Процессы переноса в наноструктурах при наличии электрического поля

Размещено на http://www.allbest.ru/

Контрольная работа

Процессы переноса в наноструктурах при наличии электрического поля



1. Продольный перенос

Электронный перенос в двумерных квантовых гетероструктурах, направленный параллельно потенциальным барьерам на поверхности раздела, может рассматриваться в рамках полуклассического подхода, подобно тому, который используется для описания объемных объектов. Разумеется, мы должны учесть дополнительные механизмы рассеяния электронов (например, рассеяние на «шероховатостях» поверхности раздела), а также особенности низкоразмерных систем. Изучение продольного переноса в наноструктурах началось с измерений электронной проводимости вдоль канала полевых МОП-структур. Эти исследования завершились большим успехом, и по их результатам в 70-х годах было начато промышленное производство полевых МОП-транзисторов, основу которых составляют модулированно-легированные квантовые гетероструктуры. Электроны в таких структурах двигаются в области, свободной от заряженных атомов примесей, вследствие чего их подвижность значительно повышается.

Основные механизмы рассеяния электронов при продольном переносе в полупроводниковых наноструктурах связаны, как и в объемных образцах, с фононами и атомами примесей (заряженными или нейтральными). Кроме того, возникают и дополнительные механизмы, специфические именно для наноструктур (например, упомянутое выше рассеяние на «шероховатостях» поверхности раздела). Рассмотрим эти механизмы по отдельности.

2. Электрон-фононное рассеяние

Расчеты механизмов электрон-фононного рассеяния в низкоразмерных полупроводниковых структурах показывают, что они во многом схожи с процессами в объемных полупроводниках, например, такое рассеяние является преобладающим при температурах выше 50 К и т.п. Однако существует и значительное различие по сравнению с трехмерными структурами, обусловленное тем, что при очень малой ширине квантовых ям а возрастает роль акустических фононов. Это различие обусловлено отсутствием инвариантности при движении в перпендикулярном направлении, например, для двумерных квантовых ям, где неопределенность в перпендикулярной компоненте момента должно быть > И/а. Поэтому значение момента акустических фононов в очень узких квантовых ямах не сохраняется, в отличие от объемных систем, где они обладают хорошо определенным импульсом. Возрастание неопределенности в значении импульса приводит к увеличению числа разнообразных механизмов электрон-фононного рассеяния, а затем и к возрастанию роли таких процессов в низкоразмерных полупроводниках.

Процессы рассеяния на оптических фононах в низкоразмерных структурах также существенно отличаются от аналогичных процессов в трехмерных полупроводниках, особенно в случае сильно полярных материалов типа соединения АШВУ. Взаимодействие проявляется с особой силой в квантовых ямах (раздел 5.4), где нет перекрытия энергетических зон оптических фононов полупроводниковой ямы (например, GaAs) и полупроводникового барьера (например, AlGaAs). В таких системах вклад в фо-нонное рассеяние локальных оптических мод и мод, связанных с поверхностями раздела, становится гораздо более существенным, чем вклад от обычных объемных оптических фононов.

3. Рассеяние на примесных атомах

При низких температурах в полупроводниках с пониженной размерностью основной вклад в процессы рассеяния (как и в объемных системах) возникает из-за рассеяния на ионизированных или нейтральных примесных атомах. Основное различие между процессами рассеяния в дву- и трехмерных системах возникает из-за наличия продольного переноса, при котором рассеивающие атомы примеси часто пространственно разделены с двумерной плоскостью, в которой движутся электроны. В модулированно-легированных полупроводниках (рис. 5.4, 5.6) заряженные доноры располагаются в барьере AlGaAs, а движение самих электронов происходит в яме GaAs, параллельно поверхности раздела полупроводников. Аналогично в МОП-структуре (рис. 5.1) электроны двигаются внутри инверсного канала, отделенного от атомов примеси, расположенных в тонком слое подзатворного окисла.

Для расчета рассеяния на атомах примесей в квантовой ге-тероструктуре полевого МОП-транзистора (раздел 5.3.1) необходимо использовать некоторые упрощающие предположения, например, использовать представление о так называемом 8-ле-гировании, при котором предполагается, что все ионизированные примесные атомы лежат в двумерной области (плоскости) на расстоянии d от электронного канала, а энергия всех электронов, участвующих в процессах рассеяния, близка к значению уровня Ферми. Далее следует предположить, что концентрация примесных атомов не очень велика, т. е. все заряженные примеси взаимодействуют с носителями независимо друг от друга. Как показано, например, в работе [1], исходя из этих предположений, можно легко показать, что подвижность носителей возрастает как ~сР. С другой стороны, при очень больших значениях d концентрация электронов в канале должна стремительно уменьшаться из-за уменьшения напряженности электрического поля, что приводит к уменьшению крутизны полевого МОП-транзистора. Поэтому для каждой такой структуры должно существовать некое оптимальное значение d.

4. Рассеяние на шероховатостях границы раздела

На теоретической, абсолютно гладкой границе раздела процессы рассеяния электронов должны быть только упругими, однако реальные поверхности всегда имеют несовершенства на атомарном уровне, вследствие чего отражения носителей перестают быть «зеркальными», а потеря импульса приводит к различным релаксационным явлениям. Собственно говоря, различные процессы рассеяния на поверхностях раздела изучались физиками уже долгие годы, так как они играют важную роль при продольном переносе носителей заряда в тонких пленках. Однако современное, основанное на квантовой механике описание этих явлений, применительно к системам с пониженной размерностью, стало развиваться относительно недавно (в 80-е годы).

