Распространение тепла в пространстве

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Круг вопросов математической физики тесно связан с изучением различных физических процессов. Сюда относятся явления, изучаемые в гидродинамике, термодинамике, теории упругости, электродинамике и т.д. Возникающие при этом математические задачи содержат много общих элементов и составляют предмет математической физики.

Метод исследования, характеризующий эту отрасль науки, является математическим по своему существу. Однако постановка задач математической физики, будучи тесно связанной с изучением физических проблем, имеет специфические черты.

При выводе дифференциальных уравнений с частными производными из общих законов, которым подчинены изучаемые явления природы, естественно возникают дополнительные условия, налагаемые на искомые решения. Важно заметить, что условия задач, которым должны удовлетворять искомые решения, существенно зависят от типа рассматриваемого уравнения.

В настоящей курсовой работе исследуется уравнение теплопроводности, которое относится к параболическому типу, и с помощью которого математически описывается процесс распространения тепла в среде, заполненной массой с плотностью с при удельной теплоемкости с и коэффициенте теплопроводности k.

Рассматриваются такие пространственные задачи, как распространение тепла в однородном цилиндре и шаре. В работе приводится также метод разделения переменных Фурье, применительно к уравнению теплопроводности и закон Фурье для потока тепла в заданном направлении.

1. Уравнение теплопроводности

1.1 Физический смысл уравнения теплопроводности

Рассмотрим физические предпосылки вывода уравнения теплопроводности на примере линейного случая. В задаче линейной теплопроводности стержень предполагается настолько тонким, что в каждый момент времени температура всех точек данного поперечного сечения стержня будет одной и той же. Вывод дифференциального уравнения теплопроводности основан на следующих физических предпосылках:

1. Количество тепла, которое необходимо сообщить однородному телу, чтобы повысить его температуру на Дu, равно:

где V - объем тела, с - его плотность, с - удельная теплоемкость.

2. Количество тепла, протекающее через поперечное сечение стержня за момент времени Дt (тепловой поток), пропорционально площади сечения, скорости изменения температуры в направлении, перпендикулярном к сечению, и промежутку времени Дt, т.е. равно

(1.1.1)

где S - площадь поперечного сечения, k - коэффициент теплопроводности.

Знак минус в формуле (1.1.1) объясняется тем, что величину потока мы будем считать положительной, когда тепло проходит в сторону возрастания х. Будем считать коэффициент теплопроводности постоянным; это предположение оправдывается, если стержень однородный и температура меняется в небольших пределах. Заметим еще, что способы экспериментального определения коэффициентов теплопроводности различный материалов весьма сложны и во многом опираются на математическую теорию теплопроводности.

1.2 Вывод уравнения теплопроводности

Приведем вывод уравнения теплопроводности в пространственном случае. Рассмотрим неравномерно нагретое тело. Пусть температура в каждой точке (х, у, z) тела в момент времени t определяется функцией и (х, у, z, t). Физические предпосылки были подробно рассмотрены на примере вывода уравнения линейной теплопроводности. Поэтому ограничимся краткими замечаниями, обратив основное внимание на те усложнения математической стороны дела, которые возникают в пространственном случае.

В любой момент времени t функция и определяет скалярное поле - поле температуры. В общем курсе анализа обычно ограничиваются изучением стационарных полей, когда температура и не зависит от времени. Нам же сейчас придется рассматривать нестационарное поле, поскольку мы предполагаем, что температура точек тела изменяется со временем. Если зафиксировать момент времени t, то совокупность точек, в которых температура u (х, у, z, t) принимает одно и то же значение, образует изотермическую поверхность (поверхность уровня). В отличие oт стационарного случая, форма и расположение изотермических поверхностей с течением времени будут изменяться.

Как известно, направление наибольшей скорости изменения температуры и совпадает с направлением градиента функции и (х, у, z, t) при заданном значении t. При этом



В точках изотермической поверхности градиент направлен по нормали к этой поверхности в сторону увеличения значений и и модуль градиента равен производной по этому направлению:

Обобщая формулу (1.1.1), считают, что величина теплового потока через малый участок Ду изотермической поверхности за время ?t равна

(1.2.1)

где k - коэффициент теплопроводности, который мы считаем постоянным.

