Простейшие дифференциальные уравнения

Размещено на http://www.allbest.ru/

Реферат

Простейшие дифференциальные уравнения

Содержание

Введение

1. Движение тела под действием постоянной силы

2. Уравнение гармонического осциллятора

3. Математический маятник

4. Движение планет вокруг Солнца

Литература

Введение

В физике наиболее часто математические модели описываются некоторыми дифференциальными уравнениями и их системами (разумеется, в дополнение к ним, в модель могу входить и уравнения других типов). В настоящем пособии мы будем иметь дело только с обыкновенными дифференциальными уравнениями (в отличие от уравнений в частных производных). В физике они встречаются буквально на каждом шагу. Например, в механике, как только мы используем хорошо известный второй закон Ньютона (), мы имеем дело с обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ) второго порядка.

Иссаку Ньютону принадлежит огромное число фундаментальных научных результатов. В те времена, недостаточно проверенные открытия, было модно в целях закрепления приоритета, публиковать в виде некоторых анаграмм (в формуле открытия переставляются буквы способом, известным лишь его автору). Заметим, что многие ученые увлекались расшифровками (обычно неудачными) чужих анаграмм. В их числе был и Иоганн Кеплер.

Из всех своих открытий И. Ньютон опубликовал в виде анаграммы только одно. В переводе на современный язык, оно звучит следующим образом: «Полезно решать дифференциальные уравнения».

Определение. Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее неизвестную функцию и некоторое число ее производных. Решением дифференциального уравнения называется функция, при подстановке которого в уравнение, оно обращает в тождество.

Таким образом, в отличие от алгебраического уравнения, где неизвестными являются его корни (т.е. некоторая совокупность чисел), в дифференциальном уравнении неизвестной является функция. Например, уравнение математического маятника, которое описывает изменение со временем отклонения его подвеса от вертикального положения (вывод этого уравнения см. далее), имеет вид .

Оно представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка относительно неизвестного .

Порядком ОДУ называется порядок старшей производной от неизвестной функции, входящей в рассматриваемое уравнение.

В дифференциальное уравнение могут входить несколько разных производных. Например, при учете влияния сопротивления воздуха или жидкости, уравнение, описывающие колебания физического маятника имеет вид .

В отличие от уравнения (3), в этом уравнении появился член , пропорциональный угловой скорости движения.

Проиллюстрируем появление ОДУ при решении простейших задач механики.

1. Движение тела под действием постоянной силы

Простейшее дифференциальное уравнение, с которым мы сталкиваемся в курсе физики, связано с исследованием равноускоренного движения материальной точки под действием постоянной во времени силы. Очевидно, эта ситуация описывается вторым законом Ньютона , где - постоянная сила. Поскольку ускорение является второй производной от перемещения по времени, это уравнение можно записать в виде

Это уже есть дифференциальное уравнение второго порядка относительно переменной .

Поскольку , решение дифференциального уравнения (5) можно получить с помощью элементарного интегрирования. Действительно, мы имеем , и, стало быть, после однократного интегрирования этого выражения получим

,

где - некоторая произвольная постоянная.

Беря неопределенный интеграл от обеих частей последнего уравнения, находим

,

где - еще одна произвольная постоянная, которая возникает за счет второго интегрирования.

Формула приобретает совершенно иной вид, если ввести более привычные обозначения для входящих в нее постоянных величин. Пусть есть постоянное во времени ускорение. Константа имеет смысл начальной координаты тела (поскольку из (1) следует, что) и ее принято обозначать символом . Произвольная постоянная имеет смысл начальной скорости, поскольку из формулы (6) ясно, что . В силу этого смысла, принято обозначать символом . Тогда наше дифференциальное уравнение принимает хорошо знакомый из школьного курса физики вид

.

Это выражение есть формула для перемещения материальной точки при равноускоренном движении по прямой.

