Изучение функций и их графиков на элективном курсе по алгебре в 9 классе

3) табличный способ задания функции.

Учитель сообщает темы рефератов изучаемого курса: «История развития понятия функция», «Функции в нашей жизни», «Великие математики и их вклад в изучении функций» (3 реферата: Эйлер, Лейбниц, Бернулли), «Многочлен Лагранжа», «Построение и чтение графиков функций»,«Разрывные функции», «Графики многочленов», «Занимательные задачи о функциях, их решение», «Красавицы функции и их графики: спираль Архимеда, лемниската Бернулли, гипоциклоида, циссоида, декартов лист» и темы, предложенные самими учащимися. Написание рефератасопровождается созданием презентации (выступление с рефератом и представление презентации на последнем заключительном занятии). Для выполнения творческих заданий учащиеся разбиваются на пары.

Методические рекомендации. Необходимо ввести учащихся в тематику занятий, обозначив круг задач, которые можно будет решать с помощью графиков функций. Учащиеся должны понимать, что графики - наглядный способ решения, а графическое представление функции очень удобно для непосредственного восприятия ее особенностей, характерных свойств. Задания на написание докладов, рефератов и создание презентаций способствуют развитию навыков самообразования, удовлетворению индивидуальных интересов учащихся. Все результаты деятельности учащихся желательно фиксировать в индивидуальной карточке.

Занятие №2. Способы задания функции

Цель: рассмотреть различные способы задания функции, научить учащихся применять полученные знания при решении практических задач.

Ход занятия:

Разбор домашнего задания

Учитель спрашивает подобранные учащимися примеры функциональных зависимостей из окружающей жизни, отвечает на вопросы учащихся, выявляет затруднения, возникшие при выполнении домашнего задания.

Изучение нового материала

Учитель формулирует тему и цель данного занятия.

Учащиеся делают доклады по теме «Способы задания функции»:

· аналитический способ задания функции;

· графический способ задания функции;

· табличный способ задания функции.

Учащиеся устно отвечают у доски с использованием необходимых им наглядных средств, и делают соответствующие записи на доске, остальные делают записи в тетрадях. Учитель выслушивает доклады, делает замечания, задает дополнительные вопросы, заостряет внимание учащихся на более сложных моментах.

Закрепление полученных знаний

Учащиеся отрабатывают полученные теоретические знания на практике с помощью решения задач. Задания записаны на доске, учащиеся по очереди выходят к доске и записывают решение, остальные выполняют в тетрадях.

Задание 1. Найдите: а) область определения функций, заданных графически и аналитически; б) множество значений функций 1), 2), 3), 4).

Задайте функции:а) 1), 2), 3) аналитически; б) 5), 8) графически.

1)

2)3)4)

2)

5) ; 6) ; 7) ; 8); 9) ;10);11) ;12) [1].

Задание 2. Задает ли данная зависимость какую-нибудь функцию .

1); 2); 3); 4); 5).

Подведение итогов занятия

- Какую тему мы изучили сегодня на занятии?

- Какие способы задания функции Вы знаете?

Оцените свою работу на занятии по 5-ти бальной шкале и поставьте соответствующую оценку в карточку результатов деятельности (учитель просит учащихся поднять руки: … кто оценил свою работу на уроке на «5», «4», «3»).

Постановка домашнего задания

Найдите: а) область определения функций, заданных графически и аналитически; б) множество значений функций 3), 4), 9), 10), 11).

Задайте функции: а) 10), 11)аналитически; б)1),4)графически.

1);2);3) ;4);5); 6) ;7) ;8) [9].

9) 10) 11)

Методические рекомендации. При рассмотрении способов задания функции важно сформировать представление об однозначности соответствия аргумента и определенного по нему значения функции. Важным методическим приемом при изучении данной темы являются задания перевода функции из одной формы представления в другую [15]. На этапе закрепления знаний применяется индивидуальная форма обучения учащихся. Все результаты деятельности учащихся (выступление с докладом, ответы на вопросы по домашнему заданию, решение заданий на доске, активное участие в ходе всего занятия) фиксируются в индивидуальной карточке.

Тема 2. Преобразования графиков

Занятие №3. Перенос вдоль оси ординат

Цель: изучить преобразование графиков функций при помощи переноса вдоль оси ординат, научить учащихся строить графики функций, используя данное преобразование.

Ход занятия:

Разбор домашнего задания

Разбираются задания, вызвавшие затруднения у учащихся, в данном случае учитель может разобрать некоторые задания по своему усмотрению. Если вопросов нет, то проверяются ответы у наиболее сложных заданий.

Изучение нового материала

Графическое изображение функции дает весьма наглядное представление о поведении функции в целом. Нередко график оказывает существенную помощь при решении задачи. Поэтому важно уметь упрощать процедуру построения графиков, используя для этого различные преобразования.

Иногда график строится с помощью полного исследования функции, которое устанавливает область определения, промежутки убывания и возрастания, промежутки знакопостоянства, асимптоты и т.д. Но довольно часто при построении графиков функций можно избежать подобных исследований, используя ряд приемов, позволяющих путем некоторых преобразований получить график требуемой функции из графика какой-нибудь хорошо известной функции.

В качестве мотивирующей задачи для изучения нового материала учащимся предлагается выполнить задание: «Задан график функции (). Построить на этом же чертеже график функции ()».

Для выполнения задания учитель делит класс на группы.

В результате построений учащиеся замечают, чтобы построить график второй функции, необходимо поднять на 1(опустить на 4, поднять на 7) график первой функции.

