Решение алгебраических задач геометрическим способом

Размещено на http://www.allbest.ru/

Тема: Решение алгебраических задач геометрическим способом



Введение

Глава 1. Теоретические основы

1.1 Место данной темы в курсе математики в школе

1.2 Основные теоретические вопросы, способствующие успешному усвоению данной темы

1.2.1 Скалярное произведение векторов и его свойства

1.2.2 Равнобедренный треугольник и его свойства

1.2.3 Прямоугольный треугольник. Решения в прямоугольном треугольнике

Глава 2. Решение алгебраических задач геометрическим способом

2.1 План-конспект уроков

2.1.1 Векторно-координатный метод: доказательство неравенств и решение задач на наибольшее и наименьшее значение

2.1.2 Векторно-координатный метод: решение уравнений и систем уравнений

2.1.3 Применение треугольников при решении алгебраических задач

Заключение

Литература



Введение

При изучении математики, при подготовке к экзаменам встречается много интересных нестандартных задач, которые приятно решать. Эти задачи способствуют развитию мышления, математических способностей. В школе с этими задачами чаще всего встречаются на олимпиадах и на итоговых экзаменах. Эти задачи заставляют ученика думать нестандартно, по другому, не так как обычно. При решении ЕГЭ именно эти задачи помогают набрать более высокий балл.

Очень часто при решении задач по геометрии мы прибегаем к алгебраическим способам решения. Но достаточно редко решают арифметические задачи с помощью геометрии. В школе они редко рассматриваются, так как они занимают много времени, которое идет на подготовительную работу и на объяснение способа решения.

В данной работе будет рассмотрено не все типы задач, когда можно решить алгебраическую задачу геометрическим способом.

Объект исследования: алгебраические задачи.

Предмет исследования: геометрические методы решения.

Целью исследования является: овладеть способами решения алгебраических задач геометрическими методами.

Поставлены следующие задачи:

используя различные источники, выявить алгебраические задачи, решаемые геометрическими методами;

рассмотреть достоинства и недостатки данного метода.

Решая первую из поставленных задач, выяснилось, что таких заданий много, это привело к постановке новых задач:

классифицировать найденные примеры;

рассмотреть способы решения доказательств неравенств и решение задач на наибольшее и наименьшее значение;

рассмотреть способы решения уравнений и систем уравнений;

Рассмотреть применение треугольников при решении алгебраических задач,

Составить план-конспекты трех занятий.

Новизна данной работы заключается в подборе, составлении и решении задач по теме исследования, а теоретическая и практическая значимость работы состоит в использовании на урока, факультативах, а также для подготовки к олимпиадам и экзаменам.



Глава 1. Теоретические основы

1.1 Место данной темы в курсе математики в школе

Одним из требований к современному образованию является дифференциация обучения, оно способствует гуманизации и демократизации образования. Каждому обучающемуся предоставляется шанс развить свои способности и максимально развить способности. Такое обучение предполагает, что при овладении каким-то минимумом знаний, ученик получает право уделять внимание тем направлениям, которые в максимальной степени соответствуют его склонностям.

Этот этап характеризуется появлением новых типов школ: лицеи, гимназии, школы, ориентированные на определенный вуз, школы с углубленным изучением отдельных предметов, частные школы. И.М.Смирнова подчеркивает, что определение дифференциации стало шире, чем простое разделение учебных программ Начался период комплексного изучения дифференцированного обучения. В употребление вошли два вида дифференциации: уровневая и профильная.

Современный этап можно представить в виде схемы.



В основной школе (1-9кл.) осуществляется уровневая дифференциация: по одним и тем же программам и учебникам учащиеся достигают разных конечных целей, соответствующих их возможностям и склонностям. Заметим, что все учащиеся должны достичь установленного сверху обязательного уровня подготовки, а затем уже решать, обучаться дальше или остановиться на достигнутом.

В старшем звене средней школы индивидуализация обучения предполагает возможность получить образование в различных направлениях, по разным учебным планам и программам. Таким образом, профильная дифференциация осуществляется на базе фуркации, т.е. учебные планы старших классов средней общеобразовательной школы строятся по направлениям (гуманитарном, естественно-математическом и др.) с преимущественным вниманием к определенной группе учебных предметов.

