Теоретическое и численное исследование распространения электромагнитных волн в пространственно-периодических нелинейных средах
Основные методы описания распространения электромагнитных волн в периодических средах с использованием волновых уравнений. Теории связанных волн, вывод уравнений. Выбор метода для описания генерации второй гармоники в периодически поляризованной среде.
| Рубрика | Физика и энергетика |
| Вид | дипломная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 17.03.2014 |
| Размер файла | 1,1 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
1. При определении волнового числа (60) не учитывается локальная частотная дисперсия показателя преломления . Изменение волнового числа в полосе частот под действием этого эффекта характеризуется отношением
.
Вдали от резонансных частот это отношение мало: . В то же время нелокальная дисперсия, характеризуемая частотами , может существенно изменить не только величину q, но и сам характер распространения, например, для частот .
2. При анализе моделей (61) и (79) предполагалось, что масштабы распределения неоднородности L существенно меньше характерных длин поглощения волн; при этом поглощение не учитывалось, а значения L были действительные. Однако эти же модели легко обобщаются и на случай поглощающего диэлектрика с неоднородным распределением комплексной диэлектрической проницаемости. В этом случае параметры и - комплексные величины: .
3. Бегущие волны (60) описывают лишь одно из решений уравнения (59) - прямую волну. Второе решение этого уравнения (обратная волна) соответствует замене в решении (60) множителя на .
Таким образом, комбинация моделей (61) - (79) позволяет построить широкие классы точно решаемых моделей неоднородных диэлектриков с несинусоидальными периодическими распределениями . В рамках этих моделей можно представить аналитически вклад разрывов как показателя преломления, так и его первой и второй производных в формирование отраженной и прошедшей волн.
1.15 Решение связанных волновых уравнений методом последовательных приближений
Рассмотрим среду, в которой скорость распространения волны является периодической функцией какой-либо одной пространственной координаты (например, х):
, (28)
где ( - пространственный период решетки).
Считаем, что неоднородность мала, . В этом случае уравнение для волны, распространяющейся вдоль оси х, можно записать в виде:
(29)
Предположим, что зависимость от времени - гармоническая: .
Для амплитуды А имеем следующее уравнение:
, (30)
Используя метод последовательных приближений по малому параметру , ищем решение в виде
, или (31)
где , . Запись частоты в виде суммы невозмущенного значения и поправки первого приближения принята из-за того, что в периодически-неоднородной среде существует характерный внутренний масштаб ; это может привести к появлению дисперсии.
Подставим (31) в (30); собирая отдельно члены порядка и , получим уравнения:
, (32)
(33)
С помощью решения уравнения (32) нулевого приближения:
правая часть (33) преобразуется к виду
(34)
Важно заметить, что при анализе уравнения первого приближения (33) с правой частью (34) мы сталкиваемся с двумя физически различными ситуациями [1].
Если , решение имеет вид:
(35)
В формуле (35) наряду с осциллирующими членами имеется слагаемое, модуль которого неограниченно растет с увеличением х. Поскольку мы интересуемся волнами с ограниченной амплитудой, это слагаемое должно быть обращено в нуль, что возможно только при . Таким образом, при поправка к частоте в неоднородной среде отсутствует и .
Если же , правая часть (34) приводится к форме:
(36)
Выражение (36) также содержит "резонансные" члены, пропорциональные , которые приводят к появлению в решении слагаемых, растущих линейно с увеличением координаты х. Чтобы решение было ограниченным, нужно потребовать
,
Эта система линейных (относительно ) уравнений имеет нетривиальное решение при условии
Рисунок 2 ? Разрывная кривая дисперсии для волны, распространяющейся в периодической структуре
, (37)
Итак, при первое приближение дает поправку к частоте [1] и:
(38)
Зависимость изображена на Рис.3. Видно, что дисперсионная кривая испытывает разрыв при . Появляется запрещенная полоса часто шириной ; волны с частотами, лежащими внутри полосы , в системе быстро затухают.
