Продольные акустические волны в жидких и газообразных средах

Размещено на http://www.allbest.ru/

Продольные акустические волны в жидких и газообразных средах

1. Основные величины

Остановимся сначала на физических величинах, характеризующих звуковое поле в газах и жидкостях. Наличие областей сжатия и разрежения среды приводит к тому, что давление и плотность в каждой точке будут меняться согласно волновому процессу. Переменные давление и плотность среды представим в виде.

где - постоянные равновесные давления и плотность (в отсутствии волны);

- мгновенные давление и плотность, которые в моменты сжатия среды больше , в моменты разряжения меньше ;

- переменные давление и плотность самой акустической волны

()

В звуковом диапазоне на частоте

(ухо человека весьма чувствительно к этой частоте)

амплитуда акустического давления на пороге слышимости уха (слабый звук)

.

На той же частоте на пороге болевого ощущения (сильный звук) амплитуда акустического давления Па. В системах связи и вещания имеют дело с акустическим давлением, амплитуда которого, по крайней мере, в тысячу раз меньше, чем нормальное атмосферное давление.

Так как давление неодинаково в соседних точках среды, то ее частицы стремятся сместиться в сторону минимального давления, и возникает колебательное движение частиц около своего положения равновесия. Колебательную скорость частиц представим в виде:

,

где - смещение колеблющейся частицы относительно положения равновесия.

Колебательная скорость частиц значительно меньше скорости распространения акустической волны. На частоте равной

при амплитуде акустического давления (порог

болевого ощущения) амплитуда колебательной скорости , а смещение . Отношение скорости частиц к скорости волны называется акустическим числом Маха.

где - скорость акустической волны.

Акустическое число Маха всегда меньше единицы. При скорости звука в воздухе при температуре 18 C и колебательной скорости имеем , то есть малая величина даже при таком сильном звуке.

Три величины - акустические давление и плотность, колебательная скорость (гидродинамические параметры), изменяясь во времени и в пространстве, определяют волновой процесс в упругих жидких и газообразных средах.

2. Основные уравнения

Рассмотренные выше величины входят в волновые уравнения, которые являются следствием уравнений гидродинамики, последние рассмотрим в краткой форме. Среда безгранична и идеальна, т.е. без учета потерь, связанных с вязкостью и теплопроводностью среды. Уравнение движения сплошной среды (уравнение Эйлера):

(1)

Уравнение непрерывности (закон сохранения массы вещества):

(2)

Запишем эти уравнения для звуковых волн малой амплитуды, представив переменное давление и плотность в виде:

 (3)

Изменения давления и плотности в звуковой волне малы (, ). Подставляя (3) в исходные уравнения (1) и (2) и пренебрегая величинами второго порядка малости относительно , получим линеаризованные уравнения гидродинамики для акустических величин:

Уравнение движения сплошной среды (уравнение Эйлера):

(4)

Уравнение непрерывности (закон сохранения массы вещества):

(5)

Последнее уравнение, которое замыкает систему уравнений гидродинамики есть уравнение состояния. Малые возмущения давления и плотности в акустической волне связаны соотношением

(6)

Уравнение (6) в линейной форме (для малых деформаций) есть уравнение упругости Гука при всестороннем сжатии

 (7)

где - модуль объемной упругости.

Подставим выражение из (6) в уравнение непрерывности (5), получим

(8)

Так как колебательная скорость мала, то в большом числе случаев вихревое движение отсутствует и . По этой причине колебательная скорость может быть представлена в виде градиента скалярного потенциала

(9)

Подставляем (9) в уравнение движения среды (4)

,

найдем выражение, связывающее акустическое давление и скалярный потенциал

(10)

Колебательную скорость (9) и звуковое давление (10) подставляем в уравнение (8) и получаем волновое уравнение для скалярного потенциала

(11)

где - фазовая скорость акустической волны

(12)

С учетом выражения (7) получаем формулу для расчета скорости продольной акустической волны

(13)

Это выражение остается справедливым и для расчета скорости продольной волны в твердой среде. При температуре t=0 C в воздухе Па,

кг/м³, С=331,2 м/с; в воде Па, кг/м³, С=1500 м/с;

в сапфире Па, кг/м³, С=11,1 км/с. Можно использовать формулу расчета скорости в следующем виде:

(14)

где - коэффициент сжатия.

