Оптимальное управление в электрических схемах

Размещено на http://www.allbest.ru/

«Оптимальное управление в электрических схемах»

Задача 2

Оптимальное управление в RC-цепи

Для электрической схемы содержащей источник питания e(t), активные сопротивления r, R и емкость C

Размещено на http://www.allbest.ru/

необходимо:

а) определить оптимальный закон изменения напряжения источника питания e(t), приводящий к изменению напряжения на обкладках конденсатора от заданного начального значения uC(t0)=uC0 до заданного конечного значения uC(t1)=uC1 , такой, чтобы суммарная энергия активных потерь (затрачиваемая на нагрев) при этом изменении была минимальной;

б) определить оптимальный закон изменения напряжения на обкладках конденсатора uC(t) , соответствующий оптимальному закону изменения e(t);

в) вычислить энергию активных потерь в схеме при оптимальном режиме изменения e(t) и uC(t) и сравнить ее с энергией активных потерь, затрачиваемой на нагрев при линейном изменении напряжения uC(t) от начального до конечного значения;

г) построить графики оптимальных и линейных изменений ЭДС и напряжения на конденсаторе.

Значения параметров элементов схемы в зависимости от варианта задания приведены в таблице 1.

Таблица 1

Номер варианта	r [Ом]	R [Ом]	С [мкФ]	uC(t0) [В]	uC(t1) [В]
8	6	60	5	45	80

Полагать t0=0 , t1=10-3 c .

Реферат

Цель работы: систематизация, закрепление и расширение теоретических знаний, и получение практических навыков при расширении конкретных технических задач, развитие навыков самостоятельной работы с технической литературой в ходе расчета.

Объект исследования: в курсовой работе предлагается разработать алгоритмы изменения режима работы электрической схемы, содержащей активные и реактивные элементы, обеспечивающие минимизацию энергии активных потерь при переходе от одного режима работы схемы к другому. Необходимо определить вид закона изменения ЭДС источника питания (управляющего воздействия) и проанализировать работу схемы при действии этой ЭДС.

Введение

На протяжении долгих лет очень эффективно используются математические методы моделирования и изучения жизни. Самые различные специалисты вынуждены прибегать к математическим методам оптимального управления. В связи с этим возникает множество проблем и трудностей, которые приходится решать.

Курсовая работа имеет своей целью систематизацию, закрепление и расширение теоретических знаний и практических навыков путем решения конкретных технических задач, развитие навыков самостоятельной работы с литературой в ходе расчетов.

В процессе выполнения курсовой работы разрабатываются алгоритмы изменения режима работы электрической схемы, содержащей активные и реактивные элементы, которые обеспечивают минимизацию энергии активных потерь при переходе от одного режима работы схемы к другому. Также определяется вид закона изменения ЭДС источника питания (управляющего воздействия) и анализируется работа схемы при действии этой ЭДС.

Содержание

Задание к курсовой работе

Реферат

Введение

Содержание

1. ЗАДАЧА 2. Оптимальное управление в RC - цепи

1.1 Описание объекта управления

1.2 Конструирование функционала - критерия оптимальности

1.3 Формулировка задачи как вариационной задачи на условный экстремум

1.4 Синтез оптимального алгоритма управления

1.5 Анализ процессов в системе

1.6. Сравнительная оценка процессов в схеме при оптимальном и линейном режимах

Заключение

Литература

Задача 2

Оптимальное управление в RC - цепи

1.1 Описание объекта управления

Математическая модель объекта получается на основе законов Кирхгофа и имеет вид дифференциального уравнения

(1)

где x(t)=uc(t) , u(t)=e(t) , p, b - числа, равные p = -1/RC, b = 1/RC

, .

1.2 Конструирование функционала - критерия оптимальности

Найдем выражение для суммарной энергии активных потерь в схеме за время t1-t0 . Оно представляется в виде

. (2)

Для этого записываем выражение для активной мощности потерь на сопротивлениях r и R :

или,

Получим, что q =1/R = 0,017 , n = -2/R = - 0,033, m = 1/r + 1/R = 0,183.

1.3 Формулировка задачи как вариационной задачи на условный экстремум

Для этого необходимо рассматривать в качестве уравнения связей уравнение системы (1), а в качестве функционала - функционал (2).

Таким образом, получаем следующую вариационную задачу:

Определить функции x(t) и u(t), доставляющие экстремум функционалу

,

при граничных условиях ,

и при дополнительном условии (уравнении связи)

накладываемом на функции x(t), u(t) , в классе которых ищется экстремум.

1.4 Синтез оптимального алгоритма управления

1.4.1 Получение уравнений вариационной задачи

Уравнения Эйлера - Лагранжа имеют вид

, ,

в которых

(t) - неопределенный множитель Лагранжа, ? - функция Лагранжа.

В итоге получаем систему уравнений:

(3)

(4)

(5)

Здесь (3), (4) - уравнения Эйлера - Лагранжа. К этим уравнениям добавлено уравнение объекта (5) (уравнение связи).