Обратим особое внимание. на роль знака «минус» в формуле (1.2.1). Условимся считать величину теплового потока положительной, если направление потока тепла совпадает с выбранным направлением нормали, и отрицательной, если оно ему противоположно. Для нормали, совпадающей с направлением градиента, тепло же переходит от более нагретых участков к менее нагретым, т.е. как раз в противоположную сторону, и, следовательно. по определению, ?Q < 0, что и объясняет знак «минус» в формуле (1.2.1). Изменив направление нормали на противоположное, мы получили бы, что но тогда ?Q > 0 и опять-таки знак «минус» сохраняется.

В линейном случае изотермическими поверхностями являются сечения стержня, перпендикулярные оси Ох; нормаль к ним совпадает с осью Ох, и (если направление нормали совпадает с положительным направлением оси Ох).

В теории теплопроводности доказывается, что формула (1.2.1) для величины теплового потока справедлива для любых поверхностей (не только для изотермических). Производная по направлению нормали к выбранной поверхности равна проекции градиента на эту нормаль, т.е. скалярному произведению grad u на единичный вектор нормали n:

Поэтому поток тепла через участок Ду любой поверхности за время Дt будет равен

Для краткости назовем вектор - k grad u вектором теплового потока и обозначим через А:

Тогда ?Q есть поток вектора А через элементарную площадку Ду за время Дt:

Если теперь выделить в теле некоторую часть, ограниченную замкнутой поверхностью - S, то поток тепла изнутри через эту замкнутую поверхность за время Дt будет равен произведению потока вектора A на ?t:

 (1.2.2)

Рис. 1.2.1

где А_п - проекция А на внешнюю нормаль (рис. 1.2.1).

Поток Q будет положительным, если выбранная часть тела теряет тепло, и отрицательным, если приобретает.

Применяя к интегралу в формуле (1.2.2) теорему Гаусса-Остроградского, запишем, что

теплопроводность уравнение переменная разделение

где V - часть тела, ограниченная поверхностью S, и

где - оператор Лапласа.

Таким образом, количество тепла Q, приобретенное выделенной частью тела за счет прохождения теплового потока, будет равно (оно противоположно по знаку величине Q)



Предположим, далее, что в теле имеются тепловые источники, плотность которых характеризуется функцией F (x, у, z, t). Тогда за промежуток времени (t, t +? t) в выбранной части тела выделится тепло Q₂, равное (с точностью до бесконечно малых высшего порядка)

Общее количество тепла, сообщенного выделенному объему V, будет равно сумме Q_l+-Q₂. Подсчитаем теперь это тепло иначе, учитывая изменение температуры в точках тела, лежащих внутри поверхности S. В точке (х, у, z) за промежуток времени Д t температура изменится на величину

Поэтому элементарному объему ?v для такого изменения температуры потребуется количество тепла, равное , где с - удельная теплоемкость, - плотность, а всему объему - количество

которое должно быть равно сумме Q_l+-Q₂. Следовательно,

Перенося все слагаемые в левую часть, приходим к равенству

(1.2.3)

Равенство (1.2.3) должно соблюдаться для любой части тела V. Это возможно только тогда, когда в каждой точке внутри тела

(1.2.4)

Это заключение справедливо, когда все слагаемые в левой части равенства (1.2.4) - непрерывные функции. Действительно, если предположить, что в точке М (х, у, r) равенство (1.2.4) нарушается, т.е., например, , то в силу непрерывности это же неравенство будет соблюдаться и в некоторой области ?, окружающей точку М. Но тогда интеграл по этой области, вопреки условию (1.2.3), был бы величиной положительной.

Переписав равенство (1.2.4) в виде

(1.2.5)

получим основное уравнение теплопроводности (а= - коэффициент температуропроводности). Если тепловые источники внутри тела отсутствуют, то F= 0 и уравнение становится однородным:

(1.2.6)

Еще раз отметим, что уравнения (1.2.5) и (1.2.6) выведены в предположении, что все физические величины, характеризующие свойства тела (плотность, удельная теплоемкость, коэффициент теплопроводности), постоянны.

Ясно, что уравнение линейной теплопроводности является частным случаем уравнения (1.2.6).

Начальное и краевые условия. Перейдем теперь к начальному и краевым условиям. Начальное условие для уравнения теплопроводности состоит в задании температуры во всех точках тела в некоторый данный момент, от которого ведется отсчет времени. В этот начальный момент поэтому полагают t = 0, так что начальное условие принимает вид

(1.2.7)

где f (x, у, z) - данная функция, определенная и непрерывная во всех точках тела.

