квадратом задания, выполнение которых предполагает использование калькулятора. В учебниках рассматривается обычный калькулятор с функцией извлечения квадратного корня (объяснения в доработанном учебнике ориентированы на соответствующий калькулятор компьютерной программы Windows в отличие от действующих учебников, где рассматривался инженерный микрокалькулятор).

Перейдем теперь к рассмотрению изменений, сделанных в процессе доработки.

Учебник седьмого класса по-прежнему начинается с разговора о математическом языке, однако, лингвистические параллели языка алгебры с родным языком не акцентируются. Понятия высказывания и предложения с переменными рассматриваются теперь только на математическом материале и тесно с ним связаны.

Понятие тождества и тождественного преобразования отнесены в главу III к степеням с натуральными показателями, где сразу рассматриваются на множестве допустимых значений (в предыдущей версии учебника 7-го класса рассматривались только «абсолютные» тождества).

Сюжеты рассматриваемых текстовых задач приведены в соответствие с Практикумом по решению текстовых задач, а экзотические примеры уравнений, исключены. Кроме того проведена конъюнктурная правка данных.

Обратная пропорциональность переменных и функция y=k/x вместе с ее графиком перенесены в восьмой класс.

Сделано существенно более компактным изучение формул сокращенного умножения.

Добавлена новая глава «Вероятность и комбинаторика», в которой даются начальные представления о вероятностях событий, используется классическое определение вероятности, вводятся основные понятия комбинаторики: правило произведения, перестановки, размещения и сочетания. В восьмом классе продолжается решение вероятностных задач по классической схеме, рассматриваются в качестве дополнительного материала комбинации с повторениями и даются начальные представления о статистическом эксперименте и приближенном экспериментальном получении вероятности события. В девятом классе рассматриваются вопросы, связанные с условной вероятностью, а также вводятся основные понятия статистики.

Есть два принципиально различных подхода к изучению элементов теории вероятности и статистики.

Первый подход - от частоты события к вероятности. На большом числе различных статистических экспериментов формируется понятие о частоте события и показывается, что при увеличении числа испытаний частота изменяется весьма мало. После этого вводится понятие вероятности и рассматривается классическая схема.

Второй подход - от классического определения вероятности к частоте. Вводится интуитивно ясное понятие равновероятных событий, и через не менее ясное представление о более вероятных и менее вероятных событиях выходят на классическую схему вычисления вероятности. После этого от вероятности переходят к частоте в связи с приближенным вычислением вероятности.

Первый подход широко распространен в западной школе, в частности, во Франции и Англии. Характерно, что изучение статистики, выраженное в проведении многочисленных статистических измерений, начинается там еще в начальной школе и продолжается достаточно долго (примерно до 9-го класса). Затем школьники переходят к изучению вероятности. В результате они могут неплохо оформлять результаты в виде таблиц и диаграмм, а вот с задачами на вычисление вероятностей, особенно условных, дело у них обстоит не слишком хорошо.

При разработке этого материала для учебника 7-го класса авторы не могли рассчитывать на то, что в предшествующих классах соответствующий материал изучался. Так, в начальной школе только в учебниках Л.Петерсон уделяется внимание некоторым вопросам комбинаторики, да в учебниках 5-6 классов, в которых одним из авторов является Г.В.Дорофеев, сделана попытка поговорить о статистике. И все же, главное, что определило выбор подхода к изучению вероятности в нашем учебнике - это дефицит времени, которое приходится отрывать от изучения других тем.

Материал пунктов «Равновероятные возможности», «Вероятность» и «Вероятности вокруг нас» (пункт из учебника 8 класса, дающий первоначальные представления о статистическом эксперименте) были ранее подготовлены для учебника математики шестого класса и проверялись в практике нескольких учителей математики Московской области. Проверка показала, что материал достаточно хорошо усваивается шестиклассниками, а это позволяет надеяться на его успешное изучение в седьмом и восьмом классах.

