Метод конечных элементов

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Курсовая работа

“Метод конечных элементов”

Выполнила

Студентка 390 группы

Шумкина М.В.

Проверил

к.ф.-м.н. , доцент

Слезко И.В.

Тюмень 2012

Оглавление

• Введение
• История развития метода
• Метод взвешенных невязок
• Общий алгоритм статического расчета МКЭ
• Ошибки метода конечных элементов
• Решение задач методом конечных элементов
• Заключение
• Список литературы

Введение

Метод конечных элементов (МКЭ) -- численный метод решения задач прикладной физики. Метод широко используется для решения задач механики деформируемого твёрдого тела, теплообмена, гидродинамики и электродинамики.

МКЭ основан на идее аппроксимации непрерывной функции (в физической интерпретации - температуры, давления, перемещения и т.д.) дискретной моделью, которая строится на множестве кусочно-непрерывных функций, определенных на конечном числе подобластей, называемых конечными элементами. Исследуемая геометрическая область разбивается на элементы таким образом, чтобы на каждом из них неизвестная функция аппроксимировалась пробной функцией (как правило, полиномом). Причем эти пробные функции должны удовлетворять граничным условиям непрерывности, совпадающим с граничными условиями, налагаемыми самой задачей. Выбор для каждого элемента аппроксимирующей функции будет определять соответствующий тип элемента.

С точки зрения вычислительной математики, идея метода конечных элементов заключается в том, что минимизация функционала вариационной задачи осуществляется на совокупности функций, каждая из которых определена на своей подобласти.

История развития метода

Возникновение метода конечных элементов связано с решением задач космических исследований в 1950-х годах (идея МКЭ была разработана советскими учёными ещё в 1936 году, но из-за неразвитости вычислительной техники метод не получил развития). Этот метод возник из строительной механики и теории упругости, а уже затем было получено его математическое обоснование. Существенный толчок в своём развитии МКЭ получил в 1963 году после того, как было доказано то, что его можно рассматривать как один из вариантов распространённого в строительной механике метода Рэлея -- Ритца, который путём минимизации потенциальной энергии сводит задачу к системе линейных уравнений равновесия. После того, как была установлена связь МКЭ с процедурой минимизации, он стал применяться к задачам, описываемым уравнениями Лапласа или Пуассона. Область применения МКЭ значительно расширилась, когда было установлено (в 1968 году), что уравнения, определяющие элементы в задачах, могут быть легко получены с помощью вариантов метода взвешенных невязок, таких как метод Галёркина или метод наименьших квадратов. Это сыграло важную роль в теоретическом обосновании МКЭ, так как позволило применять его при решении многих типов дифференциальных уравнений. Таким образом, метод конечных элементов превратился в общий метод численного решения дифференциальных уравнений или систем дифференциальных уравнений.

К семидесятым годам относится появление математической теории конечных элементов. Здесь можно выделить труды И. Бабушки, Р. Галлагера, Ж. Дек-лу, Дж. Одена, Г. Стренга, Дж. Фикса. Значительный вклад в разработку теоретических основ МКЭ внесли и российские ученые. В. Г. Корнеев указал на совпадение математической сущности МКЭ и ВРМ. Сопоставление МКЭ с рядом вариационных методов приведено в трудах Л. А. Розина. Под руководством А. С. Сахарова разработана моментная схема конечных элементов.

С развитием вычислительных средств возможности метода постоянно расширяются, также расширяется и класс решаемых задач. Практически все современные расчёты на прочность проводят, используя метод конечных элементов.

Метод взвешенных невязок

МКЭ основывается на методе взвешенных невязок, суть которого заключается в следующем: подбирается функция, удовлетворяющая дифференциальным уравнениям и краевым условиям, но подбирается не произвольно, поскольку такой подбор вряд ли возможен уже в двумерном пространстве, а с использованием специальных методов.

Пусть состояние некоторой среды описывается следующим дифференциальным оператором, с заданным граничным условием:

Здесь L - дифференциальный оператор (например, оператор Лапласа),

V - фазовая переменная - неизвестная функция, которую следует найти,

P - величина, независящая от V,

V(Г) = V_г - граничное условие первого рода (Дирихле), то есть на границе задано значение фазовой переменной.

