Елементи квантової фізики

3

1. Елементи квантової фізики

1.1. Корпускулярно - хвильовий дуалізм речовини

Ядерна модель атома. Теорія Бора і її затруднення.

Гіпотеза і формула де Бройля. Дослідне обгрунтування

корпускулярно - хвильового дуалізму речовини.

Співвідношення невизначеностей. Межі використання

законів класичної фізики.

1.1.1. Ядерна модель атома. Теорія Бора і її затруднення

До кінця 19-го сторіччя атом вважали неподільним. Однак відкриття цілого ряду нових фізичних явищ поставили це ствердження під сумнів. На початку 20-го сторіччя було висунуто кілька моделей будови атома. При допомозі цих моделей вчені пробували пояснити ряд незрозумілих експериментальних фактів - лінійність спектрів випромінювання газів при високій температурі, електричну нейтральність і стійкість атомів.

Першу спробу побудувати теорію будови атома в межах класичної фізики зробив у 1903 р. англійський фізик Д.Томсон. За гіпотезою Томсона атом уявлявся у вигляді сфери, яка рівномірно заповнена позитивним зарядом, в середині якої містяться електрони. Проте ця модель була неспроможна пояснити спектральні закономірності атомів. За цією гіпотезою число ліній у спектрі не повинно було перевищувати число електронів в атомі, тоді як в дійсності навіть у спектрі атома водню число ліній перевищувало 30. Крім того гіпотеза Томсона не спиралась на будь які дослідні дані.

Вирішальне значення для теорії будови атома мали досліди Резерфорда, який у 1913 році вивчав розсіяння пучка - частинок при проходженні їх через тонку металеву фольгу. Ці досліди показали, що при проходженні через фольгу переважна більшість - частинок зазнає дуже незначних відхилень, але знаходиться чимале число і таких частинок, які зазнають дуже великих відхилень на кут, більший 150. Таке значне розсіяння - частинок могло статися тільки під дією позитивного заряду атома. Електрони, маса яких майже у 8000 разів менша від - частинки, не могли помітно вплинути на її рух. Проходження переважної більшості - частинок вказували на те, що розміри позитивного заряду атома повинні бути значно меншими від розмірів атома. Знаючи заряд атома можна було визначити для різних кутів розсіювання так звані прицільні відстані - частинок від центрів атомів. Виявилося, що для золотої фольги для кутів розсіювання 150 прицільна відстань дорівнює 10^-14м. Якщо на такій відстані - частинка і атом не взаємодіють, то це може означати лише одне - розміри позитивно зарядженої частини атома не перевищують 10^-15м.

Ці дослідні факти дали можливість Резерфорду описати ядерну модель атома: в центрі атома міститься позитивно заряджене ядро атома, розміри якого мають величину порядку 10^-15м, навколо ядра по замкнутих орбітах в об'ємі сфери радіусом порядку 10^-10м обертаються електрони, причому їх кількість дорівнює порядковому номеру елемента.

В такому вигляді ядерна модель атома зберегла своє значення і до нашого часу, хоч і зазнала багатьох уточнень.

На кожний рухомий електрон в атомі діє доцентрова сила ядра, яка дорівнює кулонівській силі притягання електрона до ядра. Ця сила забезпечує стійкий орбітальний рух електрона в атомі, подібно орбітальному руху планет в соняч-ній системі.

Однак планетарна модель атома незабаром виявилась неприйнятною. Дійсно, електрони рухаючись в атомі з доцентровими прискореннями, згідно теорії Максвелла повинні випромінювати енергію у вигляді електромагнітних хвиль, що робить атоми не стійкими. Насправді атоми досить стійкі і при неви-соких температурах енергії не випромінюють і не поглинають. В той же час при високих температурах будь-які атоми, перебуваючи у газоподібному стані, випроміню-ють електромагнітні хвилі у вигляді лінійчатих спектрів.

Вихід із затруднень знайшов датський фізик Нільс Бор. В основу нової моделі атома була покладена планетарна модель Резерфорда. Бор висунув припущення, що рух електронів в атомі, випромінювання і поглинання атомами електромагнітних хвиль підпорядковуються не класичним законам, а квантовим.

Ці закони Бор сформулював у вигляді наступних постулатів:

1. Електрони, які рухаються в атомі на окремих стаціонарних рівнях, не випромінюють і не поглинають електромагнітних хвиль. В стаціонарних станах атома електрони рухаються вздовж колових орбіт, які мають дискретні значення моменту імпульсу.

mr_n= n, (1.1)

де m - маса електрона; - лінійна швидкість орбітального руху; r_n - радіус n-ї колової орбіти; n - порядковий номер стаціонарного рівня - головне квантове число; - стала Планка поділена на 2 ( = h / 2 ).

2. При переході електрона з однієї стаціонарної орбіти на іншу випроміню-ється або поглинається квант енергії

h = E_n2 - E_n1 , (1.2)

який дорівнює різниці енергій двох стаціонарних рівнів атома .

Зміст формули (1.2) має принципове значення. Він виражає два нових фундаментальних ствердження:

а) енергетичний cспектр атома дискретний;

б) частоти атомного випромінювання пов'язані з атомними рівнями.

