В решение нашей задачи используется сеточный численный метод, основанный на дискретной аппроксимации уравнений. Основным требование, предъявляемым к таким сеточным методам, является, прежде всего, обеспечение высокой точности (малой численной ошибки) получаемых результатов при минимально необходимом вычислительном ресурсе.

Поэтому очень важно правильно выбрать параметры решения задачи, которые влияют на точность и длительность расчета данной численной модели. Основным параметром является шаг сетки. Нашей целью будет выбор такого шага сетки, чтобы относительная погрешность интересующих нас результатов не превосходила 1-2%.

Рассмотрим модель вынужденной конвекции. Радиус модели составляет 20 см, толщина слоя - 20см, радиус области стекания жидкости - 2см. На верхней границе втекает жидкость со скорость . В нижней центральной части жидкость вытекает со скоростью . Схематично область моделирования изображена на рисунке 19.

Были получены результаты решения задачи для сеточных моделей с разными шагами сетки: 0.5 мм, 1 мм, 2 мм, 3 мм. График изменения средней кинетической энергии со временем, представленный на рисунке 20, показывает насколько отличаются результаты решения в зависимости от шага сетки.

Рис. 20. Зависимость средней кинетической энергии от времени

Приняв за точное значение кинетической энергии при шаге сетки 0.5 мм, относительная погрешность для кинетической энергии при разных шагах сетки будет соответственно: 1 мм - 1.2 %, 2 мм - 3.2 %, 3 мм - 6.6 %.

Таким образом, результат, полученный для модели с шагом сетки 1 мм, обладает высокой точностью, меньшим потреблением вычислительных ресурсов по сравнению с шагом сетки 0.5 мм и является оптимальным выбором для нашей задачи.

4. Результаты решения задачи свободной конвекции

4.1 Качественное описание формирования конвективного течения

Были рассмотрены конвективные течения с постоянным локализованным нагревом для воды и масла. Физическое время расчетов 200 секунд, этого было достаточно для выхода на периодический режим. Начальная температура для обеих жидкостей 20 ^оС. Для каждой жидкости расчеты проводились при режимах с вариацией мощности нагрева P: 5 Вт 10 Вт, 20 ВТ, 30 ВТ, 40 ВТ, 50 ВТ.

Были построены графики зависимости средней кинетической энергии, времени выхода в квазистационарное движение от мощности нагрева и график зависимости средней кинетической энергии от времени для всех режимов. Так же построен график, показывающий изменение периода появления конвективной струи в точке А (37.5 мм, 3.9 мм, 0 мм) в зависимости от мощности.

Сравнение результатов для режимов воды и масла

На рисунке 27 представлен график зависимости средней кинетической энергии от времени при разной мощности нагрева. Значение средней кинетической энергии в слое жидкости определяется следующим соотношением: . График показывает, что увеличение мощности нагрева приводит к заметно более интенсивному конвективному течению жидкости.

Так же видно, что с некоторого момента времени интенсивность течения начинает падать. Сравнивая графики средней кинетической энергии для воды и масла (Рис. 27), можно наблюдать, что течение воды более интенсивно по сравнению с течением масла. Так же наблюдая за поведением изменения кинетической энергии масла, можно увидеть, что оно происходит с некоторой периодичной пульсацией.

Действительно, наблюдая за течением основного потока жидкости, можно увидеть, что со временем происходит установление периодического режима.

Из графика, представленного на рисунке 28, видно, что время установления периодического режима у воды больше чем у масла.

Время установления периодического режима t* было подсчитано вручную - были исследованы графики зависимости полной температуры от времени в точке А (Рис. 29), и найдены моменты времени, после которого колебания температуры периодически повторялись. Из этого графика (Рис. 28) видно, что t* уменьшается с увеличением мощности нагрева P.

Изменение средней кинетической энергии в зависимости от P происходит схожим линейным образом, единственное отличие заключается в том, что величина средней кинетической энергии в случае воды больше той же величины в случае масла.

Как было замечено ранее, конвективные струи возникают в фиксированных, регулярно расположенных точках поверхности, если тепловой поток поддерживается постоянным. Конвективные струи возникают периодически по времени.

Интересно рассмотреть поведение таких мелкомасштабных структур при разной мощности нагрева. Добавив точку наблюдения А в непосредственной близости к очагу образования конвективной струи, можно наблюдать изменение полной температуры в этой точке при разной мощности нагрева.

Рисунок 33 иллюстрирует изменение частоты генерации мелкомасштабных структур от мощности нагрева в фиксированной точке А для воды и масла. Частота генерации мелкомасштабных структур в масле больше чем в воде.

4.2.2 Результаты FLUENT

Для режимов конвективного течения масла и воды во FLUENT получаются похожие результаты.

Рисунки 32 и 33 иллюстрируют изменение кинетической энергии со временем при разной мощности нагрева для масла и воды. График для масла показывает, что периодическое колебание кинетической энергии происходит на высоких частотах - признак влияния мелкомасштабных структур, частота возникновения которых высока.

