При построении модели треугольного числа дети первое, что делали это, выделяли форму числа, а также предлагали обозначить сторону х. Это говорит о том, что дети могут переносить известные им элементы моделирования:

*обозначать неизвестное количество буквой, где буква - это любое число (говорят именно букву х, потому что видимо именно с ней работают на уроках математики; не отрицают, что можно обозначить любой другой буквой);

*обозначать пунктиром наличие гномонов находящихся между первым и последним.

С выполнением действий с моделями многие дети успешно справились, и когда во второй группе ученик на доске неправильно прибавил числа, его сразу поправили.

При исследовании полученного числа дети сразу увидели, что его стороны отличаются на единицу. На вопрос “Какое получилось число?” отвечали “гетеромекное”. В полученной, путем суммы двух треугольных чисел, модели гетеромекного числа наглядно было видно, какое это число.

После доказательства дети смогли сформулировать теорему, при этом, не забывая уточнять “любое треугольное число”.

Когда было предложено доказать еще одно утверждение стало ясно, что дети усвоили способ доказательства “нужно построить модель, доказать на моделях, сформулировать теорему”. При доказательстве второй теоремы сразу определили, модели каких чисел нужно строить, и что у модели последующего треугольного числа стороны будут равны х+1, т.к. он больше предыдущего на один гномон. Можно сказать, что у детей, получается, выстраивать способ работы с фигурными числами в “общем случае”.

На занятии дети получили представление о понятии теорема (как об утверждении справедливом для любого числа), построили модели фигурных чисел, выполнили действия с моделями, смогли доказать, что данные утверждения являются теоремами.

Дети смогли убедиться в том, что доказательства утверждений с помощью пифагорейских фигурных чисел являются наглядными, их можно увидеть собственными глазами.

3.1.5 Выводы

По итогам проведенных проверочных занятий можно сделать вывод о том, что дети на факультативном курсе “Пифагорейское учение о числе и величине”, способны моделировать в новых для них ситуациях. Могут строить модели не только чисел, которые представлены как отношение величин, но и чисел представленных через эйдос (объект моделирования и модель существенно отличаются).

За счет факультативного курса “Пифагорейское учение о числе и величине” дети учатся выстраивать способ работы с фигурными числами в “общем случае”.

3.2 Связь между двумя представлениями числа

3.2.1 Постановка задачи

В начальной школе по программе развивающего обучения ученики овладевают понятием числа как отношением величины к мерке. При этом отмечается то, что дети не всегда различают представление числа (способ записи) и понимание числа (когда одна и та же физическая величина может быть соотнесена с самыми разными конкретными числами). В мышлении школьников постоянно прорываются невозможность рассматривать число только как средство измерения величин, сравнение индивидуально-неповторимых предметов по абстрактно выделенным параметрам. [9]

Факультативный курс “Пифагорейское учение о числе и величине” дает совсем другое представление числа, а именно фигурное представление числа. Как отмечалось выше, пифагорейское представление числа существенно отличается от представления числа в РО (и визуально и словесно). Возникло предположение о том, что данный факультативный курс позволяет исследовать, как дети соотносят числа представленные по-разному, а именно пифагорейские числа с числами, которые представлены как кратное отношение величин.

Для исследования данного предположения были разработаны задачи на перенос способа. Решение данных задач предполагало использование пифагорейских чисел, при этом условия задач с ними никак не связаны.

Если дети при решении задач будут использовать фигурные числа, то значит, они соотносят пифагорейские числа - числа представленные через эйдос с числами, которые представлены как кратное отношение величин. Появилась гипотеза о том, что за счет факультативного курса “Пифагорейское учение о числе и величине” дети научаются использовать фигурные числа как способ решения задач, в том числе в тех задачах, где явно не сказано о каком представлении числа идет речь.

Были проведены проверочные занятия факультатива, где детям предлагалось решить данные задачи.

3.2.2 Замысел проверочного занятия

Цель занятия.

Проверить насколько дети соотносят пифагорейские числа, т.е. числа которые представлены фигурно с числами, которые представлены как кратное отношение величин.

Задачи занятия.

Предъявить задачу условия, которой не связаны с пифагорейскими числами, но при решении, которой нужно использовать фигурные числа.

Решением предлагаемой задачи является нахождение арифметической прогрессией с разностью равной единице. В третьем классе дети еще не проходят арифметическую прогрессию. Но представление числа в виде эйдоса позволяет находить различные числовые закономерности без предварительных знаний, они являются очевидными.

Моделью решения данной задачи является формула треугольного числа, т.к. общее выражение (формула), для п-го треугольного числа, (которое является суммой п натуральных чисел 1+2+3+…+п=п*(п+1)), есть не что иное, как арифметическая прогрессия, разность которой d равна 1 (для k-угольного числа d=k-2).

Задание.

Решить задачу: Один маклер продает 10 акций в день. В первый день работал один продавец акций, каждый последующий день прибавлялось по одному рабочему. Сколько акций будет продано за 12 дней?

Ход занятия:

Предполагалось, что при решении задачи дети не могут пользоваться формулами арифметической прогрессии, т.к. такую тему в третьем классе не проходят.

1) Дети могут посчитать: 10+10*2+10*3+…+10*12=780.

Тогда можно изменить условия задачи, например “Сколько акций будет продано не за 12, а за 100 дней”.

2) Могут построить схему решения на отрезках (рис. 3.15.) и обобщить ее (рис. 3.16).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

3) Могут использовать для решения пифагорейские числа.

1. Вспомнить, что у треугольных чисел в каждом последующем гномоне прибавляется по одной единице (так же как и в задаче, каждый день прибавляется по одному рабочему).

2. Найти общее выражение (формулу), для п-го треугольного числа (п*(п+1)).

а) вспомнить, что сумма двух треугольных чисел равна гетеромекному числу;

б) найти общее выражение (формулу), для п-го гетеромекного числа (п*(п+1));

в) найти общее выражение (формулу), для п-го треугольного числа.

3.2.3 Описание проведенного проверочного занятия

Задание.

Решить задачу: Один рабочий продает 10 акций в день. В первый день работал один продавец акций, каждый последующий день прибавлялось по одному рабочему. Сколько акций будет продано за 12 дней?

Ход занятия.

Задача была записана на доске. Детям предложили записать в тетрадях задачу с доски и решить ее.

Решение задачи.

1) Некоторые дети сразу сказали, что будет ответ - 120 акции. Остальные дети не согласились с таким ответом и объяснили и почему (“ответ будет правильным, если все 12 дней будет продавать один рабочий, но по условию задачи каждый следующий день прибавляется по одному рабочему”).

Некоторое время посвятили пониманию условия задачи. Дети разбирались, с тем, что будет происходить в каждый день продажи. Обратили главное внимание на то, что каждый день будет прибавляться по одному рабочему, т.е. каждый день будет продаваться на 10 акций больше предыдущего дня.

2) Один ученик сказал, что ответ будет 780 акций. На вопрос как он это получил, сказал, что посчитал.

10+10*2+10*3+…+10*12=780

Тогда ему было предложено решить задачу, в которой нужно узнать, сколько акций будет продано не за 12 дней, а, например за 100 дней.

Ученицей (Настей К.) было предложено такое решение (рис. 3.17.)



Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Уч.: Настя, а если нужно узнать, сколько акций будет продано не за 12 дней, а, например за 100 дней, ты будешь рисовать дальше? Боюсь, что тебе не хватит доски.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

3) Одна ученица сказала, что на зимней школе им показывали следующее решение (рис. 3.18.):

1 пара: 1+12=13;

2 пара: 2+11=13;

3 пара: 3+10=13;

Д.: Всего 6 пар. Получается 13*6=78, а так как один рабочий продает 10 акций в день, то нужно 78*10=780.

Уч.: Как будет выглядеть решение, если будет не 12, а намного больше?

Вспомнили, как раньше обозначали числа в подобных выражениях.

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12

а а

Уч.: Тогда как будет выглядеть их сумма?

Д.:

Уч.: А как будет выглядеть сумма, например, для 100?

Под диктовку детей было записано

4) Далее дети попытались решить задачу, используя пифагорейские числа. Сначала вспоминали, какие бывают числа (четные, нечетные, треугольные, квадратные, гетеромекные и т.д.).

Один ученик произнес о том, что у треугольных чисел в каждом последующем гномоне прибавляется по одной единице, также как в задаче прибавляется по одному рабочему. (“Треугольное число состоит из монады - единицы, затем первого гномона, где две единицы, второго гномона, где три единицы и т.д.”)

На доске нарисовали треугольное число (рис. 3.19.).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Уточнили, что у треугольного числа стороны одинаковые. В данном случае будут равны 12.

Д.: Чтобы решить задачу нужно найти количество единиц в получившемся треугольном числе. Найти, чему равна площадь треугольника со стороной равной 12.

Один ученик сказал, что площадь треугольника равна половине площади квадрата со стороной равной стороне треугольника. Он попытался построить квадратное число со сторонами равными 12.

Вспомнили о том, что раньше доказывали утверждение “Сумма двух треугольных чисел равна гетеромекному числу”. Сделали вывод: если к данному треугольному числу прибавить такое же число, получится гетеромекное число, а не квадратное.

Ученик, который стоял у доски (строил квадратное число) предложил такое решение (рис. 3.20.):

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Многим детям было непонятно зачем нужно еще прибавлять . Тогда ученик попробовал обосновать свое решение.

Д.: Если данное треугольное число достроить до квадратного числа, то получится, что 12-й гномон, который является главной диагональю получившегося квадрата, будет общим для двух треугольных чисел. Следовательно, чтобы получить треугольное число нужно прибавить еще половину диагонали.

Урок закончился. Сделали вывод о том, что различное представление числа позволяет находить разные способы решения одной задачи.

3.2.4 Анализ проведенного проверочного занятия

Главная цель проверочного занятия состояла в том, чтобы проверить насколько, дети соотносят пифагорейские числа, т.е. числа которые представлены фигурно с числами, которые представлены как кратное отношение величин.

Задание подразумевало решение задачи с использованием фигурных чисел, при этом условия задачи с ними никак не связаны.

При решении несколько учеников невнимательно отнеслись к условиям задачи. Поэтому некоторое время посвятили пониманию условий задачи. (Разбирались, с тем, что будет происходить в каждый день продажи.)

Как и предполагалось, один ученик получил ответ, посчитав все дни:

10+10*2+10*3+…+10*12=780

Тогда ему было предложено решить задачу, в которой нужно узнать, сколько акций будет продано не за 12 дней, а, например за 100 дней. То есть ученику предложили обобщить решение.

Попытались построить схему решения на отрезках, но не обобщили ее.

Было интересно, когда одна ученица показала способ решения, который освоила в зимней школе и смогла применить для данной задачи.

С помощью учителя дети вспомнили, как раньше обозначали числа в подобных выражениях, и вывели формулу вычисления суммы для 12 чисел, а затем для 100.

Далее решали задачу, используя пифагорейские числа. Вспоминая, какие бывают фигурные числа, детям удалось заметить, что у треугольных чисел в каждом последующем гномоне прибавляется по одной единице, так же как и в задаче, каждый день прибавляется по одному рабочему.

Дети предположили, что для решения задачи нужно найти количество единиц в треугольном числе со сторонами равными 12.

Один ученик сказал, что площадь треугольника равна половине площади квадрата со стороной равной стороне треугольника. Он попытался построить квадратное число со сторонами равными 12.

Вспомнили о том, что раньше доказывали утверждение “Сумма двух треугольных чисел равна гетеромекному числу”. Сделали вывод о том, что если к данному треугольному числу прибавить такое же число, получится гетеромекное число, а не квадратное.

Было неожиданным, когда ученик получил решение, в котором данное треугольное число достроил до квадратного числа. По замыслу предполагалось, более очевидное решение. Дети, зная, что “Сумма двух треугольных чисел равна гетеромекному числу” найдут общее выражение (формулу), для п-го гетеромекного числа (п*(п+1)), а затем общее выражение, для п-го треугольного числа

(п*(п+1))

Говоря об активности учеников на проведенном занятии, следует уточнить, что данная задача для них была новым материалом. В связи с этим на уроке работала в основном “группа лидеров” из 6-8 человек. На сколько освоен новый материал другими учениками (?15 человек), остается неясным.

Нужно отметить, что подобное решение похожей задачи описано в книге Вертгеймера М.

Задача: “Вдоль стены холла строится лестница, в которой 19 ступенек. Со стороны холла лестница будет облицована квадратными резными панелями с размерами, равными размерам ступенек. Сколько панелей нужно купить?”

Вертгеймер задавал эту задачу многим испытуемым, включая детей разного возраста, желая узнать, будет ли найдено правильное решение и какие средства, какие условия могут помочь найти его.

Одна из групп испытуемых обнаружила способ определения искомой суммы через определение площади треугольника с помощью дополнения его прямоугольника.

Поняв закон возрастания ряда, испытуемые рассматривали задачу определения суммы следующим образом: если скомбинировать эту лестницу с другой, перевернутой лестницей, то они окажутся подогнанными друг к другу и составят правильную фигуру без всякого нарушения (рис. 3.21.), искомая сумма тогда будет равна половине произведения основания на высоту n(n+1).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

3.2.5 Выводы

Эксперимент показал, что дети могут связывать разные представления числа для решения одной задачи. Детей не смутило то, что, решая задачу, они используют числа представленные через эйдос, хотя условия задачи с ними никак не связаны.

Можно сделать вывод: дети понимают, что пифагорейские числа отличаются от чисел, с которыми они работают на уроках, только своим представлением.

Подводя итог по проведенному проверочному занятию можно сказать, о том, что гипотеза подтвердилась - дети при решении предложенной им задачи использовали фигурные числа как способ (представление числа в виде эйдоса ими было переведено в способ).

Заключение

Проводимая работа была направлена на построение диагностики предметных и образовательных эффектов факультативного курса “Пифагорейское учение о числе и величине”.

В процессе работы было выдвинуто несколько предположений, для подтверждения, которых были разработаны специальные задания.

Одно из предположений состоит в том, что факультативный курс “Пифагорейское учение о числе и величине” предоставляет детям новые ситуации для моделирования, учит выстраивать способ работы с фигурными числами в “общем случае”. Были разработаны задания, которые позволили проверить, действительно ли дети моделируют на новом материале. Проведенные проверочные занятия показали о том, что дети могут строить модели не только чисел, которые представлены как кратное отношение величин, но и чисел представленных через эйдос (объект моделирования и модель существенно отличаются). Дети способны выстраивать способ работы с фигурными числами в “общем случае”.

Следующее предположение заключается в том, что данный факультативный курс “Пифагорейское учение о числе и величине” позволяет исследовать, как дети соотносят числа представленные по-разному, а именно пифагорейские числа с числами, которые представлены как кратное отношение величин. Были разработаны и предложены для решения задания (задачи на перенос способа). Данные задания подразумевали решение задач с использованием фигурных чисел, при этом условия задач с ними никак не связаны. Проведенный эксперимент показал, что дети могут связывать разные представления числа для решения одной задачи. Представление числа в виде эйдоса детьми было переведено в способ.

Можно сделать вывод, что дети используют фигурные числа как способ решения задач, в том числе в тех задачах, где явно не сказано о каком представлении числа идет речь. Они понимают, что пифагорейские числа отличаются от чисел, с которыми они работают на уроках, только другим представлением.

Выдвинутая гипотеза получила подтверждение: за счет факультативного курса “Пифагорейское учение о числе и величине” дети научаются:1) выстраивать способ работы с фигурными числами в “общем случае”; 2) использовать фигурные числа как способ решения задач, в том числе в тех задачах, где явно не сказано о каком представлении числа идет речь.

Диагностика предметных и образовательных эффектов факультативного курса “Пифагорейское учение о числе и величине” была построена, цель дипломной работы достигнута.

Литература

1. Вертгеймер М. Продуктивное мышление. - М.: Прогресс, 1987.

2. Возрастные возможности усвоения знаний (младшие классы школы). Под редакцией Д.Б. Эльконина и В.В. Давыдова, - М.: Просвещение, 1966.

3. Волошинов А.В. Пифагор: Союз истины, добра и красоты. - М.: Просвещение, 1993.

4. Гальперин П. Я. и Георгиев Л. С., К вопросу о формировании начальных математических понятий. // Сообщения и доклады АПН РСФСР - 1960 - № 1, 3, 4, 5, 6.

5. Давыдов В. В. Анализ строения счета как предпосылка построения программы по арифметике. // Вопросы психологии учебной деятельности младших школьников. - М.: АПН РСФСР, 1962.

6. Давыдов В. В. Проблемы развивающего обучения. - М.: Педагогика, 1986.

7. Давыдов В.В. Теория развивающего обучения. - М.: ИНТОР, 1996.

8. Диоген Лаэртский. О жизни, учениях и изречениях знаменитых философов. - М.: Мысль, 1986.

9. Жмудь Л.Я. Пифагор и его школа. - Л.: Наука, 1990.

10. История математики с древнейших времен до начала нового времени. Т1. - М.: Наука, 1970.

11. Колмогоров А. Н. Предисловие к кн.: Лебег А. Об измерении величин. - М.: Учпедгиз, 1960, с. 9-10.

12. Кольман Э. История математики в древности. - М.: Физматгиз, 1961.

13. Курганов С. Ю. Ребенок и взрослый в учебном диалоге. - М.: Просвещение, 1989.

14. Платон. Собрание сочинений в 4 т. Т 1. - М.: Мысль, 1990.

15. Пчелко А. С. Методика преподавания арифметики в начальной школе. - М.: Учпедгиз, 1953.

16. Пчелко А. С. и Поляк Г. Б. Арифметика. Учебник для I класса начальной школы. - М.: Учпедгиз, 1963.

17. Фрагменты ранних греческих философов. Ч.1. - М.: Наука, 1989.

18. Щетников А.И. Пифагорейское учение о числе и величине. - Новосибирск: Изд-во Новосиб. Ун-та, 1997.

19. Щетников А.И. Арифметика по Пифагору. - М.: Открытый мир, 1995.

Размещено на Allbest.ru