Фізика напівпровідників

Енергія вільного електрона

, (6.52)

де р - імпульс електрона. В багатьох випадках для опису енергії електронів в металах і напівпровідниках можна користуватись цією ж формулою, але ввівши замість маси спокою електрона m0 ефективну масу mn*, яка може бути як більшою, так і меншою m0, і яка враховує взаємодію зонних електронів з полем кристалічної гратки. Аналогічно вводиться і ефективна маса зонних дірок mp*. І тому енергії електронів і дірок виражаються через їх імпульси наступним чином

; , (6.53)

де відлік енергії ведеться від краю відповідної зони: вверх від Ес для електронів і вниз від Еv для дірок. Співвідношення (6.53) називаються законами дисперсії.

§ 6.10. Розподіл і концентрація носіїв в зонах

Розподіл частинок з напівцілим спіном (ферміонів), в т.ч. і електронів, за енергіями описується квантовою функцією розподілу Фермі-Дірака

f(E)=, (6.54)

де f(E) - імовірність електрону перебувати на рівні з енергією Е, а F - енергія (рівень) Фермі. Зміст останньої зрозумілий з аналізу f(F) при Т=0. Якщо Е>F, то f(Е)=0, тобто рівень порожній; якщо Е<F, то f(F)=1, тобто рівень заповнений. Отже, енергія Фермі відповідає найвищому рівню, який ще заповнений при Т=0 (мал.6.14). При Т>0 f(F)=1/2, якщо Е=F, тобто енергія Фермі відповідає рівню, який при ненульовій температурі заповнений наполовину (мал.6.14). При певних умовах, а саме, коли Е-F>>к0Т, квантовий розподіл Фермі-Дірака переходить в класичний розподіл Максвелла-Больцмана

f(Е)=A(T). (6.55)

Електронний газ, що описується таким розподілом, називається невиродженим газом. В цей же час електронний газ, що описується розподілом Фермі-Дірака, називається виродженим. Критерієм виродження є нерівність

, (6.56)

тобто виродження має місце при високій концентрації електронів, малій їх ефективній масі та низьких температурах. В металах електронний газ завжди вироджений (n, в напівпровідниках, як правило, невироджений (n<.

В металах при низьких температурах концентрація електронів зони провідності, енергія яких лежить в інтервалі ,

dn(E)=2dg(E),

де dg(E) - кількість енергетичних рівнів у вказаному інтервалі. Якщо справедливий параболічний закон дисперсії (6.53), то нескладний розрахунок дає

. (6.57)

Тоді повна концентрація носіів в с-зоні металу при низьких температурах

(6.58)

і від температури не залежить. Енергія Фермі

, (6.59)

що дає при . Середня енергія зонних електронів в металах , що значно більше к0Т.

А це означає, що лише незначна кількість електронів, що перебувають на рівнях, близьких до рівня Фермі, може змінити свою енергію при зміні температури. Таким чином, електронний газ в металах практично не вносить вкладу в теплоємність кристалу (див. § 6.8), незважаючи на високу загальну концентрацію електронів.

В напівпровідниках рівень Фермі, як правило, лежить в забороненій зоні (мал.6.13), і тому при розрахунку концентрації невироджених електронів в зоні провідності потрібно врахувати, що функція розподілу (6.55) в усьому діапазоні енергій Е>Ec менша від одиниці і залежить від температури. І тому

, (6.60)

де Аn - множник, який слабо залежить від температури і визначається ефективною масою носіїв, а Еg - ширина забороненої зони.

Як слідує з (6.60) з ростом температури концентрація зонних (вільних) електронів збільшується за експоненційним законом. Ця формула справедлива лише для бездомішкового, т.з. власного, напівпровідника. Зрозуміло (див. мал. 6.13), що концентрація дірок у валентній зоні дорівнює концентрації електронів в зоні провідності: n=p=ni - власна концентрація носіїв струму.

Ситуація радикально змінюється, коли в напівпровідник ввести домішки. Зокрема, коли вводяться донорні домішки, тобто домішки, які легко віддають електрони в С-зону, то n>>p; такий домішковий напівпровідник називається електронним (n-типу). Якщо ж вводяться акцепторні домішки, тобто домішки, які легко захоплюють електрони з V-зони, то p>>n; такий домішковий напівпровідник називається дірковим (р-типу). В класичних напівпровідниках Ge i Si в ролі донорних домішок виступають As, P, а акцепторних - Ga, Іn.

§ 6.11. Електричні властивості металів і напівпровідників

Відомо (розділ ІІІ), що густина електричного струму в провідниках (металах, напівпровідниках, електролітах тощо) визначається зарядом носіїв, їх концентрацією n та середньою швидкістю напрямленого (впорядкованого) руху <, зумовленого електричним полем напруженістю . Якщо носіями струму є електрони, то густина струму (j=

j=en<un> . (6.61)

В слабких електричних полях, де виконується закон Ома, швидкість напрямленого руху лінійно залежить від напруженості електричного поля, тобто

, (6.62)

де - рухливість електронів.

Підставляючи (6.62) в (6.61), отримаємо

, (6.63)

тобто закон Ома в диференційній формі, де

- (6.64)

питома електропровідність електронного провідника (металу, напівпровідника n-типу).

Питома електропровідність власного напівпровідника

, (6.65)

де - рухливість дірок.

Рухливість носіїв визначається так званим часом релаксації , який формально можна розглядати як проміжок часу між двома послідовними актами зіткнення (розсіяння) носіїв з недосконалостями кристалу. Основними недосконалостями (відхиленнями від ідеальності) є коливання кристалічної гратки (фонони) і домішки кристалу. В рамках вказаного формалізму середній час релаксації носіїв

, (6.66)

де - середня довжина вільного (між двома послідовними зіткненнями) пробігу носіїв, <> - середня швидкість теплового (хаотичного) руху носіїв.

Строга квантова теорія дає

. (6.67)

Підставляючи (6.67) у (6.64), отримаємо для питомої електропровідності металів

. (6.68)

Оскільки в металах концентрація носіїв (електронів у С-зоні) від температури не залежить, то залежність питомої електропровідності визначається лише відношенням . Виявляється, що, за винятком дуже низьких температур, . І тому , а питомий опір , у відповідності з відомим експериментальним законом . Відмітимо, що при оціночних розрахунках можна покладати .