Величезна заслуга Нільса Бора перед наукою полягає в тому, що він вперше усвідомив дискретність енергетичного спектра атома. Історичний дослід Франка і Герца був першою дослідною перевіркою цих передбачень.

Однак теорія Бора має ряд внутрішніх протиріч:

З одного боку в ній використовуються закони класичної фізики, а з іншого боку вона базується на квантових постулатах. Так результати теорії вивчення випромінювання атома водню і воднево подібних атомів блискуче співпали з експериментом. Теорія Бора також пояснила причину випромінювання лінійчатих спектрів складними атомами, періодичний закон Менделєєва і закон Мозлі. Однак залишалось не виясненим: Чому рух електронів в атомах підпорядкований двом постулатам Бора? Чому одні лінії спектра досить інтенсивні, а інші ні? Чому здійснюються лише певні переходи електронів в атомах при випромінюванні і поглинанні ними енергії?

Досить значним недоліком теорії Бора була неможливість описати з її допомогою будову атома гелію, наступного за атомом водню елемента.

Відповіді на поставлені запитання дала квантова механіка, в якій на принципово новій основі установлені закономірності руху електронів в атомах і будь-яких частинок в інших системах.

1.1.2. Гіпотеза і формула де Брoйля. Дослідне обґрунтування

корпускулярно хвильового дуалізму речовини

Дослідження Макса Планка і Альберта Ейнштейна взаємодії світла з речовиною є початком квантової теорії електромагнітного випромінювання. З квантової точки зору світло - це фотони з енергією Е і імпульсом Р:

Е = h ,

Р = h / . (1.3)

Ліві частини системи (1.3) є ознаками частинок (корпускул), а праві частини (частота і довжина хвилі) є ознаками електромагнітних хвиль. В формулах (1.3) відображено дуалізм (хвиля-частинка) світла. Світло з одного боку схоже на газ, який складається з фотонів з енергією Е і імпульсом Р. З другого боку він є неперервною електромагнітною хвилею з частотою v. В різних експериментальних умовах світло проявляє або корпускулярні, або хвильові властивості.

В 1924 році французький фізик Луї де Бройль висунув гіпотезу, яка незабаром знайшла дослідне підтвердження, згідно якої кількісні співвідношення частинок, такі ж, як і для фотонів. Сміливість гіпотези де Бройля полягає якраз в тому, що співвідношення (1.3) постулюються не лише для фотонів, але і для інших мікрочастинок, які мають масу спокою. Таким чином, будь-якій мікрочастинці, імпульс якої Р=m, відповідає хвиля з імпульсом P=h/.

Тому

, (1.4)

де m - маса частини; - швидкість руху частинки.

Формула (1.4) називається формулою де Бройля. Вона дає можливість оцінити довжину хвилі мікроскопічної частинки масою m , яка рухається з швидкістю . У макроскопічних тіл ці властивості не проявляються. Так, у тіла масою 1 г, яке летить з швидкістю 10 м/с довжина хвилі де Бройля дорівнює

Жоден прилад не зможе зареєструвати таку коротку хвилю (на сьогодні реєструють довжини порядку 10^-18 м).

У мікрочастинок (електрон, протон, нейтрон і ін.) маса співрозмірна з атомною одиницею маси, а тому довжина хвилі де Бройля при невеликих швидкостях може бути досить великою. Так, довжина хвилі електрона з кіне-тичною енергією 1 еВ дорівнює 13,3 ^. 10^-10м. Із збільшенням швидкості мікрочастинки довжина хвилі де Бройля зменшується, а при дуже великих швидкостях мікрочастинка веде себе як класична частинка.

В 1925 році після ознайомлення з дисертацією де Бройля, де описується корпускулярно-хвильовий дуалізм матерії, Ейнштейн пише Максу Борну так: «Прочитайте її! Хоч і відчувається, що цю дисертацію писав божевільний, але як солідно вона написана». Це говорить про те що в ті часи ідея де Бройля виглядала досить неправдоподібно із-за відсутності дослідного обґрунтування, яке б підтверджувало хвильові властивості елементарних частинок.

Лише в 1927 році американські фізики Девісон і Джермер виявили, що пучок електронів, який розсіювався від природної дифракційної гратки - монокристал нікелю - дає чітку дифракційну картину. Схема установки зображена на рис.1.1.

Д

Рис. 1. 1

Електронний пучок, який вилітав з нагрітої нитки катода К, прискорювався полем з різницею потенціалів U, і проходячи через ряд діафрагм Д у вигляді досить вузького пучка падав на монокристал нікелю а. Іонізаційна камера В, яка з'єднувалась з гальванометром G, вимірювала величину струму І, пропорційну числу електронів, відбитих від грані монокристала нікелю. Кут під час досліду залишався сталим.

Дослід полягав в тому, що вимірювався струм І через гальванометр, як функція прискорюваної різниці потенціалів U. В результаті досліду було установлено, що при монотонній зміні прискорюваної різниці потенціалів U, струм гальванометра змінювався не монотонно, а давав ряд максимумів. Графік залежності струму І від величини U показано на рис.2.

Рис. 1.2

Одержана залежність I=f() характеризується рядом майже однаково віддалених максимумів сили струму. Звідси випливає, що відбивання електронів здійснюється лише при певних різницях потенціалів, тобто при відповідних швидкостях електронів.