В газообразных средах фазовую скорость продольной акустической волны можно рассчитать и по формуле

(15)

где - отношение теплоемкостей при постоянном давлении и постоянном объеме.

R=()- газовая постоянная

T - температура в Кельвинах

Для воздуха , , скорость звука равна .

При любой другой температуре

(16)

При увеличении температуры на 1 скорость звука увеличивается на 0.6 м/с. Газы легко деформируемы, модуль объемной упругости мал, и скорость волны в газах меньше чем, в других средах. В расчетные формулы скоростей (13), (14), (15) не входит частота, и продольные волны не обладают дисперсией.

Волновое уравнение для скалярного потенциала , связь потенциала с колебательной скоростью и акустическим давлением формулируют задачу распространения продольных акустических волн в жидких и газообразных средах

, , (17)

3. Волновое уравнение. Акустическое сопротивление

Для поля гармонического во времени, используя комплексное представление, волновое уравнение (11) примет более простой вид :

(18)

где

- волновое число, постоянная распространения.

Уравнение (18) называется уравнением Гельмгольца. Всякое решение уравнения Гельмгольца представляет собой распространяющуюся гармоническую волну. Поверхность, на которой колебания частиц происходят в фазе, называется фронтом волны. По форме фронта (сфера, цилиндр, плоскость) волны называются сферическими, цилиндрическими, плоскими.

Для плоской гармонической волны, распространяющейся, например вдоль оси x, уравнение (18) принимает вид :

 , (19)

а его решение с учетом временного множителя

Если плоская гармоническая волна распространяется в произвольном направлении , то тогда

где - углы между направлением и положительными осями .

По известному потенциалу

вычислим колебательную скорость и акустическое давление

(20)

(21)

В бегущей волне колебательная скорость имеет одну компоненту , это значит, что частицы среды в волне колеблются в направлении ее распространения, т.е. акустическая волна является продольной. Согласно (20), (21) акустическое давление и колебательная скорость прямо пропорциональны частоте.

Проведем аналогию акустических величин с электрическими. И хотя эта аналогия формальна, поскольку природа механических и электрических явлений различна, но в ряде случаев использование этой аналогии оказывается полезной. Акустическое давление, как разность мгновенного и постоянного давлений, вызывает движение частиц среды. Разность потенциалов является причиной движения электрических зарядов и в этом смысле акустическое давление аналогично разности потенциалов. Колебательная скорость частиц аналогична скорости движения зарядов, и колебательную скорость можно поставить в соответствие току. Тогда аналогично сопротивлению вводится акустическое волновое сопротивление:

(22)

где - сдвиг по фазе между давлением и скоростью частиц

В бегущей плоской волне колебательная скорость (20) и давление (21) синфазны и акустическое сопротивление равно

.

Для воздуха (нормальное атмосферное давление и ):

Плоские волны создает, например, круглая пластинка радиусом , которая совершает колебания, перпендикулярные своей плоскости. На расстояниях фронт уже не будет плоским, волна начнет расходиться. Другой пример плоских, но уже нерасходящихся волн это распространение звука в жесткой трубе с поперечным сечением меньшим .

Пусть звуковая волна излучается точечным источником, его размеры меньше длины волны. Волна распространяется в однородной среде равномерно по всем направлениям, т.е. потенциал зависит только от расстояния от источника и не зависит от угловых координат . В этом случае мы имеем дело со сферической волной, для которой волновое уравнение принимает вид :

Объединяем два первых слагаемых и получаем уравнение

, (23)

совпадающее с одномерным волновым уравнением (19). Решение уравнения (23) представляет две сферические волны - расходящаяся волна (бегущая по радиусу ) и сходящаяся (бегущая против ). Для сферической волны бегущей по радиусу имеем

(24)

где - постоянная, зависящая от условий задачи.

В отличии от плоской волны амплитуда сферической волны убывает с расстоянием по закону . Найдем акустическое давление

(25)

Колебательную скорость вычислим по известной формуле

Выделив действительную часть и сделав в ней замену

получим

(26)

(27)

Сравнивая давление и скорость (25) и (26) видим, что для сферической волны колебательная скорость отстает по фазе от давления на величину , определяемую формулой (27). Разность фаз быстро уменьшается с расстоянием и с увеличением частоты. Модуль акустического сопротивления равен



и не превышает сопротивления плоской волны. В дальней зоне сдвиг фаз , и связь между скоростью и акустическим давлением такая же, как и для плоской волны.