Значение таких процессов часто зависит и от конкретного вида системы. Например, они играют не столь значительную роль в модулированно-легированных гетероструктурах, с высокосовершенными границами раздела, полученными с использованием таких методов роста, как молекулярно-лучевая эпи-таксия. В этом случае поверхности получаются практически плоские, с небольшим числом моноатомных ступенек. С другой стороны, рассеяние на поверхностях раздела значительно возрастает в МОП-структурах, где слой оксида выращивается термически, вследствие чего его поверхность является не такой идеальной. Кроме этого, относительный вклад рассеяния на границах раздела зависит от ширины квантовых ям, так как по мере уменьшения их ширины волновые функции электронов глубже проникают в потенциальный барьер на границе оксид -- полупроводник, т. е. электроны становятся более «чувствительными» к шероховатости поверхности и вероятность соответствующего рассеяния возрастает. Это обстоятельство объясняет, кстати, некоторое снижение подвижности при увеличении напряжения на затворе. В любом случае рассеяние на неоднородностях поверхности, как и рассеяние на примесях, заметно проявляется лишь при низких температурах, когда фононным рассеянием можно пренебрегать. Наконец, следует отметить, что для узких квантовых проволок вклад рассеяния на поверхностях раздела почти на порядок превосходит вклад аналогичных процессов в двумерных системах. Это особенно заметно и важно в тех случаях, когда проволоки изготовляются с использованием литографии, так как при этом именно шероховатость границ проволоки становится фактором, определяющим подвижность электронов даже при комнатных температурах.

5. Межподзонное рассеяние

Рассмотрим двумерную электронную систему, локализованную в потенциальной яме, входящей в состав модулированно-легированной гетероструктуры или полевого МОП-транзистора (см. раздел 5.3.1). Очевидно, что при достаточно высокой концентрации электронов в яме начнут заполняться и уровни, расположенные выше основного состояния Еу Представим себе далее, что концентрация электронов в системе настолько высока, что уровень Ферми Е? попадает на квантовый уровень, соответствующий состоянию с и = 2. В этой ситуации электроны с энергиями, близкими Ер после процессов рассеяния, могут осуществлять как внутризонный переход (внутри подзоны с п = 2), так и межзонный (между подзонами с п = 1 и п = 2). Наличие двух каналов рассеяния увеличивает полную вероятность рассеяния электронов, вследствие чего их подвижность уменьшается. Описываемый эффект может быть, естественно, обобщен и на другие подзоны, и в целом можно констатировать, что по мере увеличения концентрации электронов в квантовой яме возникают новые каналы рассеяния, повышающие эффективность общего рассеяния и, следовательно, снижающие подвижность такого двумерного электронного газа. Эффект еще более заметно проявляется в одномерных системах, где плотность состояний расходится при значениях энергии, совпадающих с энергией квантовых уровней (раздел 4.5).

Влияние подзонного рассеяния на подвижность электронов было исследовано [8] в 1982 г. в модули-рованно-легированных гетероструктур на основе AlGaAs/GaAs, к которым был добавлен третий вывод (затвор полупроводника), типа используемого в полевых МОП-транзисторах, для управления концентрацией электронов в ямах. Как легко заметить из рис. 1, введение второго канала позволяет обеспечить рассеяние между подзонами с n = 1 и я = 2. Действительно, при заданном напряжении затвора полевого транзистора уровень Ферми доходит до уровня п = 2, в результате чего соответствующая подзона может «принимать» рассеянные электроны, снижая тем самым подвижность в соответствующем интервале напряжений.

На рис. 1. представлены данные, иллюстрирующие прогресс, достигнутый в области повышения подвижности электронов при продольном переносе за последние двенадцать лет [7] в наноструктурах на основе GaAs, типа описываемых выше полевых МОП-транзисторов.

Рис. 1

Очевидный успех был достигнут за счет нескольких факторов, прежде всего, как указывалось выше, за счет физического разделения легирующих примесей и носителей в модулированно-легированных гетероструктурах. Для большей эффективности такого разделения, в структурах начали создавать вспомогательный из «полуизолятора» {spacer), играющий роль прослойки между слоем доноров и двумерным слоем электронов в проводящем канале. Такой слой особенно эффективен при низких температурах, когда преобладают механизмы рассеяния электронов на атомах примеси.

Другим фактором, способствующим увеличению подвижности электронов, стала высокая чистота используемых объемных материалов, связанная с развитием методов выращивания пленок на основе полупроводников AmBv, что специально показано на рис. 2 отдельной кривой для «чистых объемных» материалов (стоит отметить прекрасные показатели в области температур Т> 100 К).

Рис. 2

Повышение чистоты наращиваемых пленок, связанное с использованием сверхвысокого вакуума и чистых газов, что характерно для таких методов роста, как молекулярно-лучевая эпитаксия, также явилось важным фактором повышения подвижности. При температурах 100 К и выше, вплоть до комнатной, основными механизмами рассеяния является рассеяние на фононах, особенно связанное с оптическими фононами в случае полярных материалов типа GaAs, что будет рассматриваться ниже.

Как и следовало ожидать, подвижность электронов в кремниевых полевых МОП-транзисторах оказывается значительно ниже, чем в полевых транзисторах с модулированным легированием MODFET. Как показано на рис. 3, подвижность в модулированно-легированных структурах AlGaAs/GaAs может достигать 107 см2/В"С, что почти на три порядка выше, чем в полевых МОП-транзисторах на основе кремния [3], что может быть объяснено рядом причин. Во-первых, эффективная масса электронов в кремнии намного больше, чем в GaAs. Во-вторых, влияние рассеяния на примесях в кремниевых полевых МОП-транизисторах, вызываемые зарядами и примесями в окисле и границе раздела, значительно сильнее, чем в AlGaAs/GaAs, где заряженные примеси и носители пространственно разделены достаточно эффективно.