Аналогічне явище спостерігається при відбиванні рентгенівських променів від кристала кварцу. Відбивання у певному напрямі характеризується кутом згідно закону Вульфа-Брегга

2d sin = k , (1.5)

де - довжина рентгенівської хвилі ; d - стала кристалічної гратки; k - порядок відбивання.

Порівнявши наведені факти, можна зробити висновок, що електронний пучок проявляє хвильові властивості і при цьому довжина хвилі електронного пучка залежить від швидкості електронів.

Дійсно, oскільки d й в умовах досліду є незмінними, виконання умови (1.5) з хвильової точки зору визначається значенням довжини хвилі . Числову відповідність результатів розсіювання електронного пучка з умовою (1.5) можна одержати, якщо довжину хвилі електронного пучка зв'язати з швидкістю електронів за допомогою формули де Бройля

, (1.6)

де h - стала Планка ; m - маса електрона.

Швидкість електронів , які пройшли прискорювану різницю потенціалів U знайдемо з умови

. (1.7)

Звідки

. (1.8)

Підставивши (1.8) в (1.6), одержимо:

. (1.9)

Довжину хвилі з (1.9) підставимо в (1.5)

. (1.10)

Рівність (1.10) визначає ті значення різниці потенціалів U, при яких струм І через гальванометр досягає максимумів.

Так як в умовах досліду кут є сталим, то для різних максимумів, при певних значеннях k з (1.10) маємо

, (1.11)

де - стала величина в умовах цього досліду.

Таким чином, значення U , які відповідають максимумам струму І, відрізняються між собою на сталу величину С.

Дещо інший варіант цього досліду здійснив Тартаковський, який спостерігав дифракцію повільних електронів при проходженні ними тонкої алюмінієвої фольги. Схему досліду Тартаковського зображено на рис.1.3.

Рис.1.3.

На рис.1.3 К - нагрітий катод, який є джерелом електронів; А - сітка, яка створює прискорюване поле для цих електронів; Д - діафрагма, яка дозволяє виділити вузький пучок електронів; В - алюмінієва фольга; Е - пластинка з двома круглими отворами, через які можуть пройти лише ті електрони, які розсіялись під кутом . Далі розміщена пластина F, з'єднана з електрометром G, за допомогою якого вимірюють електричний струм I.

Дослід полягав у вимірюванні електричного струму I, як функції прискорюваної різниці потенціалів U. В цьому випадку розрахунок дифракційної картини повністю співпадає з експериментальними результатами, якщо довжина хвилі електрона визначається формулою (1.6).

Слід відмітити, що експериментальним методом виявлено хвильові властивості у нейтральних атомів і молекул, а також і у нейтронів.

1.1.3. Співвідношення невизначеностей. Межі використання

законів класичної фізики

В класичній механіці траєкторія руху тіла характеризується точними значеннями координати x(t) і імпульсу p(t) в довільний момент часу t, причому ці два параметри зв'язані між собою. Наприклад, рівномірний і прямолінійний рух тіла масою m з швидкістю виражається координатою х(t) = t і імпульсом p(t)=m, звідки одержуємо, що х(t)= p(t)t /m.

В мікросвіті частинки проявляють при одних умовах хвильові властивості, при інших умовах - корпускулярні. Якщо виходити лише з корпускулярних властивостей , то згідно теорії Н. Бора можна визначити точне значення координати частинки в просторі. У випадку хвильових властивостей елементарних частинок поняття координати хвилі немає фізичного змісту.

В квантовій фізиці з урахуванням хвильових властивостей частинок показано, що у частинки не існує одночасно точних значень координат і імпульсу і що ці величини між собою навіть не пов'язані. Якщо імпульс частинки має точне значення, то її місце знаходження невизначене і навпаки. Така закономірність мікросвіту відображена співвідношеннями невизначеностей Гейзенберга.

Розглянемо дифракцію електронів на одній щілині. Нехай пучок електронів з швидкістю летить в напрямі осі OY так, як це показано на рис. 1.4.

Рис.1.4

Екран АВ з щілиною шириною d розміщено перпендикулярно до пучкаa. На другому екрані СД одержано розподіл інтенсивності, який співпадає з розподілом інтенсивності при дифракції світла від однієї щілини. На рис. 1.4 цей розподіл зображено пунктирною лінією. Максимум нульового порядку одержано при куті дифракції , який задовольняє умові :

, (1.12)

де - довжина хвилі, яка відповідає пучку електронів.

З рис. 1.4 видно, що переважна більшість електронів формують нульовий максимум, тому вторинними максимумами в цьому випадку можна знехтувати. Якщо уявити електрони у вигляді механічних частинок, то можна стверджувати, що при їх русі з швидкістю в напрямі осі OX їх положення визначається з точністю до ширини щілини, тобто

. (1.13)

В той же час, внаслідок дифракції змінюється напрям швидкості частинок. Враховуючи лише ті електрони, які формують центральний максимум дифракції, похибку у визначенні проекції імпульсу на напрям осі OX знайдемо із умови

. (1.14)

З урахуванням (1.12) і (1.13) одержимо

. (1.15)

А так як не всі електрони формують центральний максимум, тому

, (1.16)

де x і p_x - похибки у визначені координати і імпульсу частинки; h - стала Планка.

Співвідношення (1.16) можна узагальнити для всіх напрямків, тому:

,

, (1.17)

.