Краевое условие должно выполняться на поверхности Г, ограничивающей тело. Вдоль Г тело граничит с окружающей средой, имеющей в каждой точке о, з, ж границы Г свою температуру u = u (о, з, ж, t). Разность u (о, з, ж, t) - u (о, з, ж, t) между температурой тела в точке границы и температурой окружающей среды в этой точке называется перепадом температур в точке о, з, ж границы. Существует физический закон, устанавливающий, что поток тепла изнутри тела через любую часть поверхности Г пропорционален перепаду температур на этой части границы.

Если выделить некоторую часть границы, то поток тепла через нее за время ? t будет равен



где Г₁ - рассматриваемая часть границы Г, a h - коэффициент теплообмена, зависящий от физических свойств тела и окружающей среды. Вообще говоря, h может изменяться от точки к точке границы, т.е. h = h (о, з, ж), но в случае однородности тела и среды h = const, поскольку поток тепла, уходящий в окружающее пространство, должен равняться потоку тепла, подходящему изнутри, то, применяя формулу (1.2.2) к участку Г₁ получим

Так как Г₁ - любая часть границы, то, повторяя рассуждения, обосновывающие равенство (1.2.4), придем к условию на границе Г:

Вспоминая, что - производная и в точке границы по направлению внешней нормали к ней, запишем последние равенство так:

(1.2.8)

Здесь черта подстановки |_г означает, что имеется в виду, значение соответствующей величины в точке границы Г.

Общее краевое условие (16.12) может в частных случаях иметь более простой вид.

Первый частный случай h =0. Это означает, что переход тепла через границу тела исключен, т.е. что, как говорят, граница тела теплоизолирована. В этом случае краевое условие принимает вид

(1.2.9).

Второй случай соответствует очень большому коэффициенту внешней теплопроводности h. Тогда условие (1.2.8), записанное в виде

В пределе при h приводит к равенству

(1.2.10)

выражающему тот факт, что на границе тело имеет температуру внешней среды.

Следует отметить, что разные части границы тела могут находиться в задачах теплопроводности в разных условиях, выраженных разными значениями h. Так, например, одна часть границы может быть теплоизолирована, а на другой температура тела может совпадать с температурой окружающей среды.

Подводя итоги, мы можем следующим образом сформулировать математическую задачу теплопроводности (для однородного тела без тепловых источников): ищется температура и=и (х, y, z, t) внутри тела, удовлетворяющая там уравнению (1.2.6), начальному условию (1.2.7) и краевому условию (1.2.8) (или условиям (1.2.9) или (1.2.10)). В теории дифференциальных уравнений в частных производных показывается, что эта задача имеет одно и только одно решение (при некоторых достаточно общих требованиях к заданным функциям f и u, следующих из условий (1.2.7) и (1.2.8)].

2. Распространение тепла в пространстве

Процесс распространения тепла в пространстве может быть характеризован температурой u (x, y, z, t) являющейся функцией x, y, z и t.

Если температура непостоянна, то возникают тепловые потоки, направленные от мест с более высокой температурой к местам с более низкой температурой.

Пусть dу - некоторая площадка в точке P (о, з, ж) с нормалью п. Количество тепла, протекающее через dу в единицу времени, согласно закону Фурье, равно

где k коэффициент теплопроводности, дu/дn - производная по направлению нормали n к dу, равная

Закон Фурье часто записывают в форме

где W - вектор плотности теплового потока.

Если среда изотропная, то k есть скаляр. B случае анизотропной среды k есть тензор, а вектор теплового потока W представляет собой произведение тензора k на вектор - grad u. Мы будем рассматривать только изотропные среды.

Функция температурного влияния. Известно, что процесс распространения тепла в однородном изотропном пространстве определяется уравнением теплопроводности

(2.1)

где u (M, t) - температура точки M (x, y, z) в момент t, с - плотность, c - коэффициент удельной теплоемкости, k = const и б² = k/cp - коэффициенты теплопроводности и температуропроводности. уравнение (2.1) допускает также диффузионное истолкование. B этом случае u - концентрация диффундирующего вещества, a² = D - коэффициент диффузии.

Функция G (x, y, z, t; о, з, ж) есть функция температурного влияния мгновенного источника тепла. Она представляет собой температуру в точке x, y, z в момент вpeмeни t, вызываемую точечным источником мощности Q = cp, помещенным в момент t= 0 в точку (о, з, ж).