График для воды показывает, что колебания происходят с низкочастотными пульсациями, связанное с течением основного потока конвективной ячейки.

4.2.3 Сравнение результатов CFX и FLUENT с результатами эксперимента

В эксперименте были получены следующие значения частот генерации мелкомасштабных структур для масла при разной мощности нагрева.

Можно сравнить результаты эксперимента с результатами, полученными в CFX и FLUENT.

Из графика, представленного на рисунке, видно, что значения частоты генерации мелкомасштабных структур, полученных в CFX и FLUENT, являются схожими. А экспериментальные данные хорошо согласуются с численными данными при малых мощностях нагрева и существенно различаются при высоких мощностях. Это объясняется тем, что с ростом нагрева реальное течение, исследуемое в эксперименте, теряет осесимметричность, а в двумерных расчетах мы навязываем условие осесимметричности. Таким образом, нужно переходить к трехмерным расчетам и искать механизм который обуславливает отличие осесимметричного случая и трехмерного, при этом в эксперименте необходимо проверить существование низкочастоных колебаний кинетической энергии основного течения.

4.3 Результаты решения задачи вынужденной конвекции

Были проведены расчеты для модели цилиндрического слоя жидкости со стоком в центре. Радиус модели составляет 20 см, толщина слоя - 20см, радиус области стока жидкости - 2см.

В случае стока жидкости в центре модели, устанавливается режим течения, схематически изображенный на рис. 36.

На рисунках 37 и 38 представлены мгновенные поля скорости течения в радиальном сечении в разных программных пакетах.

Были проведены расчеты для разных режимов течения с вариацией скорости стока (м/с): 0,01, 0,02, 0,04, 0,08, 0,16.

Нашей целью в данной постановке является определение наличия вихревых движений в слое жидкости. Для того чтобы выявить возникновение вихревых движений в зоне стока, были изучены поля азимутальной компоненты скорости в радиальном сечении. Результаты для всех режимов течения показали, что азимутальная компонента скорости во всем сечении равна нулю. Таким образом, в осесимметричной постановке задачи в неподвижном слое жидкости вихревые движения не возникают. Это означает, что это явление имеет трехмерную природу и нужно переходить к трехмерным расчетам для изучения вихревых движений в неподвижном слое жидкости.

Заключение

В данной работе были исследованы конвективные течения в цилиндрическом слое жидкости с локализованным нагревом в центральной области в пакете ANSYS. Результаты проведенного исследования показали, что варьирование мощности нагрева в рамках используемой численной модели не приводит к существенным изменениям в структуре течений. От жидкости и мощности нагревателя зависят только количественные характеристики: изменение интенсивности движения и частоты появления конвективной струи. С увеличением мощности нагрева увеличивается средняя кинетическая энергия течения, и частота появления вторичных структур в виде конвективных струй.

В ходе решения задачи было проведено сравнение решений, полученных различными решателями CFX и FLUENT и экспериментом: значения частоты генерации мелкомасштабных структур, полученных в CFX и FLUENT, являются схожими. На масле и CFX и FLUENT хорошо согласуются с экспериментом, но только для малых мощностей нагрева. Таким образом, нужно переходить к трехмерным расчетам и искать механизм который обуславливает отличие осесимметричного случая и трехмерного.

Были исследованы конвективные течения в неподвижном цилиндрическом слое жидкости со стоком в центре. В осесимметричной постановке задачи в неподвижном слое жидкости вихревые движения не возникают. Это означает, что это явление имеет трехмерную природу и нужно переходить к трехмерным расчетам для изучения вихревых движений в неподвижном слое жидкости.

Литература

1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Том VI. Гидродинамика. - М.: Наука. - 1986. - C. 306-308.

2. Гершуни Г.З., Жуковицкий Е.М. Конвективная неустойчивость несжимаемой жидкости. - М.: Наука. - 1986. - C.7-12.

3. Педлоски Дж. Геофизическая гидродинамика. Том I. - М.: Мир. - 1984. - C. 26-34.

4. Сухановский А.Н. Формирование дифференциального вращения в цилиндрическом слое жидкости// Вычислительная механика сплошных сред. - 2010. - Т. 3, № 2. - С. 103-115

5. Shinji Yukimoto, Hiroshi Niino, Takashi Noguchi, Ryuji Kimura, Frederic Y. Moulin. Structure of a bathtub vortex: importance of the bottom boundary layer // Theor. Comput. Fluid Dyn. (2010)

6. A. Andersen, T. Bohr, B. S Tenum, J. Juul Rasmussen. The bathtub vortex in a rotating container // J. Fluid Mech. (2006), vol. 556, pp. 121-146.

7. R. Fernandez-Feria and E. Sanmiguel-Rojas. On the appearance of swirl in a con?ned sink ?ow // PHYSICS OF FLUIDS. 2000

Приложения