В-третьих, как показано на рис. 3, при низких температурах доминирующим становится рассеяние на неровностях границы раздела.

Рис. 3

Этого следовало ожидать, так как при термическом окислении граница раздела кремний - окисел не такая совершенная, как в структурах AlGaAs/GaAs, изготовляемых с использованием гораздо более сложных и точных технологий, таких, как молекулярно-лучевая эпитаксия.

При воздействии очень сильных электрических полей рассеяние, обусловленное рассеянием на шероховатости границы раздела становится доминирующим, и именно оно становится главным фактором ограничения подвижности электронов.

В последние годы проводились очень серьезные исследования подвижности в напряженных Si - Ge гетероструктурах, которые представляются перспективными для производства высокочастотных биполярных транзисторов на гетероструктурах и транзисторов с высокой подвижностью электронов.

Как известно, в гетероструктурах на основе соединений AmBv дырки имеют очень большую эффективную массу, что и привлекает внимание исследователей к процессам двумерного переноса дырок в Si - Ge гетероструктурах с достаточно большим разрывом валентной зоны. Считается, что в таких структурах можно будет достичь подвижности дырок вплоть до значений 105 см2/В с.

В некоторых типах полевых транзисторов и наноструктур кинетическая энергия электронов, ускоряемых электрическим полем, может становиться очень высокой и значительно превышать равновесную тепловую энергию, имеющую порядок кТ. Естественно, что эффективная температура, соответствующая распределению по энергии таких ускоренных электрическим полем электронов, будет намного выше температуры кристаллической решетки. В этих случаях принято говорить, что распределение электронов «отрывается» от распределения решетки, а сами такие электроны получили название горячих электронов. Следуя квазиклассическому подходу, эффективную температуру электронов для распределения со средней энергией Е можно определить из соотношения

(1)

Перенос горячих электронов хорошо изучен в объемных полупроводниках, а с начала 90-х годов это явление стали исследовать и в различных наноструктурах.

Изучение продольного переноса в гетероструктурах AlGaAs/GaAs [10] показало, что под воздействием электрического поля скорость электронов в них действительно значительно превышает значения для обычных, объемных кристаллов GaAs, причем разница возрастает с уменьшением температуры, как показано на рис. 4.

Рис. 4

Увеличение скорости приписывали квантованию энергии электронов в квантовых ямах. Значения скорости особенно высоки для низшей подзоны (Е = EJ по сравнению со второй подзоной (Е = Е2), в которой электронные волновые функции могут простираться достаточно далеко в область барьера и как следствие носители располагаются гораздо ближе к заряженным донорам, повышая эффективность рассеяния на примесных атомах.

Очень интересный эффект, названный пространственным переносом горячих электронов (RST), возникает при продольном движении горячих электронов в квантовых гетероструктурах, и он уже стал основой нового типа высокочастотных устройств. Этот эффект заключается в том, что при достаточно высокой энергии электронов некоторые из них могут просто «выскочить» из ямы, подобно тому как это показано на рис. 5 [11] для квантовых ям в структурах типа AlGaAs/GaAs/AlGaAs, где электроны переходят из нелегированного слоя GaAs в легированный барьер AlGaAs. В электронных приборах на основе структур с пониженной размерностью, подобных показанному на рис. 5, б, при повышении напряженности между источником и стоком электроны могут переходить из материала с высокой подвижностью электронов (GaAs) в материал с низкой подвижностью (AlGaAs).

В результате этого процесса на вольтамперной характеристике, как показано на рис. 5, в, возникает область с отрицательным дифференциальным сопротивлением (ОДС). Далее будет показано, как эффект отрицательного дифференциального сопротивления может быть использован для создания нового класса устройств, называемых резонансными туннельными транзисторами.

а

б в

Рис. 5

В объемных материалах движение носителей в электрическом поле обычно изучалось при размерах образцов, значительно превышающих свободный пробег электронов. В современных электронных приборах, основанных на полевом эффекте (например, в полевых МОП-транзисторах), расстояние исток - сток и длина затвора становятся очень короткими (порядка нескольких сотен нм). Такое уменьшение размеров приводит к тому, что электроны в канале ускоряются электрическим полем практически без столкновений. Такие электроны получили название баллистических, и достигаемые ими дрейфовые скорости могут достигать значений порядка 107 см/с, что вдвое превышает дрейфовую скорость насыщения для объемных полупроводников.

Это явление называют эффектом всплеска дрейфовой скорости (velocity overshoot effect), и он уже используется в полевых транзисторах для сокращения времени пролета электронов между истоком и стоком, что позволяет повысить высокочастотные характеристики приборов [2].