Соотношение можно переписать как ( - длина волны, а - пространственный период неоднородности); его часто называют условием брэгговского отражения волны от периодической структуры.
Это означает, что при т.е. в запрещенной полосе частот, бегущая волна эффективно отражается от неоднородностей среды, и ее энергия передается волне, бегущей в обратном направлении (этот отбор энергии можно называть "затуханием"). В свою очередь встречная волна также переотражается, возвращая часть энергии исходной волне. Иными словами, вблизи области пространственного резонанса две волны, бегущие в положительном и отрицательном направлениях оси х, сильно связаны друг с другом. Результатом такого взаимодействия является сдвиг частоты (38); напомним, что аналогичное явление в теории колебаний имеет место дня двух связанных колебательных контуров.
2. Генерация второй гармоники в нелинейных периодических структурах
В этой главе будет рассмотрена генерация второй гармоники в среде, функция линейного отклика которой меняется в зависимости от координаты по периодическому закону. Для простоты расчёта рассматривается одномерный случай. Волна рассматривается как плоская, линейно поляризованная и монохроматическая, притом поляризация её во время процесса не меняется.
Также воспользуемся приближением заданного поля, то есть обратную реакцию второй гармоники будем считать бесконечно малой. В виду того, что размеры неоднородности соизмеримы с длиной волны, метод медленно меняющихся амплитуд применять нельзя. Таким образом, говорить о равенстве как об условии фазового согласования в данном случае заведомо неверно. Таким образом, к решению волнового уравнения в данной ситуации требуется принципиально иной подход.
2.1 Вывод волнового уравнения для периодических сред с квадратичной нелинейностью. Корректность уравнения (1) первой главы для одномерной задачи
Прежде всего, положим, что тензор диэлектрической проницаемости среды приведён к диагональному виду (Для удобства нумерацию формул начнём с единицы).
(1)
Положение (1) значительно упрощает расчёты. Теперь рассмотрим уравнения Максвелла для немагнитной среды:
(2)
Здесь: (3). Вектор нелинейной поляризации, также как и первое слагаемое (3), мы разложим по базису, но для начала из системы (2) получим волновое уравнение:
(3)
Укажем, что компоненты тензоров линейного и нелинейного откликов среды не зависят от времени, и в дальнейшем под компонентами и будем понимать непосредственно спектральные компоненты и .
Итак, компоненты вектора нелинейной поляризации имеют вид:
(4) и
(5).
Вектор, представленный компонентами (4), соответствует детектированию электростатического поля и в данной работе рассмотрен не будет. Генерации второй гармоники соответствует вектор с компонентами (5). Чтобы не вводить в заблуждения, оговорим сразу, что частоты под знаками диэлектрических проницаемостей в (4) и в (5) независимыми переменными не являются. Частота в скобках показывает, какой гармонике соответствует вектор напряженности. Волновое уравнение (3) преобразуем к виду, подобному уравнению Гельмгольца:
(6)
Уравнение (6) теперь нужно привести к одномерному случаю. Для этого рассмотрим первое слагаемое в левой части уравнения (6):
(7)
Уравнение (7) разбиваем по компонентам в Декартовых координатах:
Следующие шаги таковы: положим, что из всех компонент вектора напряженности существует только . Теперь что касается откликов среды: линейный выберем таким образом:
(7).
А нелинейный:
(9),
где , , , . Матрица нелинейной восприимчивости (9) соответствует кристаллу ниобата лития LiNbO3.
Причина такого выбора очевидна: во первых, кристалл ниобата лития обладает ненулевой компонентой ; во вторых, в лабораторных условиях чаще всего выращивают с регулярной доменной структурой именно этот сегнетоэлектрик.
Дальнейшие преобразования очевидны. В следующих уравнениях координатные индексы будут опущены. Таким образом, имеем:
(10)
Верхнее уравнение системы (10) соответствует волне первой гармоники.
В приближении заданного поля правая часть нижнего уравнения системы (10) рассматривается как вынуждающая сила. Оно решается как неоднородное, в котором является решением верхнего уравнения.