Следует отметить, что при обучении учащихся по выбранным ими направлениям, учитывая возможности каждого подростка, предполагается обеспечить достижение каждым из них некоторого обязательного (базового) уровня знаний по тому или иному предмету.

Уровневая и профильная дифференциации сосуществуют и взаимно дополняют друг друга на всех ступенях школьного математического образования, однако, в разном удельном весе. В основной школе ведущим направлением дифференциации является уровневая, хотя она не теряет своего значения и в старших классах. На старшей ступени школы приоритет отдается разнообразным формам профильного изучения предметов. Вместе с тем дифференциация по содержанию может проявляться уже и в основной школе, где она осуществляется через систему кружковых занятий (во всех классах) и факультативных курсов (в 8-9кл.). Эти формы предназначены для школьников, проявляющих повышенный интерес к математике, имеющих желание и возможность работать больше отводимого расписанием времени.

Факультативные занятия как компонент дифференциации обучения актуальны как в 8-9 классах, так и в старшей школе, давая учащимся возможность расширить и углубить свои знания в интересующей их области.

С моей точки зрения, решение алгебраических задач геометрическим способом целесообразно рассматривать на факультативных занятиях; занятиях подготовки к итоговому экзамену; с учащимися, которые стремятся изучить математику более подробно. Для успешного решения таких задач, учащиеся должны понимать каждый этап решения, а для этого у них должен быть большой багаж знаний. На занятиях вне урочной деятельности будет больше возможностей подробно остановится на всех нюансах и тонкостях данных способов решения алгебраических задач.



1.2 Основные теоретические вопросы, способствующие успешному усвоению данной темы

В данный параграф помещены основные теоретические знания, необходимые для успешного усвоения тех способов решения, которые рассмотрены в данной работе. Здесь приведен краткий материал по следующим вопросам: скалярное произведение векторов, теоремы синусов, косинусов, Пифагора, формулы площади геометрических фигур, основные свойства равнобедренного треугольника, признаки равенства и подобия треугольников.

1.2.1 Скалярное произведение векторов и его свойства

Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

Свойства скалярного произведения:

1 - симметричность.

2. Обозначается и называется скалярный квадрат.

3 Если , то

4 Если и и , то . Верно и обратное утверждение.



1.2.2 Равнобедренный треугольник и его свойства

Треугольник называется равнобедренным , если у него две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, а третья сторона - основанием.

Свойства равнобедренного треугольника

Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Теорема 2. Свойство медианы равнобедренного треугольника.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Теорема 3. Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

Теорема 4. Если в треугольнике медиана является и высотой, то такой треугольник равнобедренный.

Признаки равенства треугольников

Теорема 5. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема 6. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема 7. Третий признак равенства треугольников. Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Признаки подобия треугольников

Теорема 8. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Теорема 9. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Теорема 10. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.



1.2.3 Прямоугольный треугольник. Решения в прямоугольном треугольнике

Определение. Прямоугольным треугольником, называется треугольник у которого один из углов прямой (составляет 90 градусов). Две стороны которые прилежат к прямому углу, называются катетами, а сторона лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой. Определение.

Синус (sin(a)) -- это отношение противолежащего катета к гипотенузе;

Косинус (cos(a)) - это отношение прилежащего катета к гипотенузе;

Тангенс (tg(a)) -- это отношение противолежащего катета к прилежащему катету; Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу;

tg(a) =

Котангенс (ctg(a)) -- это отношение прилежащего катета к противолежащему.

Другое (равносильное) определение: котангенсом острого угла называется отношение косинуса угла к его синусу;

ctg(a)=

Теорема 8. (Пифагора) В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Теорема 9. (Косинусов) Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Теорема 10. (Синусов) Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов и равны удвоенному радиусу.



Где a, b, c -- стороны треугольника,

б, в, г -- противолежащие углы (соответственно),

R -- радиус описанной окружности.

Формулы площади треугольника

Формула площади треугольника по стороне и высоте

Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты

Формула площади треугольника по трем сторонам

Формула Герона S=

Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними



Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности

алгебраический задача геометрический урок

S =

Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.

S = p * r

где S - площадь треугольника,

a, b, c - длины сторон треугольника,

h - высота треугольника,

г - угол между сторонами a и b,

r -радиус вписанной окружности, R - радиус описанной окружности,

p = - полупериметр треугольника.