6. Поперечный перенос

Рассмотрим движение носителей в направлении, перпендикулярном плоскостям потенциальных барьеров, разделяющих квантовые гетероструктуры. Такой вид переноса часто ассоциируется с квантовым переносом или туннелированием, поскольку при этом энергия носителей может быть меньше энергии, требуемой для преодоления потенциальных барьеров. Для преодоления частицей потенциального барьера ее волновая функция и ее производная должны быть непрерывными (в указанном перпендикулярном направлении), что сразу приводит нас к задаче о прохождении и отражении на границах раздела. Как мы увидим дальше, туннелирование через потенциальный барьер приводит нас также к концепции отрицательного дифференциального сопротивления на вольт-амперной характеристике, явлению, обнаруженному Эсаки в 1957 г. Через шестнадцать лет после этого, работая в известной фирме ИБМ, Эсаки (в соавторстве с Тцу) первым объявил о регистрации отрицательного дифференциального сопротивления в сверхрешетках AlGaAs/GaAs вследствие резонансного туннелирования сквозь барьеры. Однако лишь в начале 80-х годов удалось изготовить достаточно высококачественные гетеропереходы, чтобы их можно было применить в диодах и транзисторах резонансным туннелированием.

Резонансное туннелирование (РТ) сквозь двойной потенциальный барьер является одним из явлений вертикального квантового переноса, уже нашедший широкое практическое применение в создании диодов и транзисторов. На рис. 6, а представлены схематические энергетические диаграммы наноструктуры с двойным барьером, изготовленной из нелегированного GaAs, покрытого с двух сторон слоями AlGaAs, а на рис. 6, б и 6, в представлена аналогичная структура, при приложении возрастающего по величине внешнего электрического поля [6].

Рис. 6

Резонансное туннелирование происходит при напряжении V{ = 2Е/е, где Е совпадает с квантовым энергетическим уровнем Еу При этом уровень Ферми Е? для металлического контакта слева совпадает с уровнем п = 1 ямы и коэффициент туннельного пропускания приближается единице, в результате чего ток через структуру возрастает. Когда величина приложенного поля становится выше 2EJe и уровень Ev превышает Ev ток через структуру уменьшается, как показано на рис. 6, в. На рис. 6, г представлена схематически зависимость тока от напряжения (вольт-амперная характеристика) для такой структуры. Очевидно, что при дальнейшем возрастании напряжения V барьеры, которые приходится преодолевать электронам, становятся меньшими по величине, и ток через структуру должен вновь нарастать.

Наиболее важной особенностью получаемых вольт-амперных характеристик (типа представленной на рис. 6, г) является то, что после максимума наклон кривой становится отрицательным, т. е. появляется область отрицательного дифференциального сопротивления. Нас интересует лишь ситуация, когда Е меньше высоты барьеров. Для нахождения Т(Е) можно воспользоваться так называемым методом обращения матриц. Метод связывает коэффициенты падающих и отраженных волновых функций от двух соседних барьеров при помощи матрицы 2x2, называемой матрицей переноса. Задача наиболее просто решается в случае идентичности барьеров. Коэффициент пропускания такой двухбарьерной структуры определяется соотношением [3]

где величины TО и R0 представляют собой коэффициенты пропускания и отражения для одиночного барьера, а -- толщина ямы, параметр k является волновым числом электрона для волновой функции внутри ямы, а - фазовый угол.

атом туннелирование электрон мезоскопический



Рис. 6, г.

На рис. 7 представлена зависимость Т(Е) от Е для некоторой структуры с резонансным туннелированием (RT-структу-ры), описываемой тремя энергетическими уровнями в квантовой яме. Отметим, что коэффициент пропускания становится равным единице при трех значениях энергии, совпадающих с энергией каждого из уровней, т. е. когда энергия падающего электрона точно равна энергии одного из уровней. При этом ширина резонансного пика возрастает с энергией, что может быть качественно объяснено на основе принципа неопределенности Гейзенберга (в соответствии с этим принципом величина АЕ должна быть обратно пропорциональна времени жизни т состояний внутри ямы). Туннелирование электронов на более высоких уровнях проходит через более низкие барьеры, вследствие чего им и соответствуют меньшие значения т.

Рис. 7.



Отметим, что коэффициент пропускания становится равным единице при трех значениях энергии, совпадающих с энергией каждого из уровней, т. е. когда энергия падающего электрона точно равна энергии одного из уровней. При этом ширина резонансного пика возрастает с энергией, что может быть качественно объяснено на основе принципа неопределенности Гейзенберга (в соответствии с этим принципом величина АЕ должна быть обратно пропорциональна времени жизни т состояний внутри ямы). Туннелирование электронов на более высоких уровнях проходит через более низкие барьеры, вследствие чего им и соответствуют меньшие значения .

Ранее уже указывалось, что электронные состояния в сверхрешетках образуют электронные зоны или подзоны, которые гораздо уже, чем соответствующие зоны в обычных кристаллах. Малая ширина зон и энергетических щелей является следствием того, что период сверхрешетки d обычно много больше постоянной a решетки кристалла. Ниже будет показано, что при воздействии электрических полей электроны в таких узких зонах проявляют необычные свойства, демонстрируя существование некоторых физических эффектов (типа осцилляции Блоха), которые были, кстати, теоретически предсказаны еще десятки лет назад. Кроме того, под воздействием поля энергетические уровни ямы (шириной а) в сверхрешетке образуют так называемую штарковскую лестницу из «ступеней» высотой eFa, где F - приложенное электрическое поле.