У цилиндрической осесимметричной волны амплитуда обратно пропорциональна квадратному корню из расстояния от источника, акустическое сопротивление равно

, и

Сдвиг фаз между акустическим давлением и колебательной скоростью появляется только у расходящихся (сходящихся) сферических и цилиндрических волн. Условно это можно пояснить следующим образом. У расходящейся волны слои среды, заключенные между соседними фронтами (например, на расстоянии ) имеют разные массы. Первый слой сталкивается со вторым большей массы, отдает ему энергию и двигается назад, т.е. часть энергии отражается и появляется реактивная составляющая у энергии и у акустического сопротивления. Чем дальше от источника массы слоев выравниваются, уменьшается и реактивная составляющая сопротивления.

С уменьшением длины волны массы слоев на расстоянии отличаются незначительно, уменьшается отражение и соответственно уменьшается сдвиг фаз между колебательной скоростью и звуковым давлением.

4. Энергия акустических волн. Интенсивность звука

Воспользуемся линеаризованными уравнениями гидродинамики идеальной среды (4), (5).

Уравнение движения сплошной среды

Уравнение непрерывности

Приращение плотности выражаем из (12) через приращение давления и скорость волны

,

подставляем в уравнение непрерывности и перепишем исходные уравнения

, (28)

Умножим первое уравнение из (28) на , второе - на . Складывая уравнения, получим соотношение

(29)

Первое слагаемое в скобках представляет собой объемную плотность кинетической энергии, связанной с движением частиц среды. Второе слагаемое - объемную плотность потенциальной (упругой) энергии, связанной с силой, приложенной для перемещения частиц среды. Энергия акустического поля единицы объема равна

(30)

Вектор

(31)

есть вектор плотности потока мощности звука, вектор Умова-Пойнтинга. С учетом (30), (31) уравнение (29) принимает вид

(32)

и выражает собой закон сохранения звуковой энергии в дифференциальной форме. Проинтегрируем (32) по объему, получим интегральную форму записи закона сохранения энергии

(33)

Величина

(34)

называется интенсивностью (силой) звука.

Для гармонической волны используем комплексное представление

,

получим среднюю за период интенсивность звука

(35)

Мощность переносимая акустической волной через поверхность S равна

Акустическое давление и колебательная скорость связаны между собой через акустическое сопротивление, отсюда еще одна запись

(36)

где - сдвиг фаз между давлением и колебательной скоростью.

Для плоской звуковой волны в идеальной среде

, ,

В атмосферной акустике принято говорить об уровне интенсивности и характеризовать его как

относительно стандартного нулевого уровня с интенсивностью

.

Величина получена на частоте

для самых слабых звуков (порог слышимости) при , .

Относительный уровень интенсивности

Коэффициентом звукоизоляции называется разность уровней интенсивности звука до и после прохождения звукоизоляционного материала

звук газ жидкость амплитуда давление гидродинамика



В случае источников звука равной интенсивности полный уровень интенсивности равен

При сложении двух волн равного уровня общий уровень интенсивности увеличивается на . Интенсивность звука пропорциональна квадрату частоты и высоким частотам ультразвукового диапазона соответствуют большие интенсивности, что приводит к нагреву тел, подвергающихся воздействию ультразвука. Для цилиндрических волн интенсивность обратно пропорциональна расстоянию от источника, для сферических - квадрату расстояния. Для стоячей волны интенсивность равна нулю.

5. Затухание акустических волн

При распространении в средах, обладающих вязкостью и теплопроводностью, акустические волны испытывают затухание. Для вывода коэффициента затухания в уравнение движения (4) добавляется слагаемое, связанное с вязкостью и теплопроводностью, и с учетом (12) оно примет вид (уравнение Навье-Стокса)

(37)

Здесь b - эффективный коэффициент вязкости:

где - коэффициент сдвиговой (поперечной) вязкости;

- коэффициент объемной вязкости;

- коэффициент теплопроводности.