Глава 2. Решение алгебраических задач геометрическим способом

2.1 План-конспект уроков

2.1.1 Векторно-координатный метод: доказательство неравенств и решение задач на наибольшее и наименьшее значение

Цели занятия: познакомить с применением векторно-координатного метода к доказательству неравенств и решению задач на наибольшее и наименьшее значение; тренировать учащихся в решении задач по данной теме.

В начале занятия необходимо повторить теоретические знания: определение векторов, их свойства и действия над ними, понятия координат вектора, длины (модуля) вектора, расстояния и угла между векторами, понятие скалярного произведения векторов. Векторно-координатный метод базируется на этих понятиях. Рассказать, что геометрия и алгебра часто соединяются и взаимодействуют через этот метод. Он часто используется в алгебре для доказательства некоторых видов неравенств, решения уравнений и их систем, для нахождения наибольших и наименьших значений функции на промежутке и т.д. При этом часто решения существенно упрощаются по сравнению с решениями, выполненными традиционными методами.

Как известно, скалярным произведением двух ненулевых векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними

.

Т.к. , то (1)

(2)



Неравенство (1) называется векторным неравенством Коши-Буняковского, а неравенство (2) - его следствием. Заметим, что равенство достигается:

а) в неравенстве (1), если векторы и коллинеарные;

б) в неравенстве (2), если векторы и сонаправленые.

Запишем указанные выше формулы через координаты векторов, заданных в 3-хмерном пространстве (заметим, что аналогичные формулы имеют место, как известно, и для векторов, заданных на плоскости).

Если даны векторы и , то

и ,

Неравенства (1) и (2) можно записать в виде:

(3)

(4)

Из неравенств (1) и (2) в том случае, когда имеет место равенство, следует где ? 0, что равносильно системе:

(5)

Что должно натолкнуть на мысль, что надо использовать рассматриваемый метод?

Известно, что модуль вектора вычисляется по формуле



.

Но это равенство можно читать в обратном порядке: , откуда следует, что всякое выражение вида имеет ясный геометрический смысл; если говорить о векторах - это модуль некоторого вектора. Аналогичное соображение: скалярное произведение двух векторов и вычисляется по формуле

.

Прочитав это равенство справа налево, получим . Отсюда ясно, что выражение вида можно считать скалярным произведением векторов и .

Рассмотрим задачи, где векторно-координатный метод дает хорошие результаты.

1. Доказательство неравенств.

Встречаются неравенства, которые трудно доказать традиционными методами. Применение данного метода позволяет значительно облегчить и ускорить их решение. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Доказать неравенство ? .

Решение:

рассмотрим векторы .

Тогда Данное неравенство свелось к векторному: , которое хорошо известно. Кроме того, сразу ясно, когда достигается знак равенства: при сонаправленности векторов и .

Пример 2. Доказать, что для произвольных чисел справедливо неравенство:

(6)

Решение

Введем векторы: и . Получаем :

=,

Отсюда на основании (2) следует требуемое неравенство.

Пример 3. Доказать, что если - неотрицательные числа, то имеет место неравенство ? .

Решение

Введем векторы и .Тогда .

На основании (2) имеем

Замечание. “Стандартный метод” - от противного: предположим противное, что существует набор неотрицательных значений , для которого исходное неравенство неверно, т.е. выполняется неравенство< . Т.к. обе части этого неравенства неотрицательны, то при возведении их в квадрат получим: , откуда , и далее < . Но это противоречит неравенству Коши (среднее арифметическое больше среднего геометрического). Значит, наше предположение неверно, а потому справедливо исходное неравенство.

Пример 4. Доказать истинность неравенства

.

Доказательство

Рассмотрим векторы . Получим: , - левая часть исходного неравенства. Согласно неравенству (4), имеем

=. (7)

Пусть теперь . Тогда = , скалярное произведение . Применим формулу (4) к правой части неравенства (7): =.

Пример 5. Доказать, что неравенство выполняется при всех значениях, при которых определена его левая часть.

Доказательство. Рассмотрим векторы . Из формулы (4) следует, что

=

Пример 6. Доказать, что неравенство

выполняется при всех значениях , при которых определена его левая часть.