Рассмотрим электронную зону в k- пространстве, показанную на рис. 8, которая похожа на первую подзону в сверхрешетке. Поле F прилагается в заданном направлении (обозначим его осью z, считая его направленным перпендикулярно к плоскости расположения квантовых ям), так что рассматриваемая задача сводится к одномерной. Движение электрона в такой зоне под влиянием электрического поля описывается введенным в главе 2 уравнением (2.57)



решением которого в случае постоянного поля является значение волнового числа в виде

В соответствии с решением (5) волновой вектор должен возрастать линейно по времени. Cчитаем, что электрон первоначально покоился в точке О начала координатной оси, как показано на рис. 8, а направление электрического поля противоположно направлению вектора k. При этом электрон начинает двигаться из точки О по направлению к точке А, и это движение продолжается до тех пор, пока он не достигнет точки В, соответствующей границе зоны Бриллюэна . В точке В его скорость уменьшается до нуля, в соответствии с нулевым углом наклона кривой, как следует из уравнения (2.52). После этого электрон переносится в точку С (по вектору обратной решетки G), которой соответствует значение волнового вектора , что просто означает результат брэгговского отражения (см. раздел 2.5.1). Из точки С электрон в k -пространстве под воздействием поля смещается через точку D в точку О, завершая тем самым цикл движения.



Рис. 8

Скорость электрона при таком периодическом движении определяется уравнением

и также меняется периодически, если энергия зоны имеет вид, представленный на рис. 8. Иными словами, движение электрона является периодическим одновременно и в реальном, и в k-пространстве.

Период таких колебаний в k -пространстве Тв определяется временем, необходимым для «прохождения» зоны Бриллюэна и равен

Следует отметить, что величины ТB и сов зависят лишь от периодичности сверхрешетки и напряженности приложенного поля, однако совершенно не зависят от ширины энергетической подзоны. Представляется очевидным, что для экспериментального наблюдения блоховских осцилляции необходимо, чтобы период ТB был меньше времени релаксации, связанного с процессами рассеяния.

Ранее блоховские осцилляции экспериментально не могли быть зарегистрированы в объемных кристаллах в силу того, что характерные значения ТВ (~10-11 с) значительно превышали соответствующие значения в сверхрешетках, поскольку величина d обычно на два порядка превосходит стандартные значения постоянной решетки в привычных полупроводниковых кристаллах. Эти ограничения приводили к тому, что электроны, расположенные близко к точке О на диаграмме рис. 8, просто не могли получить достаточно энергии для достижения точки В на границе зоны Бриллюэна , так как волновой вектор, определяемый уравнением (5), не мог возрастать до требуемого значения из-за процессов рассеяния, «отбрасывающих» электроны назад к точке О. С другой стороны, следует заметить, что в практических экспериментах значение ТB нельзя уменьшить просто за счет усиления напряженности прилагаемого поля F, поскольку при таком усилении возникает так называемое зеннеровское туннелирование (при котором электроны из наклонной подзоны, как показано на рис. 9, б, могут туннелировать через запрещенную зону в соседнюю подзону), в результате чего блоховские осцилляции вообще не возникают. Таким образом, для регистрации блоховских осцилляции необходимо иметь очень узкие подзоны и, наоборот, широкие мини-щели.

На рис. 9, а схематически приведена энергетическая структура всего лишь двух подзон в сверхрешетке.



Рис. 9

При наложенном постоянном по величине электрическом поле F (направленном по оси z) зоны «наклоняются» под углом -eF, в результате чего выражение для потенциальной энергии приобретает вид

где Е0 - энергия исходного состояния.

Вследствие показанного на рис. 9, б наклона зон электрон с полной энергией ЕТ может колебаться в пространстве между положениями с координатами z1 и z2. При возрастании значения F наклон зон увеличивается, вследствие чего электрон пространственно локализируется в меньшем объеме. Очевидно, что при очень высоких напряжениях приложенного поля электрон может быть локализирован в пределах одной квантовой ямы, для чего требуется, чтобы разность энергетических уровней в двух соседних ямах превышала ширину подзон , т. е. должно выполняться условие > . При этом квантовые ямы могут считаться несвязанными (рис. 10, а).



Таким образом, при значениях электрического поля больше /ed электроны локализуются в квантовых ямах, чьи собственные энергетические состояния существенно различаются, в результате чего понятие подзон становится неприменимым. Вместо этого в системах возникают новые структуры квантовых энергетических состояний, получившие название штарковских лестниц. Такая штарковская локализация в сверхрешетках типа AlGaAs/GaAs была впервые зарегистрирована в эксперименте Мендесом [6], а затем нашла широкое применение в разнообразных электрооптических приборах.

Подобно диодам с резонансным туннелированием, сверхрешетки также имеют участки с отрицательным дифференциальным сопротивлением (NDR) на вольтамперных характеристиках, что может быть использовано в целом ряде электронных приборов.

Рис. 10.

Такие участки возникают в наноструктурах при наложении настолько сильных электрических полей, что энергия соседних квантовых ям начинает различаться на величину, сравнимую с произведением eFd. В разделе 3.1 было показано, что резонансное туннелирование происходит при условии



где E1 и Е2 означают энергии уровней при наложенном поле F, которые не должны обязательно совпадать с значениями при отсутствии поля (F = 0). Как показано на рис. 10, б, область проявления эффекта отрицательного дифференциального сопротивления (NDR) располагается на вольтамперной характеристике сверхрешетки сразу после резонансного пика, что позволяет использовать такие структуры, подобно диодам с резонансным туннелированием, в качестве высокочастотных осцилляторов и усилителей.

7. Квантовый перенос в мезоскопических системах

Рассмотрим далее процессы квантового переноса, происходящие при протекании через наноструктуры тока от присоединенных к ним внешних источников. Такие процессы можно также назвать мезоскопическим переносом, исходя из предложенного ранее термина «мезоскопический», относящегося к системам, промежуточным между макроскопическими и микроскопическими (или атомарными, которые описываются квантовой механикой). В электронике или, точнее, в микроэлектронике такие системы известны как приборы с размерами в субмикронном или нанометровом диапазоне. Очень интересным явлением, проявляющимся при мезоскопическом переносе, является квантование проводимости в единицах 2e2/h. Другое не менее интересное явление называется кулоновской блокадой и может наблюдаться в очень малых наноструктурах (типа квантовых точек).