Це і є співвідношення невизначеностей Гейзенберга.

Так як точні значення координати і імпульсу для мікрочастинки не існують, то про траєкторію частинки в мікросвіті можна говорити лише з певним наближенням. З цієї точки зору електрони в атомі не мають точних значень електронних орбіт.

В квантовій теорії використовується також співвідношення невизначеностей для енергії Е і часу t, тобто невизначеності цих параметрів задовольняють умові

, (1.18)

де E - похибка у визначенні енергії частинки; t - похибка у визначенні часу, коли частинка має енергію E.

Cпіввідношення невизначеностей неодноразово були предметом філо-софських дискусій. Однак вони не виражають собою яких небуть обмежень пізнання мікросвіту, а лише указують межі використання в таких випадках понять класичної механіки.

1.2.Основні поняття квантової механіки

1.2.1. Поняття стану частинки в квантовій механіці. Хвильова

функція і її статистичний зміст. Стандартні умови.

1.2.2 Загальне (часове) рівняння Шредінгера.

1.2.3. Рівняння Шредінгера для стаціонарних станів.

1.2.1. Подання стану частинки в квантовій механіці. Хвильова

функція і її статистичний зміст. Стандартні умови

В класичній механіці при одномірному русі вздовж осі х стан частинки в кожний момент часу t задається двома величинами: координатою частинки x(t) і її швидкістю або імпульсом частинки . Таке визначення стану частинки є головним вихідним моментом побудови класичної механіки.

В фізиці мікрочастинок з наявністю у них хвильових властивостей, класичне визначення стану частинки втрачає будь-який зміст, а з ним і поняття сили, яка за визначенням є функцією класичного стану.

Встановити фізичний зміст квантового стану допомогло відкриття корпускулярно-хвильового дуалізму матерії. В квантовій фізиці стан частинки задається хвильовою функцією, яка є комплексною величиною і визначається у всіх точках простору і в будь-який момент часу.

Аналогічно класичним хвилям рух елементарних частинок характеризується хвилями де Бройля.

Рівняння хвилі де Бройля елементарної частини називається хвильовою функцією і позначається. Хвильова функція r,t) не має жодного відношення до механічних хвиль. Класичні хвилі поширюються в пружних середовищах, а елементарні частинки можуть рухатись також і у вакуумі. Слід мати на увазі, що хвилі де Бройля властиві будь-яким частинкам, як зарядженим так і нейтральним, в той час як електромагнітні хвилі випромінюються лише зарядженими частинками при їх прискореному русі.

Для класичних хвиль характерні найбільш суттєві властивості, такі як енергія, імпульс, інтенсивність, яка визначається квадратом амплітуди хвилі.

Поняття фізичного змісту хвильової функції прийшло після того, як вияснилось, що в інтерференції хвиль де Бройля проявляються властивості окремих частинок, а не їх системи. Це підтверджується незалежністю інтерференції від інтенсивності частинок в пучку. Інтерференція спостерігається навіть в тих випадках, коли за час польоту від джерела до детектора пролітає лише одна частинка. Цей факт можна тлумачити так лише у випадках, коли рух будь-якої мікрочастинки підпорядковується статистичним закономірностям.

За аналогією з класичними хвилями знайдемо фізичний зміст квадрата модуля хвильової функції

, (1.19)

де -функція, комплексно спряжена до

В досліді Девісона і Джермера, схема якого показана на рис.1.1 встановлено, що струм, який реєструється гальванометром, пропорційний квадрату модуля хвильової функції

. (1.20)

З іншого боку величина цього струму пропорційна також об'єму детектора dV

. (1.21)

З урахуванням (1.20) і (1.21) маємо:

. (1.22)

Якщо імовірність попадання частинок в детектор дорівнює dp, то величина струму гальванометра буде також пропорційною величині цієї імовірності

I = k₂dp. (1.23)

Прирівнявши рівності (1.22) і (1.23), одержимо:

. (1.24)

Завжди можна вибрати значення хвильової функції такою, щоб k₁=k_2. Тоді (1.24) набуде вигляду

. (1.25)

Звідки

. (1.26)

Квадрат модуля хвильової функції (1.26) визначає густину імовірності виявити частинку в точці з радіусом-вектором в момент часу t. Квантова механіка на відміну від класичної дає імовірнісне пояснення квантового стану, а хвильова функція має статичний зміст.

При відомій хвильовій функції рівність (1.26) дозволяє визначити імовірність виявити частинку в об'ємі dV

. (1.27)

Якщо частинка знаходиться в довільній точці простору, то ця подія є достовірною, а імовірність такої події дорівнює одиниці, тобто

dV =1. (1.28)

Умова (1.28) називається умовою нормування.

Як бачимо, квантова механіка має статистичний характер; у ній не ставиться питання про знаходження положення частинки або її траєкторії в просторі, так як завдяки хвильових властивостей мікрочастинок такі питання взагалі втрачають зміст. В квантовій механіці за допомогою хвильової функції визначається лише імовірність виявлення мікрочастинки в різних точках простору. З сказаного випливає, що хвильова функція повинна задовольняти певним обмежувальним умовам, які ще називаються стандартними умовами: воно має бути скінченою, однозначною і неперервною, так як імовірність не може бути більшою за 1; бути неоднозначною і змінюватись стрибкоподібно.

