Исследование процессов затухания колебаний в механических виброзащитных системах радиоэлектронной аппаратуры

Размещено на http://www.allbest.ru/

19

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное агентство по образованию РФ

Государственное общеобразовательное учреждение

высшего профессионального образования

Тульский государственный университет

Кафедра теоретической механики

КУРСОВАЯ РАБОТА

«Исследование процессов затухания колебаний в механических виброзащитных системах радиоэлектронной аппаратуры»

ТУЛА - 2005

Оглавление

Аннотация

1. Теоретическая часть

2. Предмет исследования

3. Простейшие модели сред, используемые при описании колебательных процессов систем

4. Расчётно-графическая часть

Список использованной литературы

Аннотация

Целью данной работы является расчёт затухающих колебаний в системе с демпфером в виде параллельного соединения сред Фойхта и Джеффриса.

Решение опирается на базовый курс теоретической механики. Для выполнения необходимо знание основ теории демпфирования механических колебаний, при расчёте диссипативных характеристик механических систем - основных понятий и определений.

затухающий демпфирующий колебание

1. Теоретическая часть

Как известно, колебания, возникающие при работе различных машин и механизмов, передаются прилегающим конструкциям и нарушают нормальную работу других устройств, в том числе приборов и оборудования радиоэлектронной техники. Поэтому появляется задача изоляции колеблющегося объекта от прилегающих конструкций вместе с размещенной на них радиоэлектронной аппаратурой. Кроме того, часто приходится устанавливать различного рода приборы на колеблющемся основании, и при этом требуется изолировать эти приборы от основания так, чтобы им не передавались колебания последнего. В обоих случаях задачи виброизоляции решаются одинаковыми средствами: между объектом и основанием устанавливают демпфирующие устройства, собранные из упругих элементов и элементов сухого и вязкого трения, - при этом конструктивное исполнение демпферов может достигаться многими способами. Например, упругими элементами могут быть винтовые, спиральные и плоские пружины, а также резиновые детали; элементами трения могут служить различные поглотители колебаний, состоящие из двух или более трущихся между собой звеньев, как с сухими поверхностями, так и в масляной среде. Большое разнообразие конструкций демпферов позволяет проектировщику выбрать вариант, наиболее приемлемый в данной конкретной ситуации. Чтобы обеспечить такой выбор, необходимо владеть методами расчета колебательных процессов.

2. Предмет исследования

Предметом исследования является пятиэлементная механическая модель демпфирующего устройства, образованная в виде параллельного соединения сред Фойхта и Джеффриса.

В данной системе известны коэффициенты вязкого трения и жесткости пружин (рис. 9)

Среда Фойхта представляет собой двухэлементную модель образованную параллельным соединением среды Гука и Ньютона. Среда Джеффриса представляет собой модель образованную параллельным соединением среды Ньютона и сред Ньютона и Гука, соединенных последовательно.

3. Простейшие модели сред, используемые при описании колебательных процессов

Простейшими моделями сред, используемыми при рассмотрении процессов колебаний, являются

а) идеальная пружина,

б) идеальный вязкий демпфер,

в) идеальный элемент сухого трения.

В реологии (науке о течении вещества) перечисленным моделям соответствуют среды Гука Н, Ньютона N и Сен-Венана

StV, определяющие три фундаментальных свойства веществ:

а) упругость,

б) вязкость,

в) пластичность

Среда Гука (Н- тело)

Механической моделью Н - тела служит идеальная пружина (упругий элемент), удлинение Х которой в любой момент времени t пропорционально прикладываемой к пружине силе Р:

(1)

где с -- жесткость пружины (в Н/м).

Графически на плоскости координат X, P зависимость (1) представляется прямой линией, проходящей через начало координат (рис 1):

Рис. 1

При гармоническом движении

(2)

где h и соответственно амплитуда и частота колебаний, согласно формуле (1) имеем

(3)

где Q - амплитуда меняющейся по гармоническому закону силы P, причем

Q=ch (4)

Вычислим работу силы (3) на перемещении (2) за период колебаний Т.

Элементарная работа составляет

(5)

где учтено соотношение (4)

Интегрируя выражение (5) в пределах от 0 до Т и учитывая, что , получаем

(6)

т.е. согласно формуле (6) при возбуждении идеальной пружины силой (3) в течение периода колебаний Т работа не производится и, следовательно, потери энергии в пружине не происходит.

Среда Ньютона (N - тело)

Механической моделью N - тела служит идеальный демпфер (амортизатор, катаракт), представляющий собой жидкостный элемент, состоящий из цилиндра, наполненного вязким маслом, в который с некоторым зазором вставлен поршень. В любой момент времени скорость перемещения x поршня относительно цилиндра пропорциональна прикладываемой к демпферу силе

(7)

где r коэффициент вязкого трения (в Нс/м).

При гармоническом движении поршня относительно цилиндра, описываемом формулой (2), для силы Р согласно выражению (7) получаем

(8)

где

а угол характеризует сдвиг по фазе гармонической силы Р относительно гармонического перемещения Х.