Для наблюдения квантовых эффектов в полупроводниковых наноструктурах должен быть удовлетворен ряд условий. Из наиболее общих требований стоит отметить, прежде всего, то, что при заданной температуре квантовый перенос сильнее проявляется в тех наноструктурах, эффективная масса электрона в которых меньше, поскольку это обычно подразумевает и более высокую подвижность. Кроме того, как уже отмечалось ранее, уменьшение эффективной массы способствует повышению энергетических уровней электрона в квантовой яме. В целом можно утверждать, что, чем меньше эффективная масса, тем при более высокой температуре может наблюдаться квантовый перенос.

Перенос в мезоскопических системах обычно происходит в баллистическом режиме, так как их размеры обычно меньше, чем средний свободный пробег электронов, который в гетероструктурах AlGaAs/GaAs при низких температурах обычно составляет несколько микрон. Помимо отсутствия процессов рассеяния, баллистический перенос отличается еще и тем, что при нем электроны не теряют фазовую когерентность, поскольку не участвуют в неупругих столкновениях. Благодаря этой особенности электроны в мезоскопических системах могут демонстрировать фазовые интерференционные эффекты.

Для самого простого описания эффектов квантовой проводимости удобно рассмотреть одномерную мезоскопическую полупроводниковую структуру, типа квантовой проволоки. Если такая проволока является достаточно короткой (т. е. ее длина меньше среднего свободного пробега электрона в рассматриваемом веществе), то движение электронов будет происходить без рассеяния, и перенос будет носить баллистический характер. Предположим, что, как показано на рис. 11, такая квантовая проволока идеальными контактами (т. е. такими, в которых полностью отсутствуют процессы рассеяния) соединена с двумя резервуарами, характеризующимися уровнями Ферми EFl и EF2, между которыми приложено слабое напряжение V для обеспечения протекания тока через проволоку.



Рис. 11

В результате между резервуарами возникает разность потенциалов eV, равная (EFl - EF2). Величина протекающего при этом по проволоке тока / равна произведению концентрации электронов (которую можно определить по функции плотности состояний пю(Е) в интервале энергий eV) на скорость электронов v(E) и единичный заряд:

Подставляя в это выражение формулу (4.21) для плотности состояний пю(Е) (из формулы выбрасывается только коэффициент 2, поскольку в рассматриваемой системе электроны могут двигаться лишь в одном направлении), можно легко получить для тока выражение

которое, что довольно интересно, оказывается не зависящим от скорости носителей. Проводимость G=(l/V) при этом равна

Стоит отметить также, что (в отличие от классической проводимости, обратно пропорциональной длине проводника) проводимость квантовой проволоки вообще никак не зависит от ее длины. Отношение

называется квантовой единицей проводимости, а соответствующее обратное отношение

называется квантовым сопротивлением и может быть измерено экспериментально. Поскольку отношение 2e2/h используется в теории очень часто, его иногда называют также фундаментальной проводимостью.

Все приведенные формулы для квантовой проводимости и сопротивления были получены на основе чрезвычайно простой, одномерной мезоскопической модели, однако сам факт квантования классических физических параметров (типа проводимости и сопротивления) в физике мезоскопических систем имеет фундаментальное значение. Для рассмотрения более сложных систем мы постараемся обобщить полученные результаты. Один из вариантов такого обобщения, предложенный в следующем разделе, состоит в использовании наноструктур с большим числом соединений (а не двух, как в случае одномерной системы). Еще вариант обобщения результатов связан с учетом энергетических подзон в рассматриваемых низкоразмерных полупроводниках. Если концентрация электронов или их энергия достаточно велики, в перенос могут вовлекаться электроны подзон, лежащих выше первого уровня квантования.

Для квантовых проволок такие подзоны (каналы, по терминологии квантового переноса) возникают из поперечных состояний. Предполагая наличие нескольких каналов, можно представить, что электроны могут инжектироваться из контактов в любой канал (или моду) т, поступать в мезоскопическую структуру, а затем, после взаимодействия с рассеивающим центром, возникать в другом канале - п. Такие электроны будут вносить свой вклад в полную или общую проводимость системы, равный произведению кванта проводимости 2e2/h на квантово-мехническую вероятность перехода |fnm|2, соответствующую инжекции электронов в канал т и их переходу в другой канал п (отметим, что в такой формулировке вероятность перехода выражается через амплитуды или вероятности пропускания tnm волновых функций электрона). Полная проводимость в этом случае может быть получена суммированием процессов по всем каналам, т. е.

где N - полное число каналов, участвующих в рассматриваемых процессах проводимости. Уравнение (15), называемое формулой Ландауэра, может рассматриваться как обобщение уравнения (12) для мезоскопической системы с двумя контактами и большим числом каналов.

При изучении процессов квантового переноса часто используются наноструктуры, состоящие из сужений внутри двумерной системы. В качестве примера можно привести показанную на рис. 12 структуру, в которой движение электронов в двумерной гетероструктуре управляется расщепленным затвором.



Рис. 12

Использование электрода с такой специальной формой позволяет при приложении напряжения вследствие формируемого распределения потенциала ограничить движение электронов в плоскости двумерной системы и заставить их двигаться в очень малой квазиодномерной области. Такие структуры называют квантовым точечным контактом (QPC) или даже электронным волноводом, по аналогии с привычными волноводами в радиофизике.