Принципово інша ситуація в напівпровідниках, де концентрація носіїв експоненційно залежить від температури (6.60). Рухливість носіїв в напівпровідниках також залежить від температури, але за слабшим, степеневим законом:

, (6.69)

де при різних температурах приймає значення від -1,5 до +1,5. Підставляючи (6.60) та (6.69) у (6.65), отримаємо вираз для питомої електропровідності власного (n=p) напівпровідника

, (6.70)

де передекспоненційний множник В можемо наближено вважати від температури незалежним. Узагальнюючи (6.70) на випадок домішкового напівпровідника, запишемо

, (6.71)

де а - енергія активації провідності, яка у власному напівпровіднику дорівнює , а в домішкових напівпровідниках має зміст енергії іонізації донорів чи акцепторів. Отже, питома електропровідність напівпровідників експоненційно збільшується з ростом температури, чим останні принципово відрізняються від металів.

Розділ VII. Фізика ядра та елементарних часток.

§ 7.1. Склад і характеристики ядра

Ядро атома, як центральну позитивно заряджену масивну частину атома, навколо якої рухаються електрони, відкрив англійський фізик Е.Резерфорд на основі своїх дослідів по розсіюванню - частинок речовиною (1911 р). Позитивний заряд ядра чисельно рівний сумі негативних зарядів електронів нейтрального атома. За обрахунками Резерфорда радіус ядра rя~10-15м (радіус атома ra~10-10м). Плідність ядерної моделі атома підтвердила теорія атома водню Н.Бора (1913 р). Після того, як Г. Мозлі (1913 р) експериментально показав, що позитивний заряд ядра

, (7.1)

де Z - порядковий номер елемента в таблиці Менделєєва, а е - елементарний електричний заряд, чисельно рівний зарядові електрона (, уявлення про ядро атома стало загальноприйнятим.

Ядра атомів різних хімічних елементів мають загальну назву нукліди. В ядерній фізиці за одиницю заряду приймають елементарний електричний заряд е, а за одиницю маси - атомну одиницю маси (а.о.м.). 1а.о.м. рівна 1/12 маси найбільш поширеного нукліда вуглецю. Очевидно, 1а.о.м.

де mc - маса нукліда вуглецю, - маса моля вуглецю, NA - число Авогадро. В таких одиницях заряд ядра Q=Z (Z називають зарядовим числом ядра), а маси нуклідів різних елементів виражаються дробовими числами. Заокруглена до найближчого цілого маса нукліда даного елемента, виражена в а.о.м., співпадає з так званим масовим числом нукліда А.

Зарядове число Z і масове число А являються основними характеристиками будь-якого ядра, тому ядро даного елемента позначається хімічним символом цього елемента з індексами Z та А, а саме - . Наприклад, ядро атома водню позначається ; цю частинку Резерфорд назвав протон (р). На момент відкриття ядра була вже відома легка негативно заряджена частинка електрон (-). Оскільки маса електорна , електрон, іноді, позначається . При розгляді ядерних реакцій на основі законів збереження енергії та імпульсу Д.Чедвік (1932р.) відкрив нову важку елементарну частинку нейтрон (n). Д.Іваненко (1932р.) висунув гіпотезу, що ядро атома складається з нуклонів : протонів і нейтронів; ця гіпотеза була розвинута В. Гейзенбергом (1932 р) і дістала дослідне підтвердження.

Детальне вивчення нуклонів показало, що протон - стабільна елементарна частинка з зарядом +1 і масою mp=1,00728 а.о.м.; він також має спін j=1/2 і магнітний момент , де Дж/Тл - так званий ядерний магнетон (одиниця магнітного моменту). Нейтрон - нейтральна частинка з масою mn=1,00867 а.о.м., спіном j=1/2 і власним магнітним моментом ; mn>mp , при чому mn-mp=2,5me. У вільному стані нейтрон - нестабільний з періодом напіврозпаду Т~12 хв.

Згідно з нуклонною моделлю ядро містить всього А нуклонів; власне, під масовим числом ядра і розуміють загальне число нуклонів (протонів і нейтронів) у ядрі. При цьому, число протонів у ядрі є Z, а число нейтронів - N=A-Z. Ядра з однаковими Z називаються ізотопами, з однаковими А - ізобарами, з однаковими N - ізотонами, з однаковими Z i A, але різними періодами напіврозпаду,- ізомерами. Всього відомо ~ 1500 різних ядер, які чим-небудь відрізняються; приблизно 1/5 з них - стабільні, решта - радіоактивні.

В природі зустрічаються елементи з атомним номером Z від 1 до 92 (крім технецію і прометію ). Трансуранові елементи, починаючи з Z=93, були одержані штучно за допомогою різних ядерних реакцій. Згідно з сучасними уявленнями хімічні елементи виникли в процесі нуклеосинтезу на етапі зоряної еволюції Всесвіту. За час існування Землі (~5трансуранові елементи із-за відносно малого часу життя не збереглися в земній корі (за винятком і , мікросліди яких знайдені в уранових рудах). Межу періодичної системи елементів повинна визначати нестабільність відносно самовільного ділення ядер; є теоритичні вказівки, що ця межа може знаходитися поблизу Z=114 (можливо, Z=126).

Ефективний радіус ядра виражається формулою

, (7.2)

де . З (7.2) випливає, що об'єм ядра пропорційний числу нуклонів у ядрі, а це означає, що густина ядерної речовини приблизно однакова для всіх ядер (~1017кг/м3).

Спіни і магнітні моменти нуклонів складаються в результуючий спін і магнітний момент ядра. Оскільки спін нуклона , квантове число спіну ядра буде напівцілим при непарному числі нуклонів і - цілим або нулем при парному А. Спіни ядер не перевищують декількох одиниць, це свідчить, що спіни більшості нуклонів у ядрі компенсуються, розміщуючись антипаралельно.

Взаємодією магнітних моментів ядра та електронів атома обумовлюється так звана надтонка структура атомних спектрів. Пов'язаний зі спіном ядра магнітний момент знайшов широкі застосування в експериментальній методиці ядерного магнітного резонансу.