Графически на плоскости координат x, P зависимости (2) и (8) представляются эллипсом

(10)

с полуосями

где учтено соотношение (9).

Действительно,

Эллипс (10) изображен на рис. 2:

Рис. 2 Рис.2

Вычислим работу силы (8) на перемещении (1) за период колебаний T:

, (11)

т. е. искомая работа равна площади эллипса на плоскости координат x, Р, обходимого в направлении вращения часовой стрелки. Этот эллипс представляет собой петлю гистерезиса и характеризует рассеиваемую в вязкой среде энергию за один цикл.

Из рассмотрения выражения (11) следует, что энергия, рассеиваемая в вязкой среде за период колебаний Т, пропорциональна частоте колебаний .

Среда Сен-Венана (StV - тело)

Механической моделью St V -- тела служит груз массы m, покоящийся на столе (рис. 3) и приходящий в движение под действием силы Р лишь после того, как та, возрастая, достигает значения, соответствующего силе сухого трения согласно закону Амонтона - Кулона

,

где g - ускорение силы тяжести, f - коэффициент трения:

Рис. 3

Идеальность элемента сухого трения связывается тем, что в данной модели не различают трение движения и трения покоя (в реальном элементе учитывается, что коэффициент трения покоя превышает коэффициент трения движения)

При гармоническом движении, описываемом формулой (2), петля гистерезиса имеет вид прямоугольника со сторонами 2h и , так что рассеиваемая за цикл энергия

Построение многоэлементных моделей

Многоэлементные модели образуются параллельными и последовательными соединениями простейших элементов. В реологии принято обозначать параллельное соединение элементов символом «», а последовательное соединение -- символом «». Приведем в качестве примеров несколько многоэлементных моделей, построенных указанным способом:

-- двухэлементные модели Прандтля P, Фойхта F и Максвелла М (рис. 4):

Рис. 4

-- трехэлементные модели Пойнтинга-Томсона PTh, Кельвина K, Джеффриса J, Лесерсича L, Бингама B (рис. 5):



Рис. 5

-- четырехэлементные модели Шведова Schw и Бюргерса Вu (рис. 6):

Рис. 6

Анализ многоэлементных моделей процессов демпфирования колебаний

1. Основные положения

Применительно к одномерным задачам основные положения анализа многоэлементных моделей демпфирования колебаний формулируются так:

а) при последовательном соединении двух элементов нагрузки в них одинаковы, а перемещения суммируются;

б) при параллельном соединении двух элементов их перемещения одинаковы, а нагрузки суммируются.

2. Примеры анализа многоэлементных моделей

а) Модель Фойхта (рис. 4б)

Согласно основным положениям имеем:

Но

Поэтому

При гармоническом движении имеем

(12)

Введем угол сдвига по фазе силы P относительно перемещения x

(13)

Тогда вторую из формул (12) можно представить в виде

где амплитудное значение силы составляет



Исключая t из уравнений (12), получаем уравнение эллипса

, (14)

представляющего собой графическую интерпретацию системы уравнений (12), заданных в параметрической форме.

Эллипс (14) показан на рис. 7. Как известно из аналитической геометрии [3 (с. 339-341)], угол наклона одной из осей эллипса к оси x находится по формуле

где a11, a12, a22 -- коэффициенты общего уравнения линии второго порядка

а роль y в рассматриваемом случае играет P.

Рис. 7

Сравнивая последнее уравнение с уравнением эллипса (14), получаем

Далее находим

В координатах (рис. 7) уравнение эллипса (14) имеет вид

(15)

где , определяются по формулам

Далее находим полуоси эллипса

и вычисляем его площадь

Как известно из аналитической геометрии,

Но , следовательно,

(16)

Рассчитываем работу силы P на перемещении x за цикл колебаний:

что совпадает с величиной правой части формулы (16), т.е. площадь эллипса (14) или, что то же, эллипса (15), равна рассеянной за цикл энергии.

б) Модель Максвелла (рис. 4в)

Согласно основным положениям имеем

Но

Поэтому

 (17)

При гармоническом движении

выражение P разыскиваем в виде

(18)

где M, N -- искомые коэффициенты.

Подставляя выражение (18) в уравнение (17), находим

откуда, сравнивая коэффициенты при синусе и косинусе в левой и правой частях, получаем

(19)

Решая систему (19), находим

(20)

где рассчитывается по формуле (13).

Внося соотношения (20) в выражение (18), получаем

откуда следует, что сдвиг по фазе силы P относительно перемещения x равен /2-.

Исключая время t из системы уравнений

(21)

где M и N вычисляются по формулам (20), приходим к уравнению эллипса

(22)

представляющего собой графическую интерпретацию системы уравнений (21), заданных в параметрической форме.

Вид эллипса аналогичен тому, который представлен на рис. 7. Угол находится по формуле

Как и в случае модели Фойхта, эллипс (22) изображает петлю гистерезиса, площадь которой равна рассеянной за цикл работе силы P на перемещении x:

Внося сюда , определяемое формулой (13), получаем

3. Коэффициент поглощения

Рассеяние энергии при колебаниях оценивается коэффициентом поглощения, равным отношению работы диссипативных сил A к наибольшему значению потенциальной энергии упругого элемента, т.е.