(2.4)

Heтpyднo убедиться в том, что

(2.5)

B самом деле, тройной интеграл (2.5) можно представить в виде произведения трех интегралов, каждый из которых равен единице:

Из формулы (2.4) видно, что функция влияния G обладает свойством симметрии

являющимся выражением принципа взаимности: действие в точке (x, y, z) источника, находящегося в точке (о, з, ж), равно действию в точке (о, з, ж) такого же источника, помещенного в точку (x, y, z). однако относительно переменной t такая симметрия не имеет места, что является выражением необратимости тепловых процессов во времени.

3. Распространение тепла в ограниченных телах

3.1 Случай однородного цилиндра

Пусть боковая поверхность бесконечного круглого цилиндра радиуса R поддерживается при постоянной температуре. Если в начальный момент времени температура в каждой точке зависит только от ее расстояния r до оси цилиндра, то ясно, что и в последующем температура и будет зависеть лишь от r и времени t. Тепловой поток при этом всегда направлен по радиусам цилиндра. Таким образом, и = и (r, t).

Преобразуем общее уравнение теплопроводности (1.2.6)

(а - коэффициент температуропроводности) к цилиндрическим координатам, учитывая, что фикция и не зависит от ц и z. Придем к уравнению радиального распространения тепла в цилиндре:

(3.1.1)

Начальное условие имеет вид

(3.1.2)

где (г) - заданная функция в интервале 0 r R.

Краевым условием будет условие постоянства температуры боковой поверхности цилиндра

 (3.1.3)

Будем считать, что u₀ = 0, т.е. что краевое условие (3.1.3) однородное. В противном случае нужно ввести новую функцию u (r, t)== и (r, t) - u₀. Уравнение (3.1.1) не изменится, а начальное и краевое условия примут вид

Применим к решению задачи метод Фурье. Полагая и (r, t) = U (r)Ф(t), разделим переменные:

(постоянная в правой части не может быть положительной.) Отсюда

Для функции U (r) получаем уравнение:

(3.1.4)

одно частное решение которого выражается через функцию Бесселя нулевого порядка:

Второе линейно независимое решение уравнения (3.1.4) - функцию Неймана N₀ - мы не принимаем в расчет, так как она обращается в бесконечность при r = 0.

Чтобы решение удовлетворяло однородному краевому условию, нужно положить

(3.1.5)

Таким образом, собственными числами задачи являются величины , где µ_к - корни функции Бесселя нулевого порядка. Каждому собственному числу µ_к соответствует собственная функция

Образуем теперь функцию

(3.1.6)

и подберем коэффициенты C_k так, чтобы

Полагая r = Rx, придадим последнему равенству вид

после чего, основываясь на условиях ортогональности функций выраженных формулами:

, если

,

найдем коэффициенты С_к:

Напомним еще, что .

Вычисляя коэффициенты C_k no формулам (3.1.7) и подставляя в ряд (3.1.6), мы и завершим решение задачи Решение почти полностью повторяет решение задачи о колебании круглой мембраны..

Почти так же решается задача в случае теплоизоляции боковой поверхности цилиндра.

Краевое условие запишется теперь в виде

(нормаль к боковой поверхности цилиндра направлена по радиусу).

Для определения собственных чисел взамен уравнения (3.1.5) мы получим уравнение или

Таким образом, собственными числами являются величимы где v_к - нули функции Бесселя первого порядка.

Собственные функции отличаются от собственных функций предыдущей задачи (постоянство температуры на поверхности цилиндра) только тем, что в аргумент функции Бесселя входят множителями корни не самой функции J₀(x), a корни функции J_l(x). Ряд (3.1.5) запишется теперь в виде

(3.1.7)

и, чтобы удовлетворялось начальное условие (3.1.2), должно соблюдаться равенство

(3.1.8)

где

Оказывается, что функции J₀(v_к x) в интервале [0, 1] удовлетворяют такому же условию ортогональности, что и функции J₀(µ_k x). Напомним, что, для любых чисел р и q

Отсюда сразу следует, что при с= н_к и q=v_п, где k ? п, правая часть обращается в нуль, так как j'₀ (н_к) = J₁ (н_к) = 0 и j'₀ (н_n) = 0. Если же k = п, то, полагая p=v_k и, переходя по правилу Лопиталя к пределу при q_к, получим



Из уравнения Бесселя и условия следует, что Поэтому

Воспользовавшись этим соотношением, сразу получим, что коэффициенты С_к в формуле (3.1.8) равны

Подставляя найденные значения С_к в ряд, завершим решение задачи. Общий случай краевых условий может

быть рассмотрен точно так же, однако уравнение для отыскания собственных чисел приобретает более сложный вид:

.