В изучении комбинаторики сделан акцент на обучение школьников различению упорядоченных и неупорядоченных выборок и умению записывать ответ к комбинаторным и вероятностным задачам с помощью соответствующих обозначений. Сам вывод формул числа комбинаций, по мнению автора, не должен быть объектом проверки знаний школьников. Вместе с тем, преобразования выражений, содержащих факториалы, хорошо дополняют материал сокращения дробей, рассмотренный в учебнике. В восьмом классе в качестве дополнительного материала предлагаются комбинации с повторениями.

Как известно, материал комбинаторики и теории вероятностей слабо связан с традиционными алгебраической и функциональной линиями курса алгебры. Естественно поэтому было использовать возможность применения комбинаторных рассуждений при выводе формулы бинома Ньютона, с которой начинается курс восьмого класса. Треугольник Паскаля отнесен к теме «Сложение дробей», где как дополнительный материал рассмотрено обоснование правила, по которому он строится.

Существенная разгрузка курса восьмого класса осуществлена за счет темы «Квадратные уравнения». Исключены пункты «Целые и дробные корни квадратных уравнений», а также целый параграф «Целые уравнения» со схемой Горнера, рассматривавшийся в восьмом классе как дополнительный.

Как уже упоминалось, в курс восьмого класса перенесено изучение функции y=k/x, которое предваряется рассмотрением задач на прямую и обратную пропорциональность величин. В этих задачах делается акцент на возможности их арифметического решения (без составления уравнений).

Существенным аспектом доработки явилось расширение раздела «Ответы, советы и решения». Включение в него советов и решений наиболее трудных и многих нестандартных задач практически решает проблему немедленной проверки домашней самостоятельной работы (в классе проверку самостоятельных работ может организовать учитель).

Учебники ориентируют учителя на организацию контроля в форме дифференцированных зачетов, вопросы и задания которых берутся из Контрольных вопросов и заданий к пунктам и Домашних контрольных работ, что, однако, не исключает возможности традиционной организации контроля. Примерное распределение учебного времени по темам прилагается.

В заключение несколько слов об учебнике 9 класса. Если быть предельно кратким, то этот учебник можно будет использовать и как общеобразовательный, и как предпрофильный. В настоящее время понятие предпрофильного курса математики еще не получило необходимой конкретики, однако ясно, что совмещение в одном учебнике двух функций будет реализовываться за счет включения в него дополнительного материала, необязательного для рассмотрения в общеобразовательных классах. Так, например, в обязательную для всех девятиклассников часть войдут некоторые понятия статистики, и решение вероятностных задач на классическую схему, а в дополнительную - понятие условной вероятности в связи с изучением формулы суммы геометрической прогрессии. К дополнительному материалу относятся также теорема Безу и схема Горнера, которые рассматриваются в связи с разложением многочленов на множители и решением уравнений высших степеней.

2.3 Анализ существующих методик по формированию и развитию у школьников общелогических и логических умений

Как было установлено, элементы логики не входят в программный материал курса математики общеобразовательной средней школы. Кроме того, анализ школьных учебников по математике показал, что в большинстве из них доля логических задач по отношению к общему количеству задач учебника является весьма низкой. Таким образом, обще- принятая методика обучения математике не реализует объективно существующие возможности для формирования и развития у школьников логических и общелогических умений. В этой ситуации основная нагрузка по привитию учащимся средней школы логической грамотности ложится на учителей. Однако в силу объективных причин, учитель не всегда может уделить должное внимание разработке материалов, ориентированных на повышение уровня логической подготовки школьников. На основании этого можно сделать вывод о том, что для полноценного формирования и развития у школьников логических и общелогических умений, необходимо методическое обеспечение учителей математики.

Рассмотрим, какие существуют подходы и методики по организации логической подготовки школьников.

В 50-60-е гг. проблемой интеграции школьного курса математики и элементов логики занимались М.А. Артамонов, М.Е. Драбкина, К.А. Рупасов, А.д. Семушин, А.А. Столяр, А.И. Фетисов. Однако большинство исследователей в основном уделяли внимание тем логическим понятиям и средствам, которые способствуют повышению эффективности обучения самой математике.

Вопрос же о формировании «логической грамотности, как необходимой и важнейшей составной части общей культуры мышления», впервые был поставлен в начале 70-х гг. И.Л. Никольской. Именно И.Л. Никольской было уточнено понятие «логическая грамотность» и предъявлены требования к логической подготовке выпускников общеобразовательных средних школ.