1.2.2. Загальне часове рівняння Шредінгера і його аналіз

В класичній механіці рівняння одновимірного руху частинки дозволяє

одержати її координату x(t) і імпульс p(t) за їх початковими значеннями x(0) і p(0). Таким рівнянням руху є другий закон Ньютона.

(1.29)

де m - маса частинки; - прискорення руху частинки;

- градієнт потенціальної енергії, зміна якої визначається діючою силою.

З визначення квантового стану рівняння руху квантової частинки має задавати зміну в часі хвильової функції . Так як квантовий стан характеризує лише одна хвильова функція, то відповідне квантове рівняння руху повинно містити лише першу похідну за часом від хвильової функції. В інших випадках таке рівняння не буде погоджуватись з визначенням квантового стану .

Рівняння руху квантової нерелятивістської частинки в силовому полі називається рівнянням Шредінгера, так як вперше в 1926 році було сформульовано німецьким фізиком Е. Шредінгером.

Справедливість цього рівняння обгрунтована тим, що всі висновки які випливають із нього, знайшли своє експериментальне підтвердження. Рівняння Шредінгера відіграє в квантовій механіці таку ж роль, як і рівняння Ньютона в класичній.

В загальному випадку рівняння Шредінгера має вигляд

(1.30)

де m- маса частинки ; - потенціальна енергія частинки в силовому полі; - уявна одиниця; - стала Дірка;

- оператор Лапласа.

Із-за присутності в рівнянні Шредінгера (1.30) уявної одиниці хвильова функція , яка задовольняє цьому рівнянню, завжди комплексна. Не кожна функція може бути розв'язком рівняння (1.30). Перш за все ця функція повинна бути скінченою, неперервною і мати неперервні перші похідні. Ці вимоги мають чисто математичний характер. Крім того - хвильова функція повинна бути однозначною , інакше буде порушений її фізичний зміст.

Рівняння Шредінгера за часом є лінійним диференціальним рівнянням 1-го порядку. Із теорії диференціальних рівнянь відомо, що кожне лінійне рівняння в частинних похідних повинно мати безліч розв'язків, причому таких, що всяка лінійна комбінація будь-якої сукупності розв'язків теж буде його розв'язком.

Слід зауважити, що рівняння Шредінгера, подібно до законів Ньютона в класичній механіці, не є результатом якогось теоретичних доведень, а є узагальненням багатьох дослідних фактів, встановлених при вивченні мікросвіту. Відмітимо також, що рівняння Шредінгера описує рух частинок, швидкість яких значно менша швидкості світла, так як співвідношення між кінетичною енергією і імпульсом справедливе лише при цих умовах. В релятивістському випадку для описання хвильових властивостей мікрочастинок слід користуватись іншими рівняннями, наприклад рівняннями Дірака чи Клейна-Гордона.

1.2.3. Рівняння Шредінгера для стаціонарних станів

Потенціальна енергія частинки залежить від координат x, y, z і часу t. Якщо потенціальна енергія U від часу не залежить і відповідно повна енергія також не змінюється з часом, то хвильову функцію можна подати у вигляді добутку двох співмножників

. (1.31)

Перший співмножник в (1.31) залежить лише від часу, а другий - лише від координат ().

Розв'язки рівняння Шредінгера, для яких потенціальна енергія, а також густина імовірностей не змінюються з часом, називаються стаціонарними. Стаціонарні стани не виключають залежності хвильової функції від часу, а лише обмежують її гармонічним законом .

Підставимо хвильову функцію (1.31) в рівняння Шредінгера (1.30)

.

Після скорочення на експоненту, одержуємо:

, (1.32)

де ; Е - повна енергія частинки; - потенціальна енергія частинки , яка є функцією лише координат; - хвильова функція; m - маса частинки; - стала Дірака ().

Стаціонарне рівняння Шредінгера (1.32) є однорідним лінійним диференціальним рівнянням другого порядку відносно координат x, y, z. У випадку, коли =0, це рівняння не має фізичного змісту. В рівнянні Шредінгера для стаціонарних станів є єдиний вільний параметр - повна енергія частинки Е. При деяких значеннях повної енергії це рівняння може мати нульові розв'язки. Ті значення повної енергії, при яких рівняння (1.32) буде мати нульові розв'язки, називаються власними значеннями. Кожному такому власному значенню енергії відповідає свій розв'язок рівняння (1.32).

Стаціонарне рівняння Шредінгера дає не лише значення хвильової функції, але й значення цієї функції в стаціонарних станах.

1.3. Найпростіші задачі квантової механіки

1.3.1. Рух вільної частинки.

1,3.2. Частинка в одновимірному потенціальному ящику.

1.3.3. Гармонічний квантовий осцилятор.

1.3.4. Проходження частинки крізь потенціальний бар'єр.

Тунельний ефект.

1.3.1. Рух вільної частинки

Найпростішим рухом квантової частинки є вільний рух. Прикладом такого руху є рух електронів в металах і напівпровідниках. В цьому випадку потенціальна енергія частинок дорівнює нулю. При вільному русі повна енергія частинки збігається з кінетичною, а її швидкість є сталою величиною. Такому рухові в класичній механіці відповідає рівномірний і прямолінійний рух.