Доказательство. Найдем числовой промежуток, на котором определена левая часть неравенства. Решив систему

?

?

,

получаем, что ?.

Рассмотрим векторы . Из соотношения (4) следует, что =.

Заметим, что самое невероятное соотношение может стать верным неравенством или даже тождеством на достаточно узкой области его определения. Например, равенство , вообще говоря, неверно. Но стоит сузить область его определения и рассмотреть не все множество действительный чисел, а только одно подмножество, как это равенство становится верным. То же самое произошло и с заданным неравенством. Оно выполняется на весьма специфической области, в которую, например, не входит ни одно натуральное число, а целое встречается лишь единожды - это число 0.

Для того, чтобы расширить область применения метода скалярного произведения, можно привлечь так называемые условные неравенства, когда переменные, кроме того соотношения, которое требуется доказать, связаны дополнительным условием.

Покажем применение векторного неравенства Коши-Буняковского к доказательству условных неравенств.

Пример 7. Доказать, что если ? 2 , то ? 2.

Решение. Введем векторы: и . Тогда . На основании (1) , т.е.. Учитывая условие ? 2, имеем .

Пример 8. Доказать, что если,то

Доказательство

Обозначим координаты соответствующих векторов следующим образом . Согласно формуле (4) имеем:

=

= =.

Пример 10. Доказать, что если > 0, > 0, то для любых справедливо неравенство .

Решение. 1 способ (“стандартный”). По условию задачи обе части этого неравенства положительны, поэтому оно равносильно следующему:

?

.

Перенося все члены этого неравенства в правую часть, приведя в нем подобные члены и перегруппировав, запишем его в равносильной форме: () + () + () ? 0.

Поскольку каждое выражение в скобках полный квадрат, то последнее неравенство очевидно, а, следовательно, справедливо равносильное ему исходное неравенство.

2 способ (векторно-координатный метод). Введем векторы .

Тогда и скалярное произведение этих векторов . Согласно (2) , т.е. получаем неравенство .

2. Задачи на нахождение наибольших и наименьших значений функции.

Покажем применение неравенства Коши-Буняковского при отыскании наибольших и наименьших значений функции.

Пример 11. Найти наибольшее значение функции

Решение

Эта функция определена для -7 ? ? 11.

Рассмотрим векторы: .

Тогда .

На основании (2) имеем .

Отсюда следует, что . [-7,11]

Это наибольшее значение достигается, если векторы коллинеарны, т.е. ? 1, ? 1. При этом , т.е. , откуда . Итак, Ymax= .

Пример 12. Найдем наибольшее значение выражения.

Пусть . Тогда данное выражение является скалярным произведением векторов . Согласно известному неравенству о скалярном произведении .

Но . Поэтому искомое наибольшее значение выражения равно 13. Достигается оно при условии равенства: , а оно имеет место в случае сонаправленности векторов , т.е. когда имеет место пропорция . Отсюда , т.е.. Отсюда, ??. Аналогично можно найти и наименьшее значение данного выражения.

В общем случае выражение из таких же соображений заключается в границы ??. Выражение есть не что иное, как скалярное произведение векторов .

Пример 13. Найти наибольшее значение функции

.

Решение

Эта функция определена при всех ??. Введем векторы:



Тогда

На основании (2) имеем

что реализуется при коллинеарности векторов , т.е.

? 1,

? 1,

при этом:

,, , ,откуда =±, где ??.

Пример 14. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

.

Решение

Рассмотрим векторы

.

Согласно неравенству

=.

Следовательно, ?7.

Пример 15. Найти наибольшее значение функции

.

Решение

Функцию представим в виде . Рассмотрим векторы: Эти векторы сонаправлены, если (согласно соотношениям (5) ). Отсюда находим, что и . Окончательно получаем , т.е. max =при .

2.1.2 Векторно-координатный метод: решение уравнений и систем уравнений

Цели: показать возможность использования векторно-координатного метода при решении уравнений и систем уравнений; выработать навык решения задач данным методом.

1. Решение уравнений.

Пример 1. Решить уравнение

.