В основу разработанного И.Л. Никольской подхода легли следующие положения. 1) Логическую грамотность следует начинать прививать как можно раньше. Усвоение логических понятий и действий должно происходить постепенно в течение всего периода обучения в школе. 2) Изучение логических понятий должно происходить в единстве с изучением программного материала по математике.

И.Л. Никольской были выделены вопросы из области логики, подлежащие изучению в школе: «Определения>, «Классификация», «Логические связки. Кванторы», «Логическая форма», «Логическое следование», «Равносильность», «Необходимые и достаточные условия». Предложенный материал из области логики был распределен по ступеням обучения в средней школе, и было указано, в связи с каким программным материалом по математике целесообразно изучение предложенных вопросов по логике.

Однако для введения и изучения логических понятий и действий предлагалось использовать теоретико-множественные понятия, входящие в программу по математике в 70-х гг. и исключенные из современной программы.

Кроме того, предложенный И.Л. Никольской подход носил обобщенный характер и требовал конкретизации применительно к различным ступеням обучения в общеобразовательной средней школе, создания соответствующих методик изучения элементов логики, В результате появились методики Т.А. Кондрашенковой, А.Н. Капиносова, О.В. Алексеевой. Общая характеристика перечисленных методик представлена в таблице 4.

Таблица 1

Заметим, что все три методики ориентированы на конкретную ступень обучения, а не на весь период обучения в общеобразовательной средней школе. Кроме того, предлагаемые методики направлены на формирование только общелогических умений; вопросы же, касающиеся формирования и развития логических умений, лежат вне рамок данных методических исследований.

Формированию некоторых групп логических умений, а именно умений, связанных с пониманием и правильным употреблением логических слов и словосочетаний, и умения строить отрицания утверждений, посвящено исследование В.Г. Ежковой «Методические аспекты освоения логических конструкций языка школьной математики», проведенное в конце 90-х гг. ). Работа В.Г. Ежковой является конкретизацией работ М.Е. Драбкиной, И.Л. Никольской, А.А. Столяра, которые также уделяли внимание проблеме формирования и развития языковой культуры школьников. Однако перечисленные авторы рассматривали данную проблему в рамках общей проблемы логического развития учащихся в процессе обучения математике. Цель же, которую преследовала В.Г. Ежкова, -- повышение эффективности обучения школьников математике через освоение ими логических конструкций математического языка. К основным логическим конструкциям школьного математического языка В.Г. Ежковой были отнесены назывные, описательные, сравнительные, союзные (конъюнктивные, дизъюнктивньие, импликативные), кванторные конструкции и конструкция отрицания.

Итак, методика В.Г. Ежковой является конкретизацией работ М.Е. Драбкиной, И.Л. Никольской, А.А. Столяра, однако также как и методики Т.А. Кондрашенковой, А.Н. Капиносова, О.В. Алексеевой, ориентирована на формирование лишь отдельных, а не всех групп логических и общелогических мыслительных умений.

Таким образом, существует достаточное количество разнообразных методик, направленных на формирование и развитие у школьников логических и общелогических умений. Однако все методики ориентированы на формирование и развитие у учащихся отдельных групп умений, а не всей совокупности логических и общелогических умений в целом. Кроме того, как правило, созданные методики рассчитаны на конкретную ступень обучения в общеобразовательной средней школе, а не на весь период обучения.

Заключение

Подводя итоги выполненной работы, рассмотрим, каковы результаты решения поставленных задач.

В практике средней общеобразовательной школы не реализуются объективно существующие возможности для интеграции курса математики и элементов логики.

Как показало исследование, логика в качестве самостоятельного объекта изучения вообще не входит в содержание курса математики средней школы. Кроме того, в большинстве действующих школьных учебниках по математике доля логических задач незначительна (в среднем 1,4 %). Более полно идеи интеграции школьного курса математики и элементов логики отвечает учебник по математике для 5-6 классов авторов: Г.В. Дорофеева и Л.Г. Петерсон. В названном учебнике рассматриваются отдельные вопросы из области логики, и доля логических задач соответственно выше, чем в остальных учебниках по математике, и составляет 8,1%.