Будем искать решение с помощью функции, имеющей следующий вид:

(1)

Здесь V* - приближённое решение,

F - функция, удовлетворяющая граничным условиям,

N_m - пробные функции, которые на границе области должны быть равны нулю,

A_m - неизвестные коэффициенты, которые необходимо отыскать из условия наилучшего удовлетворения дифференциальному оператору,

M - количество пробных функций.

Если подставить V* в исходный дифференциальный оператор, то получим невязку, принимающую в различных точках области разное значение:

(2)

Необходимо сформулировать условие, позволяющее минимизировать эту невязку по всей области. Одним из вариантов такого условия может быть следующее уравнение:

Здесь W_n - некоторые весовые функции, в зависимости от выбора которых различают варианты метода взвешенных невязок,

S - область пространства, в которой ищется решение.

При выборе в качестве весовых функций дельта-фукций будем иметь метод, который получил название метод поточечной коллокации, для кусочно-постоянных функций - метод коллокации по подобластям, но наиболее распространенным является метод Галёркина, в котором в качестве весовых функций выбираются пробные функции N. В этом случае, если количество пробных функций равно количеству весовых функций, после раскрытия определенных интегралов приходим к замкнутой системе алгебраических уравнений относительно коэффициентов A.

где коэффициенты матрицы K и вектора Q вычисляются по формулам:

После нахождения коэффициентов A и подстановки их в (1), получаем решение исходной задачи.

Недостатки метода взвешенных невязок очевидны: поскольку решение ищется сразу по всей области, то количество пробных и весовых функций должно быть значительным для обеспечения приемлемой точности, но при этом возникают трудности при вычислении коэффициентов Kij и Qi, особенно при решении плоских и объемных задач, когда потребуется вычисление двойных и тройных интегралов по областям с криволинейными границами. Поэтому на практике этот метод не использовался, пока не был изобретен метод конечных элементов.

Идея МКЭ заключается в том, чтобы в методе взвешенных невязок воспользоваться простыми пробными и весовыми функциями, но не во всей области S, а в её отдельных подобластях (конечных элементах). Точность решения задачи необходимо обеспечить использованием большого числа конечных элементов (КЭ), при этом КЭ могут быть простой формы и вычисление интегралов по ним не должно вызывать особых затруднений. Математически переход от метода взвешенных невязок к МКЭ осуществляется с использованием специальных пробных функций, которые также называются глобальными базисными функциями, обладающих следующими свойствами:

1) в узле аппроксимации функции имеют значение равное единице;

2) функции отличны от нуля только в КЭ, содержащих этот узел аппроксимации, во всей остальной области равны нулю.

Общий алгоритм статического расчета МКЭ

В принципе общий алгоритм расчета МКЭ сводится к последовательности шагов (матричных операций), в результате выполнения которых определяются необходимые параметры решения задачи (перемещения, деформации, напряжения). На практике расчеты по МКЭ всегда выполняются с применением компьютерных технологий, реализующих известные матричные формулы и выражения для получения промежуточных и конечных результатов.

Ниже приведены основные этапы статического расчета конструкции МКЭ.

1.Дискретизация конструкции.

Рассматриваемая область представляется в виде совокупности конечных элементов, соединенных между собой в узловых точках. Сами элементы могут иметь различную форму и размеры, например, в виде стержня, треугольной пластинки, прямоугольной в плане оболочки, пространственного тетраэдра (рис. 1, а). Выбор типа КЭ и общего их числа зависит от вида и формы конструкции, от требуемой точности, от характера внешней нагрузки и наложенных связей. Например, при расчете стержневых систем каждый стержень постоянного сечения принимается за отдельный элемент (рис. 1, б). Решение в этом случае получается точным.

Дискретизация континуальных систем (пластины, оболочки, массивы) является более сложной задачей. Общих рекомендаций по нанесению сетки или разбивке области на отдельные элементы нет. Обычно руководствуются предварительными представлениями о характере ожидаемого результата и в местах предполагаемых высоких градиентов искомых величин сетку КЭ сгущают. При решении двумерных задач (балка-стенка, изгиб плиты) дискретизация области обычно производится треугольными и прямоугольными элементами (рис. 1, в). Предполагается, что вся действующая нагрузка приводится к узловой, поэтому, например, в случае распределенной нагрузки для ее более точного моделирования бывает необходимо вводить дополнительные узлы и элементы. Заданные перемещения, жесткие или упругие связи также должны быть отнесены к узлам.