Учитель обобщает данное свойство графиков: пусть требуется построить график функции при . Легко заметить, что ординаты этого графика для каждого значения на единиц больше соответствующих ординат графика функции . Следовательно, график функции при можно получить параллельным переносом вдоль оси ординат графика функции на единиц вверх.

Аналогично, ординаты графика функции при для всех значений на единиц меньше соответствующих ординат графика функции . Следовательно, график функции при можно получить параллельным переносом вдоль оси ординат графика функции на единиц вниз (рис. 1).

Перемещение графика вверх или вниз вдоль оси ординат на единиц эквивалентно соответствующему противоположному переносу оси абсцисс на столько же единиц, а сделать это гораздо легче. Поэтому для построения графика функции при следует построить график функции и перенести ось абсцисс на единиц вниз (рис. 2), а для построения графика функции при следует построить график функции и перенести ось абсцисс на единиц вверх (рис. 3).

Общее правило построения графика при произвольном : строим график функции и переносим его вдоль оси ординат на единиц вниз при или вверх при или строим график функции и переносим ось абсцисс на единиц вверх при b>0 или на единиц вниз при [20].

Пример 1. Построить график функции .

1) Построим сначала график функции ;

2) затем перенесем ось абсцисс на единиц вверх в системе координат x'O'y;

3) в новой системе координат хOу получим график функции (рис. 4).

Закрепление полученных знаний

Учащиеся индивидуально выполняют задания с последующей проверкой на доске.

1. Построить графики функций.

1) ;2) ;3) ;4) ;5) [2].

Учитель разбивает класс на группы (6-8 человек).

2. Для развития творческой активности учитель предлагает составить каждой группе учащихся по одному заданию (составить функцию и построить ее график) на практическое применение изученного материала. Затем группы обмениваются заданиями и решают их с последующим обсуждением.

Подведение итогов занятия

- Какое преобразование Вы использовали на занятии для построения графиков функций?

- Сформулируйте суть изученного преобразования.

Постановка домашнего задания

Построить графики функций.

1) ;2) ;3) ;4) ;5) [8].

Методические рекомендации. Для изучения нового материала целесообразно использовать индуктивный метод обучения, так как проведение таких рассуждений хорошо усваивается учащимися. Учитель может разделить класс на группы и каждой группе дать свой график функции. Все результаты деятельности учащихся (ответы на вопросы учителя по домашнему заданию, решение заданий на доске, активное участие в ходе всего занятия) фиксируются в индивидуальной карточке.

Занятие №4. Перенос вдоль оси абсцисс

Цель: изучить преобразование графиков функций при помощи переноса вдоль оси абсцисс, научить учащихся строить графики функций, используя данное преобразование.

Ход занятия:

Разбор домашнего задания

Разбор заданий под номерами 2), 5).

Учащиеся по желанию выходят к доске и строят графики функций с комментированием своих действий.

Изучение нового материала

Новый материал учитель излагает в форме лекции, по ходу изложения отвечая на возникающие вопросы. Учащиеся внимательно слушают и делают записи в тетрадях.

Пусть требуется построить график функции . Рассмотрим функцию , которая в некоторой точке принимает значение . Очевидно, что функция примет такое же значение в точке , координата которой определяется из равенства , т.е., причем такое равенство справедливо для всех значений из области определения функции.

Следовательно, график функции может быть получен параллельным переносом графика функции вдоль оси абсцисс влево на единиц при или вправо на единиц при (рис. 5).

Поскольку перемещение графика вдоль оси абсцисс на единиц эквивалентно переносу оси ординат на столько же единиц, но в противоположную сторону, то справедливо следующее правило: для построения графика функции следует построить график функции и перенести ось ординат на единиц вправо при или на единиц влево при [21].

После изложения нового материала учитель разбирает пример.

Пример 1. Построить график функции .

1) Строим график функции в системе координат xO'y';

2) переместим ось ординат на две единицы влево;

3) получаем в системе координат хОу график функции (рис. 6).

Закрепление полученных знаний

Учащиеся в парах выполняют задания, записанные на доске. После выполнения задания разбираются на доске.

1. Построить графики функций.

1) ; 2) ;3) ;4) ;5) .

Письменная работа

Учащиеся выполняют письменную работупо теме «Преобразования графиков: перенос вдоль оси ординат и оси абсцисс».

Построить графики функций. 1); 2); 3); 4); 5); 6) [9].

Подведение итогов занятия

- Какое преобразование Вы использовали на занятии для построения графиков функций?

- Сформулируйте суть изученного преобразования.

Методические рекомендации. Необходимо научить передавать графически качественные особенности функций. Результаты письменной работы фиксировать в индивидуальной карточке.

Занятие №5. Сжатие (растяжение) графика к (от) оси абсцисс

Цель: изучить преобразование графиков функций при помощи сжатия (растяжения) графика к (от) оси абсцисс, научить учащихся строить графики функций, используя данное преобразование.

Ход занятия:

Изучение нового материала

Рассмотрим функцию вида , где . Можно заметить, что при равных значениях аргумента ординаты графика этой функции будут в раз больше ординат графика функции при или в раз меньше ординат графика функции при .

Таким образом, для построения графика функции следует построить график функции и увеличить его ординаты в раз при (растянуть график от оси абсцисс с коэффициентом ) или уменьшить его ординаты в раз при (сжать график к оси абсцисс с коэффициентом ) (рис. 7).

Рассмотрим функцию . Очевидно, что при всех значениях аргумента ординаты графика функции равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку ординатам графика функции . Поэтому для построения графика функции следует построить график функции и отразить его симметрично относительно оси абсцисс (рис. 8).

Соединяя предыдущие рассуждения с последним правилом, можно строить график функции для значения любого знака [20].