Нехай рівномірний рух квантової частинки відбувається в напрямі осі х, яка співпадає з напрямком вектора швидкості. Стаціонарне рівняння Шредінгера для вільної частинки запишеться:

(1.33)

де m - маса частинки; Е - повна енергія частинки.

Рівняння (1.33) є диференціальним рівнянням другого порядку з сталими коефіцієнтами, розв'язком якого може бути функція

(1.34)

де А і к - сталі величини; і - уявна одиниця.

Підстановка (1.34) в (1.33) дасть тотожність

Звідки (1.35)

В співвідношенні (1.35) к - хвильове число хвиль де Бройля; Е - повна енергія частинки; m - маса частинки.

Енергія вільної частинки із рівності (1.35) дорівнює

(1.36)

Хвильове число к може набувати довільних значень, так як вільні частинки в системі можуть мати практично будь-які постійні швидкості. Це говорить про те, що енергетичний спектр вільних частинок є суцільним.

Густина імовірності перебування вільної частинки в довільних точках осі х дорівнює

де - комплексна спряжена хвильова функція. Звідки

Густина імовірності вільної частинки в будь-якій точці осі х є сталою величиною. Невизначеності вільної частинки в координаті в такому випадку дорівнюють безмежності. Цей висновок є добрим підтвердженням співвідношення невизначеностей Гейзенберга.

1.3.2. Частинка в одновимірному потенціальному ящику

Розглянемо приклад просторово-обмеженого одновимірного руху квантової частинки в глибокому потенціальному ящику з вертикальними стінками, шириною l. Потенціальна енергія електрона зовні і всередині такого ящика має наступні значення:

U(x)=0 при 0xl, (1.37)

U(x)= при x0 й x l

Графік залежності потенціальної енергії частинки U(x) від х показаний на рис 1.5.

Частинка в такому ящику може вільно рухатись на ділянці 0хl. На кінцях цього інтервалу вона стикається з абсолютно твердими стінками. Непрозорість цих стінок визначається необмеженим ростом потенціальної енергії U(x) в точках х=0 і х=l.

Рис. 1.5

Прикладом руху електрона в потенціальному ящику може бути рух колективізованих електронів усередині металу. Як відомо, в класичній електронній теорії вважали, що поза металом потенціальна енергія електрона дорівнює нулю, а всередині металу - вона від'ємна і чисельно дорівнює роботі виходу електрона з металу. Інакше кажучи, вважали, що рух електронів обмежений потенціальним бар'єром прямокутної форми з плоским дном. В нашому випадку потенціальний ящик значно простішої форми ніж реальний випадок електрона в металі.

Так як частинка не виходить за межі ділянки 0хl, то імовірність знайти її за межами цієї ділянки дорівнює нулю. Це означає, що рівняння Шредінгера для стаціонарних станів можна доповнити граничними умовами і

Запишемо рівняння Шредінгера для частинки в потенціальному ящику

(1.38)

де m - маса частинки; - стала Дірака; Е - повна енергія частинки; (х) - хвильова функція.

Введемо позначення

(1.39)

де к - хвильове число хвиль де Бройля для електрона, який перебуває усередині потенціального ящика.

Рівняння (1.38) набуде вигляду

(1.40)

Знайдемо розв'язок рівняння (1.40), подібно до аналогічних диференціальних рівнянь гармонічних коливань, в тригонометричній формі

(1.41)

де А,В і С - сталі величині.

З граничних умов одержуємо:

а) (0)=0; 0=АcosB^.0+CsinB^.0

Звідки А=0; В0 і С0.

б) (l)=0; 0=CsinB^.l.

звідки при С0, Вl=n, або де n = 1,2,3........

Хвильова функція з урахуванням граничних умов набуде вигляду:

(1.42)

Константу С у формулі (1.42) знайдемо із умови нормування

(1.43)

або

. (1.44)

Другий інтеграл у виразі (1.44) при будь-яких значеннях n дорівнює нулю, тому

звідки

Хвильова функція, яка описує квантовий рух частинки в потенціальному ящику має вигляд:

(1.45)

При підстановці (1.45) в (1.38) одержуємо тотожність:

.

Звідки

(1.46)

тобто енергія Е електрона в потенціальному ящику не може бути довільною. Вона набуває лише дискретних власних значень Е(n). Імовірність виявити в межах потенціального ящика електрон з іншою енергією, ніж (1.46) дорівнює нулю.

Енергетичний спектр і густина імовірності частинки в потенціальному ящику показана на рис. 1.6.

Рис.1.6

Число n в формулі (1.46) визначає вид хвильової функції і енергію частинки в стані з цією хвильовою функцією, називається квантовим числом. Покажемо, що для частинки в потенціальному ящику можливі лише такі енергетичні рівні, на яких викладається ціле число півхвиль де Бройля. При аналізі граничних умов було показано, що kl=n, де - хвильове число хвиль де Бройля. З урахуванням останнього маємо:

(1.47)

Співвідношення (1.47) показує, що в потенціальному ящику можливі лише такі стани частинки, при яких на ширині потенціального ящика l вкладається ціле число півхвиль де Бройля (Рис.1.7).

