Теоретична механіка, її основні поняття і закони

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Теоретична механіка, її основні поняття і закони

План

Предмет теоретичної механіки

Об'єкти дослідження теоретичної механіки

Сила і системи сил

Момент сили

Пара сил і її властивості

Швидкість, прискорення, імпульс

Закони механіки Галілея-Ньютона

Предмет теоретичної механіки

Давньогрецький філософ Гераклід своєю славнозвісною фразою «Все тече, ніщо не перебуває незмінним» висловив основну думку вчення про текучість і мінливість матеріального світу, що оточує нас. Зміни матерії, тобто її рух, охоплюють всі явища, які спостерігаються в природі.

Серед різноманітних видів рухів можна виділити деякі найпростіші форми руху матерії, що зводяться до зміни в часі взаємних положень матеріальних об'єктів або їх частин. Такі форми рухів називають механічними рухами.

Цілий комплекс дисциплін, що вивчають механічний рух і механічну взаємодію матеріальних тіл, об'єднують під загальною назвою механіка. Термін «механіка» вперше ввів Аристотель (384-322 р. до н.е.). В буквальному перекладі з грецької він означає «хитрість», «хитрування». До таких дисциплін відносяться, наприклад, теорія механізмів і машин, гідро- і аеромеханіка, небесна механіка, механіка матеріалів і конструкцій, будівельна механіка, деталі машин, а також чимала кількість наук, які займаються вивченням машин окремих галузей промисловості і сільського господарства.

Серед різних напрямів загальної механіки особливе місце посідає теоретична механіка, на основних положеннях і висновках якої базуються інші дисципліни механічного комплексу.

Теоретична механіка - це наука про найбільш загальні закони механічного руху будь-яких матеріальних тіл, що взаємодіють між собою у просторі і в часі.

В даному курсі викладаються елементи класичної механіки, в основу якої покладено певні постулати (закони), сформульовані Галілеєм і Ньютоном (1687 р.).

За вельми невеликими виключеннями класична механіка з високим ступенем точності описує рух реальних тіл в природі і техніці. Виключення відносяться до руху тіл, швидкості яких можуть бути порівнюваними зі швидкістю світла.

Теоретична механіка в залежності від того, з якої точки зору розглядаються в ній питання рівноваги і руху фізичних тіл, поділяється на три частини: статику, кінематику і динаміку.

Об'єкти дослідження теоретичної механіки

В якості об'єктів дослідження теоретична механіка розглядає матеріальну точку, абсолютно тверде тіло і механічну систему матеріальних точок або тіл.

Матеріальною точкою називають найпростішу модель матеріального тіла будь-якої форми, розмірами якого при певних умовах можна знехтувати і яке можна прийняти за геометричну точку, що має масу.

Незмінна система матеріальних точок, що неперервно заповнює якусь частину простору, називається абсолютно твердим тілом.

Механічною системою матеріальних точок або тіл називається така їх сукупність, в якій положення і рух кожної точки (тіла) залежить від положення і руху всіх інших.

Під матеріальним об'єктом будемо розуміти матеріальну точку, тверде тіло чи систему матеріальних точок або абсолютно твердих тіл, які досліджуються в даному механічному процесі.

Слід розуміти, що матеріальна точка, абсолютно тверде тіло і механічна система є поняттями абстрактними і лише наближено відображають реальний світ. Але використання цих абстракцій значно спрощує дослідження рівноваги та руху дійсних матеріальних об'єктів.

Сила і системи сил

Досвід людства показує, що стан рівноваги чи руху матеріального тіла залежить від його взаємодії із зовнішнім середовищем. В теоретичній механіці розглядається тільки механічна взаємодія, яка спричиняє зміну характеру руху матеріальних тіл, або їх деформацію.

Величина, яка є мірою механічної дії (тиск, притягання, відштовхування) одного матеріального тіла на друге, називається силою.

Поняття сили в механіці - основне, первинне поняття. За своєю природою сила - величина векторна і тому як усякий вектор визначається модулем (величиною), точкою прикладання і напрямом у просторі. Пряма, уздовж якої напрямлений цей вектор, називається лінією дії сили (рис.1).

теоретичний механіка тіло сила

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.1

Надалі позначатимемо сили літерами латинського алфавіту зі знаком вектора:, а їх величини (модулі) тими ж літерами без позначки вектора, або з використанням знаку модуля: чи

За одиницю сили в системі СІ прийнято 1 Ньютон; . Часто використовують кратні одиниці сили: і .

Системою сил називають сукупність сил, які діють на даний матеріальний об'єкт. Системи сил можуть бути просторовими (окремі сили системи довільно розташовані у просторі) і плоскими (всі сили системи діють в одній певній площині).