Продифференцируем уравнение (37) по времени

, (38)

производную берем из уравнения непрерывности

и подставляем в уравнение (38)

(39)

Для плоской гармонической волны, распространяющейся вдоль оси x, решение берем в виде



подставляем в (39), после дифференцирования получаем

Отсюда находим, что если (это соответствует малому затуханию звука на расстоянии порядка длины волны), то

При коэффициент затухания выразится формулой

(40)

Основная причина затухания волн является сила вязкого сопротивления между соседними частицами среды, обладающими различными скоростями, она учитывается первым слагаемым в выражении (40). Вклад в потери объемной вязкости меньше, незначительны и потери на теплопроводность в виду малости коэффициента теплопроводности в жидкостях и газах. Коэффициент сдвиговой вязкости в воде Пас, в воздухе Пас и с учетом плотности среды и скорости волны, поглощение акустической волны в воде существенно меньше, чем в воздухе (примерно в 1000 раз). Следует обратить внимание на то, что коэффициент затухания пропорционален квадрату частоты. При распространении сигнала на больших расстояниях мало поглощенными остаются только низкие частоты. В среде с потерями амплитуда колебательной скорости (и других величин, характеризующих волну) уменьшается с расстоянием по экспоненциальному закону. Для плоской гармонической волны, распространяющейся вдоль оси x,

Ее интенсивность также уменьшается, переходя в тепловую энергию.

В формуле (40) коэффициент затухания имеет размерность . Поглощение удобнее характеризовать коэффициентом затухания, имеющим размерность .

Для сферических и цилиндрических волн потери связаны еще и с их геометрической расходимостью. Возьмем отношение акустических давлений на разных расстояниях и с учетом поглощения

где - для цилиндрической волны;

- для сферической волны;

Вычислим изменение уровня интенсивности

Если в среде имеются неоднородности, приводящие к рассеянию на них акустических волн, звуковая энергия также будет убывать в заданном направлении распространения волны, уходя в стороны.

6. Отражение и преломление акустических волн на границе раздела сред при нормальном падении

Если две смежные среды имеют разные акустические сопротивления, то на границе раздела падающая волна отражается и преломляется. Соотношения между акустическими величинами падающей, отраженной и преломленной волн определяются граничными условиями - непрерывность акустического давления и нормальной компоненты колебательной скорости на границе раздела. Если бы был скачок давления, на границе был бы источник волн, а если бы был скачок скорости, то был бы скачок смещения частиц, т.е. разрыв сплошности среды и нарушен был бы закон неразрывности среды.

Акустическое сопротивление первой среды - , второй среды - . На границу раздела (плоскость ) падает по нормали плоская волна, ось совпадает с направлением распространения падающей и преломленной волн (рис. 1). На границе раздела выполняются граничные условия: непрерывность акустического давления

,

непрерывность нормальных компонент колебательной скорости

(41)

Акустическое давление и колебательная скорость связаны через акустическое сопротивление

Верхний знак берется для волны, распространяющейся в положительном направлении x, т.е. падающей и преломленной, нижний - для волны, распространяющейся в противоположном направлении, т.е. отраженной. Перепишем граничное условие в виде

(42)

Введем коэффициенты отражения и преломления по колебательной скорости

,

и подставив их в (42) определяем

, (43)

Выразив колебательную скорость через давление и сопротивление, из (41) определяем коэффициенты отражения и преломления по акустическому давлению.

(44)

Перед границей раздела в первой среде бегущие навстречу падающая и отраженная волны образуют интерференционное поле

В предельном случае, когда сопротивление , коэффициенты отражения равны: , . При этом фаза давления не меняется при отражении и амплитуда давления на границе удваивается, а фаза колебательной скорости меняется на и амплитуда скорости на границе равна нулю. Перед границей возникает интерференционное поле, в виде стоячих волн полей и

, (45)

Если или , в первой среде возникает режим близкий к режиму стоячих волн. В других случаях интерференционное поле определяется коэффициентом отражения, зависящим от сопротивления сред.

