Проверка закона Стокса. Измерение вязкости жидкости

Экспериментальная проверка формулы Стокса и условий ее применимости. Измерение динамического коэффициента вязкости жидкости.

Теоретическое введение:

Вязкость характеризует степень сопротивления, которое оказывает жидкость, текущая под действием внешних сил, и степень сопротивления, которое жидкость оказывает движущемуся в ней телу.

Рис. 1. Распределение скоростей по высоте слоя жидкости

Чтобы ввести количественное определение вязкости, рассмотрим слой жидкости толщиной h между двумя одинаковыми пластинами (см. рис. 1). Будем предполагать, что горизонтальные размеры пластин много больше расстояния между ними. Нижняя пластина неподвижна, а верхняя движется с постоянной скоростью u под действием силы F. Чем больше вязкость жидкости, тем большую силу придется прикладывать для движения верхней пластины с постоянной скоростью.

Слои жидкости, примыкающие к нижней пластине, будут иметь скорость, равную нулю, а слои жидкости, примыкающие к верхней пластине, -- скорость v. Скорость движения жидкости на высоте z равна . Сила, прикладываемая к верхней пластине, должна быть пропорциональна скорости u, площади пластин S и обратно пропорциональна расстоянию h между пластинами:

(1)

Коэффициент пропорциональности з называется динамическим коэффициентом вязкости жидкости (иногда просто вязкостью или коэффициентом внутреннего трения).

Величина , которая показывает, насколько быстро с высотой z меняется скорость жидкости, есть градиент скорости. Поэтому силу сопротивления в более общем виде можно записать как

, или (2)

Знак «минус» появился потому, что мы теперь говорим о силе сопротивления, направленной в сторону, противоположную направлению движения. Таким образом, сила сопротивления, действующая на единицу площади пластины, по модулю равна произведению динамического коэффициента вязкости (ДКВ) на градиент скорости.

Из (2) следует, что размерность ДКВ равна ML^-1T^-1. В системе СИ ДКВ измеряется в Н•с/м² или в Па•с. В системе СГС единицей измерения ДКВ является г/(см•с), или пуаз (в честь Г. Пуазейля):

1 Па•с=10 пуаз

Динамические коэффициенты вязкости разных жидкостей могут отличаться на порядки и быстро падают с увеличением температуры жидкостей (см. приложение 1 к работе).

При медленном движении тел (какое движение можно считать медленным, скажем чуть позже) в вязких жидкостях сила сопротивления F=бu, т. е. пропорциональна скорости движения тела u. Если движущееся тело -- шарик радиуса r, движущийся в бесконечной среде, то коэффициент пропорциональности б можно рассчитать теоретически. Такой расчет (он достаточно сложен и здесь не приводится), впервые выполненный Г. Стоксом, дает

(3)

На шарик массой m, находящийся в жидкости, действуют сила тяжести mg, выталкивающая (архимедова) сила pVg (р -- плотность жидкости, V -- объем шарика) и сила сопротивления, пропорциональная скорости шарика и определяемая формулой (3). Если вначале скорость шарика была равна нулю, то под действием силы тяжести его скорость начнет увеличиваться до тех пор пока сумма силы сопротивления и выталкивающей силы не станет равной силе тяжести (предполагаем, что плотность p₀ материала шарика больше плотности жидкости). В установившемся режиме скорость шарика постоянна и определяется выражением

(4)

Следовательно, измерив скорость, с которой шарик тонет в жидкости, и зная его радиус и плотность, можно определить динамический коэффициент вязкости:

(5)

Формула (5) выведена в предположении, что шарик движется в бесконечной среде. Практическое же определение коэффициента вязкости всегда проводится в сосудах конечных размеров. Стенки сосуда меняют характер обтекания шарика жидкостью, что приводит к тому, что сила сопротивления при движении шарика в сосуде оказывается большей, чем сила сопротивления тому же шарику в бесконечной среде. Для цилиндрического сосуда радиусом R и шарика радиусом r, движущегося вдоль оси цилиндра, поправка была теоретически рассчитана Ладенбургом. Оказалось, что в этом случае установившаяся скорость шарика в 1+2,4 раза меньше, чем при движении в бесконечной среде. С учетом этой поправки формула (5) переходит в

(6)

Поправка Ладенбурга достаточно точна, если отношение радиуса шарика к радиусу цилиндра не превосходит одной-двух десятых.