В этой ситуации основная нагрузка по привитию школьникам логической грамотности ложится на учителей. В помощь учителю математики существует ряд методик по организации логической подготовки школьников. Однако, как правило, предлагаемые методики ориентированы на формирование и развитие у школьников лишь отдельных групп умений, а не всей совокупности логических и общелогических умений, и рассчитаны не на весь период обучения в школе, а на какую-то конкретную ступень.

Итак, объективно существующие возможности для формирования и развития у школьников логических и общелогических умений не нашли отражения в основных действующих учебниках по математике, а созданные частные методики не решают полностью возникшие в практике школы противоречия.

В сложившихся условиях логические знания и умения формируются у школьников стихийно, что, безусловно, сказывается на уровне их логической грамотности.

Итак, проведенные исследования позволяют сделать вывод о том, что стихийно сложившийся уровень логической грамотности учащихся общеобразовательных средних школ является низким.

В результате решения второй задачи была создана технология изучения элементов математической логики в основной школе.

Дадим общую характеристику созданной технологии.

1. Технология ориентирована на развитие у школьников всех групп логических умений, связанных с основными понятиями математической логики, и охватывает период обучения с 5 по 7 класс.

2. Элементы математической логики осваиваются школьниками в процессе изучения математики. Разработанная технология не требует ни включения математической логики в учебную программу, ни дополнительных уроков на изучение математической логики. Технология предусматривает систематическое выделение на изучение элементов математической логики фрагментов уроков математики по 5-7 минут.

3. Основу созданной технологии составляют бифункциональные задачи, т. е. задачи ориентированные одновременно как на формирование у школьников математических знаний и умений, так и на формирование логических знаний и умений.

4. Технология содержит систему бифункциональных задач для учащихся 5-9 классов, которая позволяет освоить следующие вопросы из области математической логики.

Дальнейшие перспективы работы в этом направлении могут быть рассмотрены в форме создания учебно-методических пособий по математической логике для учителей и учащихся 7-9 классов, в основе которых должны лежать бифункциональные задачи.

Список литературы

Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10--11 кл. общеобразоват. учреждений / А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.; Под ред. А.Н. Колмогорова. -- 11-е изд. -- М.: Просвещение, 2001.-- 384 с.

Алгебра: Учеб, для 7 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; Под ред. С.А. Теляковского. 10-е изд. -- М.: Просвещение, 2001. -- 224 с.

Алгебра: Учеб, для 8 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарьичев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; Под ред. С.А. Теляковского. 9-е изд. -- М.: Просвещение, 2001. -- 238 с.

Алгебра: Учеб, для 9 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; Под ред. С.А. Теляковского. -- 10-е изд. -- М.: Просвещение, 2003. -- 271 с.

Артамонов М.А. Элементы логики в курсе математики средней школы. -- Львов, 1957.

Афанасьев В.В. Теория вероятностей в вопросах и задачах: Учебное пособие. Ярославль: Изд-во ЯГПУ им. К.д. Ушинского, 2004. 250 с.

Березина Л.Ю. Графы помогают решать логические задачи II Математика в школе. 1972. 1Г 2. С. 62--65.

Беспалько В.П. Слагаемые педагогической технологии. -- М.: Педагогика, 1989. -- 190 с.

Бирюков Б.В. Как возникла и развивалась математическая логика //Вопросы философии. 1959. К 7. С. 112--121.

Болтянский В.Г. Использование логической символики при работе с определениями //Математика в школе. 1973. М 5. С. 45--50.

Варламова Т.П. Формирование логической компетентности у учащихся 5-6 классов в процессе обучения математике: Автореферат дисс.. . . канд. пед. наук -- Красноярск, 2006. --22 с.

Высокий Б.Ф. Факультативный курс по изучению понятий логики //Математика в школе. 1977. № 24. С. 48--52.

Ганелин д.Г. Использование элементов математической логики на уроках математики в IХ классе /1 Математика в школе. 1973. 1. С. 55--56.

Гетманова А.Д. Занимательная логика для школьников, Ч. 1. -- М.: Гуманит.-изд. центр «ВЛАдОС», 1998. --239 с.