После изложения теоретического материала учитель разбирает пример: выделяет шаги преобразований и строит график.

Пример. Построить график функции .

1) Строим график функции ;

2) сжимаем график к оси абсцисс с коэффициентом ;

3) отображаем график симметрично относительно оси абсцисс.

Последний полученный график есть график функции (рис. 9) [18].

Закрепление полученных знаний

Учащиеся объединяются в пары и решают задания. После выполнения задания, вызвавшие затруднения, разбираются на доске с подробным решением. Во время разбора учитель акцентирует внимание учащихся на более сложных моментах.

1. Построить графики функций.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) [18].

2. Для развития творческой активности и осознанного понимания материала учитель предлагает составить каждой паре учащихся по одному заданию (составить функцию и построить ее график) на практическое применение изученного материала. Затем некоторые из заданий, наиболее трудные, разбираются учащимися при помощи учителя.

Подведение итогов занятия

- Какое преобразование Вы использовали для построения графиков функций?

- Сформулируйте суть изученного преобразования.

-Оцените свою работу на занятии по 5-ти бальной системе и поставьте соответствующую оценку в индивидуальную карточку результатов деятельности.

Постановка домашнего задания

Повторить теоретический материал и выполнить письменно задания.

1. Построить графики функций.

1) ;2) ;3) ;4) ;5) [22].

Занятие №6. Сжатие (растяжение) графика к (от) оси ординат

Цель: изучить преобразование графиков функций при помощи сжатия (растяжения) графика к (от) оси ординат, научить учащихся строить графики функций, используя данное преобразование.

Ход занятия:

Разбор домашнего задания

Разбираются задания, вызвавшие затруднения у учащихся, в данном случае учитель может разобрать некоторые задания по своему усмотрению.

Изучение нового материала

Изложение нового материала проводится в форме лекции.

Пусть требуется построить график функции , где . Рассмотрим функцию , которая в произвольной точке принимает значение . Ясно, что функция принимает такое же значение в точке , координата которой определяется равенством или , причем это равенство справедливо для всех значений из области определения функции. Но тогда график функции оказывается сжатым к оси ординат (при ) или растянутым от (при ) оси ординат относительно графика функции .

Рассмотрим функцию . Легко заметить, что функции , и , принимают равные значения в точках, абсциссы которых равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку. Поэтому для построения графика функции нужно построить график функции и отразить его относительно оси ординат (рис. 11).

Соединяя предыдущие рассуждения этого пункта с последним правилом, можно строить график функции для любого знака [20].

Закрепление полученных знаний

Учитель рассматривает на конкретных примерах, как строятся графики функций, для которых применимы изложенные приемы.

Пример 1. Построить график функции.

Сначала приведем исходное выражение функции к более удобному виду:.

Затем проведем следующие построения:

1) график функции сдвинем вправо вдоль оси Ox на ;

2) график функции растянем от оси абсцисс с коэффициентом 4, отобразим симметрично относительно оси Ox;

3) график функции сдвинем вдоль оси Oy вниз на 2 единицы.

Последний график является искомым (рис. 12).

Пример 2. Построить график функции .

Снова начнем с преобразований:

.

Построение производится в три этапа:

1) строим график функции ;

2) переносим ось Oy влево на 1 единицу;

3) затем ось Ox переносим вниз на единицы(рис. 13).

Построить графики функций.1) ;2) [18].

Письменная работа

Учащиеся выполняют письменную работу по теме «Преобразования графиков: сжатие (растяжение) графика к (от) оси абсцисс и оси ординат».

Построить графики функций. 1) ;2) [19].

Подведение итогов занятия

- Какое преобразование Вы использовали для построения графиков функций?

- Сформулируйте суть изученного преобразования.

Методические рекомендации к 5 и 6 занятиям. Необходимо научить передавать графически качественные особенности функций. Использовать задания различных уровней сложности, давать учащимся возможность самим конструировать задания с целью формирования интереса к изучению данного курса. Все результаты деятельности учащихся (ответы на вопросы по домашнему заданию, решение заданий на доске, активное участие в ходе всего занятия) фиксировать в индивидуальной карточке.

Тема 3. Действия над функциями

Занятие №7. Сумма (разность) функций

Цель: изучить арифметические действия (сложение, вычитание) производимые с функциями, научить учащихся строить графики функций, являющиеся суммой (разностью) других функций.

Ход занятия:

Изучение нового материала

Над функциями, как и над числами, можно производить арифметические действия, т.е. определять сумму (разность), произведение и частное функций. Графики функций , , можно получить, используя правила сложения (вычитания), умножения и деления графиков функций и . Особенно эффективным этот метод бывает в том случае, когда и являются элементарными функциями. Заметим, что осуществлять арифметические действия можно над функциями, имеющими общую область определения или общую часть областей определения. При этом частное двух функций определено, если знаменатель отличен от нуля.

Суммой двух функций и называется функция с областью определения, являющейся общей частью областей определения и , при этом значения функции равны .

Ординаты графика суммы функций получаются путем сложения ординат графиков складываемых функций для каждого значения аргумента (для каждой абсциссы) из области определения суммы.

Другими словами, чтобы построить график функции , нужно построить графики функций и в одной и той же системе координат, а затем в каждой точке к отрезку, изображающему ординату первого графика, пристроить отрезок, изображающий ординату второго графика, при этом второй отрезок откладывать вверх, если , и вниз, если (рис. 14).

Аналогично определяется разность двух функций и строится ее график. При построении графика разности можно поступить иначе: построить графики функций и , затем график функции отобразить симметрично относительно оси Ох, тем самым получится график функции , и, наконец, складываются графики функций и [20].