§ 7.2. Дефект маси та енергія зв'язку ядра. Ядерні сили. Моделі ядра

Користуючись таблицею мас ізотопів, можна пересвідчитись, що маса ядра mя менша суми мас нуклонів, з яких воно складається. Величину

(7.3)

називають дефектом маси ядра. Його існування обумовлене тим, що при об'єднанні нуклонів у ядро виділяється енергія у виді квантів, які виносять частину маси. Цю енергію можна розрахувати за формулою Ейнштейна про взаємозв'язок маси-енергії

с2, (7.4)

де с - швидкість світла у вакуумі. Очевидно, щоб розкласти ядро на невзаємодіючі нуклони, потрібно таку ж енергію затратити. Ця енергія

(7.5)

називається енергією зв'язку ядра.

Для практичних застосувань співвідношення (7.5) зручно записувати у вигляді:

с2, (7.6)

де mн - маса атома водню, ma - маса атома елемента, ядро якого розглядається. При переході до наближеної формули (7.6) нехтують малою енергією зв'язку електронів з ядром; зручність (7.6) полягає у тому, що в довідниках наводяться не маси ядер mя, а маси атомів ізотопів ma. На основі (7.4) можна пересвідчитись, що 1а.о.м. еквівалентна енергії 931,5 МеВ, тому, виражаючи квадратну дужку формули (7.6) в а.о.м., для енергії зв'язку ядра в МеВ одержують:

. (7.7)

Очевидно, енергія зв'язку характеризує міцність ядра. Прийнято розглядати так звану питому енергію зв'язку (енергія зв'язку, що припадає на один нуклон). Розрахунки показують, що вона залежить від масового числа елемента (мал.7.1).

Для легких ядер ( стрибкоподібно зростає до (6-7) МеВ, далі більш повільно зростає до максимального значення 8,7 МеВ у елементів з масовим числом

А~50-60, а тоді повільно зменшується у важких елементів (наприклад, для З (мал.7.1) видно, що найбільш стійкими є ядра середньої частини таблиці Менделєєва. Стає зрозумілим також, що енергетично можливими є два процеси, які повинні супроводжуватися виділенням енергії: 1) поділ важких ядер на більш легкі; 2) злиття (синтез) легких ядер у більш важкі. Обидва ці процеси реалізовані на Землі: перший - в ланцюговій реакції ділення важких ядер (атомна бомба, реактори), другий - в термоядерній реакції синтезу легких ядер (воднева бомба).

Величезна питома енергія зв'язку свідчить, що між нуклонами в ядрі діють особливі сили притягання, які значно переважають електромагнітну та гравітаційну взаємодію нуклонів. Взаємодія між нуклонами в ядрі одержала назву сильної взаємодії. Ядерні сили мають ряд характерних особливостей, вони:

1 - короткодіючі, радіус їх дії~10-15м;

2 - зарядовонезалежні, мають неелектричну природу;

3 - спіновозалежні, залежать від орієнтації спінів нуклонів;

4 є нецентральними, не напрямлені вздовж прямої, що з'єднує центри нуклонів;

5 мають властивість насичення, діють лише між найближчими сусідами.

У 1934 р. І.Є. Тамм висунув гіпотезу, що сильна взаємодія повинна мати обмінну природу. По аналогії з електромагнітною взаємодією, яка квантовою електродинамікою описується як процес віртуального обміну електронів фотонами:

, (7.8)

нуклони в ядрі повинні обмінюватись деякими віртуальними частинками з масою спокою відмінною від нуля. Віртуальними називаються частинки, час життя яких менший того, що визначається співвідношенням невизначеностей

, (7.9)

де - невизначеність енергії квантового стану, - тривалість існування цього стану, - стала Дірака. З (7.9) випливає, що радіус дії обмінних сил оцінюється величиною

, (7.10)

тобто він може бути скінченним, якщо маса спокою віртуальної частинки відмінна від нуля.

У 1935 р. Х. Юкава показав, що для пояснення величини ядерних сил слід припустити існування віртуальних частинок з масою спокою у 200-300 разів більшою маси спокою електрона. Віртуальна частинка може стати реальною, якщо їй надати достатньої енергії. Такі частинки були відкриті Поуелом і Оккіаліні (1947 р.) в космічних променях; вони дістали

назву -мезонів. Існують -мезони. Заряд -мезонів рівний елементарному зарядові е. Їх маса 273 me, маса , спін усіх -мезонів j=0, всі вони - нестабільні; час життя =2,6, . За рахунок процесів:

, (7.11)

, (7.12)

, (7.13)

здійснюється обмін нуклонів віртуальними -мезонами в ядрі, що приводить до сильної взаємодії між нуклонами.

Обмін нуклонів віртуальними -мезонами підтверджується, зокрема, дослідами по розсіюванню нейтронів на протонах, в яких були виявлені процеси перетворення нейтронів в протони і навпаки при проходженні пучка нейтронів через водень. На основі процесів (7.11), (7.12) можна пояснити магнітні моменти протона і нейтрона. Згідно з (7.11), магнітний момент протона (більший одного магнетона) обумовлений орбітальним рухом +-мезона у віртуальному стані протона n++. Від'ємний магнітний момент нейтрона обумовлений орбітальним рухом --мезона, коли, згідно з (7.12), нейтрон частину часу проводить у віртуальному стані р+-.

Незважаючи на пояснення природи ядерних сил, послідовна кількісна теорія ядра не побудована, бо являє собою громіздку квантову задачу багатьох тіл (А нуклонів). Це спонукає йти по шляху створення моделей ядра, які, за рахунок введення певних параметрів, що підбираються в узгодженні з дослідом, дозволяють простими засобами описувати деяку сукупність властивостей ядра. Найбільш аргументованими з них є краплинна та оболонкова моделі ядра.

Краплинна модель ядра (Я.І. Френкель, Н. Бор, 1935-1939 р.), базуючись на властивості насичення ядерних сил і молекулярних сил в рідині, а також на малій стисливості рідини і ядерної речовини, уподібнює ядро зарядженій краплині рідини. Це дозволило вивести напівемпіричну формулу для енергії зв'язку ядра і, зокрема, пояснити процеси ділення важких ядер.