Расчет поправки Ладенбурга предполагает, что шарик движется по оси бесконечного по высоте цилиндра. Но в любом реальном измерении это условие в большей или меньшей степени нарушается. Установившаяся скорость шарика вблизи поверхности жидкости может отличаться от установившейся скорости вблизи дна и не совпадать с установившейся скоростью шарика в области, удаленной от поверхности и от дна. Рассчитать эту поправку не удается, и влияние близости поверхности жидкости и дна сосуда обычно учитывают, проводя измерения скорости между метками, удаленными от поверхности и дна на разные расстояния.

Наконец, важное условие, при котором справедлива формула Стокса (3), связано с характером обтекания шарика жидкостью. При обтекании не должны образовываться завихрения жидкости, т.е. течение жидкости должно быть ламинарным. Количественно условие ламинарности потока было рассчитано Рейнольдсом. Оказалось, что вихри не возникают, если число Рейнольдса

(7)

Таким образом, именно число Рейнольдса показывает, какие скорости движения при прочих равных условиях можно считать малыми, а какие -- большими.

Экспериментальная установка

Рис 2. Границы участков для подсчета скорости падения шариков (пояснения в тексте)

динамический вязкость стокс рейнольдс

Экспериментальная установка (фото в начале работы и рис. 2) представляет собой вертикально закрепленный стеклянный цилиндр с нанесенными на него разноцветными метками (см. рис. 2), заполненный исследуемой жидкостью. Скорость шариков измеряется с помощью секундомера. Диаметры шариков и их плотность приведены в таблице, имеющейся на каждой установке. Там же приведена плотность исследуемой жидкости.

Чтобы сбросить шарик, надо осторожно достать его пинцетом из ячейки (будьте внимательны и аккуратны: шарики очень малы и их легко потерять!), опустить на лопатку, закрепленную в верхней части цилиндра, и, осторожно подталкивая к краю лопатки пинцетом, дать шарику возможность свободно падать в жидкости. Второй участник опыта должен быть готов засечь момент прохождения шариком выбранной верхней метки.

Расстояние, проходимое шариком, будет равно измеренному линейкой расстоянию между метками в том случае, если линия зрения при засечке старта и финиша будет перпендикулярна оси цилиндра (для этого метки на цилиндре сделаны круговыми -- передняя и задняя части меток должны быть на линии зрения).

Проведение эксперимента

1. Измерим линейкой расстояния между рисками АА, ВВ и СС. Результаты занесем в табл. 1.

2. Измерим время падения шарика между рисками. Для этого возьмем шарик диаметром d=2,5 мм. Его r=1,25 мм. Время падения измерим трижды для каждой из рисок АА, ВВ, СС. Результаты занесем в табл. 1.

Таблица 1

3. Проведем аналогичные измерения для шаров с другими радиусами. За базу L возьмем расстояние между рисками СС=20,4 см. Радиусы шаров равны:

r₁=0,495 мм

r₂=0,595 мм

r₃=0,650 мм

r₄=0,795 мм

r₅=0,910 мм

r₆=1,000 мм

r₇=1,250 мм

r₈=1,500 мм

r₉=2,000 мм

r₁₀=2,500 мм

Результаты занесем в таблицу 3.

4. Рассчитаем средние значения времени падения и скорости падения

Найдем их погрешности по формулам:

И занесем результаты в таблицу 3.

Рассчитаем y для шариков различных радиусов по формуле:

и найдем ее погрешность по формуле

Результаты вставим в таблицу 2:

Таблица 2

Радиус цилиндра R=17,75 мм

Плотность жидкости с=1,26г/см³

Плотность стали с=7,9г/см³

Таблица 3