2. Уравнение гармонического осциллятора

Рис. 1

Рассмотрим колебания грузика массой m на пружинке с коэффициентом жесткости k, который лежит на плоском горизонтальном столе, предполагая, что трение грузика об поверхности стола отсутствует. Если грузик вывести из положения равновесия, он будет совершать колебания относительно этого положения. Эти колебания мы будем описываем зависящей от времени функцией , считая, что она определяет отклонение грузика из своего положения равновесия в момент времени t.

В горизонтальном направлении на грузик действует только одна сила - сила упругости пружинки, , определенная известным законом Гука

.

Деформация пружины является функцией времени, в силу чего, также является переменной.

Из второго закона Ньютона имеем

,

поскольку ускорение является второй производной от смещения : .

Уравнение (9) можно переписать в форме

,

где . Это уравнение получило название уравнение гармонического осциллятора.

Замечание. В математической литературе, при написании дифференциального уравнения обычно не указывают аргумент (t) около всех, зависящих от него функций. Такая зависимость предполагается по умолчанию. При использовании же математического пакета Maple в (10) необходимо указывать явную зависимость функции .

В отличие от предыдущего примера движения тела под действием постоянной силы в нашем случае сила изменяется с течением времени, и уравнение (10) уже нельзя решить с помощью обычной процедуры интегрирования. Попытаемся угадать решение этого уравнения, зная, что оно описывает некоторый колебательный процесс. В качестве одного из возможных решений уравнения (10) можно выбрать следующую функцию:

.

Дифференцируя функцию (11), имеем

Подставляя выражение (12) в уравнение (10), убеждаемся, что оно удовлетворяется тождественно при любом значении t.

Однако, функция (11) не является единственным решением уравнения гармонического осциллятора. Например, в качестве другого его решения можно выбрать функцию , что также легко проверить аналогичным образом. Более того, можно проверить, что любая линейная комбинация этих двух наугад названных решений

с постоянными коэффициентами A и B также является решениеv уравнения гармонического осциллятора.

Можно доказать, что зависящее от двух постоянных решение (13) является общим решением уравнения гармонического осциллятора (10). Это означает, что формула (13) исчерпывает все возможные решения этого уравнения. Иными словами, других частных решений, кроме тех, которые получаются из формулы (13) фиксацией произвольных постоянных А и В, уравнение гармонического осциллятора не имеет.

Заметим, что в физике наиболее часто приходится искать именно некоторые частные решения отдельных ОДУ или их систем. Рассмотрим этот вопрос более подробно.

Возбудить колебания в рассматриваемой нами системе грузика на пружинке можно разными способами. Пусть мы задали следующие начальные условия

Это значит, что в начальный момент времени грузик был отведен из положения равновесия на величину a и свободно отпущен (т.е. он начинает свое движение с нулевой начальной скоростью). Можно представить себе и много разных других способов возбуждения, например, грузику в положении равновесия «щелчком» придается некоторая начальная скорость и т.д. [общем случае, ].

Мы рассматриваем начальные условия (14) как некоторые дополнительные условия для выделения из общего решения (13) некоторого частного решения, соответствующего нашему способу возбуждения колебаний грузика.

Полагая t=0 в выражении (13), имеем , откуда следует, что B=a. Таким образом, мы нашли одну из ранее произвольных констант в решении (13). Далее, дифференцируя в формуле (13), имеем

.

Полагая в этом выражении t=0 и учитывая второе начальное условие из (14), получим , отсюда следует, что A=0 и, таким образом, исходное частное решение имеет вид

.

Оно описывает колебательный режим рассматриваемой механической системы, который определяется условиями начального возбуждения (14).

Из школьного курса физики известно, что в формуле (16) a является амплитудой колебаний (она задает максимальную величину отклонения грузика от своего положения равновесия), является циклической частотой, а - фазой колебаний (начальная фаза оказывается при этом равной нулю).