Закрепление полученных знаний

Учитель рассматривает на конкретном примере, как производится сложение функций, и строит график полученной функции.

Пример. Построить график функции .

1) Строим графики функций и ;

2) для каждого значения (0) складываем соответствующие отрезки, изображающие ординаты.

Получаем искомый график (рис. 15).

Практические задания учащиеся выполняют индивидуально с последующим разбором на доске.

1. Сравните значения и , где , , при .

2. Построить графики функций.

1) ; 2) ; 3) ; 4) [6].

Подведение итогов занятия

- Какую тему мы изучили сегодня на занятии?

- При каком условии может осуществляться арифметическое действие (сложение или вычитание) над функциями?

Постановка домашнего задания

Повторить теоретический материал.

Построить графики функций.

1) ;2) ;3) ; 4) [9].

Занятие №8. Произведение функций

Цель: изучить арифметическое действие умножение, производимое с функциями, научить учащихся строить графики функций, являющиеся произведением других функций.

Ход занятия:

Разбор домашнего задания

Разбираются задания под номерами 2), 4).

Изучение нового материала

Новый материал учитель излагает в форме лекции

Произведением двух функций и называется функция с областью определения, являющейся общей частью областей определения и , при этом значения функции равны .

Ординаты графика произведения функций получаются путем умножения ординат графиков исходных функций соответствующих одному и тому же значению аргумента (для каждого значения аргумента из области определения произведения). Другими словами, чтобы построить график функции ,нужно построить графики функций и в одной и той же системе координат, а затем в каждой точке перемножить длины отрезков, изображающие ординаты графиков, и построить отрезок полученной длины с учетом знака произведения. Множество точек с полученными ординатами представляет график функции (рис. 16), [20].

Закрепление полученных знаний

Пример. Построить график функции .

Функция является нечетной (она представляет собой произведение четной и нечетной функций), поэтому ее график будет симметричным относительно начала координат и его достаточно построить лишь для .

Строим графики функций и и перемножаем значения ординат этих графиков. Заметим, что в точках , в которых , функция равна нулю. В точках , где , произведение равно , т. е. эти точки лежат на прямой , а в точках , где , произведение равно , т. е. эти точки лежат на прямой (рис. 17).

Решение практических задач учащимися на занятии проводится в форме игры «Математическая рыбалка».

Для проведения игры учитель делит класс на 4команды.

Оборудование: «удочки» и «рыбки» - карточки с заданиями (на них написаны функции из второго задания).

1 задание. Сравните значения функций и , где , .

Данное задание общее для всех команд. После его выполнения листы с решениями собираются и затем проверяются учителем.

2 задание. Построить графики функций.1) ; 2) ; 3);4) ;5) [22].

Представители команд по очереди «вылавливают» с помощью удочки карточку, и команды приступают к выполнению полученного задания. После выполнения задания участники команд строят графики функций на доске.

В зависимости от правильности выполнения заданий командами каждому учащемуся выставляется оценка за работу на занятии.

Подведение итогов занятия

- Какую тему мы изучили сегодня на занятии?

- Что называется произведением двух функций?

Постановка домашнего задания

1. Построить графики функций.1) ; 2) .

2. Составить две функции, являющиеся произведением других функций, построить их графики.

Занятие №9. Частное двух функций

Цель: изучить арифметическое действие деление, производимое с функциями, научить учащихся строить графики функций, являющиеся частным двух других функций.

Ход занятия:

Разбор домашнего задания

Учащиеся сдают тетради с домашним заданием на проверку учителю, за его выполнение выставляется оценка.

Изучение нового материала

Частным двух функций и называется функция , у которой область определения получается следующим образом: из общей части областей определения и нужно удалить все значения, при которых , при этом значения функции .

График функции можно получить следующим образом: представим функцию в виде , построим графики и , а затем построим график произведения . Для того чтобы построить график функции , надо построить график функции , разделить единицу на ординаты графика (с учетом знака) и получить ординаты графика . Заметим, что в тех точках, где функция имеет нули, функция не определена и, как правило, имеет вертикальные асимптоты [20].

Закрепление полученных знаний

Учитель рассматривает на конкретном примере, как производится деление функций, и строит график данной функции.

Пример. Построить график функции .

Строим график функции , а затем делим единицу на соответствующие ординаты этой функции. При этом получаем, что при приближении к точкам график функции «уходит» в в зависимости от знака , т. е. прямые являются вертикальными асимптотами (рис. 18).

Решение практических задач учащимися на занятии проводится в группах.

1. Сравните значения функций и , где , .

2. Построить график функции: .

Подведение итогов занятия

- Какую тему мы изучили сегодня на занятии?

- Что называется частным двух функций?

Постановка домашнего задания

1. Построить график функции: [20].

2. Составить две функции, являющиеся частным других функций, и построить их графики.

Методические рекомендации к 7, 8, 9 занятиям. Необходимо научить передавать графически качественные особенности функций. Введение арифметических операций с функциями производится неявно, так как они в большинстве случаев связаны с одноименными арифметическими числовыми операциями, поэтому важно сделать осознанным перенос действий из одной области в другую, рассматривая задания в которых требуется сравнить значения функций и , и , и . Все результаты деятельности учащихся фиксировать в индивидуальной карточке.

Занятие №10. Функции, содержащие операцию «взятие модуля»

Цель: познакомить учащихся с основными приемами построения графиков функций, содержащих модуль, закрепить изученный материал в ходе выполнения упражнений. Привлечь внимание к эстетической стороне данного вида деятельности. Предусмотреть возможность творчества учащихся.