Гетманова А.Д. Логика: Учебник для педагогических учебных заведений. -- б-е изд. -- М.: I4КФ Омега-Л; Высшая школа, 2002. -- 416 с.

Елифантьева с.с. Математическая логика: Учебно-методическое пособие. Ярославль: Издательство ЯГПУ им. К.д. Ушинского, 2004. 32 с.

Елифантьева С.С. Некоторые аспекты введения логики в курс средней школы II современные проблемы математики, физики и физико-математического образования: Материалы конференции «Чтения Ушинского» физико-математического факультета. Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2003. с. 102--106.

Жохов В.И., Карташева Г.Д., Крайнева Л.Б. Примерное планирование учебного материала и контрольные работы по математике, 5--11 классы. -- М.: Вербум-М, 2001. -- 208 с.

Зимняя И.А. Педагогическая психология: Учебник для студентов высш. учеб. заведений, обучающихся по пед. и психологическим направлениям и спец. -- 2-е изд., доп., испр. и перераб. -- М.: Логос, 2000. -- 383 с.

Зубков В.А. Необходимые и достаточные условия в курсе математики средней школы / В сб.: Из опыта преподавания математики в средней школе. -- М.: Просвещение, 1979. -- С. 100 -- 106.

Игошин В.И. Математическая логика в системе подготовки учителей математики. -- Саратов: Изд-во Слово, 2002. -- 240 с.

Калужнин А. А. Элементы теории множеств и математической логики в школьном курсе математики - Москва ”Просвещение“1978

Калужнин Л.А. Что такое математическая логика. М.: Наука, 1964.

Калужнин Л.А. Элементы теории множеств и математической логики в школьном курсе математики. Пособие для учителей. -- М., «Просвещение», 1978. -- 88 с.

Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г. Введение в математическую логику. М.: МГУ, 1982.

Кольман Э.Я., Зих О. Занимательная логика. -- М.: «Наука», 1966.

Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников. -- М.: Просвещение, 1968.

Кутасов А.Д. Элементы математической логики. Пособие для учащихся 9-10 кл. -- М.: Просвещение, 1977. --63 с.

Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. М.: Наука, 1984.

Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. 4-е изд. - М.: Физматлит, 2001. 256 с.

Лупанов О.Б. Асимптотические оценки сложности управляющих систем. М.: МГУ, 1984.

Лупанов О.Б. Лекции по математической логике. М.: МГУ, 1970.

Математика. б класс: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений / Г.В. дорофеев, С.Б. Суворова, И.Ф. Шарыгин, и др.; Под ред. Г.В. дорофеева, И.Ф. Шарыгина. -- 5-е изд. -- М.: Просвещение, 2000.--416с.

Математика: Учебник для 6 кл. средн. шк. / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. -- 3-е изд.-- М.: Фирма «Фарминвест» совместно «Русское слово», 1995. -- 286 с.

Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М.: Наука, 1971.

Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика. Учеб, пособие для студентов пед. ин-тов / А.Я. Блох, Б.С. Канин, Н.Г. Килина и др.; Сост. Р.С. Черкасов, А.А. Столяр. -- М.: Просвещение, 1985. --336 с.

Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. Институтов / Ю.М. Колягин, В.А. Оганесян, В.Я. Саннинский, Г.Л. Луканкин -- М.: Просвещение, 1975. -- 462 с.

Никольская И.Л. Математическая логика: Учебник. -- М.: Вьтсш. школа, 1981.--127с.

Новиков П.С. Элементы математической логики.-М.: Наука, 1959.

Перязев Н.А. Основы теории булевых функций. - М.: Физматлит, 2002. 112 с.

Успенский В.А. Верещагин Н.К., Плиско В.Е. Вводный курс математической логики 2-е изд. - М.: Физматлит, 2002. 128 с. ISBN 5-9221-0278-8.

Успенский В.А., Верещагин П.К., Плиско В.Е. Вводный курс математической логики. М.: МГУ, 1991, 2-е изд. - М.: Физматлит, 2002. 128 с.

Эдельман С.Л. Математическая логика. М., Высшая школа, 1979.

Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.: Наука, 1986.

1. Размещено на www.allbest.ru