Нулевой коэффициент отражения, обеспечивающий наилучшую передачу волн из одной среды в другую, можно получить с помощью согласующего слоя толщиной и сопротивлением . Выделим в первой среде слой толщиной . На плоскости запишем акустическое давление и колебательную скорость падающей и отраженной волн

Рис. 1

Перейдем от колебательной скорости к давлению через сопротивление и воспользуемся коэффициентом отражения по давлению

Определим входное сопротивление на расстоянии от границы на плоскости



Подставляем выражение коэффициента отражения и получаем

Отойдем от границы на четверть длины волны , имеем

(45)

Запишем входное сопротивление (45) с учетом теперь, что согласующий слой имеет сопротивление , волновое число и толщину . При входное сопротивление на границе будет равно

Для отсутствия отражения

, отсюда получаем сопротивление четвертьволнового трансформатора



. По сопротивлению подбирается материал согласующего слоя.

Для расширения полосы рабочих частот используют несколько четвертьволновых слоев. Для акустических волн среды рассогласованы по сопротивлению много больше, чем для электромагнитных волн.

Коэффициент прохождения по интенсивности определим как отношение интенсивности прошедшей через границу плоской волны к интенсивности падающей. При нормальном падении

(46)

В эту формулу сопротивления сред входят симметрично, поэтому коэффициенты прохождения энергии из среды 1 в среду 2 и обратно одинаковы.

7. Отражение и преломление акустических волн на границе раздела сред при наклонном падении

На границу раздела двух сред под углом падает плоская волна, под углом она отражается, под углом - преломляется (рис. 2).

Рис. 2

Опуская временной множитель запишем потенциал поля падающей волны

(47)

отраженной волны

(48)

и преломленной волны

(49)

Здесь - коэффициент отражения, - коэффициент преломления. Используем граничные условия - непрерывность звуковых давлений и нормальных компонент колебательных скоростей на границе раздела. Учитывая выражение (10) равенство акустических давлений на границе раздела даст соотношение:

(50)

Здесь потенциал поля в первой среде, - во второй среде:

Равенство нормальных компонент колебательных скоростей на границе раздела согласно (9) примет вид:

 (51)

Из условия (50) с учетом полей волн (47) - (49) получаем на границе раздела при

(52)

Так как левая часть этого равенства не зависит от , получаем закон преломления - закон Снеллиуса

(53)

При этом определится связь между коэффициентом отражения и преломления

(54)

Из второго граничного условия (51) имеем

(55)

Объединяем граничные условия (54), (55) в систему

Складывая эти выражения, получаем коэффициент прохождения

(56)

а затем и коэффициент отражения

(57)

Формулы (56), (57) называются акустическими формулами Френеля. Полученные и выражают коэффициенты отражения и прохождения по потенциалу скорости. Так как акустическое давление

, то соответствующие коэффициенты по давлению равны

, (58)

При условии коэффициент отражения по давлению равен нулю, волна полностью проходит во вторую среду. Угол падения при полной прозрачности определяется из условия

, где , (59)

Из закона преломления (53) следует, что при угол преломления больше угла падения . Приняв , из (53) определяем угол падения, при котором преломленная волна пойдет по границе раздела

(60)

При коэффициент отражения и наблюдается явление полного отражения. При углах падения имеем , и становится мнимой величиной. Для записи коэффициента отражения введем обозначения

, (61)

По формуле Френеля (57)

где

Коэффициент отражения по модулю равен единице и при сохраняется полное отражение. Потенциал поля в первой среде принимает вид:

(62)

Эта волна распространяется вдоль границы и называется направляемой. Амплитуда волны зависит от и изменяется по гармоническому закону вдоль нормали к границе. Амплитуда максимальна при

.

Если при

поставить аналогичную отражающую границу, то интерференционное поле (62) не изменится. Получается жесткий плоский волновод, в котором волны курсируют между стенками, распространяясь по вдоль волновода. Фазовая скорость волны (62) в направлении оси (вдоль волновода) определяется

,

Она больше чем скорость падающей или отраженной волны в первой среде. Групповая скорость, характеризующая перенос энергии вдоль волновода, меньше

При полном отражении и займемся коэффициентом преломления. По формуле Френеля (56)



При этом потенциал поля во второй среде (49) будет равен

Эта волна распространяется во второй среде вдоль границы, а ее амплитуда убывает по нормали к границе по экспоненциальному закону. Такая волна называется пограничной. Зная потенциал скорости (63) можно вычислить колебательную скорость по осям и , при этом фазы и будут отличаться на . Частицы второй среды вблизи границы движутся по эллипсу. При вдоль границы распространяется чисто продольная волна.