Оболонкова модель ядра (М. Гепперт-Мейєр, 1949-1950 р.) базується на уявленні, що нуклони рухаються незалежно в усередненому центральносиметричному полі. У зв'язку з цим виникають дискретні енергетичні рівні, які заповнюються нуклонами на основі принципу Паулі. Ці рівні групуються в оболонки, в кожній з яких може знаходитись певне число нуклонів. Повністю заповнена оболонка являється особливо стійким утворенням. Такими особливо стійкими (магічними) є ядра, у яких число протонів Z або число нейтронів N рівні 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126. Ядра, у яких магічними є Z та N, називаються двічі магічними. Їх відомо п'ять: , вони - особливо стійкі. Зокрема, мабуть тому -частинка () - єдина складна частинка, яка випромінюється важкими ядрами при радіоактивності.

§ 7.3. Радіоактивність

Радіоактивність - процес самовільного перетворення нестабільних ядер в інші з випромінюванням часток. До радіоактивних перетворень відносяться: -розпад, -розпад (з випромінюванням електрона, позитрона чи захопленням орбітального електрона), самовільне ділення ядер, протонна та нейтронна радіоактивність, інші види розпадів. Радіоактивність нестабільних ядер, які існують в природніх умовах, називається природньою (А.Беккерель, 1896 р.), а тих, що одержані шляхом ядерних реакцій,- штучною (І. та Ф. Жоліо-Кюрі,1934 р). Обидва види радіоактивності підкоряються одному законові радіоактивного розпаду.

Із-за незалежності радіоактивних перетворень окремих ядер можна вважати, що число ядер dN, які розпадаються за проміжок часу dt, пропорційне наявному числу ядер N і величині проміжку dt:

, (7.14)

де - постійна розпаду,яка характеризує ймовірність розпаду ядра за одиницю часу; знак мінус вказує, що число ядер зменшується з часом. Інтегруючи (7.14) при умові , одержуємо

. (7.15)

Закон радіоактивного розпаду (7.15) показує, що число радіоактивних ядер N, які не розпалися до моменту часу t, зменшується з часом експоненційно (мал.7.2).

Кількість ядер, які розпались за час t,

, (7.16)

Час Т, протягом якого розпадається половина початкової кількості ядер, називається періодом напіврозпаду. З (7.16) при t=T i випливає

. (7.17)

Період напіврозпаду відомих радіонуклідів змінюється в дуже широких межах: від с до років. Очевидно, величина характеризує середній час життя ядра, тому з (7.14) випливає

. (7.18)

Виявляється, що в процесі радіоактивного перетворення материнського ядра виникає дочірнє ядро, яке теж може бути радіоактивним, і т.д. Тому виникає ряд радіоактивних елементів, генетично зв'язаних між собою. Для природньорадіоактивних елементів відомо 3 таких ряди: ряд торію ряд урану ряд актинію які закінчуються стабільними ізотопами свинцю З часом в кожному радіоактивному ряді встановлюється так звана вікова рівновага, при якій швидкості утворення і розпаду проміжних членів ряду рівні, що дає

. (7.19)

Вікова рівновага встановлюється на протязі проміжку часу найбільш довгоживучого члена ряду. По мірі його розпаду загальний вміст членів ряду в земній корі повільно зменшується. Наприклад, для через великі проміжки часу виникає стільки ядер свинцю, скільки розпадається ядер урану. Тому, вимірюючи концентрацію урану і свинцю в уранових рудах, можна оцінити середній вік Землі, що дає величину ~4,5років.

Вже перші дослідники природньої радіоактивності (П. та М. Кюрі, Е.Резерфорд) виявили, що радіоактивна речовина є джерелом трьох видів випромінювань: -, - і -променів. -промені являють собою потік ядер гелію . -розпад відбувається за схемою

. (7.20)

Індекси дочірнього ядра встановлюються на основі законів збереження зарядового і масового чисел: зарядове чи масове число до реакції рівне сумі відповідних чисел після реакції. Звідси випливають так звані правила зміщення; зокрема, при -розпаді Z дочірнього ядра на 2, а А на 4 менше, ніж у материнського ядра, наприклад

.

Енергія реакції -розпаду визначається на основі формули (7.7), де дефект маси реакції

. (7.21)

Ця енергія виділяється у вигляді кінетичної енергії продуктів реакції, яку можна розрахувати на основі законів збереження енергії та імпульсу.

У більшості випадків радіоактивний елемент випромінює -частинки декількох чітко визначених груп. Це обумовлено тим, що дочірнє ядро може виникати не тільки в основному стані 1, але і в збуджених станах 2,3,… (мал.7.3). За час існування збуджених станів с дочірнє ядро переходить в більш низький чи нормальний стан, випромінюючи -квант. Так виникають -промені, які, звичайно, супроводжують -розпад, хоча дочірнє ядро може звільнитись від надлишку енергії також іншими способами: випромінюючи яку-небудь частинку, або йонізуючи атом (процес внутрішньої конверсії).

Процес -розпаду не можна пояснити на основі класичної механіки: з радіоактивних ядер випромінюються -частинки з енергією ~6МеВ, в той же час, при бомбардуванні ядер -частинками з енергією ~8МеВ такі -частинки не проникають в ядро. Ядро для -частинки є потенціальним бар'єром, висота якого U0 більша енергії -частинки Е (мал.7.4). Внутрішня сторона бар'єру обумовлена ядерними силами, зовнішня - силами кулонівського відштовхування. Явище стає зрозумілим на основі квантової механіки: -частинка виникає в момент радіоактивного розпаду ядра і долає бар'єр ядра на основі тунельного ефекту (для мікро- частинки існує відмінна від нуля ймовірність проникнути через бар'єр з енергією, меншою висоти бар'єру; Г. Гамов, 1929 р).

Маючи великий заряд і масу, -частинки інтенсивно йонізу- ють молекули речовини, тому пробіг -частинок в речовині - незначний; вони, наприклад, повністю затримуються аркушем паперу. Проникна здатність - променів - значна: щоб зменшити їх інтенсивність вдвічі, потрібний шар свинцю товщиною~1см.