Просторові чи плоскі системи сил, лінії дії яких перетинаються в одній точці (точка сходу), називають збіжними.

Систему, що складається з сил, позначають так: або скорочено .

Дві системи сил називають еквівалентними, якщо при заміні однієї системи сил, що діє на матеріальний об'єкт, іншою системою стан спокою або характер руху даного об'єкта не порушується. Еквівалентність систем сил позначають таким чином:

або

Зрівноваженою (еквівалентною нулю) системою сил називають таку систему, під дією якої матеріальний об'єкт не змінює свого стану спокою чи руху за інерцією. Позначення: .

У випадках, коли система сил еквівалентна одній силі, то ця сила називається рівнодіючою даної системи сил. Математично це записується так:

Проекція сили на вісь

Проекцією вектора сили на будь-яку координатну вісь називають напрямлений відрізок, величина якого дорівнює добутку модуля вектора сили на косинус кута, утвореного напрямом вектора сили з додатним напрямом осі.

Так, наприклад, проекція сили на вісь (рис.2) визначається з рівняння:

. (1)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.2.

Як можна бачити з цього ж рисунка, проекції вектора на паралельні і однаково напрямлені осі рівні між собою, тобто:

.

Тому часто зручніше проектувати вектор на вісь, паралельну даній, яка проходить через початок вектора.

З рівняння (1) виходить, що у випадках, коли кут між вектором сили і додатним напрямом осі гострий, проекція сили додатна, якщо тупий - від'ємна, а коли сила перпендикулярна до осі, то її проекція дорівнює нулю.

Розв'язання задач теоретичної механіки з використанням прямокутної системи координатних осей досить часто вимагає визначення проекцій векторів (сил, швидкостей) на обрані осі. Тому доцільно звернути увагу на зв'язок між собою величин проекцій.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 3

Припустимо, що сила розташована в площині (рис.3) і утворює з віссю тупий кут , або гострий кут ().

Згідно з визначенням проекції сили будемо мати:

або ;

;

або .

Таким чином, якщо при визначенні величини проекції сили на одну з осей при модулі сили множником є косинус кута, то величина проекції на іншу вісь дорівнюватиме добутку модуля сили на синус того ж кута.

При визначенні проекції довільної системи сил на певну координатну вісь користуються теоремою векторної алгебри: проекція векторної суми на координатну вісь дорівнює алгебраїчній сумі проекцій складових на цю вісь. Так, наприклад, проекція системи сил на вісь х :

. (2)

В частинному випадку, коли система сил має рівнодіючу , її проекції на осі декартової системи координат будуть виражатися рівняннями:

; ; . (3)

Силу, як і будь-який інший вектор, можна виразити через її проекції на осі координатної системи :

,

де - одиничні вектори (орти) осей x,y і z відповідно.

Тоді модуль сили буде дорівнювати:

. (4)

Косинуси кутів, які утворює вектор сили з координатними осями, визначаються співвідношеннями:

. (5)

Приклад 1. До твердого тіла в точці А прикладена система збіжних сил , розташованих в площині хAy. Визначити величину і напрям рівнодіючої цієї системи, якщо кут .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Розв'язок: рівнодіюча системи збіжних сил , а її проекції на координатні осі Ах і Ау відповідно будуть дорівнювати:

;

.

Визначаємо величини проекцій заданої системи сил на обрані осі:

; ;

;

; ; .

Відповідно проекції рівнодіючої:

;

.

З отриманих результатів виходить, що величина рівнодіючої Н; вектор рівнодіючої напрямлений по осі Ах.

Приклад 2. Відомі проекції на осі координат і рівнодіючої плоскої системи збіжних сил і , а також проекції цих сил на ті ж осі:

, , , .

Визначити модуль сили .

Розв'язок. Так як

, а ,

то проекції шуканої сили будуть:

,

.

Тоді модуль сили :

.

Момент сили

Одним з основних понять теоретичної механіки є поняття момента сили. З досвіду своєї багатовікової практичної діяльності людина виявила, що під дією сили фізичне тіло може здійснювати не тільки поступальний, але і обертальний рухи.

Міру механічної дії сили на тіло, яка викликає обертальний ефект, оцінюють моментом сили.

Вперше поняття момента сили ввів у механіку Леонардо да Вінчі. Проте, ще задовго до нього Архімед при розв'язанні задачі про рівновагу важеля інтуїтивно користувався цим поняттям.

Векторний момент сили відносно просторового центра

Вектор-моментом сили відносно довільного просторового центра називається вектор, прикладений в цьому центрі, рівний векторному добутку радіуса-вектора точки прикладання сили на вектор сили.