Ход занятия:

Изучение нового материала

Теоретический материал учитель рассказывает с примерами, подробно разбирая их на доске.

Иногда в формулу, задающую некоторую функцию, входит знак модуля. Приведем ряд приемов, позволяющих облегчить построение графиков функций в этом случае.

1) Построение графика функции .

=

Следовательно, график функции состоит из двух графиков: - в правой полуплоскости, - в левой полуплоскости.

Исходя из этого, можно сформулировать правило.

График функции получается из графика функции следующим образом: при график сохраняется, а при график отображается симметрично относительно оси OY [23].

Учитель разбирает примеры на доске.

Пример 1. Построить график функции .

Построение.

1) Строим график функции для ;

2) достраиваем часть графика для , симметрично построенной относительно оси OY (рис. 19).

Пример 2. Построить график функции .

Построение. Заметим, что .

1) Для строим график функции . Известно, что это парабола, обращенная ветвями вверх. Ось ординат она пересекает в точке . Ось абсцисс пересекает в точках и . Вершина параболы находится в точке ;

2) достраиваем для часть графика, симметричную построенной относительно оси ординат(рис. 20).

2) Построение графика функции .

=

Отсюда вытекает алгоритм построения графика функции.

1) Строим график функции f(x);

2) часть графика , лежащая над осью OX, сохраняется, часть его, лежащая под осью OX, отображается симметрично относительно оси OX [23].

Учитель разбирает примеры на доске.

Пример 3.Построить график функции .

Построение.

1) Строим график функции ;

2) график нижней полуплоскости отображаем вверх симметрично относительно оси OX (рис. 21).

Пример 4. Построить график функции .

Построение.

1) Строим график функции . Графиком этой функции будет парабола, пересекающая оси координат в точках , , и , имеющая вершину в точке () и обращенная ветвями вверх. На участке, где y<0, чертим график пунктиром;

2) симметричной пунктирной кривой относительно оси абсцисс достраиваем линию графика данной функции [21].

3) Построение графика функции .

Чтобы построить график функции, надо сначала построить график функции при , затем при построить изображение, симметричное ему относительно оси OY, а затем на интервалах, где , построить изображение, симметричное графику относительно оси OX [23].

Учитель разбирает пример на доске.

Пример 5. Построить график функции .

Построение.

1) Строим график функции ;

2) график функции , получаем из графика функции отображением симметрично (при ) относительно оси OY;

3) график функции получаем из графика функции отображением симметрично оси OX нижней части графика(рис. 22).

Закрепление полученных знаний

Решение практических задач на занятии учащимися проводится в парах с последующей проверкой на доске.

Построить графики функций.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) [23].

Письменная работа

В письменную работу включаются задания по теме «Действия над функциями».

Построить графики функций. 1) ;2) ;3) .

Подведение итогов занятия

- С какими приемами построения графиков функций, содержащих модуль, Вы познакомились?

Постановка домашнего задания

Построить графики функций. 1); 2) ; 3); 4) ; 5) [23].

Методические рекомендации. Для построения графиков функций, содержащих знак модуля, учащимся необходимо владеть приемами построения графиков элементарных функций, а также знать и понимать определение модуля числа. Необходимо научить учащихся передавать графически качественные особенности функций. Результаты письменной работы фиксировать в индивидуальной карточке.

Занятие №11. «Кусочно-линейные» функции: , ,

Цель: изучить функции («сигнум »), («антье»), («дробная часть»), научить учащихся строить графики данных функций.

Ход занятия:

Изучение нового материала

Новый материал учитель излагает в форме лекции. Учащиеся делают записи в тетрадях.

1) Функция y = sgn x.

Название функции «сигнум» происходит от латинского signum и переводится «знак». Функцию сигнум ввел Л. Кронекер в 1878 г.

Определение:

График функции строится по определению(рис. 23).

Из определения следуют некоторые свойства функции:

область определения - множество ;

множество значений состоит из трех чисел ;

функция постоянна при и при .

Функция нечетная: [10].

2) Функция ( «антье »).

Термин «антье» происходит от французского entier - целый, обозначение ввел К. Гаусс в 1808 г.

Определение: Антье от (целая часть ) есть наибольшее целое число, не превосходящее .

Так, , , , , , .

Из определения сразу вытекают основные свойства функции «антье»:

1. область определения ;

2. множество значений ;

3. Функция является «кусочно-постоянной»: на каждом промежутке , функция принимает одно значение . Поэтому функция неубывающая, то есть для любых имеет место равенство . Поэтому же при функция отрицательна, , при .

Отметим некоторые специальные свойства изучаемой функции:

4. , если , а ;

5. если , ;

6. при любых действительных значениях выполняется система неравенств .

Указанные свойства используются при построении графика функции (рис. 24).

Отметим особенности построения и расположения графика : на каждом из промежутков , , график изображается отрезком, открытым справа (точка с координатами графику функции не принадлежит). Иными словами, в каждой точке с целочисленными абсциссами функция терпит разрыв.

График функции состоит из отрезков прямых, параллельных оси абсцисс, образующих «лесенку», длина и высота каждой «ступеньки» которой равна 1 [10].

3) Функция .

Дробную часть числа можно определить через его целую часть: . Поскольку целая часть не превосходит , то дробная часть числа всегда неотрицательна. Дробная часть целого числа равна 0.

Примеры: {}=-3; {-7}=0; {5}=0; {3}=; {-27,52}=-27,52-(-28)=0,48.