Рисунок 1. Дискретизация конструкции

Таким образом, первый этап заключается в составлении конечно-элементной схемы - дискретной модели конструкции. Здесь можно выделить следующие действия:

а) выбор типа КЭ (по геометрии, виду аппроксимации и т. п.);

б) разбивку области на КЭ (с нумерацией узлов и элементов);

в) описание каждого элемента: топологические (номера узлов в сетке), физико-механические (модуль упругости и т. п.), геометрические характеристики;

г) описание каждого узла (координаты в общей системе координат);

д) описание заданных узловых нагрузок и перемещений.

Несмотря на то, что перечисленные выше действия не опираются на строгие теоретические рекомендации и во многом выполняются интуитивно, первый этап имеет большое значение для дальнейшего расчета конструкции.

2. Построение глобальных матрицы жесткости и вектора узловых сил.

Процедура основана на формировании матрицы жесткости (МЖ) и вектора нагрузок (ВН) отдельных элементов и их размещении в глобальных МЖ и ВН путем обхода по всем конечным элементам дискретной модели.

Расчеты по МКЭ различных конструкций отличаются принципиально только применяемыми элементными МЖ, ВН и матричными операторами для определения внутренних усилий и напряжений. Данные матрицы и векторы строятся на основе вариационных принципов с учетом принятой геометрии КЭ и выбранных аппроксимаций. В случае если МЖ и ВН конечного элемента построены в локальной (местной) системе координат, не совпадающей с глобальной, необходимо преобразовать их для глобальной системы.

Размещение элементных МЖ (ВН) в глобальной МЖ (ВН) может быть выполнено при помощи непосредственного сложения жесткостей.

Таким образом, данный этап включает следующие основные действия, выполняемые в цикле для каждого из конечных элементов:

а) составление элементных МЖ и ВН в локальной системе координат;

б) преобразование элементных МЖ и ВН из локальной в глобальную систему координат - в том случае, если локальная система не совпадает с глобальной;

в) размещение элементных МЖ и ВН в глобальных МЖ и ВН.

Сформированная на этом этапе МЖ системы является вырожденной или особенной. Она может быть преобразована в невырожденную при учете кинематических граничных условий (внешних связей, наложенных на некоторые узлы и исключающих перемещение конструкции как абсолютно твердого тела).

3. Учет заданных граничных условий.

Пусть в результате выполнения второго этапа система разрешающих уравнений имеет вид

K q = P,

где глобальная матрица жесткости K содержит коэффициенты kij; вектор узловых перемещений q - компоненты перемещений qi; вектор узловой нагрузки P - узловые силы pi. (i = 1, …, n; j = 1, …, n; n - число степеней свободы системы).

Статические граничные условия учитываются при формировании вектора нагрузки P. Проблема решается просто, если внешние нагрузки заданы непосредственно в узловых точках.

Кинематические граничные условия, как правило, представляются в виде заданных узловых перемещений (равных и не равных нулю). Нулевые перемещения соответствуют абсолютно жестким опорным связям, наложенным на некоторые узлы дискретной модели конструкции. Отличные от нуля заданные перемещения могут быть обусловлены неточностью изготовления (монтажа), регулированием усилий, смещением (осадкой) опор и т. п.

Помимо жестких связей и смещений опор в реальной конструкции могут иметь место упругие связи (упругое основание). Наиболее простой является дискретная модель основания, когда упругие связи приложены в отдельных узлах. В этом случае к МЖ всей системы просто добавляется диагональная матрица, состоящая из коэффициентов жесткости упругих связей:



Рисунок 2. Матрица жесткости в случае упругих связей

В результате учета граничных условий глобальная система разрешающих уравнений будет сформирована в окончательном и в то же время достаточном для получения искомого решения виде.

4. Решение системы разрешающих уравнений.

Окончательная система разрешающих уравнений МКЭ для статической задачи представляет собой систему линейных алгебраических уравнений с симметричной, положительно определенной матрицей коэффициентов, как правило, ленточной структуры.

Прежде всего следует выбрать метод решения СЛАУ. Для небольших и средних задач - от несколько десятков до несколько десятков тысяч неизвестных - обычно используются известные прямые методы: Гаусса, разложения Холесского, LDLT-факторизации и т. п. Помимо перечисленных, для решения систем разрешающих уравнений МКЭ эффективны такие прямые методы, как метод быстрого преобразования Фурье, методы Гивенса, Хаусхолдера, блочного разложения.