Решение этого уравнения и доказательство ортогональности получающихся собственных функций требуют более детального знакомства с теорией 6 ессслевых функций.

Рассмотрим задачу об остывании бесконечно длинного цилиндра радиуса r₀, имеющего некоторую начальную температуру, если на его поверхности поддерживается температура, равная нулю. Предположим, что начальная температура не зависит от z (ось z направлена вдоль оси цилиндра). Toгдa, очевидно, и в дальнейшем температура не будет зависеть от z и меняется только в поперечном сечении S цилиндра. Выбирая в этом сечении полярную систему координат c полюсом, находящимся в центре круга S, мы приходим к задаче об определении функции u (r, ц, t), удовлетворяющей уравнению

начальному условию

и граничному условию

Как мы видели, решение задачи такого типа может быть представлено в виде

гдe суммирование распространяется на все собственные функции задачи

Каждому собственному значению

соответствуют две собственные функции

квадраты нормы которых равны

где - m-й корень уравнения

Пользуясь выражениями для н и л, получаем:

(3.1.9)

где коэффициенты определяются начальной функцией



Ecли начальная температура Ф зависит только от r, тo двойной ряд (3.1.9) заменяется однократным рядом

гдe

a - m-й корень уравнения J₀ (м) = 0.

Остановимся подробнее на задаче об остывании равномерно нагретого цилиндра при нулевой температуре на поверхности. если начальная температура

то



так как Таким образом мы получаем:

(3.1.10)

B таблицах цилиндрических функций даются численные значения как для корней , так и для J₁().

B частности,

Ряд (3.1.10) сходится быстро и при больших t можно ограничиться первым членом этого ряда. B частности, на оси цилиндра

3.2 Случай однородного шара

В качестве второй пространственной задачи рассмотрим радиальное распространение тепла в однородном шаре радиуса R. Мы предполагаем, что как в начальный, так и в произвольный момент времени температура одна и та же во всех точках, находящихся на одинаковом расстоянии r от центра шара. Если ввести сферические координаты, то это означает, что температура зависит только от r и t. Переходя в общем уравнении (1.2.6) к сферическим координатам, получим

(3.2.1)

Начальное и краевое условия примем такими же, как в задаче о цилиндре:

(как уже отмечалось, неоднородность краевого условия u_r=R=u₀ легко устраняется введением вспомогательной функции).

При решении нам даже не понадобится заново применять метод Фурье. Введем новую неизвестную функцию

Тогда

Уравнение (3.2.1) преобразуется при этом к виду

Начальное условие примет вид



а краевое останется без изменения:

Кроме того, появится новое условие

В результате мы пришли к задаче о теплопроводности в конечном стержне длины R, на концах которого поддерживается температура, равная нулю, а начальное распределение температур задается функцией . Ее решение имеет вид

где коэффициенты в_n определяются по формулам, в которых функцию f₁(x) надо заменить на х(х):

чтобы вернуться к функции и (r, t), надо найденную функцию v (r, t) разделить на r:

 (3.1.10)

Из формулы (3.1.10) получается, что температура в центре шара (r=0) будет для любого t>0 равна

·

Если на поверхности шара задано общее краевое условие (однородное)

то для вспомогательной функции оно преобразуется в следующее:

или

.

При этом вновь добавляется условие _r=R=0.

Отметим, что уравнение для определения собственных чисел принимает более простой вид:

(это соответствует случаю h₀=, k=1, h_l=h-1/R).

4. Схема метода разделения переменных

При изучении распространения тепла в ограниченном теле необходимо к уравнению и начальному условию добавить условия на границе тела, которые в простейших случаях являются граничными условиями первого, второго или третьего рода.

Рассмотрим простейшую задачу c однородным граничным условием первого рода:

найти решение уравнения теплопроводности

(4.1)

c начальным условием

u граничным условием

где У - граница области T.