Існує три різновиди -розпаду: -розпад (ядро випромінює електрон ), -розпад (ядро випромінює позитрон ) і так зване електронне захоплення (ядро поглинає один з електронів К-, рідше L-, чи М- шару свого атома).

-розпад відбувається за схемою

; (7.22)

звідси видно, що при -розпаді масове число дочірнього ядра не змінюється, а зарядове число змінюється на одиницю, наприклад, . Пояснення -розпаду зустрілося з труднощами:

незрозумілим було походження електрона (електронів у ядрах немає);

незрозумілим був неперервний характер -спектрів ядер (мал.7.5);

було незрозуміло, чому при -розпаді не змінюється спін ядра?

Ці труднощі усунули В. Паулі та Е.Фермі (1932-1934 р.р.). Вони висунули гіпотезу, що електрон при -розпаді виникає в ядрі разом з антинейтрино за рахунок процесу

. (7.23)

Антинейтрино не має маси спокою і електричного заряду, але має спін 1/2. Процес (7.23) - можливий енергетично, бо він пояснює походження електрона при -розпаді, а також - незмінність масового числа і зростання зарядового числа дочірнього ядра на одиницю (протон залишається в ядрі). Виліт з ядра двох партнерів (електрона і антинейтрино), спіни яких компенсуються, усуває трудність зі спіном при -розпаді, а також пояснює неперервний характер -спектру, бо максимальна енергія -розпаду розподіляється між двома партнерами статистично. Походження -променів, що супроводжують -розпад - таке ж, як і при -розпаді: дочірнє ядро може виникати у збуджених станах, висвічуючи -кванти при переходах у більш низькі стани.

-розпад відбувається за схемою

, (7.24)

наприклад, . Він супроводжується випромінюванням позитрона і нейтрино , які є античастинками, відповідно, для електрона і антинейтрино . Цей вид -розпаду має місце для штучнорадіоактивних ядер, які мають надлишок протонів над нейтронами. Його можна пояснити за рахунок процесу

. (7.25)

Для вільного протона цей процес - неможливий, бо ; в ядрі ж протон може запозичити потрібну енергію від інших нуклонів ядра.

Реакція електронного захоплення має вигляд

, (7.26)

що можна пояснити перетворенням протона в нейтрон

. (7.27)

Захоплення електрона ядром супроводжується характеристичним рентгенівським випромінюванням, яке обумовлене перебудовою електронної оболонки атома внаслідок виникнення електронної вакансії в ній. По цьому випромінюванню і було відкрите К-захоплення експериментально (Альварец, 1937 р.).

Суттєва для пояснення -розпаду гіпотеза нейтрино Паулі-Фермі стала початком вивчення так званої слабкої взаємодії, відповідальної за ряд перетворень елементарних часток. Ця гіпотеза була підтверджена експериментально Рейнсом і Коуеном (1953-1956р.р.), яким при роботі на реакторі вдалось підтвердити реакцію

, (7.28)

що є, фактично, оберненням реакції (7.23).

Важливим для практичних застосувань радіоактивності є поняття активності радіоактивного препарату. Під активністю радіоактивного зразка розуміють число розпадів, які відбуваються в ньому за одиницю часу

. (7.29)

З (7.15) випливає, що

, (7.30)

тобто активність змінюється з часом за законом

, (7.31)

де - активність при . Одиницею активності в системі СІ є Ібеккерель (Бк), що відповідає одному розпадові за секунду. Позасистемними одиницями активності є Ік'юрі (Кі) та Ірезерфорд (Рд); ІКіБк, ІРдБк. За відомою активністю може бути розрахована експозиційна доза радіації та поглинута доза (енергія йонізуючого випромінювання, розрахована на одиницю маси поглинаючої речовини). Для вимірювання експозиційної та поглинутої доз використовуються прилади різних типів - дозиметри.

§ 7.4. Ядерні реакції

Ядерні реакції - перетворення ядер при їх взаємодії з легкими частинками або іншими ядрами. Така взаємодія виникає при зближенні реагуючих часток до відстаней ~10-13см. Найбільш поширеним типом ядерної реакції є взаємодія легкої частинки a з ядром Х, в результаті якої утворюється легка частинка b і ядро Y

, (7.32)

що скорочено позначають Х(а,b)Y. В якості легких часток можуть фігурувати: нейтрон, протон, дейтон, -частинка, -квант. Ядерні реакції-основний метод вивчення структури ядра і його властивостей.

У будь-якій ядерній реакції виконуються закони збереження зарядового і масового чисел, а також енергії, імпульсу та момента імпульсу. Енергію реакції можна розрахувати на основі формули (7.7), де дефект маси реакції визначається співвідношенням

. (7.33)

Якщо енергія виділяється; якщо енергія поглинається.

Тип ядерної реакції залежить від енергії бомбардуючих часток. При малих енергіях реакція здійснюється в два етапи (Н. Бор, 1936 р.). На першому етапі ядро Х захоплює частинку а, в резулттаті чого виникає збуджене проміжне компаунд-ядро П. На другому етапі ядро П випромінює частинку b і перетворюється в ядро Y; в цілому процес має вигляд

. (7.34)

Середній час життя компаунд-ядра складає (10-15-10-16)с, він значно більший часу проходження нуклоном ядра c, тому захоплення частинки а і випромінення частинки b - незалежні процеси. Якщо , процес (7.34) називають розсіюванням; власне ядерна реакція має місце, якщо . При енергії збудження ядра П, яка менша необхідної для відокремлення від нього часток, єдиний шлях його розпаду - випромінювання -квантів; такий процес називають радіаційним захопленням. При великих енергіях бомбардуючих часток проміжне ядро не утворюється, процес має вигляд (7.32) і носить назву прямої ядерної взаємодії.

Ймовірність різних взаємодій в ядерній фізиці прийнято характеризувати за допомогою ефективного перерізу взаємодії

, (7.35)

де N - потік часток, що падають на деяку мішень, - число часток, які зазнають взаємодії, d - товщина мішені, n - концентрація ядер мішені. Ця величина характеризує ймовірність взаємодії в розрахунку на одне ядро в шарі одиничної товщини. Її прийнято вимірювати в барнах:1барн=10-24см2.