Основная доля задач в строительстве (исключение составляют крупные сооружения, сложные и ответственные в инженерном плане конструкции и т. п.) относится к задачам средней технической сложности, для которых, как уже было сказано выше, используются прямые методы решения систем уравнений. К тому же при практических расчетах часто бывает необходимо учитывать различные виды нагрузок, к примеру, собственный вес, временную нагрузку от кранового и другого оборудования, снеговую и ветровую нагрузки и т. д. Решение системы уравнений по каждому виду загружения также удобнее всего выполнять с помощью прямых методов. Такое утверждение основывается на том, что любой из прямых методов можно представить в виде двух независимых процедур:

а) приведения матрицы коэффициентов СЛАУ к треугольному виду посредством последовательных исключений или же факторизацией (разложением исходной матрицы на несколько треугольных);

б) решения систем с треугольными матрицами коэффициентов для каждого вектора нагрузки - вида загружения.

5. Определение внутренних усилий (напряжений).

Результатом решения системы разрешающих уравнений МКЭ в форме метода перемещений будут компоненты узловых перемещений дискретной модели конструкции.

Вычисление же необходимых компонент напряженного состояния конструкции производится поэлементно в следующем порядке:

а) формируется вектор узловых перемещений для каждого конечного элемента qe (посредством выборки из глобального вектора узловых перемещений q соответствующих компонент);

б) если локальная система координат для отдельного КЭ не совпадает с глобальной, производится преобразование вектора узловых перемещений qe данного элемента;

в) на основе геометрических и физических соотношений формируется матрица усилий (напряжений) для КЭ - G;

г) вычисляется вектор узловых значений внутренних усилий (напряжений) для КЭ - S e, который связан с узловыми перемещениями в общем случае следующим соотношением:

S e = G q e.

Ошибки метода конечных элементов

Как следует их вышеизложенного, критерии устойчивости, сходимости и точности в основном определяются погрешностями различного рода операций, проводимых в МКЭ. Наряду с обычными ошибками округления и погрешностью приближенных методов линейной алгебры, применяемых в МКЭ, есть и ошибки, имеющие непосредственное отношение к методу конечных элементов:

- ошибки дискретизации, являющиеся результатом различий между действительной геометрией рассчитываемой области и ее аппроксимацией системой конечных элементов;

- ошибки аппроксимации, обусловленные разностью между действительным распределением искомых функций в пределах КЭ и их представлением с помощью аппроксимирующих функций.

Ошибки дискретизации уменьшаются с увеличением числа конечных элементов и соответственно с уменьшением их размеров, причем они стремятся к нулю, когда размер элемента стремится к нулю. Эти ошибки уменьшаются и с применением криволинейных элементов на соответствующих границах области. Ошибки аппроксимации не обязательно уменьшаются по мере уменьшения размеров элементов или повышения степени аппроксимации, поэтому могут ухудшать сходимость к точному решению или даже приводить к расходимости. Однако эти ошибки можно свести к минимуму, если при построении аппроксимирующих функций обеспечить:

1) непрерывность искомой функции и ее производных в области КЭ до степени m-1 включительно (m - наибольший порядок производных искомой функции, используемых в качестве основных неизвестных в эрмитовых элементах);

2) выполнение условий полноты, т. е. при уменьшении размеров КЭ аппроксимирующие функции должны обеспечить стремление значений искомой функции, а также ее производных к постоянным значениям;

3) выполнение условий совместности искомой функции и частично ее производных на границе между смежными элементами;

4) приближенное удовлетворение условий совместности не основных переменных (например, напряжений, если основные неизвестные - перемещения) на границах КЭ, а также граничных условий в рассматриваемой области;

5) исключение концентрации напряжений в КЭ, если в рассматриваемой области такие концентрации заведомо отсутствуют;

6) при перемещениях КЭ как жесткого целого в нем не должны возникать деформации.

Требование полноты аппроксимирующих функций необходимо для учета смещения КЭ как жесткого целого и обеспечения состояния постоянных деформаций в элементе. Механический смысл совместности заключается в непрерывности основных неизвестных на смежных границах соседних КЭ. В сложных эрмитовых элементах выполнение условий совместности достигается сложнее. Между тем имеются случаи, когда несовместные элементы дают очень хорошие результаты при быстрой сходимости решения к точному.