В свете приведённых выше выкладок, корректность уравнения (1) из первой главы очевидна.
2.1 Решение волнового уравнения для волны, бегущей в одну сторону
Для верхнего уравнения системы (10) построим систему Флоке - Блоха:
(11) и
(12)
Правую часть нижнего уравнения системы (10) приведём к следующему виду:
(13)
Само же уравнение решим методом интегрального уравнения:
(14)
(13)
Обозначим:
(14)
Рассмотрим интеграл в (13): величину назовём волновой расстройкой. Позже мы увидим, что равенство и есть условие фазового синхронизма. Интересно следующее:
(15)
Анализ (15) сводится к рассмотрению двух случаев:
1) и 2) . Первый случай является ключевым, и мы в этом убедимся при построении графика функции . Действительно, нули функции (15) мы получаем при , где . Однако чтобы получить ненулевые значения (15) мы можем выбирать дробные числа. Посему назовём число порядком волновой расстройки. График же будет построен следующим образом: величина будет служить параметром и на координатных осях отмечаться не будет, однако с его помощью мы получим значения реальной и мнимой частей в (15).
(16)
Для (16) построим таблицу значений.
Таблица 1? величина вещественной и мнимой части напряжённости электрического поля электромагнитной волны на частоте 2-й гармоники в зависимости от величины a?µ
Рисунок 3 иллюстрирует нам зависимость мнимой части (15) от действительной в первом случае. Цифры над точками соответствуют порядку волновой расстройки. Таким образом, отрезок OA на рисунке 3 соответствует условию фазового согласования.
(17)
Второй же случай рассматривать мы не будем в виду того, что он тривиален и в данный момент интереса не представляет. Однако его краткую характеристику дать следует.
Рисунок 3 ? Зависимость мнимой части выражения (15) от действительной
Дело в том, что при такого результата, как в выражениях (16) уже не будет. В данном случае при (15) обращается в 0. Очевидно, что графики (15), аналогичные графику на рисунке 3, выродятся в эллипсы, соприкасающиеся в точке O. При выполнении условия (17) такие слагаемые просто обратятся о 0. Следовательно:
(18)
И, опираясь на параграф 1.2, имеем:
(19)
Теперь нужно выбрать конкретный профиль . Положим:
(20)
Интерес представляют две задачи:
1) (малые отклонения).
2) и велики, и
2.2 Решение задачи с конкретным профилем линейного отклика среды
Рассмотрим первую задачу. Знаем, что порядок разницы между величинами и таков, что имеет место Борновское приближение, рассмотренное в параграфе 1.3 Теперь нужно всего лишь преобразовать условие (17), используя формулы данного приближения, учитывая (20). Таким образом:
(21)
Очевидно, что при условие (21) выражается в классический скалярный oee-синхронизм.
Также мы можем написать приближенное уравнение пространственной части волны второй гармоники.
(22) и
(23)
Сумма (22) и (23), умноженная на , даёт уравнение волны второй гармоники в приближениях, о которых говорится в данной главе
Заключение
В настоящей работе была решена одномерная задача о генерации второй гармоники в среде, линейный отклик которой изменяется в зависимости от координаты по периодическому закону.
В случае произвольного профиля диэлектрической проницаемости уравнение пространственной части волны было получено в конечной форме в виде ряда. При малой амплитуде модуляции диэлектрической проницаемости можно получить приближенную аналитическую форму (Римановское приближение). Важный результат заключается в том, что условие фазового согласования имеет несколько иную форму, нежели классическое (для однородных анизотропных сред). Таким образом, мы получаем новую проблему: дело в том, что в классическом случае, на практике возможно вычислить угол синхронизма для одноосных кристаллов.
В нашем же случае этого недостаточно из-за дополнительных слагаемых в уравнении (21).
