Целью использования статистически неопределимых систем в технике, является для увеличения прочности и жесткости.

1. Статически неопределимая система, у которой все связи сходятся в одной точке.

Рис. Статически неопределимой системы, у которой все связи сходятся в одной точке.

Степень статической неопределимости рассматриваемой системы

n = 3 - 2 = 1

Рассмотрим условия статистического равновесия. Используем метод сечения.

Рис. Схема статистического равновесия

(6.2)

После преобразований можно записать

(6.3)

Рассмотрим условия совместности деформаций

неопределимый физика усталость разрушение

Рис. План перемещений

В прямоугольном треугольнике

Выражая удлинения через продольные силы, получим

После преобразований уравнение совместности деформаций примет следующий вид

(6.4)

Три уравнения (6.2) - (6.4) образуют систему неоднородных линейных алгебраических уравнений относительно .

. (6.5)

После некоторых преобразований получим

.

2. Статически неопределимые системы с параллельными связями

Рис. Статически неопределимая система с параллельными связями

Для определения степени статической неопределимости можно воспользоваться тремя уравнениями равновесия для плоской системы сил

n₁ = 4-3=1

или использовать одно условие равновесия в моментах относительно точки

n₂ = 2-1=1.

Наиболее простое решение имеет место во втором случае.

Рассмотрим условия статистического равновесия. Используем метод сечения и рассечем стержни 1 и 2, заменив действие отброшенной части продольными силами .

Рис. Схема статистического равновесия

Рассматривая условие равновесия в моментах относительно точки , можно получить уравнение, аналогичное (6.2) и (6.3)

,

. (6.6)

Рассмотрим условия совместности деформаций

Рис. План перемещений

После введения следующих обозначений

из подобия треугольников ?ABB' и ?ACC' можно получить условие совместности деформаций в виде

После перехода к продольным силам получаем условие совместности деформаций в окончательном виде

. (6.7)

Совместное решение (6.6) и (6.7) позволяет получить

Для проверки используем уравнение статического равновесия в моментах относительно точки А:

.

3. Стержни, жестко заделанные на границах

Рис. Стержень, жестко заделанный на границах

Вычисляем степень статистической неопределимости:

n= 2-1 =1

Отбросим лишнюю связь. Прикладываем неизвестную реакцию X. Если предположить, что X нам известно, то тогда данная система полностью эквивалентна исходной статически неопределимой системе, будем называть эквивалентной системой.

Перемещение в направление отброшенной связи должно быть равно 0. Это и есть уравнение совместности деформации.

(6.8)

4. Выразим через X продольные силы для каждого участка.

Используем выражения для продольных сил при вычислении удлинений стержней

После подстановки этих выражений в зависимость (6.8) можно определить реакцию Х

Следующие этапы решения задачи не чем не отличаются от расчетов статистически определимых систем, так как X=3F/5 можно считать внешней нагрузкой.

Для последнего примера произведем дополнительно учет нагрева второго стержня на ^_. На участке (2) происходит удлинение, как за счет упругих деформаций, так и за счет температурного расширения.

Где _сталь =125*10^-4 1/^_K, _{алюминий}=240*10^-4 1/^_K

С учетом отмеченных особенностей уравнение совместности деформаций (6.8) может быть записано в следующем виде

Статистические неопределимые системы с зазором и натягом. По технологическим или конструктивным причинам в технике используются зазоры и натяги. С учетом этого уравнение совместности деформаций (6.8) может быть записано в следующем виде

где - величина зазора (знак положительный) или натяга (знак отрицательный).

Аналогичной зависимостью могут быть записаны и для двух первых примеров.

3. Статистически неопределимые задачи на кручение

Рис. Статически неопределимые стержни, работающие на кручение (а) или на растяжение и сжатие (b)

Вычисляем степень статистической неопределимости:

n= 2-1 =1

2. Отбросим одну из связей и заменим ее действие крутящим моментом (рис.6.10).

Рис. Эквивалентная система в статически неопределимых задачах на кручение

3. Перемещение в направление отброшенной связи должно быть равно 0. Это и есть уравнение совместности деформации.

(6.9)

4. Выразим через X продольные силы для каждого участка.

Используем выражения для крутящих моментов при вычислении углов закручивания участков стержня

После подстановки этих выражений в зависимость (6.9) можно определить реакцию Х

Следующие этапы решения задачи не чем не отличаются от расчетов статистически определимых систем, так как X=2Т/3 можно считать внешней нагрузкой. Суммарная эпюра крутящих моментов показана на рис.6.11.

Рис. Эпюра крутящих моментов для статически неопределимой балки

Порядок дальнейшего решения задач прочности и жесткости при кручении практически не отличается от статически определимых задач, изложенных в разделе 4.

4. Статистически неопределимые задачи на изгиб

Значительная часть современных конструкций обладает свойством симметрии. Вероятно, источником является симметрия в природе.

На симметричные конструкции могут воздействовать симметричные и кососимметричные нагрузки (рис. 6.14).

Рис. Симметричные конструкции при воздействии симметричных и кососимметричных нагрузок

Из трех внутренних силовых факторов, действующих в точке пересечения плоскости симметрии с конструкцией, можно образовать две группы.

1. Это X₁, X₃ (внутренние силовые факторы отброшенной части, вызывают симметричное деформирование).

Рис. Особенности симметричного и кососимметричного нагружений симметричных конструкций

Это кососимметричное деформирование, связанное с X₂.

Таким образом, если симметричная конструкция нагружена симметрично, то X₂=0. (X_{2 -} приводит к кососимметричному деформированию). Если на конструкцию действует кососимметричная нагрузка, то X₁,X₃=0.

Под усталостной прочностью конструкций мы будем понимать прочность конструкции при действии переменных нагрузок (с ней связано до 10% отказов в работе).

Усталостной прочностью на практике стали заниматься в XIX веке в связи с крушениями на железных дорогах, и в I половине ХХ века в морском флоте.

Использование колеса в колесной паре отличается от использования колеса на полуоси тем, что на вал действуют переменные нагрузки.

7. Физика усталости разрушения

Трещина зарождается в районе наличия дефектов в кристаллической решетке в виде примесей (типа серы, фосфора и т.п.).

2. При достижении некоторой глубины напряжение заметно снижается; рост трещины в направлении к центру прекращается.

3. Трещина развивается на поверхности.

4. Рост к центру.

5. Разрушение наступает мгновенно при исчерпании запаса прочности.

Классификация циклов нагружения при усталостном напряжении.