(23)

Например, для сред Фойхта и Максвелла по формуле (23) получаем

4. Логарифмический декремент колебаний

Из теории колебаний известно, что коэффициент поглощения равен удвоенному логарифмическому декременту колебаний , т.е.

В свою очередь, определяется выражением

где q -- знаменатель геометрической прогрессии, членами которой являются абсолютные величины максимальных отклонений h₁, h₂, h₃, … при свободных затухающих колебаниях (рис. 8).

Рис. 8

Содержание задания и исходные данные

Для заданной механической модели демпфирующего устройства (рис. 9), образованной параллельными и последовательными соединениями элементов Гука и Ньютона с известными жёсткостями и коэффициентами внутреннего трения, требуется:

а) составить реологическую формулу,

б) в предположении, что расстояние между точками приложения сил Р изменяется по гармоническому закону , найти гармонический закон изменения силы Р в виде

,

где , ;

в) исключив время t из системы уравнений

, ;

найти уравнение эллипса, изображающего петлю гистерезиса, построить этот эллипс на плоскости координат X, Р/С при , рассчитав его полуоси а, b и угол наклона одной из осей к оси X и вычислить площадь эллипса по формуле

г) найти энергию, рассеиваемую в заданной механической системе за цикл колебаний при той же частоте, интегрированием выражения в соответствующих пределах,

д) вычислить наибольшее значение потенциальной энергии в упругих элементах,

е) определить при частоте коэффициент поглощения и логарифмический декремент колебаний и построить график функции , описывающей процесс затухания колебаний.

Исходные данные:

c₁=cc₂=3c/2c₃=2c

r₁=r r₂=2r

Рис. 9

4. Расчётно-графическая часть

На рисунке 9 изображена шестиэлементная механическая модель демпфирующего устройства, образованного параллельными и последовательными соединениями элементов Гука и Ньютона с известными жесткостями и коэффициентами вязкого трения.

а) Составляем для этой модели реологическую формулу. Обозначим демпфирующее устройство буквой D, а через D_1, D₂ и D₃ обозначим модели, указанные на рис. 9. Тогда

D=D₁|D₂-D₃

Где

D₁=H₁-(N₁|H₂), D₂=N₂, D₃=H₃

Следовательно, искомая реологическая формула имеет вид:

D= {[H₁-(N₁|H₂)]| N₂} - H₃

б) Исходя из типов соединений элементов:

x₁=x₂

где a₁, a₂, b₁, b₂ - искомые коэффициенты.

Для нахождения соотношений между этими коэффициентами составляем равенство:



Поскольку элементы D₁ и D₂ соединены параллельно, а D₃ последовательно с ними, то нагрузки в них имеют следующий вид:

Для элемента D₁:

Обозначим:

Откуда получаем

, где



Далее находим

Откуда следует

Т.е. искомые коэффициенты M и N оказались выраженными через известные величины c, r, частоту и пока еще неизвестные коэффициенты a₁, b₁.

Для элемента D₂

x₂=x₁ P₂=P_N2



Для элемента D₃:

т. е. искомые коэффициенты M и N снова оказались выраженными через известные величины c, r, частоту и пока еще неизвестные коэффициенты a₁ и b₁.

Поскольку коэффициенты и свободные члены системы выражены через частоту и известные величины, то a₁ и b₁ также будут выражены через те же величины.

Идя в обратной последовательности, находим все интересующие нас коэффициенты, в том числе и коэффициенты M и N.

в) Уравнение эллипса, изображающего петлю гистерезиса имеет вид

Внося эти значения M и N в формулу эллипса, получаем

Эллипс, построенный по этому уравнению, показан на рис.10

По известным формулам аналитической геометрии находим:

a₁₁=7.76,2a₁₂=-8.32, a₂₂=2.56



Площадь эллипса в координатах x, P/c, и координатах P

Рис. 10

г) Находим рассеянную за цикл колебаний энергию

что совпадает со значением S.

д) Составляем выражение для потенциальной энергии упругих элементов при частоте



Внося эти результаты в формулу для , находим

Чтобы найти наибольшее значение П, исследуем функцию П(t) на экстремум, необходимое условие которого состоит в равенстве нулю первой производной

Теперь получаем



е) Вычисляем коэффициент поглощения

и логарифмический декремент колебаний

Полученные результаты используем для построения графика функции x₄(t), описывающей процесс затухания колебаний (рис. 11).

Как видно из рассмотрения этого графика, демпфирующее устройство D (рис. 9) обеспечивает быстрое затухание процесса колебаний на частоте :

Рис. 11

Таким образом, диссипативные характеристики заданной механической системы определены.

Список использованной литературы

1. Вибрации в технике: Справочник. т. 6 /Под ред. К.В.

Фролова - М.: Машиностроение, 1981. - 456 с.

2. Рейнер М. Реология. - М.: Наука, 1965. - 224 с.

3. Моденов П.С. Аналитическая геометрия. - М.: Изд. МГУ,

1969. - 698 с.

Размещено на Allbest.ru