Велике значення мають реакції, які викликаються нейтронами. Із-за відсутності електричного заряду нейтрону не доводиться долати потенціальний бар'єр ядра, тому в ядра легко проникають навіть теплові нейтрони з енергією Е~0,03еВ. Звичайно для захоплення нейтронів має місце монотонна залежність , однак спостерігаються випадки резонансного захоплення нейтронів. Так, для різко зростає при Е=7еВ, досягаючи 23000 барн. Таке резонансне поглинання має місце, коли енергія, внесена нейтроном в ядро, рівна тій, яка необхідна для його переводу на збуджений енергетичний рівень.

Важливу групу ядерних реакцій складають реакції ділення важких ядер при їх бомбардуванні нейтронами (О.Ган, Р.Штрасман, О.Фріш, Л. Мейтнер, 1939 р.). При цьому ядро ділиться на декілька більш легких ядер (найчастіше - на два осколки зі співвідношенням мас 2:3) з випроміненням 2-3 вторинних нейтронів і виділенням величезної енергії (~ІМеВ на нуклон), наприклад,

. (7.36)

Мінімальна енергія, необхідна для поділу ядра, називається енергією активації; її вносить в ядро бомбардуючий нейтрон. Це приводить до деформації ядра внаслідок порушення рівноваги кулонівських сил і сил поверхневого натягу, поділу ядра і розлітання осколків з великими швидкостями (Н.Бор, Я.І.Френкель, 1940 р.). Осколки виносять понад 80% енергії ділення, декілька МеВ виносять нейтрони, решта енергії виділяється пізніше під час -розпаду продуктів ділення.

Оскільки відношення числа нейтронів до числа протонів для середніх ядер рівне 1,3, а для важких ядер - 1,6, звільнення осколків від надлишку нейтронів і приводить до виникнення вторинних нейтронів. Переважна більшість з них виникає в момент ділення (миттєві нейтрони); однак, 0,75% вторинних нейтронів виникають з запізненням (запізнілі нейтрони). Вони “випаровуються” -радіоактивними осколками вже після ділення ядра з розкидом в часі від 0,05с до десятків секунд. Саме це дозволяє плавно керувати ланцюговою реакцією ділення.

Ядерна реакція стає ланцюговою, якщо частинки, що її викликають, виникають як продукти цієї реакції. В реакції типу (7.36), викликаній тепловим нейтроном, вторинні нейтрони виникають швидкими в середній кількості на кожний акт ділення. Якщо частина f загальної кількості вторинних нейтронів буде використана для продовження реакції ділення, то на один нейтрон першого покоління прийдеться

(7.37)

нейтронів другого покоління, тому швидкість зміни потоку нейтронів і

, (7.38)

де n0-потік нейтронів при , -час життя покоління нейтронів. Якщо , здійснюється самопідтримувана ланцюгова реакція, що має місце в ядерних реакторах. При реакція перестає бути регульованою і закінчується вибухом; при ланцюгова реакція згасає.

Вивчення можливостей реалізації цих умов показало, що природній уран містить ~99,3% ізотопу і ~0,7% ізотопу . Ядра діляться як швидкими, так і тепловими нейтронами, ядра діляться лише швидкими нейтронами з енергією Е > 1МеВ, але ефективний переріз поділу для них малий. Конкуруючими процесами є непружне розсіяння і радіаційне захоплення нейтронів, тому в природньому урані ланцюгова реакція ділення самочинно розвинутись не може. Якщо природній уран збагатити ізотопом , то на швидких нейтронах реалізується співвідношення типу (7.37):

, (7.39)

де -середнє число нейтронів на кожний захоплений нейтрон, -коефіцієнт використання швидких нейтронів. З умови визначаються критичні розміри і критична маса атомної бомби, що для дає ~9см і ~50кг. При ядерні заряди можна зберігати; при з'єднанні докритичних мас у надкритичні відбувається атомний вибух еквівалентний вибуху тон тротилу (США, 1945; СРСР, 1949р).

При реалізації ланцюгової реакції ділення на теплових нейтронах необхідне використання сповільнювача нейтронів (важка вода , графіт, які мало поглинають нейтрони). Тоді стає можливим використання природнього урану. Коефіцієнт розмноження теплових нейтронів у цьому випадку визначається співвідношенням:

. (7.40)

Це - так звана формула чотирьох співмножників, де -коефіцієнт зростання потоку нейтронів за рахунок поділу ядер швидкими нейтронами, -доля сповільнюваних нейтронів, які не зазнають поглинання ядрами , - коефіцієнт використання теплових нейтронів (не поглинутих домішками і не вилітаючих за межі активної зони). Якщо перші два співмножники залежать лише від активно подільного матеріалу, другі два суттєво залежать від конструкції реактора. Оптимізація цих коефіцієнтів в уран-графітовому реакторі, де стержні з природнього урану відповідного діаметра складаються у своєрідну решітку з блоками графітового сповільнювача, дозволяє досягти і за допомогою автоматично регульованих стержнів з і В, які активно поглинають нейтрони, підтримувати регульовану ланцюгову реакцію ділення ядер на заданому рівні (США, 1942р; СРСР, 1945р). Використання відповідного теплоносія (вода, рідкі метали), який циркулює через активну зону, дозволяє виводити з неї тепло, що виділяється за рахунок утилізації кінетичної енергії осколків ділення, і перетворювати її в енергію пари (атомні двигуни) та електричну енергію (атомні електростанції). Запуск і плавне регулювання роботи атомного реактора можливі за рахунок використання запізнілих нейтронів; його зупинка досягається скиданням в реактор поглинаючих стержнів з Cd і В, внаслідок чого k стає меншим одиниці.

Миттєві нейтрони реактора використовуються частково для підтримання ланцюгової реакції, а частково - для відтворення ядерного пального. За рахунок радіаційного захоплення нейтронів ядрами виникає ізотоп , який після двох -розпадів перетворюється в . Цей ізотоп, як і , є активно подільним матеріалом, тому після хімічного виділення з відпрацьованих уранових стержнів реактора може використовуватись для виготовлення ядерних боєзарядів. На цих засадах базується сучасна ядерна енергетика з усіма її використаннями у мирних та військових цілях і екологічними проблемами, які вона породила. Зокрема, все більш актуальною стає проблема поховання радіоактивних відходів, що накопичуються.