Исходя из определения, устанавливаются свойства функции :

1. область определения ;

2. множество значений ;

3. функция ограничена ;

4. для любого действительного числа и любого натурального выполняется равенство . Таким образом, исследуемая функция является периодической, ее период - любое натуральное число, наименьший период 1;

5. на каждом промежутке функция возрастает, хотя на всей области определения возрастающей не является, она немонотонная.

Вследствие периодичности функции ее график достаточно построить на промежутке , на остальных промежутках области определения график строится, используя периодичность функции (рис. 25).

График функции изобразится изолированными отрезками прямых на каждом промежутке , , области определения. Эти отрезки геометрически представляют диагонали квадрата со стороной, длина которой равна 1 (длина каждого из отрезков ). Левая крайняя точка диагонали имеет координаты , правая крайняя точка с координатами графику функции не принадлежит. На каждом из указанных промежутков области определения графиком является отрезок прямой, параллельной прямой . Следовательно, функция , имеет «разрыв» в каждой точке с целочисленными абсциссами [10].

Закрепление полученных знаний

Пример 1. Построить график функции: .

Чтобы понять, как будет выглядеть график функции , надо взять несколько значений из каждого промежутка и посмотреть, что будет происходить с функцией.

x	0	0,3	0,8	0,15
x - 1	-1	-0,7	-0,2	-0,85
y = [ x - 1]	-1	-1	-1	-1

Возьмем значения из промежутка .

Значение функции для из промежутка равно -1, т. е. график на этом промежутке будет представлять собой отрезок прямой .

Далее, рассуждая аналогично, получим график(рис. 26).

Учащиеся в парах решают задания, записанные на доске. После выполнения задания разбираются на доске.

Построить графики функций. 1) ; 2) ; 3) .

Приложения кусочно-линейных функций достаточно разнообразны. Некоторые классы текстовых задач решаются с помощью функций и .

Задачу с помощью учителя решает на доске ученик.

Пример 2. Длина полных метров в куске кабеля в 5 раз больше длины неполного метра. Какова максимально возможная длина кабеля? [10].

Решение. Обозначим длину кабеля (м). Тогда составим уравнение или . Так как , то , поэтому . Тогда . Искомая длина кабеля 4,8 (м).

Ответ:4,8 м.

Подведение итогов занятия

- Какую тему мы изучили сегодня на занятии?

- Что нового вы узнали на занятии?

Методические рекомендации. Изучение функций «сигнум », «антье от », «дробная часть » программой общеобразовательной школы не предусмотрено, эти функции изучаются лишь в классах с углубленным изучением математики. Все они являются «кусочно-линейными», то есть заданными линейно (в виде различных линейных зависимостей) на различных промежутках области определения. Изучение кусочно-линейных функций должно следовать за функцией «модуль числа». Для изучения данных функций подходит аналитико-графический путь: от определения и свойств к их графическим иллюстрациям.

Тема 4. Построение графиков функций

Занятие № 12. График сложной функции

Цель: научить учащихся применять полученные знания для построения графиков сложной функции.

Ход занятия:

Актуализация изученного ранее материала

На данном этапе занятия учащиеся вспоминают материал по теме преобразование графиков, для этого подбирается соответствующая система заданий. Актуализация знаний проводится в коллективной форме.

Систематизация изученного материала

Пусть требуется построить график функции . При этом предполагается, что построение графика функции легко выполнимо или же ее график в данной системе координат построен. Искомый график получается с помощь геометрических преобразований из графика исходной функции . Каждой паре функций, в зависимости от значений параметров соответствует определенное геометрическое преобразование [16]. Представим это соответствие в таблице.

Изучение данной темы обеспечивается знанием предыдущих тем. При заполнении таблицы проводится фронтальный опрос учащихся.

Пара функций	Название преобразования
	a>0	0<a<1	Растяжение от оси ординат в раз
		a>1	Сжатие к оси ординат в a раз
	a<0	-1<a<0 (0<<1)	Симметричное отражение от оси ординат и	Растяжение от оси ординат в раз
		a<-1 (>1)		Сжатие к оси ординат в раз
	b>0	Перенос вдоль оси абсцисс	На b единицы вправо
	b<0		На единицы влево
	c>0	0<c<1	Сжатие к оси абсцисс в раз
		c>1	растяжение от оси абсцисс в с раз
	c<0	-1<c<0 (0<<1)	Симметричное отражение от оси абсцисс и	Сжатие к оси абсцисс в раз
		c<-1 ()		Растяжение от оси абсцисс в раз
	d>0	Перенос вдоль оси ординат	На d единиц вверх
	d<0		На единиц вниз

Закрепление полученных знаний

Применяется групповая форма работы. Класс делится на 3 группы и каждая получает задание, после выполнения представитель от группы проводит подробный разбор задания на доске с построением графика функции.

Построить графики функций.

1) ; 2) ; 3) [25].

Постановка домашнего задания

Построить графики функций.

1) ; 2) ; 3) [25].

Методические рекомендации: необходимо научить передавать графически качественные особенности функций, согласовать зрительный образ графика, его геометрические свойства и формулу.

Занятие №13. Итоговая контрольная работа

Цель: оценить уровень знаний учащихся, полученных в процессе изучения данного элективного курса.

Ход занятия:

Выполнение контрольной работы

Учитель раздает учащимся листы с заданиями контрольной работы. Учащиеся выполняют контрольную индивидуально в течение всего занятия.

Итоговая контрольная работа.

1. Найдите область определения функции.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5);6) [17].

2. По данному графику функции постройте графики функций.

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) .

3. Используя кривые , путем графического сложения, вычитания и деления получите кривые:.

4.Пусть , . Получите формулы для функций.

1) ;2) ;3) .

Постройте график «сложной» функции [25].