Уравнение гармонического осциллятора (10) является примером линейного ОДУ. Это значит, что неизвестная функция и все ее производные входят в каждый член уравнения в первой степени. Линейные дифференциальные уравнения обладают чрезвычайно важным отличительным свойством: они удовлетворяют принципу суперпозиции. Это значит, что любая линейная комбинация двух каких либо решений линейного ОДУ также является его решением.

В рассматриваемом нами примере уравнения гармонического осциллятора, произвольная линейная комбинация двух частных решений и является не просто каким-то новым решением, но общим решением этого уравнения (оно исчерпывает все возможные его решения).

В общем случае, это не так. Например, если бы мы имели дело с линейным дифференциальным уравнением третьего порядка, (т.е. если бы в уравнение входила бы третья производная ), то линейная комбинация каких-либо двух его частных решений также была бы решением этого уравнения, но не представляла бы собой его общее решение.

В курсе дифференциальных уравнений доказывается теорема о том, что общее решение ОДУ N-ого порядка (линейного или нелинейного) зависит от N произвольных постоянных. В случае нелинейного уравнения эти произвольные постоянные могут входить в общее решение (в отличие от (13)), нелинейным образом.

Принцип суперпозиции играет в теории ОДУ исключительно важную роль, поскольку с его помощью можно построить общее решение дифференциального уравнения в виде суперпозиции его частных решений. Например, для случая линейных ОДУ с постоянными коэффициентами и их систем (уравнение гармонического осциллятора относится именно к этому типу уравнений) в теории дифференциальных уравнений разработан общий метод решения. Суть его заключается в следующем. Ищется частное решение в виде . В результате его подстановки в исходное уравнение, все зависящие от времени множители сокращаются и мы приходим к некоторому характеристическому уравнению, которое для ОДУ N-ого порядка представляет собой алгебраическое уравнение N-ой степени. Решая его, мы находим, тем самым, все возможные частные решения, произвольная линейная комбинация которых и дает общее решение исходного ОДУ. Мы не будем далее останавливаться на этом вопросе, отсылая читателя к соответствующим учебникам по теории дифференциальным уравнениям, в которых можно найти дальнейшие детали, в частности, рассмотрение случая, когда характеристическое уравнение содержит кратные корни.

Если рассматривается линейное ОДУ с переменными коэффициентами, (его коэффициенты зависят от времени), то принцип суперпозиции также справедлив, но построить в явном виде общее решение этого уравнение каким-либо стандартным методом, уже не представляется возможным. Мы вернемся к этому вопросу далее, обсуждая явление параметрического резонанса и связанным с его исследованием уравненем Матье.

3. Математический маятник

В качестве следующего примера рассмотрим дифференциальное уравнение, которое описывает колебания математического маятника. Напомним, что математическим маятником называется материальная точка на невесомом и нерастяжимом подвесе, который совершает колебания в однородном (в данном случае, гравитационном) поле. Дифференциальное уравнение, описывающее колебания математического маятника, можно легко вывести, используя для этого элементарные приемы из курса школьной физики.

Рис. 2

В силу нерастяжимости нити мы заведомо знаем, что маятник, точнее соответствующая ему материальная точка с массой m, движется вдоль дуги окружности радиуса l (см. рис.2). Отсюда следует, что движение маятника является одномерным и мы можем в качестве координаты, описывающей это движение, выбрать длину дуги окружности s. Отсчет этой криволинейной координаты начинается в точке равновесия маятника A и ведется в направлении положительных углов отклонения подвеса маятника относительно вертикального положения (т.е. против часовой стрелки).