На рис. 12 представлены результаты первого эксперимента по обнаружению квантовой проводимости на квантовом точечном контакте [1] (форма которого приведена на врезке), образованном в квантовой гетероструктуре AlGaAs/GaAs. Легко заметить, что с ростом приложенного напряжения экспериментально измеренная квантовая проводимость меняется скачками (квантуется) с шагом, равным упомянутой выше фундаментальной проводимости 2е2/И.

Квантование явно следует из уравнения (15), в котором коэффициенты пропускания приближаются к единице вследствие очень низких скоростей процессов рассеяния, что заведомо справедливо для квантовых точечных контактов. При этом экспериментальное наблюдение горизонтальных участков вольт-амперной характеристики представляет собой часто сложную задачу, так как эта ломаная линия «сглаживается» в результате многих побочных процессов: влияния неупругого рассеяния, конечного сопротивления контактов, наличия примесных атомов, шероховатости поверхности и т. д. В результате указанных факторов неточность определения экспериментально измеряемых значений ступенек на кривой проводимости может достигать нескольких процентов, что и показано на рисунке. С другой стороны, как будет показано в следующем разделе книги, при наложении сильных магнитных полей, в силу столь же объективных причин, точность измерения высоты ступенек на кривой проводимости повышается на несколько порядков и возрастает до 106 раз! Именно по этой причине квантовый эффект Холла находит множество применений в метрологии и технике точных измерений.

Полученное выражение (15), описывающее квантовый перенос в наноструктуре с двумя контактами, может быть обобщено на случай систем с большим числом контактов. Рассмотрим, например, наноструктуру типа представленной на рис. 13, похожую на те, которые часто используются в различных экспериментах, связанных с квантовым эффектом Холла (раздел 7.7), с двумя токовыми контактами, соединенные с соответствующими резервуарами и несколькими потенциальными контактами. Резервуары в данном случае выступают в качестве бесконечных источников и стоков для электронов, причем их температура остается постоянной, даже когда они поставляют электроны в наноструктуру или поглощают их. Можно вычислить зависимость тока в каждом подводящем проводе i, соединенном с резервуаром предполагая, что каждому из контактов соответствует лишь один канал. Аналогично мы можем построить матрицу рассеяния или прохождения из коэффициентов пропускания Тц, относящихся ко всем комбинациями индексов i и j. Поскольку электроны, попадающие в структуру от любого контакта, могут отражаться, мы должны ввести соответствующие коэффициенты отражения Rr. Для нахождения величины тока / (в контакте i) мынадо учесть следующие факторы:

- величину тока, инжектированного через контакт I из резервуара равную произведению (2е/к)ц.;

- частичное отражение тока обратно в контакт, описываемое коэффициентом отражения R;

- все токи, поступающие в данный контакт i от других контактов. Сумма таких вкладов, с учетом знака, позволяет записать для тока I. (в контакте i) выражение

где - напряжение, соответствующее , т. е. . При этом следует отметить, что использованное выше обозначение Vi определяется относительно общего напряжения , где соответствует низшему уровню распределения Ферми в резервуарах, ниже которого все энергетические состояния заполнены и поэтому не могут никак участвовать в процессах переноса носителей заряда. Очевидно, что при температурах, близких к Т = О К величина должна совпадать с минимальным из значений уровней Ферми для всех .

Приведенное уравнение получено для контактов с одним каналом. Многозондовое обобщение предполагает, что в каждом контакте i существует Ni, каналов распространения, вследствие чего надо ввести обобщенные коэффициенты пропускания , соответствующие вероятности носителя в контакте j и канале перейти в контакт i канала . Аналогично должны быть введены и обобщенные коэффициенты отражения Rjap, соответствующие вероятности отражения носителя из канала в канал для одного и того же контакта i. Учитывая полные вклады в ток через контакт i, можно получить выражение

где V - напряжение на резервуаре i, а Тij и Ri - приведенные коэффициенты пропускания и отражения, определяемые уравнениями

и

Уравнение (17) называется формулой Ландауэра- Бюттикера квантового переноса в многозондовых системах для контактов с большим числом каналов [3]. Стоит подчеркнуть, что в этом уравнении вновь, как и выше в выражениях для квантовой проводимости появляется характерный множитель фундаментальной проводимости 2e2/h.

Полученное уравнение может быть упрощено с учетом условия сохранения тока в мезоскопической структуре. Полный ток, протекающий через структуру от контакта i, равный разности значений (2e2/h)N.V и (2e2/h) RV (отраженная часть), должен совпадать с суммой всех компонент тока, возникающих от Ii. и вытекающих из структуры по другим контактам, т. е. с величиной (2e2/h)

Исходя из этого, можно записать соотношение

с помощью которого можно переписать уравнение (17) в виде



представляющим собой просто иную запись формулы Ландауэра-Бюттикера. Известно, что в микроэлектронных приборах (типа полевых МОП-транзисторов) величина протекающего тока снижается по мере уменьшения размеров самого прибора. Естественно, возникает вопрос о возможных пределах такой зависимости, о том, что произойдет после того, как мы начнем оперировать токами, создаваемыми одним-единственным электроном. Представим себе полупроводник, имеющий наноразмеры во всех трех измерениях, типа квантовой точки. Покажем, что в таких сверхмалых системах или точках наличие или отсутствие даже единичного заряда может приводить к заметным и измеряемым изменениям в характеристиках электрического переноса. Простейшее объяснение такого эффекта (называемого кулоновской блокадой) заключается в следующем.

