Свойства электрического тока

Размещено на http://www.allbest.ru/

ЗАДАЧА 1

По стальному проводу [электрическая проводимость ? = (Ом-м)-1; относительная магнитная проницаемость ? = ] диаметром 2а = 6,04 мм течет синусоидальный ток I = 100 А частотой f Гц.

Определить плотность тока на поверхности и на оси провода.

Вариант численного значения частоты тока определяется по формуле:

f = 1,38866 * n2 Гц ,

где n - последняя цифра шифра студента (n = 9).

f = 1,38866 * 92 =112,481Гц

Привести вывод формул для определения плотности тока ? и напряженности Н в любой точке сечения провода, не учитывая влияния обратного провода на поле в прямом проводе. При решении задачи использовать цилиндрическую систему координат.

Решение задачи следует начать с обязательной проверки соотношения между током проводимости и током смещения в данном проводнике, что является важным обоснованием для всех последующих рассуждений.

Решение:

Рассмотрим особенности распространения электромагнитной волны в проводящей среде с проводимостью ? и магнитной проницаемостью ?а.

Обратимся к первому и второму уравнениям Максвелла, записанным в комплексной форме для синусоидально изменяющихся во времени Е и Н:

rot H = ? Е + ј?? E и rot E = - ј??аН .

В проводящей среде даже при очень высоких частотах произведение ??а много меньше проводимости ?. Поэтому с большой степенью точности слагаемым ј?? E в первом уравнении Максвелла для проводящих сред можно пренебречь. Следует отметить, что в настоящее время наука не располагает точными данными о числовом значении электрической проницаемости е для металлов. Имеются лишь сведения, что порядок е для металлов такой же, как и для большинства диэлектриков (т.е. от нескольких единиц до нескольких десятков).

Вектор плотности тока ?, записанный в комплексной форме для синусоидально изменяющихся во времени ? и тока I, удобно направить в положительном направлении оси z , поэтому ? = z0 ?.

Таким образом, первое и второе уравнения Максвелла для проводящей среды приобретают вид:

rot Н = ? Е = ? rot Е = - ј??аН,

или, умножив последнее на ?,

rot ? = - ј???аН .

Возьмем ротор от последнего уравнения:

rot rot ? = grad div ? - = - ј???а?,

или, считая процесс течения тока установившимся, т.е. div ? = 0 и подставляя ? = z0?, перейдем к скалярному уравнению

,

которое требуется решить в цилиндрической системе координат. Учитывая вид оператора = div grad в этой системе координат, а также то, что ? от ? и от z не зависит (из соображений симметрии), получим:

 или

Введем обозначение , тогда уравнение примет вид:

или

Последнее уравнение является частным случаем уравнения Бесселя относительно аргумента х = qr и функции . Его решение имеет вид:

,

где А и В -- постоянные интегрирования;

-- функция Бесселя нулевого порядка первого рода;

-- Функция Бесселя нулевого порядка второго рода.

Последняя обращается в бесконечность на оси провода, т.е. при r = 0, хотя из очевидных физических соображений ясно, что плотность тока должна быть всюду конечна, в том числе и на оси провода. Поэтому принимаем B = 0. Следовательно, решение имеет вид:

ток напряженность провод поле

.

Используя второе уравнение Максвелла, определим напряженность магнитного поля:

;

Отсюда

где -- функция Бесселя первого рода первого порядка.

Определим постоянную интегрирования А, для чего только что полученное выражение для Н, взятое на поверхности провода (при r = а) приравняем к известному выражению для Н из закона полного тока:

, откуда .

Подставим найденное значение А в полученные выше решения для ? и Н:

; .

С помощью этих формул можно определить комплекс плотности тока ? и комплекс напряженности поля Н в любой точке сечения провода. Радиус r может принимать значения от 0 до а. Для точек на оси провода r = 0 ; для точек на поверхности провода r = а.

Так как J0(0) = 1, то плотность тока на оси провода:

.

Введем это выражение в формулу решения: . Тогда плотность тока на поверхности провода: . Очевидно, что произведение qr есть комплексное число:

.

Бесселевы функции от комплексного аргумента также являются комплексными и могут быть представлены в показательной форме:

;

где -- модуль;

-- аргумент функции ;

-- модуль;

-- аргумент функции , которые определяются по значению с помощью табл. 1 .

Последняя цифра шифра n = 9.

1. Определим, во сколько раз ток проводимости в стали будет больше тока смещения. Положим: ? = 10; ? = 100 рад / с. Тогда отношение:

где электрическая постоянная

Увеличение частоты ? даже на несколько порядков не существенно скажется на результате, а именно: в проводнике ток проводимости во много раз больше тока смещения.

2. Определим частоту переменного тока f = 1,38866 · 92 = 112,481 Гц.

3. Рассчитаем параметр

.

Здесь учтено, что , и что Гн/м;

4. Комплексная величина ;

5. Выражение = 0,00302·2980,12 = 9

6. По табл. 1 методички найдем:

; ; ;

; ; ;

; ; ;

; ; .

7. Определим плотность тока на оси провода:

.

8. Определим плотность тока на поверхности провода:

Вывод: в ходе решения задачи проверили соотношения между током проводимости в стали и током смещения в данном проводнике, получили, что ток проводимости в стали будет больше тока смещения в 1,129*1015 раза.

Затем определили частоту переменного тока f = 112,481 Гц, рассчитали параметр комплексная величина равна , выражение определили плотность тока на оси провода и плотность тока на поверхности провода .

Размещено на Allbest.ru