Іншою групою ядерних реакцій, які супроводжуються виділенням величезної енергії, є термоядерні реакції синтезу важких ядер (наприклад, ) з більш легких (наприклад, ізотопів водню ). Для їх реалізації потрібні високі температури (, щоб за рахунок кінетичної енергії ядра могли зблизитись до відстані порядку радіуса дії ядерних сил (10-13см). В природніх умовах такі реакції мають місце в надрах зірок, обумовлюючи їх величезне випромінювання. Як показав Г.Бете (1938 р), перетворення водню в гелій на зірках здійснюється за допомогою водневого і вуглецевого циклів, які в кінцевому результаті еквівалентні реакції

. (7.41)

Завдяки величезним розмірам і масам зірок на них ідеально вирішується проблема гравітаційного утримування і термоізоляції плазми (речовина при Т~К являє собою високойонізовану плазму). На Землі для цього треба шукати інші підходи.

Термоядерна реакція синтезу на Землі поки що здійснена лише як вибухова у водневій бомбі (СРСР, США, 1953 р.), де детонатором служить атомна бомба, внаслідок вибуху якої у рівнокомпонентній суміші дейтерію і тритію виникають температура Т~К і тиск Р~атм, що приводить до “підпалювання” термоядерної реакції

. (7.42)

В реакції (7.42) виділяється енергія ~17,6МеВ, яка на одиницю маси реагуючої речовини в 4 рази більша, ніж в реакції ділення, тому енергія термоядерних бомб становить ~(105-106)т тротилового еквіваленту.

Надзвичайно привабливими видаються перспективи керованого термоядерного синтезу (КТС), як з точки зору практичної невичерпності дешевого для КТС пального (дейтерію у водах океанів), так і з огляду на суттєво меншу радіаційну загрозу реакторів КТС, ніж у реакторів ділення, тому вивчення КТС розпочалося ще у 50-і роки ХХ століття. Створення реактора КТС передбачає: 1) одержання плазми, нагрітої до температур ~К; 2) утримання плазмової конфігурації протягом часу, необхідного для протікання термоядерних реакцій. Керовано нагріти речовину до таких температур можна газовим розрядом, гігантським лазерним імпульсом або бомбардуванням інтенсивним пучком часток. Тому дослідження проблем КТС ведуться в напрямку створення квазістаціонарних реакторів з магнітним утримуванням плазми та імпульсних реакторів з інерційним утримуванням плазми. В обох підходах ще є принципові труднощі, пов'язані з нестійкістю плазмових конфігурацій та проблемою домішок у плазмі, що ведуть до надмірних енергетичних втрат. Проте, небезпідставним є оптимізм, що реактор енергетики майбутнього буде побудований.

§ 7.5. Елементарні частинки та фундаментальні взаємодії

Елементарні частинки в точному розумінні цього терміну - первинні, далі неподільні частинки, з яких за припущенням складається вся матерія. В сучасній фізиці цей термін вживається менш точно - для найменування всіх мікрочастинок, які (за винятком протонів) не є атомами, чи атомними ядрами. Крім протонів, сюди відносяться: нейтрони, електрони, фотони, -мезони, м'юони , важкі лептони , нейтрино трьох типів ( дивні частинки (к-мезони, гіперони), різноманітні резонанси, -частинки, “чарівні” частинки, іпсилон-частинки ?, “красиві” частинки, проміжні векторні бозони () - всього ~ 400 часток, здебільшого нестабільних, кількість яких продовжує зростати. Фактично, більшість з них не є елементарними; частинки, що претендують на роль первинних елементів матерії, прийнято називати істинно елементарними.

Відкриття складного, несподіваного світу елементарних частинок - надбання квантово-релятивістської фізики ХХ століття. Деякі з елементарних часток були відкриті в зв'язку з вивченням будови атома (е- ) та ядра (р, n, ) і в космічних променях (е+, К, ), решта - на прискорювачах заряджених часток, які стали основним інструментом дослідження елементарних часток. Всі елементарні частинки є об'єктами винятково малих мас і розмірів, що обумовлює квантову специфіку їх поведінки. Найбільш важлива квантова властивість всіх елементарних часток - їх здатність народжуватися і знищуватися (випромінюватися і поглинатися) при взаємодії.

Різні процеси з елементарними частинками помітно відрізняються за інтенсивністю їх протікання. В зв'язку з цим взаємодії елементарних часток ділять на види: сильну, електромагнітну, слабку, гравітаційну. Інтенсивність взаємодій прийнято характеризувати безрозмірними параметрами, пов'язаними з квадратами констант зв'язку відповідних взаємодій.

Сильна взаємодія обумовлює найбільший зв'язок елементарних часток; для неї , радіус дії ; саме вона забезпечує зв'язок нуклонів у ядрі.

Електромагнітна взаємодія - менш інтенсивна і характеризується параметрами , ; зокрема, ця взаємодія відповідальна за зв'язок електронів з ядрами в атомах і - атомів в молекулах.

Слабка взаємодія теж - короткодіюча, її параметри - , ; вона відповідальна за повільні процеси розпаду квазістабільних часток, час життя яких лежить в межах 10-6 - 10-14с.

Гравітаційна взаємодія - універсальна, але, в зв'язку з малими масами елементарних часток, на характерних для них відстанях ~10-15м вона помітної ролі не грає; , ; однак, вона може стати суттєвою на відстанях ~10-35м.

Слід відмітити, що відносна роль різних взаємодій змінюється з ростом енергії часток. Проте, різні властивості симетрії сприяють розділенню взаємодій до досить значних енергій. Лише в границі самих великих енергій поділ взаємодій на види, мабуть, втрачає зміст.

В залежності від участі в тих чи інших взаємодіях елементарні частинки ділять на класи: фотон, лептони (“легкі” частинки), адрони (“сильні” частинки) з підкласами мезонів (“середніх” часток) та баріонів (“важких” часток), гравітон.

Фотони є квантами електромагнітного поля зі спіном j=1; вони приймають участь лише в електромагнітній взаємодії, але не зазнають сильної і слабкої взаємодії.