Обыкновенное дифференциальное уравнение, описывающее движение маятника в момент времени t, который отвечает отклонению его подвеса на угол (см. рис 2.), получим с помощью второго закона Ньютона. На материальную точку массой m действуют две силы - сила притяжения к Земле mg, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити, направленная по радиусу окружности, соответствующему выбранному нами отклонению на угол (t) от вертикального положения. Чтобы применить второй закон Ньютона для описания движения материальной точки m по дуге окружности s, необходимо найти проекцию равнодействующей силы на направление касательной к окружности в той ее точке, где в момент времени t находится маятник. Для этого достаточно найти сумму проекций на касательную в точке B вышеуказанных двух сил. Поскольку сила натяжения нити перпендикулярна касательной, достаточно учесть только проекцию F силы тяжести mg. Из рис.2 имеем F=-mg sin() (угол отклонения маятника равен углу обозначенному той же буквой в силовом треугольнике, как углы со взаимно параллельными сторонами). С учетом вышесказанного, из второго закона Ньютона получим

,

здесь есть вторая производная от криволинейного пути перемещения маятника s(t), а угол измеряется в радианах. Принципиально важным является правильность учета знаков проекций силы mg: из рисунка видно, что при отклонении маятника от положения равновесия вправо, эта проекция направлена влево и наоборот (таким образом, она является возвращающей силой).

В уравнение (17) входят две переменные, зависящие от времени: (t) и s(t). Очевидно, что они не являются независимыми друг от друга. Действительно, между ними имеется очевидная геометрическая связь, следующая из определения радианной меры угла (=s/l):

s(t)=.(18)

Подстановка (18) в (17) и сокращение на массу m приводит нас к уравнении вида.

,

которое мы будем в дальнейшем записывать в форме

,

где . Оно называется уравнением математического маятника и является нелинейным дифференциальным уравнением, поскольку, входящая в него неизвестная функция (t) стоит под знаком синуса. Именно этим уравнение (20) отличается от дифференциального уравнения гармонического осциллятора (10).

Угадать решение уравнения математического маятника, в отличие от того, как это было сделано для случая гармонического осциллятора, вряд ли возможно. Из математической литературы известно, что это уравнение имеет аналитическое решение, которое выражается в терминах эллиптических функций Якоби. Поскольку эти функции элементарными не являются, то обычно студенты второго курса физического факультета с ними незнакомы, поэтому приводить это решение мы не будем и займемся в дальнейшем численным решением рассматриваемого уравнения.

В школьном курсе физики фигурировала следующая классическая формула для периода колебаний (Т) математического маятника

Эта формула является лишь некоторым приближением, которое справедливо только для колебаний с малыми углами отклонения маятника от положения равновесия, т.е. в случае

.

Покажем, как можно получить формулу (21), исходя из дифференциального уравнения (20).

В силу ограничения малыми углами, , функцию можно разложить в ряд Тейлора около значения t=0 (фактически, это ряд Маклорена):

Заметим попутно, что именно с помощью этого разложения (в правой его части фигурируют только арифметические операции над углом , заданным радианах) обычно вычисляются значения тригонометрической функции sin(), когда мы пользуемся калькулятором или пишем компьютерную программу на некотором алгоритмическом языке.

При условии (22), что отвечает отклонениям на углы в несколько градусов (напомним, что один радиан равен приблизительно градусам), можно ограничиться лишь первым членом в разложении (23), т.е. считать что .

Делая замену (24) в уравнении (20), мы получим приближенное уравнение, которое есть ни что иное, как уравнение гармонического осциллятора относительно функции (t) (сравни с уравнением (10)), общее аналитическое решение которого мы знаем:



С другой стороны, при любых значениях постоянных A,B решение (25) является периодической функцией с периодом . Тогда, с учётом соотношения , мы приходим к вышеупомянутой формуле (21) для периода колебаний математического маятника.

Теперь становится очевидным, что формула (21) не является точной, она справедлива лишь для достаточно малых угловых амплитуд колебаний математического маятника.

Достаточно ясно, что если бы в разложении (23) для sin() мы учли не только первый, но и второй член, т.е. если бы положили

,

и подставили бы это выражение в уравнение математического маятника (20), то получили бы в результате его решения более хорошее приближение для периода колебаний (справедливое для больших амплитуд колебаний). Однако, подстановка (26) в (20) приводит к нелинейному дифференциальному уравнению (уравнению Дуффинга), решение которого также выражается через обычно неизвестные студентам второго курса эллиптические функции Якоби.

