Определение длины волны. Относительная неопределенность скорости электрона. Функции частицы

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Найти дебройлевскую длину волны молекул водорода, соответствующую их наиболее вероятной скорости при .

Дано:

Решение:

Длина волны де Бройля определяется по формуле:

- постоянная Планка.

- импульс частицы, .

Средняя квадратичная скорость молекул газа определяется выражением (Проверьте формулу)

,

где

- универсальная газовая постоянная, - молярная масса водорода.

Массу одной молекулы найдем делением ее молярной массы на постоянную Авогадро (моль^-1):

Тогда импульс частицы можно выразить формулой:

,

а длину волны де Бройля - соотношением

.

Произведя вычисления по этой формуле, получим:

. Ответ:

2. Электрон с кинетической энергией локализован в области размером . Оценить с помощью соотношения неопределенностей относительную неопределенность его скорости.

Дано:

Решение

Соотношение неопределенностей Гейзенберга для координаты и импульса имеет вид:

,

где - неопределенность координаты,

- неопределенность импульса,

- постоянная Планка,

Поскольку неопределенность координаты не больше линейного размера структуры , а неопределенность импульса можно выразить через неопределенность скорости , получаем:

, Откуда .

Для определения относительной неопределенности скорости необходимо значение скорости; выразим ее из кинетической энергии для классического случая, поскольку выполняется условие Е_к << Е₀ (энергия покоя электрона Е₀ составляет 0,511 МэВ):

Находим относительную неопределенность скорости

Подставляя значения величин, находим:

Ответ:

3. Частица находится в одномерном потенциальном ящике с бесконечно высокими стенками. - функция имеет вид, показанный на рисунке. Найти вероятность пребывания частицы в области .

Дано

Вероятность пребывания микрочастицы в окрестностях точки х (в одномерном случае):

.

Волновая функция частицы, находящейся в бесконечно глубоком одномерном прямоугольном потенциальном ящике:

.

Определим состояние частицы из графических соображений. Как видно из рисунка,

,

поэтому можем записать равенства

.

Очевидно, что выполняются при любых значениях .

Для того чтобы волновая функция обращалась в нуль во всех требуемых точках, аргументы функции синуса должны удовлетворять также условиям

,

где - целое число. Таким образом, должны быть целочисленными, откуда следует, что .

Находим вероятность пребывания электрона во второй четверти ящика:

.

Воспользовавшись тригонометрическим тождеством

,

приходим к выражению:

Подставляя значения величин, находим

.

Заметим, что графический метод определения вероятности дает такой же результат (площадь фигуры, ограниченной графиком функции в указанных пределах, составляет четверть от площади фигуры, ограниченной графиком на всей длине ящика). Ответ:

4. Электрон в атоме находится в - состоянии. Найти орбитальный момент импульса электрона и максимальное значение проекции момента импульса на направление внешнего магнитного поля.

Дано:

- состояние

Решение

Значение орбитального момента импульса электрона:

,

где

- орбитальное квантовое число. - постоянная Планка.

- состоянию электрона соответствует значение орбитального квантового числа .

Проекция вектора орбитального момента импульса на направление внешнего магнитного поля так же квантуется, то есть может принимать лишь целочисленные значения, кратные :

,

где

- магнитное квантовое число, может принимать значения .

Нетрудно видеть, что максимальное значение магнитного квантового числа равно орбитальному квантовому числу , поэтому максимальное значение проекции момента импульса на направление внешнего магнитного поля определяется выражением:

.

Подставляем численные значения и вычисляем:

,

.

Ответ: ;

5. Пси-функция основного состояния водородного атома имеет вид

,

где

- радиус первой боровской орбиты.

Вычислить вероятность того, что электрон в основном состоянии атома водорода находится от ядра на расстоянии, превышающем значение .

Дано:

Решение

Квадрат модуля волновой функции определяет вероятность нахождения микрочастицы в некоторой области пространства, то есть вероятность найти электрон в элементарном объеме , находящемся на расстоянии от ядра, равна

.

В силу сферической симметрии функции элементарным объемом , все точки которого удалены на одинаковое расстояние от ядра, будет шаровой слой радиуса и толщиной , то есть

, тогда .

Вероятность пребывания частицы на расстоянии, превышающем значение , находим интегрированием в пределах от до :

.

Удобнее вычислить интеграл в пределах от 0 до , найдя вероятность пребывания электрона внутри этой области, а искомую вероятность найти как

,

поскольку полная вероятность нахождения электрона в области от до равна 1.

.

Введем переменную , тогда интеграл в иной форме будет выглядеть:

,

а выражение для вероятности примет вид:

.

После интегрирования по частям получаем:

электрон скорость частица волна

- вероятность пребывания электрона внутри сферы радиусом , тогда искомая вероятность того, что электрон окажется за ее пределами

. Ответ:

Размещено на Allbest.ru