Можно предположить, что эти слагаемые малы по сравнению с и , но далеко не для всех сред это возможно, потому что предполагается, что мы работаем с частотами, далёкими от полос спектра поглощения, и в силу этого величина может вносить вклад, обуславливающий потери мощности второй гармоники на неоднородности.
В данном случае ещё можно применять классическое условие фазового синхронизма. Однако при достаточно большой амплитуде модуляции диэлектрической проницаемости это невозможно. В этой ситуации уравнение (21) работать не будет, поэтому требуется иной подход к решению задачи. Здесь также рождаются новые идеи, и математическое содержание их мы кратко изложим. Пусть дано уравнение (уравнение Матье):
(24)
При больших и уравнение для можно написать в следующей форме:
(25)
(см. Бейтмен. Эрдейи "Высшие Трансцендентные Функции. Т3);
Естественно, что такая задача решается только численно. Уравнение (2) представляет собой асимптотические формы при больших параметрах. Полагаем, что при осуществлении численного расчёта будет использоваться разложение обеих частей (2) в ряды. Порядок приближения надо будет выбирать, исходя из реальных условий.
Также в данной задаче мы положили, что вопреки периодичности , квадратичная восприимчивость постоянна. Предпосылки предположения таковы:
1) Невозможность определить профиль (если таковой вообще существует).
2) На вид условия фазового согласования в данном приближении он влиять не может, ибо понимаем, что оно получается при решении задачи с помощью функции Грина, а принадлежит неоднородной части нижнего уравнения системы (10).
В дальнейшем число упрощений нужно будет постепенно сокращать, дабы понять, какие еще особенности поведения волн и нелинейных процессов даёт непостоянство линейного отклика среды.
Список использованных источников
1. Виноградов, Сухоруков, Руденко. Теория волн, М., 1981 г., 470 с.
2. Дмитриев В.Г., Тарасов Л.В. Нелинейная оптика, М., 1982 г., 352 с.
3. Ярив А., Юх П. Оптические волны в кристаллах, М., Мир, 1987 г., 616 с.
4. Бломберген Н. Нелинейная оптика, М., Мир, 1966 г., 424 с.
5. Андреев А.В., Балакин А.В., Буше Д., и др. Квантовая электроника, 28, №1, июль 1999 г., с. 75-80.
6. Шен И.Р. Принципы нелинейной оптики, М., Мир, 1989., 278 с.
7. Карпов С.Ю., Столяров С.Н. Успехи физических наук, т. 163, №1, январь 1993 г., с. 63-89.
8. Шварцбург А.Б. Успехи физических наук, т.170, №12, декабрь 2000 г., с. 1297-1324.
9. Zaporozhchenko R. G. Оптика и спектроскопия, 94, №6, 2003 г., с. 906-909.
10. Бриллюэн Л., Пародии М. Распространение волн в периодических структурах, М., ИЛ, 1959 г.
11. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний, М., Наука, 1974 г.
12. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа, ч. 2, М., ГИФМЛ, 1963 г., гл. 19.
13. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн, М., Наука, 1984 г., гл. 11.
14. Борн М., Вольф Э. Основы оптики, М., Наука, 1973 г.
15. Мак-Лахлан Н.В. Теория и приложения функции Матье, М., Иностранная литература, 1953 г.
16. Столяров С.Н. Соответствие решений в приближении сильной и слабой связи для волн в одномерных периодических структурах, Кр. сообщ. Физ., ФИАН (КСФ), №11, 1987 г., с. 12-14.
17. Бреховский Л.М. Волны в слоистых средах, М., Наука, 1973 г.
18. Ваганов Р.Б., Каценеленбаум Б.З. Основы теории дифракции, М., Наука, гл. 4, 1982 г.
19. Беляков В.А. Дифракционная оптика периодических сред сложной структуры, М., Наука, 1988 г.
20. Столяров С.Н. Брегговское преобразование волн в одномерных периодических структурах с учетом более высоких порядков теории возмущений // Физические основы твердотельных устройств обработки информации, М., МФТИ, 1989 г.