1.4.2 Отыскание решения уравнений вариационной задачи

Решим уравнения (3) - (5) в следующем порядке:

1) Выразим из (4) u(t):

Затем подставим его в (3) и (5).

При этом получается система уравнений

,

с коэффициентами

a11 = p - nb/2m = -3033,3,

a12 = b2/2m = 3,035*107,

a21 = 2q - n2/2m = 0,031,

a22 = nb/2m - p = 3033,3.

Таким образом получим следующую систему:

(6)

2) Запишем систему (6) в матричной форме

, (7)

где

,

.

3) Запишем решение уравнения (7) в виде

, (8)

где

- вектор начальных условий, а матричная экспонента определяется по формуле Лагранжа - Сильвестра

,

где 1 , 2 - собственные числа матрицы А. Е - единичная матрица.

Собственные числа матрицы А определяются из условия. Таким образом получим

,

.

Для определения неизвестного начального значения множителя Лагранжа (t0) , входящего в (8)

а) запишем (8) для момента времени t1

электрический схема активный реактивный потеря

или

,

, (9)

где e11 , е12 , е21 , е22 - элементы матрицы (числа):



б) определим (t0) из первого уравнения системы (9)

Таким образом

Решим уравнение (7):

4). Запишем выражения для оптимальной траектории и оптимального управления:

- оптимальная траектория

- оптимальное управление

1.5 Анализ процессов в системе

1.5.1 Анализ процессов при оптимальном режиме

Анализ процессов при оптимальном режиме построим графики x(t) , u(t) на интервале t[t0,t1]. Этот интервал разбивается на 10 частей и вычисляются значения x(t) и u(t) в этих точках.

t	x(t)	u(t)
0	45,13	4,2
0,0001	34,915	7,0051
0,0002	28,270	10,527
0,0003	24,516	15,124
0,0004	23,268	21,277
0,0005	24,399	29,587
0,0006	28,023	40,33
0,0007	34,513	56,467
0,0008	44,532	77,756
0,0009	59,104	107,01
0,001	79,718	147,19



1.5.2 Анализ процессов при линейном изменении тока i(t)

Полагая, что напряжение изменяется линейно от заданного начального состояния до заданного конечного состояния

xЛ(t) = kt + d ( ucЛ(t) = kt + d),

(величины k , d найдем из условия прохождения iЛ(t) и uЛ(t) через заданные начальное и конечное значения.)

xЛ(0) = 45 , xЛ(0.001) = 0.001k + 45 = 80, k=35000,

xЛ(t) = 35000t + 45.

запишем на основе (1)

выражение для закона управления uЛ(t) , обеспечивающее такое линейное изменение

По полученным данным построим графики процессов xЛ(t), uЛ(t):

t	x(t)	u(t)
0	45	55,5
0,0001	48,5	59
0,0002	52	62,5
0,0003	55,5	66
0,0004	59	69,5
0,0005	62,5	73
0,0006	66	76,5
0,0007	69,5	80
0,0008	73	83,5
0,0009	76,5	87
0,001	80	90,5

1.6 Сравнительная оценка процессов в схеме при оптимальном и линейном режимах

1.6.1 Вычислим энергию активных потерь при оптимальном режиме подставив в (2) x(t) и u(t)

1.6.2 Вычислим энергию активных потерь при линейном режиме путем подстановки в (2) xЛ(t) и uЛ(t)

1.6.3 Сравнивая полученные величины, делаем вывод, что суммарная энергия активных потерь (затрачиваемая на нагрев) при линейном режиме больше, что говорит о целесообразности работы схемы в оптимальном режиме.

Заключение

В процессе выполнения курсовой работы были разработаны алгоритмы изменения режима работы электрической схемы, содержащей активные и реактивные элементы, которые обеспечивают минимизацию энергии активных потерь при переходе от одного режима работы схемы к другому. Также был определен вид закона изменения ЭДС источника питания (управляющего воздействия) и была проанализирована работа схемы при действии этой ЭДС.

Литература

1. Абдуллаев Н.Д., Петров Ю.П. Теория и методы проектирования оптимальных регуляторов. - Л.: Энергоатомиздат, 1985.

2. Александров А.Г. Оптимальные и адаптивные системы. - М.: Высшая школа, 1989.

3. Воронов А.А., Титов В.К., Новограмов Б.Н. Основы автоматического регулирования и управления. - М.: Высшая школа, 1977.

4. Гноенский Л.С., Каменский Г.А., Эльсгольц Л.Э. Математические основы теории управляемых систем. - М.: Наука, 1969.

5. Олейников В.А., Зотов Н.С., Пришвин А.М. Основы оптимального и экстремального управления. - М.: 1969.

6. Сборник задач по теории автоматического регулирования / Под ред. В.А. Бесекерского. - М.: Наука, 1970.

7. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А.А. Красовского. - М.: 1987.

8. Теория автоматического управления / Под ред. А.А. Воронова. Ч.2. - М.: Высшая школа, 1986.

9. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. - М.: Наука, 1965.

Размещено на Allbest.ru