Рис 1.7

Незбуреному стану частинки відповідає енергія

(1.48)

Значення цієї енергії Е₁0 свідчить про те, що частинка в потенціальному ящику ніколи не зупиняється і що невизначеність Р_х імпульсу частинки не може бути меншою за величину

(1.49)

Однак в потенціальному ящику шириною l положення частинки визначається похибкою, яка співрозмірна з шириною ящика хl

Тому

х^.Р_х, (1.50)

що перебуває у повній відповідності із співвідношенням невизначеностей імпульс - координата.

Покажемо, як залежить ширини енергетичного інтервалу Е від розмірів потенціального ящика. У потенціальному ящику з розмірами l=10^-9м. Власні значення енергії електрона утворюють послідовність енергетичних рівнів, енергетична відстань між якими дорівнює

E=E_n+1-E_n.

Або

Дж.

В електрон-вольтах ця енергія дорівнює

Коли ширина потенціального ящика співрозмірна з розмірами атома, енергетичний інтервал між сусідніми енергетичними рівнями досить значний, а спектр є дискретним.

У випадку, коли потенціальний ящик має мікроскопічні розміри l10^-2м., енергетичний інтервал між сусідніми рівнями дорівнює

Дж=0,34^.10^-14(2n+1) eB.

Для такого потенціального ящика квантуванням енергії можна знехтувати. Вона нічим не відрізняються від значень енергії, одержаних класичними методами.

Аналогічні результати можна одержати для великих квантових чисел n. У цьому випадку проявляється принцип відносності, встановлений Бором у 1923р.

При великих квантових числах висновки і результати квантової механіки збігаються з відповідними класичними результатами.

1.3.3. Гармонічний квантовий осцилятор.

Просторово-обмеженим є також рух квантового осцилятора. З класичної точки зору осцилятором може бути будь-яка матеріальна точка, яка здійснює гармонічні коливання під дією квазіпружної сили.

F=-kx, де k=m (1.51)

Потенціальна енергія класичного осцилятора знаходиться за формулою

де m - маса частинки; - циклічна частота осцилятора.

Графічна залежність енергії класичного осцилятора показана на рис.1.8.

Рис. 1.8

.

З рисунка видно, що осцилятор може мати практично довільну енергію, навіть рівну нулю. В точках -а і +а кінетична енергія осцилятора дорівнює нулю, а потенціальна енергія досягає свого максимуму. За межі області (-а, +а) класичний осцилятор вийти не може.

Квантовим осцилятором може бути лише елементарна частинка, яка поряд з корпускулярними властивостями проявляє і хвильові властивості. Прикладом квантового осцилятора може бути коливний рух атомів і молекул у вузлах кристалічної гратки. Потенціальна енергія квантового осцилятора має таку ж математичну залежність, що і класичний осцилятор (1.52).

Стаціонарне рівняння Шредінгера для лінійного гармонічного осцилятора має вигляд:

(1.53)

де m - маса квантової частинки; - циклічна частота; Е - повна енергія частинки.

Знаходження хвильових функцій квантового осцилятора є досить складною математичною задачею. Тому, опускаючи такі розв'язки, наводимо енергетичний спектр квантового осцилятора. Він має вигляд

(1.54)

де n= 0,1,2,3,..... - любе ціле число, починаючи з нуля; - циклічна частота; - стала Дірака.

Аналіз рівняння (1.54) показує, що енергетичний спектр квантового осцилятора є дискретним і що власні значення енергії дорівнюють:

В енергетичному спектрі (1.54) проміжки між енергетичними рівнями не залежать від квантового числа n, а є однаковими

(1.55)

Як показано на рис. 1.9, де енергетичний спектр квантового осцилятора суміщається з аналогічним спектром класичного осцилятора, квантовий осцилятор не має значень енергії, рівних нулю.

Найменше значення енергії квантового осцилятора дорівнює

(1.56)

Меншої енергії квантовий осцилятор не може мати навіть при абсолютному нулі температур.

Рис. 1.9

Покажемо наближеним способом, що енергія квантового осцилятора квантується. З рис 1.10 видно, що на відрізку l=2х₀ вкладається ціле число півхвиль де Бройля, тобто

(1.57)

Рис 1.10

де - середнє значення довжини хвилі де Бройля.

Звідки

(1.58)

Середнє значення імпульсу кванта хвилі де Бройля

(1.59)

Середня кінетична енергія такого осцилятора

(1.60)

Відомо, що повна енергія Е перевищує середнє значення кінетичної енергії в два рази, тобто

(1.61)

З іншої точки зору повна енергія квантового осцилятора дорівнюватиме максимальній потенціальній енергії

(1.62)

Перемножимо рівності (1.61) і (1.62)

(1.63)

Або

(1.64)

В межах точності наших міркувань 1, тому

(1.65)

де n =1,2,3,... - цілі числа.

Наближений розрахунок показує, що енергія квантового осцилятора набуває ряду дискретних значень, тобто квантується.

Точне значення енергії квантового осцилятора для не збудженого, нульового рівня можна одержати із рівняння Шредінгера (1.53), якщо згідно рис. (1.10) скористатись функцією Гаусса, яка дорівнює

(1.66)

де а - стала величина, яку слід визначити.

Другу похідну від (1.66) підставимо в (1.53)

звідки

. (1.67)

Тотожність (1.67) має місце при рівності коефіцієнтів при х² і вільних членів, тобто

(1.68)

Система рівнянь (1.68) дає значення енергії Е і сталої величини а

(1.69)

Таким чином функція Гаусса є розв'язком рівняння Шредінгера (1.53) лише за умови, коли .