21. Kogelnik H. Coupled wave theory for thick hologram grating // BSTJ, v.48, №9, 1969 г., с. 2909-2947.
22. Мартынов Н.Н., Столяров С.Н. Теория распространения волн в периодических структурах // КЭ, т.5, вып. 8, 1978 г., с. 1853-1855.
23. Найфэ А.Х. Введение в методы возмущений, М., Мир, 1984 г.
24. Forsterling K. Ann. Phys. - Leipzig. т.11, №1, 1931 г.
25. Столяров С.Н. Модификация метода связанных волн Когельника // Импульсные лазеры и их применение, М., МФТИ, 1988 г., с. 120-122.
26. Мартынов Н.Н. Кандидатская диссертация "К теории распространения электромагнитных волн в периодических диэлектрических структурах", М., МФТИ, 1979 г.
27. Epstein L. J. X Opt. Soc. Am., т.42, №806, 1952г.
28. Shvartsburg A., Petite G., Auby N.J. Opt. Soc. Am., т.16, № 966, 1999 г.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Исследование оптических характеристик интерференционных покрытий. Физика распространения электромагнитных волн оптического диапазона в диэлектриках. Интерференция электромагнитных волн в слоистых средах. Методики нанесения вакуумно-плазменных покрытий.
дипломная работа [6,1 M], добавлен 27.06.2014Анализ взаимодействия электромагнитных волн с биологическими тканями. Разработка вычислительного алгоритма и программного обеспечения для анализа рассеяния монохроматических электромагнитных волн неоднородными контрастными объектами цилиндрической формы.
дипломная работа [3,3 M], добавлен 08.05.2012Понятие электромагнитных волн, их сущность и особенности, история открытия и исследования, значение в жизни человека. Виды электромагнитных волн, их отличительные черты. Сферы применения электромагнитных волн в быту, их воздействие на организм человека.
реферат [776,4 K], добавлен 25.02.2009Преобразование исходной системы уравнений к расчётной форме. Зависимость длины волны от скорости распространения. Механизмы возникновения волн на свободной поверхности жидкости. Зависимость между групповой скоростью волн и скоростью их распространения.
курсовая работа [451,6 K], добавлен 23.01.2009Метод последовательных приближений. Генерация второй гармоники. Параметрическая генерация и усиление волн. Коэффициент параметрического усиления. Нелинейная поляризация на собственной частоте. Воздействие одной волны на другую. Фазовая скорость волны.
контрольная работа [81,0 K], добавлен 20.08.2015Нахождение показателя преломления магнитоактивной плазмы. Рассмотрение "обыкновенной" и "необыкновенной" волн, исследование их свойств. Частные случаи распространения электромагнитных волн в магнитоактивной плазме. Определение магнитоактивных сред.
курсовая работа [573,6 K], добавлен 29.10.2013Анализ теорий распространения электромагнитных волн. Характеристика дисперсии, интерференции и поляризации света. Методика постановки исследования дифракции Фраунгофера на двух щелях. Влияние дифракции на разрешающую способность оптических инструментов.
курсовая работа [2,0 M], добавлен 19.01.2015Понятие волны и ее отличие от колебания. Значение открытия электромагнитных волн Дж. Максвеллом, подтверждающие опыты Г. Герца и эксперименты П. Лебедева. Процесс и скорость распространения электромагнитного поля. Свойства и шкала электромагнитных волн.
реферат [578,5 K], добавлен 10.07.2011Связь между переменным электрическим и переменным магнитным полями. Свойства электромагнитных полей и волн. Специфика диапазонов соответственного излучения и их применение в быту. Воздействие электромагнитных волн на организм человека и защита от них.
курсовая работа [40,5 K], добавлен 15.08.2011Изучение явлений интерференции и дифракции. Экспериментальные факты, свидетельствующие о поперечности световых волн. Вывод о существовании электромагнитных волн, электромагнитная теория света. Пространственная структура эллиптически-поляризованной волны.
презентация [485,0 K], добавлен 11.12.2009