Методические рекомендации. В контрольную работу включаются задания на применение всех теоретических знаний, полученных в ходе изучения курса.

Занятие №14. Конференция

Цель: заслушать рефераты, посмотреть представление презентаций и подвести итоги изучения данного курса, ответить на вопросы учащихся.

Ход занятия:

Защита рефератов и представление презентаций

Учащиеся выступают с подготовленными рефератами и презентациями по следующим темам (2 человека готовят 1 реферат): «История развития понятия функция»; «Функции в нашей жизни»; «Великие математики и их вклад в изучении функций» (3 реферата: Эйлер, Лейбниц, Бернулли); «Многочлен Лагранжа»; «Построение и чтение графиков функций»; «Разрывные функции»; «Графики многочленов»; «Занимательные задачи о функциях, их решение»; «Красавицы функции и их графики: спираль Архимеда, лемниската Бернулли, гипоциклоида, циссоида, декартов лист» и темы, предложенные самими учащимися.

Трое учащихся, выступивших с докладами «Способы задания функций» на втором занятии элективного курса, проводят только защиту своих презентаций.

Презентация отражает основные моменты реферата (доклада) и служит наглядным представлением его содержания. Презентация должна содержать не менее пяти слайдов.

Рассмотрим, что должна включать в себя презентация на примере темы: «Эйлер и его вклад в изучении функций».

1 Слайд: жизнеописание Л. Эйлера: основные моменты биографии математика;

2 слайд: Эйлер и образование;

3 и 4 слайд: о вкладе Эйлера в развитие математики: теория чисел, геометрия, математический анализ (вклад в изучении понятия функция);

5 слайд: основные труды Эйлера;

6 слайд: окружение Эйлера [7].

Выступления учащихся

Класс первоначально поделился на группы, и каждая группа подготовила выступление о своих впечатлениях, трудностях, возникших при изучении курса, и предложениях по его изменению.

Выступление учителя

Учитель объявляет результаты контрольной работы, подводит итоги изучения данного элективного курса, отвечает на вопросыучащихся, вызывающие определенные трудности. Аттестация учащихся проводится путем констатации личных достижений (портфолио) по освоению содержания элективного курса. В портфолио каждого из учащихся входят работы, самостоятельно выполненные учащимися, и оценки, фиксируемые на каждом занятии в индивидуальной карточке, а именно: устный ответ на занятии, письменное решение упражнений на доске при изучении новой темы, выполнение домашнего задания с последующей сдачей на проверку учителю, самооценки за работу на занятии, результаты письменных работ, оценка за реферат (у трех человек за доклад), оценка за презентацию.

С учетом содержания портфолио и оценки за контрольную работу учитель выставляет итоговую оценку по изучению данного элективного курса.

Таким образом, разработанный в данной главе элективный курс «Функции и графики», посвященный одному из центральных понятий математики - функциональной зависимости, ориентирован на систематизацию и расширение знаний учащихся, самоопределение ученика относительно профиля обучения в старшей школе. Введение понятия функция на занятиях элективного курса осуществляется индуктивным путем с использованием функциональной символики. Для формирования представления об однозначности соответствия аргумента и определенного по нему значения функции рассматриваются все способы задания функции. Изучение конкретных функций проводится аналитико-графическим путем. Для проведения занятий используются разнообразные формы и методы организации обучения.

2.2. Опытное преподавание

Опытное преподавание осуществлялось в 2007 году в 9 «б» классе МОУ с УИОП п. Демьяново Подосиновского района.

Перед тем, как проводить опытное преподавание, я изучила соответствующую математическую и методическую литературу. После чего были разработаны и проведены факультативные занятия в соответствии с темой элективного курса.

Мною было проведено два факультативных занятия по темам:

1) преобразование графиков функций (перенос графика вдоль оси ординат, оси абсцисс; сжатие (растяжение) графика к (от) оси ординат, оси абсцисс;

2) построение графиков функций, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины.

Материал факультативных занятий составлен на основе занятий № 3, №4, №5, №6, №10 разработанного элективного курса.

Цель проведенных факультативных занятий - расширить и углубить знания учащихся по данным темам; подготовка учащихся к конкурсным экзаменам по математике; предпрофильная подготовка, ориентированная на самоопределение ученика относительно профиля обучения в старшей школе; повышение уровня математической культуры.

Факультатив строится как углубленное изучение вопросов, предусмотренных программой основного курса. Углубление реализуется на базе обучения методам и приемам решения математических задач, требующих применения логической и операционной культуры, развивающих научно-теоретическое и алгоритмическое мышление учащихся.

Данные факультативы составлены для проведения 1 час в неделю в 9 классе.

Занятия проводились для учащихся всего класса. Факультативные занятия по математике проводятся каждую неделю, поэтому организовать учеников на посещение факультатива не вызвало затруднений.

Учащиеся на факультативных занятиях работали активно, многие желали решать задачи у доски. Некоторые затруднения у учащихся вызвало построение графика функции вида , но все же проверка домашнего задания показала, что материал, изученный на этих двух занятиях, был учениками усвоен. Таким образом, поставленные цели были достигнуты.

Заключение

Тема «Изучение функций и их графиков на элективном курсе по алгебре в 9 классе», рассмотренная в данной дипломной работе, актуальна, поскольку в настоящее время в нашей стране идет профилизация обучения старшей ступени общего образования. Требуется решение проблемы о нахождении оптимального содержания, объема и глубины изучения профилирующих и непрофилирующих предметов, особенностей изучения математики по каждому из профилей, разработки учебников и методических пособий по каждому из профилей. Элективный курс «Функции и графики», представленный в данной работе, посвящен одному из основных понятий математики - понятию функция, он предназначен для изучения в 9-ом классе для предпрофильной подготовки учащихся к обучению в рамках естественно-математического профиля, но его также можно частично использовать для проведения элективных курсов в рамках других профилей.