Згідно з наведеним визначенням векторний момент сили , яка прикладена в точці А відносно центра (рис.4), визначається рівнянням :

. (6)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 4

Модуль вектор-момента, як модуль векторного добутку двох векторів, знаходять за формулою:

. (7)

Перпендикуляр h, який опущений з центра О (рис.4) на лінію дії сили , називають плечем сили відносно центра О. Очевидно, що:

.

Тоді:

. (8)

Тобто, числове значення вектор-момента дорівнює добутку сили на плече сили відносно обраного центра. Напрямлений векторний момент сили перпендикулярно до площини, яка проходить через лінію дії сили і моментний центр О, таким чином, що з його кінця можна бачити прагнення сили обертати тіло (площину ОАВ) проти руху годинникової стрілки.

Якщо початок прямокутної декартової системи координат сполучити з центром О (рис.4), то для визначення вектор-момента сили користуються також такими формулами:

(9)

і

, (10)

де: - орти обраної системи координат;

х,у,z - проекції радіуса-вектора на координатні осі (координати точки А прикладання сили );

- проекції вектора сили на ті ж осі;

- проекції вектор-момента сили на осі координат.

Модуль векторного момента і його напрям у просторі при відомих проекціях визначають за формулами:

; (11)

 (12)

Вектор-момент сили відносно просторового центра має такі властивості:

1) момент сили відносно центра не змінюється при переносі точки прикладання сили вздовж лінії її дії;

2) момент сили відносно центра дорівнює нулю, коли лінія дії сили проходить через цей центр;

3) момент сили відносно центра є зв'язаним вектором.

Момент сили відносно осі

Моментом сили відносно осі називають алгебраїчну величину, яка дорівнює добутку модуля проекції цієї сили на площину, перпендикулярну до осі, на найкоротшу відстань між точкою перетину осі з площиною і лінією дії проекції сили.

Так, момент сили, наприклад, відносно осі Oz (рис.4) за визначенням відповідає формулі:

, (13)

в якій - проекція сили на площину Oxy, величина векторна;

- плече сили відносно точки О, тобто перпендикуляр, опущений з точки перетину осі з площиною, на лінію дії проекції .

Момент сили відносно осі вважається додатним, якщо проекція сили на площину, перпендикулярну осі, прагне обертати тіло зі сторони додатного напряму осі проти руху годинникової стрілки, і від'ємним - коли сила намагається обертати тіло за рухом годинникової стрілки.

З визначення момента можна отримати такі важливі висновки.

1. Момент сили відносно певної осі не змінюється як при переносі точки прикладання сили паралельно обраній осі, так і при переносі центра моментів вздовж цієї осі.

2. Момент сили відносно осі дорівнює нулю, якщо лінія дії сили паралельна осі (в такому випадку дорівнює нулю проекція сили на площину, перпендикулярну осі).

3. Момент сили відносно осі дорівнює нулю, коли лінія дії сили перетинає цю вісь.

Оскільки момент сили відносно осі не залежить від вибору точки на осі, то у подальшому замість позначень будемо використовувати позначення або .

Алгебраїчний момент сили відносно точки площини

Подання момента сили відносно просторового центра у вигляді вектора цілком відповідає фізичній суті цього поняття, коли сили розташовані в різних площинах.

Тільки при розгляданні системи сил, які розташовані в одній площині, можна нехтувати напрямом вектор-момента, а враховувати тільки його алгебраїчне значення.

У випадку плоскої системи сил вектори моментів сил відносно довільної точки площини дії сил перпендикулярні до цієї площини і, отже, паралельні між собою. Тому суттєвим є лише величина вектора момента сили, що дозволяє векторне додавання замінити на алгебраїчне (рис.5).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 5

Алгебраїчним моментом сили відносно точки площини, в якій розташована лінія дії сили, називають добуток величини сили на плече сили, взятий з відповідним знаком.

В теоретичній механіці заведено, що алгебраїчний момент сили є додатним, коли сила прагне обертати тіло навколо моментної точки проти руху годинникової стрілки і від'ємним - коли за рухом годинникової стрілки. Таким чином в загальному випадку момент сили відносно довільної точки А площини:

. (14)

Наприклад, для плоскої системи сил , які лежать в площині xOy (рис.6):

, , , .

Алгебраїчний момент системи заданих сил в цілому дорівнює алгебраїчній сумі моментів складових відносно точки С:

.

