Колебания сферы Шварцшильда

Размещено на http://www.allbest.ru

1. Сфера Шварцшильда

Черной дырой называют область в пространстве - времени, в которой гравитационное притяжение настолько сильно, что даже свет неспособен покинуть эту область.

Граница этой области называется горизонтом событий, а её характерный размер -- гравитационным радиусом. В простейшем случае сферически симметричной чёрной дыры он равен радиусу Шварцшильда r_g=2GM/с² . Согласно теореме Биркгофа , гравитационное поле любого сферически симметричного распределения материи вне её даётся решением Шварцшильда. 

d (1.1)

Координаты t, r, ?, в которых записано выражение (1), носит название координат Шварцшильда, а системы отчета, образуемая ими - системы отчета Шварцшильда. В малой окрестности каждой точке пространства можно ввести для обычных измерений длин локальную систему координат:

Физическое время , текущее в данной точке r пространства, определяется выражением

Временная координата будет идти медленнее удалённой t (r>?, ?=const, ) в  раз за счёт гравитационного замедления времени.

Как видно из приведённой формы метрики (1.1), коэффициенты при t и r ведут себя патологически при r>r_g , где и располагается горизонт событий чёрной дыры Шварцшильда -- в такой записи решения Шварцшильда имеют координатную сингулярность. Эти патологии являются, однако, лишь эффектом выбора координат (подобно тому, как в сферической системе координат при ? = 0 любое значение ? описывает одну и ту же точку). Пространство Шварцшильда  можно, как говорят, «продолжить за горизонт», и если там тоже считать пространство везде пустым, то при этом возникает бомльшее пространство-время , которое называется максимально продолженным пространством Шварцшильда.

2. Квантовые колебания гравитационного радиуса

Возможные проявления квантовой природы физических полей и частиц, в полной мере применимы при рассмотрении квантовых эффектов в черных дырах. Качественно оценить значение флуктуационных процессов в черных дырах можно с помощью простых рассуждений. Предположим , что в области пространства-времени с характерным размером L произошла флуктуация метрики и ее значение g отклонилось от среднего значения <g> на величину ?g. При этом кривизна в этой области изменится на величину , а значения действия S для гравитационного поля испытывает изменение порядка

S ~ (2.1)

Вероятность подобной флуктуации значительна только в том случае, когда S~?. Поэтому для величин флуктуации метрики в пространственно-временной области размером L получается следующая оценка

(2.2)

Где квадрат планковской длины ?2,56 10^-70 см². Таким образом, флуктуации метрики, достигающие значения =1 на планковских масштабах, малы и, вообще говоря несущественны для значительно больших масштабов. Можно ожидать, что описанные квантово-гравитационные флуктуации приведут к своеобразному квантовому «дрожанию» горизонта событий. Для сферической черной дыры с массой М амплитуда колебания гравитационного радиуса имеет на основании (2.2) следующий вид:

~ (2.3)

Величина амплитуды колебания крайне мала для черных дыр с размерами r_g >>L_p. Однако не стоит сбрасывать этот эффект, потому что он приводит к интересным результатам.

Под действием квантовых флуктуаций вакуума на поверхности горизонта событий появляются колебания радиуса Шварцшильда r_g. Эти колебания могут стать причиной распространения гравитационных волн на горизонте событий. шварцшильд гравитационный квантовый колебание

Эти волны можно определить как отклонения от среднего значения гравитационного радиуса

u(t, r, ?,)=r_g - < r_g> (2.4)

Волны u(t, r, ?,) на поверхности черной дыры не должны гаснуть, так как постоянно действуют квантовые флуктуации вакуума на сфере Шварцшильда (2.3) . Под действием эти флуктуаций колебания гравитационного радиуса будут появляться в любой точке на сфере А=4.