Точное выражение для периода колебаний математического маятника можно найти в курсах теоретической механики. Он выражается полный эллиптический интеграл первого рода [4]. И из него ясно, что период колебаний математического маятника явно зависит от амплитуды колебаний (это характерное свойство нелинейных колебаний подробно исследуется с помощью численных методов в модуле 4 данного пособия).

4. Движение планет вокруг Солнца

Согласно первому закону Кеплера, орбита каждой планеты солнечной системы представляет собой некоторый эллипс, в одном из фокусов которого находится Солнце. Во второй части пособия мы займемся подробным исследованием этой и других закономерностей движения планет с помощью постановки соответствующих вычислительных экспериментов. Сейчас же нашей целью будет вывод уравнений движения планеты массой m в поле притяжения Солнца массой M. В силу того, что M>>m, будем считать Солнце неподвижным и поместим начало координат в точку его нахождения.

Рис. 3

Мы будем рассматривать плоское движение, в связи с чем, достаточно ввести две декартовы координатные оси (см. рис. 3). Тело массой m (планета) имеет координаты x(t) и y(t), которые изменяются в процессе его движения вокруг Солнца. Нашей целью является получение дифференциальных уравнений, определяющих эту временную эволюцию координат планеты.

Пусть в некоторый момент времени t планета находится в точка А и имеет координаты x(t) и y(t). На нее действует только одна сила F - сила притяжения со стороны Солнца, равная по модулю

,

где - расстояние от планеты до Солнца. Эта сила направлена по прямой, соединяющей планету и Солнце. Обозначая через и ее проекции на координатные оси и используя второй закон Ньютона F=ma, мы можем написать два скалярных уравнения движения планеты вдоль координатных осей .

(28)

(обратим внимание на то, что сила F направлена к центру и поэтому ее проекции имеют направления противоположные соответствующим координатным осям).

Из рис. 3 видно, что угол в силовом треугольнике равен углу в треугольнике OAB, гипотенуза которого является расстоянием до Солнца, а катеты - декартовыми координатами планеты x(t) и y(t). Это дает возможность написать входящие в уравнения (28) тригонометрические функции в виде

уравнение маятник закон ньютон

.(29)

(30)

После сокращения на массу m и выражения расстояния до Солнца R через координаты планеты, окончательно приходим к следующей системе дифференциальных уравнений

(31)

где . Это система двух связанных ОДУ относительно двух функций времени x(t) и y(t). Очевидно, что эти уравнения являются нелинейным в силу наличия в знаменателе функции .

Аналитическое решение системы (31) было найдено в свое время Исааком Ньютоном и результаты его исследования можно сформулировать следующим образом. Траектория движения тела в поле неподвижного гравитационного центра представляет собой одно из пяти конических сечений - окружность, эллипс, параболу, гиперболу или прямую. Более того, из системы ОДУ (31) получается не только первый закон Кеплера, но и два других его закона, которые мы обсудим во второй части пособия.

Подведём итог. В разделе мы ознакомились с понятием дифференциальных уравнений. При этом мы подчеркиваем, что применение второго закона Ньютона автоматически приводит к некоторым дифференциальным уравнениям или их системам. Мы также ознакомились с различиями между линейными и нелинейными ОДУ и с тем фактом, что очень редко удается найти аналитическое решение для нелинейных ОДУ, в силу чего особую роль при их исследовании играют численные методы, к рассмотрению которых мы переходим.

Литература

1. Кунин С. Вычислительная физика. М.: Мир, 2002.

2. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. М.: Изд-во МФТИ, 2004.

3. Валуев А.А., Норман Г.Э., Подлипчук В.Ю. -- В сб.: Математическое моделирование. М.: Наука, 2009, с. 5-40.

Размещено на Allbest.ru