З формули (14) визначення момента сили виходить, що алгебраїчний момент сили відносно точки площини дорівнює нулю тільки тоді, коли лінія дії сили проходить через цю точку (плече h сили дорівнює нулю).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 6

Пара сил і її властивості

Парою сил називають систему двох рівних за модулем паралельних сил, напрямлених в протилежні сторони по незбіжних лініях дії (рис.7).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.7

Пару сил позначають так: . Площину, в якій розташовані паралельні сили, називають площиною дії пари сил, чи, просто, площиною пари.

Вперше поняття пари сил - нової абстракції в механіці - було введено Луї Пуансо (1777-1859) академіком Паризької академії наук у 1803 р. в трактаті "Початки статики".

Пара сил не утворює зрівноважену систему і не має рівнодіючої. Вона не може бути спрощена і тому є особливою мірою механічної дії на дане тіло з боку інших тіл. Досвід показує, що пара сил, прикладених до твердого тіла, прагне надати йому певне обертання. Цей обертальний ефект пари сил оцінюється моментом пари сил.

Момент пари сил

Нехай дано пару сил , що діє в площині N, розташованій як завгодно у просторі. Обчислимо суму моментів сил і , що складають пару, відносно довільного центра О. З'єднаємо початки сил з цим центром радіусами-векторами і . Згідно з визначенням вектор-момента сили (формула 6), будемо мати:

Отриманий результат не залежить від положення центра О, відносно якого визначено момент пари сил, тобто вектор-момент сил пари є вільним вектором. У подальшому позначатимемо його через , або скорочено. Тоді:

. (15)

Таким чином, момент пари сил - це вільний вектор , напрямлений перпендикулярно до площини дії пари в той бік, звідкіля обертання тіла під дією пари сил відбувається проти руху годинникової стрілки (рис.8).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.8

Модуль момента пари сил дорівнює добутку модуля однієї з сил пари на плече пари hn, тобто на найкоротшу відстань між лініями дії сил, що складають пару:

. (16)

Властивості пари сил

Основні властивості нового елемента теоретичної механіки і основні правила перетворення цього елемента виходять з формул (15) і (16).

1. Дві пари сил еквівалентні одна одній, коли їх вектор-моменти рівні.

2. Момент пари сил не змінюється при:

2.1. довільному переміщенні пари сил в площині її дії без зміни орієнтації сил, що утворюють пару;

2.2. зміні числового значення сил пари і її плеча без зміни величини момента пари;

2.3. переносі пари сил до будь-якої площини, паралельній площині дії пари.

3. Декілька пар сил, довільно розташованих у просторі, можна замінити однією - результуючою - парою за правилом додавання векторів:

, .

4. Пара сил, що діє на матеріальний об'єкт, може бути зрівноважена тільки іншою парою сил.

5. Проекція пари сил (момента пари сил) на будь-яку координатну вісь дорівнює нулю.

Швидкість, прискорення, імпульс

До основних кінематичних понять теоретичної механіки, які характеризують рух матеріальної точки, відносяться поняття швидкості і прискорення.

Швидкість точки - це векторна величина, що дає змогу визначити як і в якому напрямі змінюється з часом положення точки у просторі. Позначають швидкість літерою .

Прискоренням точки називають векторну величину, що є мірою зміни у часі як за модулем, так і за напрямом її швидкості. Для позначення прискорення користуються літерами або .

В другому законі механіки Ньютон використав поняття кількості руху, під яким розумів міру механічного руху матеріальної точки, що дорівнює добутку маси точки на вектор її швидкості - .

В сучасній фізичній літературі термін "кількість руху" замінено терміном "імпульс точки":

.

Закони механіки Галілея-Ньютона

Перший закон.Матеріальна точка, ізольована від дії будь-яких інших тіл, зберігає відносно нерухомої системи відліку стан спокою або рівномірного прямолінійного руху.

Другий закон. Перша похідна за часом від вектора імпульсу матеріальної точки за величиною і напрямом дорівнює вектору сили, що діє на цю точку:

.

Оригінальне формулювання другого закону Ньютоном таке: зміна кількості руху пропорційна рушійній силі і відбувається за напрямом тієї прямої, по котрій ця сила діє.

Третій закон(аксіома рівності дії і протидії). Сили, з якими діють одне на одне два матеріальних тіла, завжди рівні за величиною і напрямлені по одній прямій в протилежні сторони.

Принцип незалежності дії сил (четвертий закон). Якщо на матеріальну точку діють кілька сил, то вони надають їй прискорення, що дорівнює геометричній (векторній) сумі тих прискорень, які точка отримує при дії кожної з цих сил окремо.

Потрібно пам'ятати, що закони класичної механіки справедливі тільки в інерціальних системах відліку і сформульовані для вільних матеріальних об'єктів, тобто для таких, на переміщення яких у просторі не накладено ніяких обмежень.

Размещено на Allbest.ru