3. Волновое уравнение сферы Шварцшильда

Рассмотрим задачу о нахождении волнового уравнения колебаний сферы Шварцшильда. Метрику g^ik(t, r, ?,) на горизонте событий будем рассматривать на границе:

?={0;}, , r =r_g=, (3.1)

Горизонт событий в вакуумных решениях уравнений ОТО:

R_ik=0, ds² =g^ikdx_idx_k=0 (3.2)

Флуктуации метрики g^ik на сфере горизонта событий будем рассматривать как малые возмущения :

g^ik=g^ik(0)_+h^ik , (3.3)

где g^ik(0) _-- статическая метрика пространства-времени на горизонте событий.

Тогда условия (3.2) и (3.3) дают рассматривать гравитационные волны на сфере Шварцшильда:

Где

- Оператор Лапласа в сферических координатах Шварцшильда,

=

На горизонте событий r =r_g= радиальная часть оператора Лапласа = 0.

Уравнение колебания горизонта событий или сферы Шварцшильда будет:

(3.4)

Решением этого уравнения (3.4) будут собственные значения углового оператора Лапласа для колебаний сферы.

Причем образуются стоячие колебания на горизонте событий черной дыры.

Поэтому метрику колебаний определим как независимую от времени:

( ?,)·

Где - собственная частота колебаний сферы Шварцшильда с точки зрения удаленного внешнего наблюдателя.

В этом случае уравнение колебания сферы Шварцшильда имеет вид с учетом граничных условий (3.1) :

(3.5)

Решению этого уравнения (3.5) соответствуют собственные значения колебаний сферы в виде выражения:

При n=0,1,2,…N.

4. Квантовые энергии сферы Шварцшильда

Решению уравнения (3.5) соответствуют собственные значения:

(4.1)

Отсюда собственные частоты колебаний сферы Шварцшильда при r_g= будут:

(4.2)

Квантовые флуктуации вакуума действуют наиболее сильно на поверхности горизонта событий, где энергия нулевых колебаний определяется по формуле:

(4.3)

Где m-количество квантовых осцилляторов на сфере Шварцшильда. Энергия соответствующая колебаниям горизонта событий будет иметь вид:

(4.4)

Получаем уровни энергии (4.4) для горизонта событий черной дыры . Следовательно, сфера Шварцшильда или горизонт событий не просто геометрический объект, а квантовая система, обладающая квантовыми состояниями .

При n>>1 энергия сферы Шварцшильда:

Горизонт событий при переходе из одного энергетического состояния в другое излучает или поглощает энергию в виде:

Е_ik =E_i - E_k= ; i,k>>1 (4.5)

При переходе (4.5) изменяется энергия черной дыры

Е = М с²=

Соответственно изменяется размер черной дыры, то есть площадь горизонта событий:

= где (4.6)

Вычислим вероятность перехода сферы Шварцшильда, как физической системы из одного макросостояния (i) в другое (k) при излучении энергии (4.5) . Для этого воспользуемся формулой спонтанного квантового излучения для макросистемы (без внешних воздействий на горизонт событий):

(4.7)

- число квантовых осцилляторов на сфере Шварцшильда в состоянии k ,

b =, - коэффициент квантового перехода.

Воспользуемся золотым правилом Ферми для расчета квантового перехода:

(4.8)

где - возмущение гамильтониана квантовой системы Н, - количество состояний n квантовой системы на единицу энергии Е.

На сфере Шварцшильда действуют квантовые флуктуации физического вакуума, поэтому возмущение гамильтониана квантового осциллятора на горизонте событий определяется принципом неопределенности гейзенберга:

Тогда коэффициент запишется в следующем виде:

(4.9)

Воспользуемся формулами (4.7) и (4.9), определим вероятность перехода сферы Шварцшильда из макросостояния (i) в другое(k):

= (4.10)

Изменение энтропии системы (сферы Шварцшильда) при переходе (i) > (k) определим по формуле Больцмана:

S=k= (4.11)

В нашем случае количество состояний n уменьшается при излучении энергии на величину .

Тогда формулы (4.6) и (4.11) для энтропии горизонта событий дают формулу Бекенштейна для черной дыры:

S=

Литература

1. В.Фролов и И.Новиков, книга Физика Черных Дыр, Москва «Наука» 1986.

2. Б. Пальцев, пособие Сферические Функции, УДК 517.586

Размещено на Allbest.ru