Решение. Перепишем данное уравнение в виде

Рассмотрим векторы: Длины этих векторов соответственно равны Их скалярное произведение: В соответствии с неравенством имеем:? > , т.е. >. Отсюда следует, что равенство не выполняется, т.е. исходное уравнение не имеет корней. Ответ: уравнение не имеет корней.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение

Преобразуем подкоренное выражение левой части уравнения:

=

Тогда данное уравнение примет вид

Область определения уравнения: ?0.

Введем векторы и найдем:

Из этих равенств следует, что исходное уравнение можно переписать в виде Это равенство выполняется только в том случае, когда векторы сонаправлены. Тогда их координаты пропорциональны, т.е. при можно записать:. Отсюда. Кроме того, при левая и правая части исходного уравнения равны, т.е.- корень уравнения. Итак, найдены два корня исходного уравненияДругих корней нет, т.к. исходное уравнение сводится к квадратному.

Пример 3. Решить уравнение .

Решение

Рассмотрим векторы Тогда данное уравнение можно записать в виде Оно выполняется только в том случае, когда координаты векторов пропорциональны. Т.к. не является корнем уравнения, условие пропорциональности удобно записать в виде . Отсюда , или , т.е. и , откуда = 1 и = (проверкой убеждаемся, что значение не подходит).

Пример 4. Решить уравнение .

Решение. Введем векторы, тогда

= и , так что . Координаты сонаправленных векторов пропорциональны, т.е. , , откуда , ??.

2. Решение систем уравнений векторно-координатным методом.

Пример 5. Решить систему уравнений

(1)

(2)

Решение

На первый взгляд может показаться, что система имеет бесконечное множество решений (три переменных и два уравнения). Однако такое мнение ошибочно. Как будет показано, система имеет единственное решение.

Рассмотрим векторы: . Тогда, учитывая (1):

(3)

Т.к. , то:



(4)

Из (3) и (4) получаем , т.е. имеет место равенство в соотношении Следовательно, векторы сонаправлены, т.е. их координаты пропорциональны .Поэтому=, а с учетом (1) имеем, что ==.Ответ:

Объясним теперь геометрически, почему система (1)-(2) имеет единственное решение. Уравнение (1) - уравнение плоскости, пересекающей оси координат в точках : (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1). Уравнение (2) - уравнение сферы с центром в начале координат и радиусом.

Если рассматривать сферы, радиусы которых r < , то такие сферы не будут пересекаться с плоскостью (1). В этом случае система (1)-(2) не будет иметь решений.

При r= (что имеем в уравнении (2)) сфера будет касаться плоскости (1) - у сферы и плоскости будет одна общая точка, координаты которой будут решением данной системы.

При r> сфера будет пересекать плоскость по некоторой окружности, координаты точек которой будут решениями соответствующей системы. В этом случае система имеет бесконечное множество решений.

Пример 6. Решить систему уравнений

(5)

(6)



Решение. Эта система, аналогично предыдущей, на первый взгляд кажется неопределенной, но, в отличие от предыдущей, она не имеет решений. Положим . Тогда очевидно, что (учитывая уравнение (5)), . Из (6) следует, что . Получается , что невозможно. Следовательно, система (5)-(6) решений не имеет.

Объясним геометрически, почему система (5)-(6) не имеет решений.

Введем новые переменные, положив , , . Тогда система (5)-(6) примет вид:

(5')

(6')

Рассуждениями, аналогичными приведенным в объяснении к решению системы (1)-(2), приходим к выводу, что сфера (5') и плоскость (6') не имеют общих точек и потому система (5')-(6'), а значит, и система (5)-(6) не имеют решений. Действительно, начало координат в системе Ouvw удалено от плоскости (6') на расстояние >1. Поэтому сфера (5') радиуса 1 не имеет общих точек с плоскостью (6'), а система (5)-(6) не имеет решений.

Рассмотрим системы трех уравнений с тремя переменными.

Пример 7. Решите систему уравнений

.

Решение. Так как не является решением системы, то, разделив обе части первого уравнения системы на , получим систему, равносильную данной:

.

Рассмотрим векторы:.Тогда .Таким образом, , что означает коллинеарность векторов и, значит, пропорциональность их координат : =: =:,

откуда и .Из второго уравнения исходной системы получим: , , =± и, следовательно, = ±, =±.