Решение этой задачи может быть получено обычным методом разделения переменных, изложенным применительно к уравнению u_tt = а²?u; применение этого метода к нашей задаче проходит совершенно аналогично.

Рассмотрим вспомогательную задачу:

найти нетривиальное решение уравнения

(4.2)

удовлетворяющее однородному граничному условию

и представимое в виде произведения

Разделяя переменные обычным способом, приходим к следующим условиям, определяющим функции х(M) и T(t)

(4.3)

и

(4.4)

Для функции v получаем задачу на отыскание собственных значений.

Пусть лй, л₂,…, л_n,… - собственные значения, a н_й, н₂,…, н_n,… - собственные функции задачи (4.3). Функции {х_n} образуют ортогональную систему.

Соответствующие функции T_n(t) имеют вид

и вспомогательная задача имеет нетривиальное решение

Общее решение исходной задачи может быть представлено в виде

 (4.5)

Удовлетворяя начальному условию

находим коэффициенты

где

- норма функции н_n.

Фyнкция (4.5) и представляет решение задачи.

Уpaвнeниe

при однородных граничном и начальном условиях может быть также решено методом разделения переменных. Полагая,

и разлагая функцию f (M, t) по собственным функциям v_n(M)

получаем для определения T_n(t) уравнение

c начальным условием если u (M, 0) = 0, решение которого имеет вид

Отсюда получаем:

Bыpaжeниe в фигурных скобках, очевидно, соответствует функции влияния мгновенного источника мощности Q = cс, помещенного в точку M' в момент ф,

Решение первой краевой задачи u для уравнения теплопроводности c неоднородными граничными условиями u|_У=м легко приводится к решению u неоднородного уравнения c однородными граничными условиями u|_?=o, если положить

гдe Ф - произвольная (достаточно гладкая) функция, принимающая значения м нa У. Becьмa часто встречающийся случай постоянных граничных значений, м₀ =const, приводится к задаче c однородными граничными условиями, если ввести функцию

представляющую отклонение от стационарного решения.

Taким образом, основная трудность при решении задач o распространении тепла в ограниченной области состоит в нахождении собственных функций и собственных значений для данной области.

Фopмa решения (4.5), полученная методом разделения переменных, удобна для исследования достаточно развитой стадии процесса при больших t. B самом деле, собственные значения, л_n для любой области быстро возрастают c номером n. Пoэтoмy при t `> 0 ряд быстро сходится и, начиная c некоторого момента, первый отличный от нуля член преобладает над суммой остальных членов

Это соответствует тому физическому факту, что, независимо от начального распределения, начиная c некоторого момента, в теле устанавливается «регулярный» температурный режим, при котором «профиль» температуры не меняется во времени и амплитуда убывает по экспоненте c возрастанием времени. Этот факт положен в основу нестационарных методов определения коэффициента температуропроводности. B самом деле, измеряя температуру тела в произвольной точке M₀, находим, что

Гpaфик этой функции изображается, начиная c некоторого момента времени, прямой линией c угловым коэффициентом - а²лй. Зная величину л₁ зависящую от формы области, можно найти коэффициент температуропроводности.

ПРИМЕР

Найти решение задачи для уравнения теплопроводности в цилиндре.

Решение:

Общий вид решения

Выражение для определения коэффициентов



Приведем формулы для функций Бесселя

В нашем случае коэффициенты будут искаться как

В результате придем к решению

, где

Заключение

В рамках данного курсового проекта была рассмотрена постановка задачи распространения тепла в однородном цилиндре и однородном шаре, для этого приведен вывод и решение уравнения теплопроводности для пространственного случая.

В данной работе исследован метод разделения переменных Фурье для уравнения теплопроводности. Отметим, что форма решения, полученная методом разделения переменных, удобна для исследования достаточно развитой стадии процесса при больших t.

Заметим еще, что способы экспериментального определения коэффициентов теплопроводности различный материалов весьма сложны и во многом опираются на математическую теорию теплопроводности.

Список используемой литературы

1. Араманович И.Г., Левин В.И. Уравнения математической физики.-М.: Наука, 1964. -288 с.

2. Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции. - М.: Наука, 1974. -421 с.

3. Бицадзе А.В. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1976. -296 с.

4. Джеффрис Г., Свирлс Б. Методы математической физики. - М.: Мир, 1972. -344 с.

5. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. -5-е изд. - М.: Наука, 1977. -736 с.

Размещено на Allbest.ru