Представим полупроводниковую квантовую структуру (точку), связанную с двумя резервуарами электронов через потенциальные барьеры или туннельные переходы, как показано на рис. 13.

Рис. 13

Барьеры должны быть достаточно тонкими, чтобы электроны могли поступать в резервуары (или покидать их) с помощью туннелирования. На рис. 14, б показана энергетическая диаграмма такой квантовой точки, число электронов N в которой меняется поштучно. Естественно, в такой системе может быть создана разность потенциалов за счет подключения внешнего источника напряжения.

Предположим, что мы собираемся увеличить число электронов N в точке на единицу, например, за счет туннелирования в точку одного электрона из левого резервуара. Для этого нам необходимо передать электрону потенциальную энергию eV от внешнего источника. Обозначим исходный заряд квантовой точки через Q, а ее емкость через С. Потенциальная энергия при этом составляет Q2/2C, и, следовательно, электрону для попаданию в точку необходимо придать потенциальную энергию, по меньшей мере равную е2/2С.

Необходимое для этого напряжение составляет е/2С. Так как электрон может либо входить в точку, либо покидать ее (эти процессы эквивалентны, выход электрона означает поступление в точку дырки), туннелирование невозможно, если

Полученное неравенство означает, что на вольтамперной характеристике структуры существует диапазон напряжений (от - е/2С до е/2С), в котором ток через точку не может протекать ни при каких условиях, как показано на рис. 14. Именно поэтому описываемый эффект получил название кулоновской блокады.



Рис. 14

Очевидно продолжая этот процесс, т. е. вводя в точку новые электроны, мы получим ситуацию, показанную на рис. 16, когда значения протекающего через точку тока будут меняться скачком при значениях приложенного напряжения:

Отметим дополнительно, что на рис. 16 данные представлены в нормированных координатах (по обеим осям) для того, чтобы выделить и подчеркнуть эффекты квантования тока и напряжения в описываемых структурах [3].

Следует отметить, что из полученных уравнений вытекает следующее нетривиальное условие: по мере уменьшения размеров квантовой точки (и соответствующего уменьшения величины С) возрастает значение энергии, необходимой для изменения числа электронов в квантовой яме.



Рис. 15

Это обстоятельство, кстати, облегчает экспериментальное наблюдение кулоновской блокады, поскольку возрастают также значения напряжения и электрической энергии, необходимой для ввода электронов в точку. При этом изменение электрической энергии должно значительно превышать тепловую энергию кТ рабочих температур, при которых осуществляются измерения параметров эффекта кулоновской блокады. Поэтому для значений емкости должно выполняться соотношение

которое справедливо либо при очень малых значениях емкости точки (эту величину очень трудно сделать меньше 10~16 Ф), либо при очень низких температурах (обычно ниже 1 К).

Кроме того, для наблюдения эффектов, связанных с поведением отдельных электронов, естественно, необходимо, чтобы их число в квантовой яме не флуктуировало в равновесном состоянии. Для оценки этого обстоятельства предположим, что время перехода электрона в точку (или выхода из нее) имеет порядок RTC, где RT - эквивалентное сопротивление барьера, а С - емкость точки. Флуктуации числа электронов внутри точки будут приводить к изменениям потенциальной энергии порядка е2/С, вследствие чего на основе принципа неопределенности можно выписать соотношение

из которого и следует условие

возможности надежного наблюдения и регистрации эффектов кулоновской блокады в квантовых ямах.

В экспериментах с переносом отдельного электрона обычно измеряют ток, который пропорционален проводимости G, поэтому имеет смысл переписать полученное выше условие, используя именно параметр G, что дает

Возможность использования переключающих устройств, оперирующих с одним-единственным электроном, открывает перед электроникой очень интересные перспективы (принцип работы одноэлектронного транзистора (SET) используют именно этот эффект).



Литература

1. Блихер А. Физика силовых биполярных и полевых транзисторов: Пер. с англ./Под ред. И.В. Грехова. - Л.: Энергоатомиздат, 200 - 248 с.

2. Вишневский Ф.И., Руденко В.С., Платонов А.П. Силовые ионные и полупроводниковые приборы. Учебн. пособие для вузов/ Под ред. В.С. Руденко. - М.: Высш. школа, 2005. - 343 с.

3. Заболев Р.Я. Многослойные силовые полупроводниковые приборы. Учебное пособие. - Новосибирск: НГТУ, 2009. - Ч.1. - 73 с.

4. Заболев Р.Я. Многослойные силовые полупроводниковые приборы. Учебное пособие. - Новосибирск: НГТУ, 2011. - Ч.2. - 93 с.

5. Забродин Ю.С. Промышленная электроника. Учебник для вузов. - М.: Высш. школа, 1982. - 496 с.

6. Зиновьев Г.С. Основы силовой электроники: Учеб. Пособие. - Изд. 2-е, испр. и доп. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2013. - 664 с. - (Серия “Учебники НГТУ”).

7. Руденко В.С., Сенько В.И., Чиженко И.М. Основы преобразовательной техники. - М.: Высшая Школа, 1980. - 424 с.

8. Степаненко И.П. Основы микроэлектроники: Учебное пособие для вузов. ? М.: Сов. Радио, 1980. ? 424 с.

9. Тугов Н.М. и др. Полупроводниковые приборы: Учебник для вузов/ Н.М. Тугов, Б.А.Глебов, Н.А. Чарыков; Под ред. В.А. Лабунцова. - М: Энергоатомиздат, 2010.-576 с.

Размещено на Allbest.ur