Решение задач методом конечных элементов

Пример 1. Решение одномерной стационарной задачи теплопроводности

В качестве первого примера применения метода конечных элементов рассмотрим решение одномерной стационарной задачи теплопроводности. Распределение температуры вдоль одномерной проводящей балки можно описать уравнением:



Здесь u температура,

q(u,x) - утечка тепла,

k - теплопроводность.

Рассмотрим в качестве примера случай q(u,x)=u. Тогда уравнение примет вид:

Предположим, что граничные условия имеют вид:

Это уравнение при k = 1 имеет точное решение равное:

Это решение можно сравнить с приближенным решением, полученным методом конечных элементов. Чтобы решить рассматриваемое уравнение методом конечных элементов нужно проделать следующее:

a) Записать уравнение теплопроводности в интегральном виде.

b) Проинтегрировать по частям чтобы уменьшить порядок производных.

c) Ввести конечно-элементную аппроксимацию для температурного поля, используя параметры узлов и базисные функции конечных элементов.

d) Проинтегрировать по элементам и вычислить матрицы нагрузки элементов и векторы правой части.

e) Путем ансамблирования получить глобальные уравнения.

f) Записать граничные условия.

g) Решить глобальные уравнения.

h) Оценить потоки.

Рассмотрим перечисленные выше шаги.

a) Интегральное уравнение

Составим интегральное уравнение, используя метод взвешенных невязок:

Здесь R - невязка, щ - весовая функция.

Если u точное решение уравнения во всей области, то невязка равна нулю во всей области. Подставим выражение для невязки в интегральное уравнение:

Полученное интегральное уравнение показывает, что невязка (или ошибка) стремится к нулю в среднем по пространству; щ - выбирается так, что невязка ортогональна к пространству функций, используемых в качестве аппроксимации u.

b) Интегрирование по частям

Большое преимущество решения задачи путем решения интегрального уравнения состоит в возможности понижения порядка производных при помощи интегрирования по частям. Использование формулы интегрирования по частям дает:

В результате интегральное уравнение примет вид:

c) Аппроксимация конечными элементами

Разделим область 0<x<1 на три элемента равной длины и заменим u(x) внутри каждого элемента при помощи конечно-элементной аппроксимации

При использовании линейных базисных функций



Далее используем аппроксимацию Галеркина

Интеграл по рассматриваемой области можно представить в виде суммы интегралов по каждому конечному элементу:

Перейдем в интегралах от интегрирования по x к интегралам по о

J - Якобиан перехода от x координат к о координатам.

d) Интегралы по элементам

Интегралы в левой части уравнения имеют вид:



Здесь

и уравнение принимает вид:

Заметим, что

Матрица, на которую умножается u_n, называется матрицей жесткости:

Чтобы найти матрицу, подставим базисные функции и их производные

Тогда получим:

и аналогично

Заметим, что матрица жесткости конечного элемента симметрична.

e) Ансамблирование



Рисунок 3. Ансамблирование для задачи 1

Далее надо наложить граничные условия и решить алгебраическую систему.

Пример 2. Краевая задача с граничными условиями Дирихле и Неймана

Решим краевую задачу методом конечных элементов. В качестве конечных элементов возьмем треугольники.



Рисунок 4. Исследуемая область

a) Триангуляция двумерной области.

Проведем триангуляцию исследуемой области , т.е. разобьем ее на подобласти i, имеющие вид равнобедренных прямоугольных треугольников, размер которых много меньше Эти подобласти называются элементами. Шаг сетки будем уменьшать, разбивая элементы на четыре равных друг другу элемента, как показано на рис.3.

Пример разбиения области показан на рис.2.



Рисунок 5. Триангуляция исследуемой области

b) Получение интегрального уравнения.

Имеем уравнение:

что равносильно

Запишем интегральное уравнение, соответствующее данному уравнению:

Для решения уравнения воспользуемся теоремой Гаусса-Грина, которая имеет вид:



Рисунок 6. Уменьшение шага сетки

Будем использовать эту теорему, положив g=u и f=щ:

Следовательно, наше исходное интегральное уравнение примет вид:

По определению градиента,



Подынтегральная функция левой части интегрального уравнения примет вид:

Сокращённая запись данного выражения выглядит следующим образом:

В каждом элементе u можно представить в виде , где - базисная функция. Используя это разложение u по базисным функциям и базисную функцию в качестве весовой функции (то есть ), получим:

c) Базисные функции треугольных элементов.

Базисной функцией называется функция, равная единице в узле разбиения и нулю во всех остальных узлах.