Цель, с которой проводилось исследование, достигнута: были сформулированы требования по созданию элективных курсов, разработан элективный курс «Функции и графики» для девятого класса и методические рекомендации по его проведению.

В ходе исследования были решены следующие задачи:

· изучена рекомендованная литература и проанализирован опыт разработки элективных курсов;

· разработан элективный курс по теме «Функции и графики» (9-ый класс);

· разработаны методические рекомендации по проведению данного элективного курса;

· проведено опытное преподавание с целью апробации разработанной методики (факультативные занятия по темам: 1) преобразование графиков функций: перенос графика функции вдоль оси ординат, оси абсцисс; сжатие (растяжение) графика к (от) оси ординат, оси абсцисс; 2) построение графиков функций, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины).

Проведенное опытное преподавание подтвердило гипотезу, выдвинутую в начале работы, о том, что проведение элективного курса «Функции и графики» позволяет повысить эффективность изучения функциональной линии в основной школе, если при его проведении будут учтены все методические рекомендации, а именно: использован индуктивный путь введения понятия «функция»; рассмотрены все способы задания функции, задания перевода функции из одной формы представления в другую; использовано неявное введение арифметических операций над функциями; использованы аналитико-графический путь изучения функций и функциональная символика.

Библиографический список

1. Алгебра для 9 класса: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики [Текст]/ Н. Я. Виленкин, Г. С. Сурвилло, А. С. Симонов, А. И. Кудрявцев; под ред. Н. Я. Виленкина. - 2-е изд. - М.: Просвещение, 1998. - 384 с.

2. Алгебра. 8 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений[Текст]/ А. Г. Мордкович. - М.: Мнемозина, 1998. - 237 с.

3. Бусев, В. Элективные курсы: вопросы и ответы [Текст]/ В. Бусев// Математика. - 2007. - №2. - С. 2-5.

4. Виленкин, Н. Я. Как возникло и развивалось понятие функции [Текст]/ Н. Я. Виленкин// Квант. - 1977. - №7. - С. 41-43.

5. Виленкин, Н. Я. Функции в природе и технике [Текст]/ Н. Я. Виленкин.- М.: Просвещение, 1985. - 95 с.

6. Гельфанд, И. М., Шноль, Э. З.Функции и графики [Текст]/ И. М. Гельфанд.- М.: Наука, 1973. - 120 с.

7. Дорофеева, А. О вкладе Эйлера в развитие математики [Текст]/ А. Дорофеева// Математика. - 2007. - №6.- С. 2-19.

8. Евдокимова, Н. Н. Алгебра: теория и примеры [Текст]/ Н. Н. Евдокимова.- СПб.: Издательский дом Литера, 2005. - 128 с.

9. Зеель, Э. О. Элементарные функции [Текст]/ Э. О. Зеель. - Архангельск: ПГУ, 2005. - 180 с.

10. Канин, Е. С. Начала в изучении функций. [Текст] // Первое сентября, серия Математика. - 2005. - №5. - С. 19-24.

11. Колмогоров, А. Н. Что такое график функции [Текст]/ А. Н. Колмогоров// Квант. - 1970. - №2. - С. 36-38.

12. Колмогоров, А. Н. Что такое функция? [Текст]/ А. Н. Колмогоров// Математика в школе. - 1993. - №9. - С. 27-28.

13. Крутихина, М. В. Элективные курсы [Текст]/ учебно-методические рекомендации / М. В. Крутихина, З. В. Шилова.- Киров: изд-во ВятГГУ, 2006. - 40 с.

14. Кузнецов, А. А. Профильное обучение и учебные планы старшей ступени общего образования [Текст]/А. А. Кузнецов// Стандарты и мониторинг в образовании. - 2003. - №3. - С. 13-15.

15. Кузнецова, Л. В. Методические указания к теме «Функции» [Текст]/ Л. В. Кузнецова// Математика в школе. - 2002. - №3. - С. 18-20.

16. Кузьмин, М. К. Построение графика функции [Текст]/ М. К. Кузьмин// Математика в школе. - 2003. - №5. - С. 61-62.

17. Левитас, Г. Е. Используя графики [Текст]/ Г. Е. Левитас// Квант. - 1982. - №9. - С. 9-13.

18. Перевалов, Г. Е. Задачи на график [Текст]/ Г. Е. Перевалов// Математика в школе. - 1991. - №2. - С. 23-24.

19. Петраков, И. С. Математические кружки в 8-10 кл. [Текст]/ И. С. Петраков.- М.: Просвещение, 1987.- 135 с.

20. Плетнева, О. К. Предпрофильная подготовка учащихся 9 классов по математике: общие положения, структура портфолио, программы курсов, сценарии занятий [Текст]/ О. К. Плетнева. - М., 2006. - 94 с.

21. Пушкина, Г. М. Графическая феерия: программа элективного курса для учащихся 9 кл. [Текст]/ Г. М. Пушкина.- СПб., 2005. - 118 с.

22. Райхмист, Р. Б. Графики функций [Текст]/ Р. Б. Райхмист.- М.: Высшая школа, 1991. - 153 с.

23. Студенецкая, В. Н., Сагателова, Л. С. Математика. 8-9 классы: сборник элективных курсов [Текст]/ В. Н. Студенецкая, Л. С. Сагателова. - Волгоград, 2007. - 205 с.