8. Излучение акустических волн

Источником акустических волн являются колеблющиеся тела. Задачу излучения начнем с наиболее простого случая, когда источником волн является пульсирующая сфера радиусом . При такой источник называют точечным, излучателем нулевого порядка или монополем. Колебательная скорость поверхности сферы

Точечный источник излучает расходящуюся сферическую волну, потенциал которой запишем в виде

(64)

При этом радиальная компонента колебательной скорости будет равна

На поверхности сферы нормальные компоненты скорости непрерывны

Из этого выражения определяются постоянная A и фаза

и

Потенциал (60) примет вид

(65)

Колебательная скорость согласно (9)

(66)

Акустическое давление

(67)

По существу этим задача об излучении волн пульсирующей сферой решена. В задачах излучения большое значение имеет так называемое сопротивление излучения, эта величина в общем случае комплексная. Комплексное сопротивление излучения или механический импеданс - это отношение силы, действующей со стороны среды на поверхность колеблющегося тела, к колебательной скорости поверхности источника. Для пульсирующей сферы с учетом (66), (67)

Активная и реактивная части импеданса будут равны

, (68)

Формулы (68) показывают, что на низких частотах, когда превалирует реактивное сопротивление, а на высоких частотах () превалирует активное сопротивление. Реактивное сопротивление соответствует энергии не распространяющейся, а как бы запасенной в ближнем поле пульсирующей сферы. Процесс излучения в ближнем поле незначителен. Активное сопротивление связано с распространяющейся акустической энергией и характеризует излучение волны в дальнем поле. Формулы (66), (67) дают возможность, переходя к действительным величинам, найти выражение для интенсивности в излучаемой волне

Полная мощность излучения равна

где - поверхность сферы, окружающей источник.

Следующим по сложности элементарным источником излучения является диполь или излучатель первого порядка. Диполь представляет собой комбинацию двух монополей, колеблющихся в противофазе и находящихся друг от друга на малом расстоянии. Типичным примером такого источника служит колеблющийся камертон. Следующий по сложности излучатель акустических волн называется квадруполем или излучателем второго порядка. Квадруполь это комбинация двух диполей. Можно показать, что интенсивность, излучаемая монополем

, где -

 число Маха, интенсивность диполя , а интенсивность квадруполя . Диполь и квадруполь мало эффективные источники звука. Набор модельных излучателей по мере их усложнения достаточно большой.

Излучение любого источника характеризуется определенным распределением интенсивности в пространстве, отличным от сферического. Распределение давления или интенсивности в пространстве называется характеристикой направленности.

где - акустическое давление на расстоянии r в направлении, характеризуемым сферическими углами и ;

- акустическое давление максимальное на том же расстоянии.

Отношение амплитуд этих давлений называется амплитудной характеристикой направленности, разность фаз этих давлений называется фазовой характеристикой направленности. Характеристика направленности по интенсивности

Для направленного излучателя вводится коэффициент осевой концентрации: - отношение интенсивности направленного излучателя в направлении максимального излучения к интенсивности ненаправленного излучателя на том же расстоянии, когда мощности этих излучателей одинаковы. Для диполя характеристика направленности и имеет вид восьмерки, коэффициент осевой концентрации .

Помимо случаев излучения акустических волн механическими колебаниями твердых тел, существуют много других физических механизмов, приводящих к излучению. Так ультразвуковые волны высоких частот генерируют магнитными и электрическими методами. Ферромагнитный стержень, помещенный в переменное магнитное поле, незначительно меняет свои линейные размеры и совершает продольные колебания соответствующей частоты. Таким магнитным способом можно получить ультразвуковые волны до 50 кГц. Электрические методы генерации ультразвука связаны с явлением обратного пьезоэффекта, если к пьезопластинке приложить переменное напряжение высокой частоты, то пластина будет совершать колебания соответствующей частоты. Таким способом можно получить ультразвуковые волны частоты до 10 МГц. Инфразвуковые волны большой интенсивности искусственно излучать практически невозможно, так как мощность излучения пропорциональна квадрату частоты и на низких частотах она мала. В этом диапазоне трудно создать направленный излучатель. Инфразвук возникает в результате вибрации при работе различных узлов механизмов, двигателей и т.д. В атмосфере инфразвуковые волны возникают во многих случаях, например при ядерных взрывах, при крупных землетрясениях.

Размещено на Allbest.ru