Метод конечных элементов основан на идее аппроксимации непрерывной функции температуры дискретной моделью, которая строится на множестве функций, определенных на конечном числе подобластей. Так как в данной задаче конечным элементов является треугольник, то для одного элемента следует задать три базисных функции:

В данной задаче используются два типа элементов, представляющих собой соответствующие ориентации треугольников (рис.4).



Рисунок 7. Два типа элементов

Элемент типа «а».

Элемент типа «б».

d) Вычисление матрицы жесткости.

Рассмотрим матрицы жесткости для единичных треугольников.

Элемент типа «а».



В данной задаче подынтегральная функция во всех вычисляемых интегралах является константой, так как все производные - константы. Поэтому вычисление интегралов упрощается:

Пользуясь данным наблюдением вычислим оставшиеся восемь интегралов.



Итак, элемент типа «а» имеет следующую матрицу жесткости:

Элемент типа «б». Аналогично,

Таким образом, элемент типа «б» имеет такую же матрицу жесткости:

e) Вычисление матрицы жесткости и вектора нагрузок для КЭ.

Элементы матрицы жесткости вычисляются намного проще, если воспользоваться L-координатами. Общая формула для элементов матрицы жесткости имеет вид:

Выражение для вектора нагрузки имеет вид:



Второй интеграл можно найти по теореме о среднем. Без учета граничных условий он будет равен:

Где - координаты центра элемента.

f) Ансамблирование.

Ансамблирование - это построение матрицы жесткости для всей области из матриц жесткости одного конечного элемента. При ансамблировании матрицы используется нумерация узлов разбиения области, нумерация вершин конечных элементов (треугольников) и матрица жесткости одного элемента.

g) Задание граничных условий.

Граничные условия представлены в виде условий Дирихле и Неймана.

Рассмотрим задание условия Дирихле. Итак, на границе имеем заданную температуру. Если в i-ом узле необходимо задать температуру T, то все элементы i-ой строки матрицы жесткости заполняются нулями, кроме i-ой ячейки, которая заполняется единицей. А i-ый элемент вектора нагрузки становится равным T.

Рассмотрим, как задать условие Неймана. На границе имеем поток величины p. Матрица жесткости не изменяется, меняется вектор нагрузки:



h) Вычисление глобальных матрицы жесткости и вектора нагрузок.

Пусть М - количество узлов. Тогда |Е|=МхМ и |F|=М.

Для построения глобальной матрицы жесткости Е вектора правых частей F необходимо локальным номерам узлов каждого элемента поставить в соответствие глобальные номера. При этом каждая локальная матрица элемента расширяется до номера МхМ, то есть в глобальной матрице Е ненулевые элементы локальной матрицы становятся на места, определяемые глобальными номерами узлов элемента аналогично для вектора правых частей F. Затем расширенные таким образом матрицы и вектора правых частей всех конечных элементов складываются, в результате чего получаем глобальную матрицу Е и вектор правых частей F, или глобальную систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Такой процесс объединения локальных СЛАУ для конечных элементов в глобальную СЛАУ называется ансамблированием конечных элементов.

i) Решение СЛАУ и получение конечного результата.

Для решения получившейся системы алгебраических уравнений воспользуемся методом Гаусса.

На рис.5 представлено решение при шаге сетки N=1, для T=20, A=1.5, =2.5 и =6.

Пример 3. Одномерная задача с нагружающей силой

Пусть необходимо найти удлинение балки, с одним закрепленным концом (см. рис. 9) с продольной нагружающей силой.



Рисунок 8. N=1

Рисунок 9. Балка с одним закрепленным концом

Уравнение, описывающее состояние балки имеет вид:

,

здесь y -- удлинение, F -- нагружающая сила, S -- площадь поперечного сечения, E -- модуль Юнга.

В соответствии с алгоритмом решения стационарных задач с помощью МКЭ:

a). Выбираем конечный элемент. Для одномерной задачи выбор ограничен только отрезком прямой.

b). Выбираем функцию формы конечного элемента, то есть фактически выбираем аппроксимацию решения внутри конечного элемента. Будем считать, что удлинение внутри конечного элемента меняется по линейному закону:

Предполагаем, что нам известны узловые значения удлинений, Yi и Yj (см. рис. 10):

Рисунок 10

Из (1) при x=0 , при x=L .