Групу лептонів складають електрон е-, м'юон , тау-лептон , відповідні нейтрино та їх античастинки. Спін всіх цих частинок j=1/2, тобто вони є ферміонами (підкоряються статистиці Фермі-Дірака); m, . Лептони приймають участь у слабкій взаємодії (заряджені - також і в електромагнітній), але не зазнають сильної взаємодії.

Підгрупу мезонів складають піони , каони , -мезон, деони ; , , . Всі вони - нестабільні: розпадаються за рахунок слабкої і електромагнітної взаємодії, приймають участь також у сильній взаємодії. Спін мезонів j=0, тобто вони є бозонами (підкоряються статистиці Бозе-Ейнштейна).

Підгрупа баріонів об'єднує нуклони (р, n) і гіперони ( , маса яких ~1,2~1,8 mp. Спін баріонів j=1/2, тобто вони, як і лептони, є ферміонами. Баріони приймають участь у всіх видах взаємодій. Відкриті на прискорювачах резонанси, список яких все збільшується, є сильновзаємодіючими короткоживучими частинками (). Вони трапляються з цілим і напівцілим спіном, тому, відповідно, відносяться до мезонів або баріонів.

Гравітони (гіпотетичні кванти гравітаційного поля) - частинки зі спіном j=2, приймають участь лише у гравітаційній взаємодії.

Кожна елементарна частинка описується сукупністю дискретних значень певних фізичних величин, що її характеризують (квантових чисел). Загальними характеристиками всіх елементарних часток є маса m, час життя , спін j, електричний заряд Q. В залежності від часу життя елементарні частинки діляться на стабільні, квазістабільні і нестабільні. Стабільними вважаються електрон, протон, фотон, нейтрино. До квазістабільних відносяться частинки, які розпадаються за рахунок електромагнітної і слабкої взаємодії. Нестабільними є резонанси, які розпадаються за рахунок сильної взаємодії. Спін частинки j, що характеризує її власний момент імпульсу, може бути цілим або напівцілим кратним величини - постійної Дірака. В цих одиницях у відомих часток j набуває значень 0, , 1, … Електричний заряд Q частинки є цілим кратним елементарного заряду е; у відомих елементарних частинок Q.

Було помічено, що квантові числа елементарних часток пов'язані з законами збереження, які відображають певні симетрії природи. Наприклад, закони збереження енергії Е, імпульсу , момента імпульсу відображають властивості симетрії простору-часу. Відповідні закони збереження (а також закон збереження електричного заряду) є точними. вони виконуються у всіх видах взаємодій. Разом з цим, елементарні частинки характеризуються ще рядом квантових чисел, пов'язаних з так званими “внутрішніми” симетріями.

Це, перш за все,- баріонний заряд В. Для всіх баріонів В=+1, для антибаріонів В=-1, для останніх часток В=0; має місце закон збереження баріонного заряду; вважається, що він може порушуватися.

По-друге,- лептонний заряд L. Для всіх лептонів L=+1, для антилептонів L=-1, для останніх часток L=0; має місце закон збереження лептонного заряду; вважається, що і він може порушуватися.

При розгляді адронів було помічено, що вони розбиваються на групи часток близьких за масою з подібними властивостями, якщо “виключити” електромагнітну взаємодію (зарядові мультиплети). Для характеристики цього було введене квантове число ізотопічного спіну І, яке пробігає цілі і напівцілі значення. Число часток у мультиплеті N=2I+1, вони відрізняються значенням “проекції” ізоспіну Із і величиною електричного

заряду (заряд часток у мультиплеті Q=Iз+В/2). Наприклад, для нуклонів І=1/2, тому (протон, нейтрон). Має місце закон збереження ізоспіну, порушується електромагнітною і слабкою взаємодією.

Важливою характеристикою адронів є так звана внутрішня парність , яка описує симетрію правого і лівого; порушується слабкою взаємодією. Нею ж порушується так звана зарядова парність яка описує симетрію часток та античасток і вводиться для абсолютно нейтральних часток.

Поняття античастинки ввів П. Дірак (1928 р.). Він встановив квантово-релятивістське рівняння для електрона, яке, при заданому імпульсі частинки р, дає власні значення енергії

, (7.43)

тобто одержуються дві області значень енергій, розділені забороненим проміжком шириною 2mec2 (мал.7.6).

В класичній теорії переходи в стани з від'ємною енергією заборонені, оскільки енергія змінюється неперервно. В квантовій теорії, де енергія квантується, такі переходи можливі. Але частинка з від'ємною енергією має від'ємну масу, що - нефізично. Дірак висунув гіпотезу, що стани з від'ємною енергією не спостерігаються, оскільки вони заповнені електронами. Збудження системи зводиться до переходу електрона з заповнених рівнів на вільні; внаслідок цього виникає вільний електрон і вакансія в системі заповнених рівнів - “дірка”. Ця вакансія веде себе як електрон з додатніми масою і зарядом, вона одержала назву позитрон. Для виникнення пари електрон-позитрон потрібна мінімальна енергія Е=2mec2. Процес

(7.44)

являє собою процес народження пари фотоном; із-за необхідності виконання законів збереження енергії та імпульсу він повинен відбуватись в полі частинки Х. Можливий і зворотній процес

, (7.45)

процес аннігіляції пари; він не вимагає присутності сторонньої частинки, оскільки народжуються два фотони.

У 1932 р. позитрони були виявлені в космічних променях; напротязі 1955-1956 р.р. були відкриті антипротон і антинейтрон . Античастинки існують і у бозонів: , наприклад, є античастинкою для . Існують і абсолютно нейтральні частинки (. Вони нездатні аннігілювати, але можуть перетворюватися в інші частинки.

Найбільша група елементарних часток - адрони діляться на звичайні, дивні, “чарівні”, “красиві”, “істинні” частинки. Цьому поділу відповідає наявність у адронів екзотичних квантових чисел: дивності S, чарівності С, краси b, істинності t; вони зберігаються у сильній та електромагнітній взаємодіях, але не зберігаються у слабкій взаємодії.

Таким чином, кожне квантове число описує певний вид симетрії часток і взаємодій з відповідним законом збереження, який може бути точним чи наближеним. Вивчення цих симетрій привело до класифікації елементарних часток і спроб побудови єдиної теорії фундаментальних взаємодій.