В цьому випадку

. (1.70)

Слід відмітити, що так як відстань між суміжними рівнями енергії квантового осцилятора дорівнює то з урахуванням одержуємо енергетичний спектр квантового осцилятора у вигляді

(1.71)

де n = 0,1,2,3....

1.3.4.Проходження частинки крізь потенціальний бар'єр. Тунельний ефект.

Класична частинка не може перебувати в тих місцях, де її потенціальна енергія U(x) перевищувала б повну енергію частинки E. Щодо квантової частинки, то вона має таку властивість із-за того, що існує відмінна від нуля імовірність проникнення її крізь потенціальний бар'єр, тобто в область, де U(x) E

Проведемо оцінку цієї імовірності шляхом розв'язування наступної задачі. Нехай квантова частинка з масою , рухаючись в напрямі осі х, вдаряється в потенціальний бар'єр кінцевої висоти U₀, тобто

причому енергія частинки менша висоти бар'єра U₀, (рис. 1.11).

Рис. 1.11

В області потенціального бар'єра рівняння Шредінгера для стаціонарних станів набуде вигляду

(1.72)

Якщо позначити вираз через , то рівняння (1.72) перепишеться

. (1.73)

Розв'язком рівняння (1.34) може бути функція

, (1.74)

де А і В - деякі константи, і - уявна одиниця.

Експонента з додатним знаком фізичного змісту не має і може бути відкинута, так як не повинно бути зростання імовірності в області потенціального бар'єра. Тому в області потенціального бар'єра (х), хвильова функція частинки _x визначається рівністю

_x = Be^-ix (1.75)

Коефіцієнт В у виразі (1.75) пов'язаний з інтенсивністю променя частинок, які рухаються в напрямі бар'єра, а тому задається довільно. Як правило х координати частинок розподіляються з густиною імовірності

, (1.76)

де 0 дорівнює значенню _x² при х=0.

Рівняння (1.76) показує, що із збільшенням глибини проникнення в область потенціального бар'єра, густина імовірності х зменшується експоненційно. Це зменшення буде тим швидше, чим більша різниця енергій U₀ - E.

Знайдемо глибину проникнення елементарної частинки в область потенціального бар'єра при умові, що = 9,1 10^-31кг (електрон), U₀ - E = 10^-4 eB, а густина імовірності (х на цій відстані зменшується в е разів

.

Ця відстань перевищує на два порядки діаметр атома водню. Глибина проникнення зменшується на порядок, якщо різниця енергій U₀ - E зросте до 10^-2 еВ.

Здатність квантових частинок проникати в область потенціального бар'єра приводить до тунельного ефекту. Його суть полягає в проникненні частинки із однієї області в іншу область, які поділені потенціальним бар'єром навіть в тих випадках, коли енергія частинки Е менше висоти потенціального бар'єра U₀.

Таке проходження частинки виявляється можливим дякуючи існуванню під бар'єром хвильової функції, яка «прокладає» шлях частинки на будь-яку відстань. Тунельний ефект є головною причиною - розпаду радіоактивних ядер.

Фізика атомів і молекул

Атом водню

Використання рівняння Шредінгера до атома водню.

Хвильова функція. Квантові числа.

Енергія атома водню і його спектр. Виродження рівнів.

Правила відбору.

Механічний і магнітний моменти атома водню.

2.1.1.Використання рівняння Шредінгера до атома водню.

Хвильова функція. Квантові числа.

Теорія Бора будови і властивостей енергетичних рівнів електронів у воднево подібних системах знайшла своє підтвердження в квантовій механіці. Квантова механіка також стверджує, що:

електрони в атомах водню знаходяться лише в дискретних енергетичних станах. При переході електронів із одних станів в інші випромінюється або поглинається фотон;

б).не існує певних колових орбіт електронів. В силу хвильової природи електрони «розмиті» в просторі подібно до хмарки негативного заряду. Розміри і форму такої хмарки в заданому стані можна розрахувати.

Розглянемо рух електрона в кулонівському полі ядра з зарядом Ze, потенціальна енергія якого виражається формулою

, (2.1.1)

де r - відстань між електроном і ядром.

Стан електрона в атомі водню або воднево подібному атомі описується деякою хвильовою функцією , яка задовольняє стаціонарному рівнянню Шредінгера:

, (2.1.2)

де - оператор Лапласа; Е - значення повної енергії електрона в атомі; m - маса частинки; _(x,y,z) - хвильова функція в декартові системі координат.

Для розв'язування рівняння Шредінгера (2.1.2), тобто знаходження виду хвильової функції для електрона в атомі водню слід перейти від декартових координат до сферичних. В цьому випадку зв'язок між параметрами цих систем координат визначається з рис.2.1.

Рис.2.1.

Співвідношення, які зв'язують координати x,y,z декартової прямокутної системи координат з сферичними координатами r, , наступні:

(2.1.3)

Таким чином можна вважати, що хвильова функція електрона в атомі водню залежить від сферичних координат, тобто r, .

Опустивши не складні, але досить громіздкі перетворення переходу від декартової системи координат до сферичної, одержимо: