Логика высказываний

ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ

Важнейшей функцией логики является установление того, что из чего следует, а значит установление того, какие формулы являются теоремами, а какие нет. Это достигается с помощью аксиоматического метода. При аксиоматическом построении исчисления высказываний выбирают некоторое, небольшое количество формул, которые включают в систему без доказательства. Это аксиомы системы. Остальные формулы могут быть присоединены к системе только тогда, когда они следуют из аксиом или являются определениями. Существует много эквивалентных систем исчисления высказываний, различающихся аксиомами и исходными терминами. Здесь мы опишем систему Д. Гильберта и В. Аккермана. В исчислении высказываний определение формулы такое же, как и в алгебре высказываний.

В качестве аксиом принимаются следующие четыре высказывания:

р qр

р р q

р q q р

(р q) ( r р r q)

В этой системе принимаются три определения:

Д1 ? ? ?? >?

df

______

Д2 ? ? ???

df

Д3 (? ? ?) ? (? >?) (? >?)

df

Здесь символ «» означает равносильные по определению.

Для получения новых формул, как из положенных в основу исходных формул, так и из уже выведенных формул, принимаются два правила:

?) Правило подстановки.

Вместо переменного высказывания можно везде, где эта буква встречается, подставить одну и ту же формулу исчисления высказывания.

?) Схема заключения.

Из двух формул ? и ? > ? получаем новую формулу ?.

Из сформулированных правил и аксиом можно вывести новые правила вывода формул.

ПРАВИЛО I. Если ? ? - доказуемая формула, то доказуема также формула ?.

Доказательство: Подставим в ?) формулу ?. Получим ? ?> ?. Поскольку ? ? доказуемая формула, то, по правилу ?) доказуема и формула ?.

ПРАВИЛО II. Если ? - доказуемая формула, а ? - любая другая формула, то формула ? ? является также доказуемой.

Доказательство: Подставим в в) вместо р формулу ?, а вместо q - формулу ?. Получаем ? ? ?. Схема заключения дает ? ?.

ПРАВИЛО III. Если ? ? - доказуемая формула, то доказуема и формула ? ?.

Доказательство: Получаем из с) заменой р на ?, q на ? и применяем схемы заключения.

ПРАВИЛО IV. Если ?> ? доказуемая формула, то формула ??> ? ? также доказуема.

Доказательство : Получаем из ?) заменой р на ?, q на ?, r на ? и применяем схемы заключения.

Из аксиом, принятых и выведенных правил можно выводить новые формулы и правила.

Докажем, например, формулу:

(p>q)>((r>p)>(r>q))

Доказательство: Заменим в d) r наr. Получаем (p>q)> ((rp)>(rq)), но по Д1 эта формула есть иная запись доказываемой формулы.

Доказательство: Подставим в формулу вместо р формулу ?, вместо q формулу ?, вместо r формулу ?. Получаем: (? > ? )>(( ?> ?)>( ?> ?)) .

Применяя два раза схему заключения, получаем: ?> ?.

Легко доказать, что в предложенной аксиоматической системе выводимы формулы алгебры высказываний. Докажем например, что формула рp выводима.

Доказательство: Подставляем в в) вместо q переменную р , получаем формулу р> рp. Из а) той же подстановкой получаем рp> р. По правилу У выводим формулу p> р. По Д1 эта формула представляет собой иную запись формулырp.

Аналогичным образом можно доказать остальные формулы алгебры высказываний.

Предложенное аксиоматическое исчисление высказываний удовлетворяет всем требованиям аксиоматического метода: система аксиом этого исчисления высказываний полна, независима и противоречива. Доказательство этого факта читатель может найти в любом учебнике по математической логике.

Система исчисления высказываний может быть построена методом допущений. Этот метод ближе к обычным содержательно очевидным представлениям в том отношении, что доказательства в системах, построенных этим методом, почти не отличаются от математических доказательств и от рассуждений в других науках. Здесь оно излагается по книге Е. Слупецкого, Л. Борковского «Элементы математической логики и теории множеств».

В натуральном исчислении высказываний принимается определение формулы алгебры высказываний и следующие правила:

Правило отделения (обозначает ПО):

ПО ?> ?

;

Читается эта схема так: «Если в доказательстве имеются уже формула ?> ? и формула ? независимо от порядка, в каком эти формулы входят в доказательство, то к доказательству можно присоединить в качестве строки и формулу ?».

Правило введения конъюнкции

ВК ?

;

Способ чтения этой схемы аналогичен.

Правило удаления конъюнкции:

УК ,

Правило УК можно записать в виде одной схемы:

УК

?

Правило введения дизъюнкции:

ВД ,

Правило удаления дизъюнкции:

УД ? ? ? ?

,

Правило введения эквивалентности:

ВЭ ?> ?

6)Правило удаления эквивалентности:

УЭ ,

Прямое доказательство выражения ?₁ >(?₂>( ?₃> …(?_п-1 >?_п)…) строится следующим образом:

1. В первых n-1 строках выписываются последовательно выражения ?₁, ?₂,… ?_п-1 в качестве условий теоремы.

2. К доказательству можно присоединить:

ранее доказанные теоремы в качестве новых строк;

новые строки на основании уже имеющихся строк по правилам ПО, ВК, УК, ВД, УД, ВЭ, УЭ.

Доказательство закончено, если его последняя строка есть выражение ?_п. Последняя строка доказательства не нумеруется; тем самым отмечается, что доказательство закончено.

Косвенное доказательство выражения ?₁ >(?₂>( ?₃> …(?_п-1 >?_п)…) строится следующим образом:

а) В первых n-1 строках выписываются последовательно выражения ?₁, ?₂,… ?_п-1 в качестве условий теоремы.

В n-ой строке выписывается выражение?_п в качестве допущения косвенного доказательства.

К доказательству можно присоединить:

ранее доказанные теоремы в качестве новых строк;

новые строки на основании уже имеющихся строк по правилам ПО, ВК, УК, ВД, УД, ВЭ, УЭ.

Доказательство закончено, если в нем имеются две противоречащие строки. Окончание доказательства отмечается написанием в последней ненумерованной строке выражения «ПРТВРЧ» (сокращение слова «противоречие») с указанием справа номеров двух противоречащих строк.

Продемонстрируем приемы доказательства на ряде примеров. Их мы будем нумеровать с указанием слева Т_і ( теорема номер і )

Т₁ (Закон гипотетического силлогизма)

(p>q)>(( q > r)>( p> r))

Доказательство:

p>q

q > r Допущения

р

q ПО : 1,3

r ПО : 2,4

Т₂ (Закон контрапозиции)

(p>q)>( q >р) (30)

p>q Допущения

q

p Допущения косвенного доказательства

q ПО : 1,3

ПРТВРч 2,4

Т₃ (Второй закон гипотетического силлогизма)

(p>q)( q > r)>( p> r)

Доказательство:

p>q

q > r Допущения

р

q ПО : 1,3

r ПО : 2,4

Т₄ ( Закон экспортации)

(pq > r) >(р>(q > r)) (32)

Доказательство:

pq > r

р Допущения

q

pq ВК : 2,3

r ПО : 2,4

Т₅

(p>q)( р > r) >(p>q r) (32 )

Доказательство:

(p>q)( р > r) Допущения

р

p>q УК : 1 q r

р > r

q ПО : 2,3

r ПО : 2,4

q r ВК : 5,6

Докажем теперь аксиомы a), b), c), d):

pq>р

Доказательство:

1) pq Допущения

р УД : 1

р> pq

Доказательство:

1) p Допущения

рq ВД : 1

pq> qр

Доказательство:

1) pq Допущения

2) qр Допущения к.д.

ПРТВВРч 1, 2

(р> q) > (rр> rq)

Доказательство:

р> q Допущения

rр

р УД : 2

q ПО : 1, 3

rq ВД : 4

С помощью таблиц истинности можно убедиться, что ПО исключают случаи, когда его применения к истинным посылкам дает ложные результаты.

По определению импликации ?> ? ? есть следствие ? во всех случаях, кроме такого, когда посылка ? истинна, а заключение ? ложно. Так, что для доказательства того, что ПО позволяет делать из посылок следствия достаточно доказать, что импликация, антицидент которой является конъюнкция посылок, консеквент - вывод, полученный с помощью этого правила, является всегда истинной формулой.

Для ПО составляем формулу:

(?> ?) ?> ?.

И с помощью таблицы истинности убеждаемся, что эта формула тождественно истинна

?	?	?> ?	(?> ?) ?	(?> ?) ?> ?
0	0	1	0	1
0	1	1	1	1
1	0	0	0	1
1	1	1	1	1

Для ВК : ?? >? ?.

Таблица истинности имеет вид

?	?	??	?? >? ?
0	0	0	1
0	1	0	1
1	0	0	1
1	1	1	1

С помощью таблиц истинности можно убедиться, что и остальные правила натурального исчисления высказываний исключают случаи, когда результат их применение к истинным посылкам был бы ложным. С другой стороны, поскольку конъюнкция посылок ложна, когда хотя бы одна из посылок ложна, то по определению импликации из конъюнкции этих посылок следует любое высказывание как истинное, так и ложное. Следовательно, ложные посылки лишены смысла. Так, что и с формальной, и с содержательной точки зрения правила построения доказательств, по видимому, не должны вызывать сильных возражений.

Литература

1. Логическое суждение. Руфулаев О.Н. К. - 2005 г.

2. Логика - исскуство мышления. Тимирязев А.К.- К. 2000 г.

3. Философия и жизнь - журнал- К. 2004 г.

4. История логики и мышления - Касинов В.И. 1999.

5. Логика и человек - М. 2000.

6. Философия жизни. Матюшенко В.М. - Москва - 2003 г.

7. Философия бытия. Марикова А.В. - К. 2000 г.