Установим, какие из значений являются решениями уравнения. Проверкой убеждаемся, что только две тройки являются решениями данной системы.

Пример 8. Решите систему уравнений

Решение

Рассмотрим векторы . Тогда и, значит, . Тогда имеем =, откуда =. Из первого уравнения системы получим: . Следовательно, , z =1 .Тройка чисел (1,1,1) является решением третьего уравнения системы и, следовательно, решением системы. Итак, (1;1;1) - решение исходной системы.

Подводя итоги, можно дать общую схему решения уравнения или системы уравнений с помощью векторов.

1. Введение векторов и .

2. Вычисление модулей векторов и их скалярного произведения.

3. Проверка возможности представления исходного уравнения ( или одного из уравнений системы) в виде соотношения или

4. Если это выполняется, то координаты векторов пропорциональны, что дает возможность найти решение исходного уравнения или системы уравнений.

Проверка и запись ответа.

2.1.3 Применение треугольников при решении алгебраических задач

Цель: показать возможность решения различных задач с помощью треугольников. Для решения данных задач используются теоремы Пифагора, синусов, косинусов и различные свойства треугольников.

Задача №1.

Найти значение выражения: .

Решение: Пусть =arctg, ч. - острый угол.

- угол, тангенс которого равен .

Построим треугольник со сторонами 2 и 3. (рис. 1)



Рис. 1

По теореме Пифагора:

ВС=

Следовательно,

cos=

2

Ответ: 6

Задача 2.

Является ли рациональным число ? [4,c.61]

Решение: Поскольку arctg=CAD , arcctg5=BAD, а ВАС - острый в прямоугольном равнобедренном треугольнике АВС, то arctg + arctg5= - иррациональное число. Ответ: не является.

Для решения следующей задачи использовались: понятие косинуса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника, теорема Пифагора и свойство биссектрисы треугольника, благодаря чему, задача решается почти мгновенно. Задача 3.

Вычислите ().

Решение: На рисунке изображен АВС, в котором АСВ=90, ВС=5, АВ=13 и ВМ - биссектриса АВС. Следовательно, МС=5х, АМ=13х, АС=12, откуда . Тогда (). Ответ: .

Задача 4.

Что больше или ?

Решение: Рассмотрим равнобедренный АВС, где АВ=ВС=41, ВМАС, ВМ=40, СNAВ. (по теореме Пифагора). Видно, что . Воспользовавшись подобием прямоугольных треугольников ANC и АМВ по двум углам, найдем СN. Значит, . Ответ: .

Задача 5.

Решить систему уравнений:

Решение:

По теореме обратной теореме Пифагора, из уравнения х² + у² =3² , числа х и у являются катетами АBD ( D - прямой) с гипотенузой АВ = 3. Рассматривая второе уравнение у² + z² = 16, построим BDC, где у и z - катеты, а ВС = 4 - гипотенуза. Третье уравнение y² = xz подсказывает, что число у есть среднее пропорциональное чисел х и z.

По теореме обратной теореме о пропорциональных отрезках <АВС = 90⁰ АС = ( х + z ) = = 5, тогда

AB² = AD * AC, 9 = х * 5, х =9/5

BC² = DC * AC, 16 = z * 5, z = 16/5

BD² = y² = x * z = 9/5 * 16/5 и BD =12/5 = y.



Однако, такой прием дает потерю корней, легко убедиться, что х = ± 9/5; у = ± 12/5; z = ± 16/5.

Для данной системы задания могут быть и другие. Например, чему равно значение выражения ху + уz ; х + у + z; х + у; х + z;

Пример 6.

Решить уравнение sin3x + 2cos3x = 2

Решение: Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами

ВС = 1 и АС = 2 . Тогда АВ = = 3. Пусть<А= ц, где ц - острый угол.

Тогда cos ц=2/3 и sin ц=1/3.

Имеем

sin3x+cos3x = , cos3xcos ц + sin3x sin ц=

сos(3x- ц)= .

Решая уравнение получим: х=1/3arcsin1/3±1/3arccos2/3+2рn/3, nєZ

Ответ: х=1/3arcsin1/3±1/3arccos2/3+2рn/3, nєZ

Пример 7.

