Дифференциальные уравнения Лапласа и Фурье

Размещено на http://www.allbest.ru/

Контрольная работа по теплофизике

1. Дифференциальное уравнение теплопроводности при одномерном распространении тепла. (Фурье)

Для вывода дифференциального уравнения теплопроводности рассмотрим случай одномерной задачи, когда перенос тепла происходит в направлении одной из осей координат, например, через неограниченно протяженную плоскую стенку. Выделим внутри такой стенки бесконечно тонкий слой толщиной dx, в котором температура изменяется на величину dt. При стационарном тепловом потоке (когда температура слоя не меняется со временем) количество тепла, проходящее через этот слой, равно.В общем случае (то есть при нестационарных условиях теплопередачи) величина тепловой энергии при прохождении ее через выделенный слой будет изменяться. Для определения величины изменения тепловой энергии по толщине слоя нужно предыдущее уравнение продифференцировать по dx. Тогда получим: . Изменение величины тепловой энергии при этом связано с поглощением или выделением тепла слоем при изменении его температуры во времени. Количество тепла, необходимое для повышения температуры слоя толщиной dx на dt градусов пропорционально теплоемкости слоя: , а, следовательно , dm - масса слоя материала толщиной dx, кг, которую можно представить в виде . То есть или , где с - удельная теплоемкость материала, Дж/кг·К, характеризует способность материала повышать свою температуру при сообщении ему тепловой энергии. Наибольшей удельной теплоемкостью обладает вода (с_в=1 ккал/кг·К=4185 Дж/кг·К). Соответственно, теплоемкость строительных материалов значительно зависит от их влажности и растет при их увлажнении; г - объемный вес (плотность) материала, кг/м³; Произведение удельной теплоемкости на плотность материала сг носит название объемной теплоемкости материала. Знак минус в правой части этого уравнения поставлен потому, что повышение температуры слоя связано с поглощением им тепла и уменьшением величины тепловой энергии. Таким образом, при отсутствии в слое внутренних источников тепла, изменение величины тепловой энергии является следствием только поглощения тепла этим слоем, и , а значит или . В связи с тем, что дифференцирование происходит как по времени, так и по координате, последнее уравнение целесообразно записать в частных производных: . Данное уравнение - это дифференциальное уравнение теплопроводности (уравнение Фурье) для одномерного движения тепла. Левая часть уравнения представляет собой изменение температуры среды во времени, производная, стоящая в правой его части, - пространственное изменение градиента температуры. Коэффициентом пропорциональности между этими частями является коэффициент температуропроводности материала [м²/с], который является отношением величин, одна из которых (л) характеризует теплопроводимость материала, а другая (cг) - его способность аккумулировать тепло. Коэффициент температуропроводности характеризует скорость выравнивания температуры в различных точках среды, то есть, чем больше а, тем скорее все точки какого-либо тела при его нагреве или охлаждении достигнут одинаковой температуры. Численные значения а значительно изменяются в зависимости от состава, структуры и тепло-влажностного состояния материалов. В случаях, когда движение тепла может происходить во всех направлениях (по трем осям координат), дифференциальное уравнение теплопроводности имеет следующий вид:. Решение задач, связанных с передачей тепла теплопроводностью при нестационарных процессах теплообмена, сводится к интегрированию дифференциальных уравнений Фурье. Данные расчеты возможно осуществить, используя компьютерное моделирование конструкций, но для теплотехнических расчетов это не всегда нужно.

Значительно упрощается решение задач теплопередачи в частном случае при стационарных условиях, которые характеризуются постоянством температуры внутренней и наружной среды во времени, при этом постоянным оказывается и величина теплового потока, проходящего сквозь конструкцию. Делая расчет по стационарному режиму теплопередачи, можно определить: - потери тепла зданием для установления требуемой мощности системы отопления; - необходимые теплозащитные качества наружных ограждений; - распределение температуры в ограждающей конструкции.

2. Дифференциальное уравнение температурного поля в стационарных условиях (Лапласа)

В стационарных условиях температура в любых точках среды остается постоянной во времени, то есть . Следовательно, и (для одномерной задачи), и тогда изменение температуры по толщине однородной конструкции является линейным (то есть на графике выражается прямой линией). Такая зависимость описывается уравнением . Можно вывести уравнение распределения температуры по толщине конструкции, рассмотрев стенку толщиной д. Задавая граничные условиях: для левой поверхности стенки х=0, t=t₁; для правой - х=д, t=t₂, получаем, что t₁, а . Тогда . В случае, когда конструкция состоит из нескольких слоев с разными коэффициентами теплопроводности, распределение температур (в ^оС) будет выглядеть следующим образом: Угол наклона изотермы к горизонту в каждом слое различен, так как зависит от коэффициента теплопроводности соответствующего материала. Тангенс угла наклона , то есть чем более теплопроводным является материал слоя, тем меньшим будет наклон изотермы к горизонту. В стационарных условиях теплопередачи температура в любых точках среды остается постоянной во времени, следовательно, в уравнении (1) при этом будем иметь dT/dt=0, а т. к., в общем случае, а не равно нулю, то нулю должно быть равно выражение, стоящее в скобках в правой части уравнения, т. е. для этого случая получим дифференциальное уравнение Лапласа:

??T/?x?+??T/?y?+??T/?z?=0 (2)

теплопроводность температурный поле лаплас

Это дифференциальное уравнение температурного поля в стационарных условия теплопередачи, дающее решение задачи о распределении температуры в данной среде. Физический смысл уравнения (2) будет ясен, если каждое из слагаемых его левой части умножить на величину коэффициента теплопроводности среды л, тогда каждое из слагаемых будет представлять собой величину изменения теплового потока в данной точке поля по одной из осей координат. Следовательно, сумма изменений величины теплового потока в любой точке поля должна быть равной нулю. Или, другими словами, сумма количеств теплоты, притекающей к данной точке по всем направлениям, должна быть равна нулю. Это - основное условие так называемого теплового баланса.

3. Изменение температуры в плоской однородной стене при стационарных условиях

Примером одномерного температурного поля при стационарных условиях теплопередачи является однородная плоская бесконечно длинная стена с постоянной разностью температур на поверхностях. В ней изолинии параллельны друг другу и поверхностям стены (направление теплового потока Q - от зоны с большей температурой t_max к зоне с меньшей температурой t_min).

Размещено на Allbest.ru