Из данной системы уравнений находим значения и и подставляем в (1), выделяя коэффициенты при и :

где -- вектор функции формы конечного элемента, его составляющие элементы -- глобальные базисные функции, отличные от нуля в пределах этого элемента.

c). Разбиваем область на конечные элементы. В отличие от метода конечных разностей разбиение может быть совершенно произвольно. При этом следует принимать во внимание априорно известное распределение фазовой переменной: там, где возможно резкое изменение фазовой переменной, сетку следует делать более густой.

d). Получение локальных матрицы жесткости и вектора нагрузок конечного элемента.

Локальная матрица жесткости и вектор нагрузок -- математическая модель конечного элемента. Эти термины употребляются не только в задачах строительной механики, но и в других предметных областях

Фактически для их получения необходимо применить метод взвешенных невязок в пределах конечного элемента с аппроксимацией, полученной в п. 2. В соответствии с методом Галеркина:

Раскрываем интеграл в предположении, что площадь поперечного сечения элемента постоянна:



Приводим уравнение к следующему виду:

Получили локальные матрицу жесткости и вектор нагрузок.

e). Ансамблирование.

Ансамблирование выполняется в соответствии с основной идеей МКЭ, согласно которой

то есть интеграл по всей области равен сумме интегралов по подобластям

Интеграл по одному конечному элементу мы вычислили в (2).

Глобальная матрица жесткости будет иметь размерность, определяемую числом узлов сетки, в нашем примере -- 4. Вектор неизвестных составляют перемещения в этих узлах. Локальная матрица жесткости каждого конечного элемента даст аддитивный вклад в глобальную матрицу в соответствии с узлами подключения конечного элемента (это же касается и вектора нагрузок).



f). Учет граничных условий. В нашем примере , то есть можно вычеркнуть первый столбец и первую строку.

g). Решение системы уравнений

Заключение

Метод конечных элементов - это один из наиболее эффективных численных методов решения математических задач, описывающих состояние физических систем сложной структуры.

Отметим несколько важных достоинств метода конечных элементов.

1. Метод конечных элементов позволяет построить удобную схему формирования системы алгебраических уравнений относительно узловых значений искомой функции. Приближенная аппроксимация решения при помощи простых полиномиальных функций и все необходимые операции выполняются на отдельном типовом элементе. Затем производится объединение элементов, что приводит к требуемой системе алгебраических уравнений. Такой алгоритм перехода от отдельного элемента к их полному набору особенно удобен для геометрически и физически сложных систем.

2. Каждое отдельное алгебраическое уравнение, полученное на основе метода конечных элементов, содержит незначительную часть узловых неизвестных от общего их числа. Другими словами, многие коэффициенты в уравнениях алгебраической системы равны нулю, что значительно облегчает ее решение.

3. Задачи, решение которых описывается функциями, удовлетворяющими функциональным уравнениям, носят название континуальных. В отличие от них решение так называемых дискретных задач точно определяется конечным числом параметров, удовлетворяющих соответствующей системе алгебраических уравнений. Метод конечных элементов, так же как и другие численные методы, по существу приближенно заменяет континуальную задачу на дискретную. В методе конечных элементов вся процедура такой замены имеет простой физический смысл. Это позволяет более полно представить себе весь процесс решения задачи, избежать многих возможных ошибок и правильно оценить получаемые результаты.

4. Помимо континуальных задач схема метода конечных элементов применяется для соединения элементов и формирования алгебраических уравнений при решении непосредственно дискретных задач. Это расширяет сферу применения метода.

5. Форма обрабатываемой области может быть произвольной, а сетку можно сделать более редкой в тех местах, где особая точность не нужна.

конечный элемент задача

Список литературы

1. Васильева В.Н. Введение в теорию метода конечных элементов. - Иркутск, 1986.

2. Деклу Ж. (J. Descloux) Метод конечных элементов. - М.: Мир, 1976.

3. Зенкевич О. (O.C. Zienkiewicz), Морган К. (K. Morgan) Конечные элементы и аппроксимация: Пер. с англ. - М.: Мир, 1986.

4. Галлагер Р. (Richard H. Gallagher) Метод конечных элементов. Основы: Пер. с англ. - М.: Мир, 1984.

5. Норри Д. (D.H. Norrie), Ж. де Фриз (G. de Vries) Введение в метод конечных элементов. - М.: Мир, 1981.

6. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. - М.: Мир, 1979.

Размещено на Allbest.ru