Найдите значение выражения tg(arcsin)

Решение:

По определению арксинуса имеем: - arc , причём если x 0, то 0 arcsin x . Построим прямоугольный треугольник АВС с углом А, который равен arcsin. При этом, по теореме Пифагора, прилежащий катет будет равен . Поэтому tg(arcsin) = = и tg(arcsin) = * = 2.



Заключение

При решении задач нестандартными способами развивается мышление, оно становится более гибкое. Происходит тренировка мозга. Она помогает лучшей усвояемости учебного материала.

Геометрический метод решения задач идет от наглядных представлений. «Выявленная и доказанная психологами и физиологами функциональная асимметрия головного мозга заставляет нас также несколько иначе взглянуть на значение геометрии в развитии человека. Оказывается, левое полушарие нашего мозга ведает логическим, алгоритмическим мышлением… Правое полушарие «отвечает» за чувственную, образную сферу нашего сознания… Некоторые из известных методик обучения математике чрезмерно перегружают левое полушарие мозга.»

Таким образом, внедрение геометрических интерпретаций и доказательств в алгебре и арифметике способствует гармонизации работы полушарий мозга. В любом случае, решения типа «смотри» развивают не меньше, чем преобразования многочленов.

Практически в каждом разделе алгебры существуют задания, геометрическое решение которых намного рациональнее, чем традиционное.

При рассмотрении алгебраических задач, которые можно решить геометрическим способом, выяснили, что геометрическая иллюстрация облегчает анализ задачи, составление решения, помогает увидеть несколько способов решения.

В процессе решения задач, выявили алгоритм решения :

построение геометрической модели (перевод с языка алгебры на язык геометрии);

решение геометрической задачи;

перевод ответа с геометрического языка на естественный язык или язык алгебры.

В результате исследования сделаны следующие выводы:

Чертеж помогает расширить задачу - поставить и решить общие вопросы, глубже проникнуть в существо задачи, оценить реальность результата и промежуточных действий;

Чтобы решить алгебраическую задачу геометрическим методом необходимо иметь навык и «видение» геометрической интерпретации задачи;

Во многих разделах алгебры существуют классы задач, решаемых геометрическими методами;

Чтобы решить задачу геометрическими методами необходимо иметь мощную базу знаний по геометрии, т.к. в решении используются: метод площадей, векторная геометрия, свойства геометрических фигур, геометрические неравенства и т.п.



Библиографический список

Агаханов Н. Х., Богданов И. И., Кожевников П. А., Подлипский О. К., Терешин Д. А. Математика. Областные олимпиады. 8 - 11 классы. - М.: Просвещение, 2010. - 239 с.

Генкин Г. З. Геометрические решения алгебраических задач// Математика в школе. -2001. - №7. - с.61-66.

Атанасян Л.С. Геометрия. 7 - 9 классы. /Атанасян Л.С. и др. 20-е изд. - М.: Просвещение, 2010. - 384 с.

Колесникова С.И. Математика. Решение сложных задач единого государственного экзамена - 2-е изд., испр.- М.: Айрис-пресс, 2006. - 272с. - (Домашний репетитор: Подготовка к ЕГЭ)

Литвинова С. А., Куликова Л. В. За страницами учебника математики. - М.: Глобус, Волгоград: Панорама, 2008. - 176 с.

Островский А.И., Кордемский Б.А. Геометрия помогает арифметике./ Островский А.И., Кордемский Б.А. М.:ФИЗМАТГИЗ, 1960

Смирнова, И.М. Профильная модель обучения математике //Математика в школе.-- 1997. -- № 1. -- C. 32-34.

Федяков В.Е. Некоторые приемы рационализации решений математических задач. /Учебное пособие. - Йошкар-Ола: Марийский государственный педагогический институт, 2002 - с.68./ Островский А.И., Кордемский Б.А. М.:ФИЗМАТГИЗ, 1960.

Шарыгин И. Ф., Голубев В. И. Факультативный курс по математике: Решение задач.: Учебное пособие для 11 кл. сред. шк. - М. Просвещение, 1991. - 384 с.

Шарыгин И.Ф. 2200 задач по геометрии для школьников и поступающих в вузы. М.,1999.

Шарыгин И.Ф. Нужна ли школе XXI века Геометрия?» // Математика в школе, №4, 2004. - с.72-78.

Размещено на Allbest.ru