Течение вязкой жидкости в канале прямоугольной формы

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

Новокузнецкий филиал-институт

Кемеровского государственного университета

Кафедра математики и математического моделирования

Курсовая работа

по дисциплине: Математическое моделирование в естествознании и методы их исследования

на тему: Течение вязкой жидкости в канале прямоугольной формы

Выполнил:

студент группы ПМИ-071

Черная Ю.А.

Проверил:

преподаватель кафедры МиММ

Седова Е.А.

Новокузнецк, 2011

Содержание

1. Введение

2. Постановка задачи

3. Решение

4. Заключение

5. Список литературы

1. Введение

вязкая жидкость канал прямоугольный уравнение

Идеальная жидкость, т. е. жидкость без внутреннего трения, является абстракцией. Всем реальным жидкостям и газам в большей или меньшей степени присуще внутреннее трение, называемое также вязкостью. Вязкость проявляется, в частности, в том, что возникшее в жидкости или газе движение, после прекращения действия причин, его вызвавших, постепенно прекращается. Сопротивление жидкости к изменению формы характеризуют динамической вязкостью (внутренним трением). Сила внутреннего трения в жидкости ф на единицу площади, определяют по закону Ньютона:

, (1)

где - градиент скорости в направлении перпендикулярном течению, абсолютная и динамичная вязкость жидкости. Кинематическая вязкость - отношение динамической вязкости к плотности: . Одной из целей расчёта течения является нахождение поля давлений в зависимости от координат и времени. В вязкой жидкости в каждой точке геометрической области существует три компоненты давления, для несжимаемой жидкости:

(2)

Среднее давление находится в результате решения системы Навье-Стокса.

Движение жидкости в канале называется безнапорным движением. Особенностью его является наличие свободной поверхности с одинаковым давлением по всей ее длине. С точки зрения гидравлики безнапорные потоки можно разделить на установившиеся потоки с равномерным движением жидкости и неустановившиеся потоки, часто называемые быстротоками.

Русла подразделяют по параметрам, определяющим изменение площади сечения по длине потока, на непризматические и призматические (и цилиндрические). У непризматических русел, форма и (или) геометрические размеры поперечного профиля меняются по длине русла. Поэтому площадь сечения потока является функцией длины русла и функцией глубины потока вдоль русла. В таком русле движение неравномерное. В призматических руслах форма и размеры элементов поперечного профиля по длине сохраняются неизменными. Площадь живого сечения потока может изменяться только в связи с изменением глубины потока. По форме профиля поперечного сечения русла могут быть правильной и неправильной формы. Призматические русла имеют правильную форму. Они могут быть прямоугольные, треугольные, трапецеидальные. В нашем случае русло прямоугольной формы. Для решения системы дифференциальных уравнений (уравнения движения жидкости и уравнение неразрывности) необходимо задать начальные и граничные условия. Начальные условия задают поле скоростей и давлений в жидкости в начальный момент времени. Граничные условия бывают двух типов: кинематические (условия для скорости на границах жидкости) и динамические (связанные с давлением).

2. Постановка задачи

Составить краевую задачу, включающую кинематические соотношения, уравнения движения, определяющие соотношения и решить ее.

Будем рассматривать установившееся движение вязкой и несжимаемой жидкости. Пусть в расчетной области течения D, ограниченной свободной поверхностью С1 и твердыми стенками С2, С3, С4 решается уравнение Лапласа. Ширина канала l, высота h. Предположим что жидкость вязкая, несжимаемая. Течение стационарное, установившееся, не турбулентное.

Рис. 1. Течение вязкой жидкости в канале прямоугольной формы

3. Решение

Общая задача гидродинамики сводится к решению совместной системы из четырёх дифференциальных уравнений Навье-Стокса:

(3)

Система уравнений складывается из уравнений движения по трём направлениям и уравнения неразрывности (вязкости). Раз жидкость не сжимаема то . Так как движение установившееся:

. (4)

Тогда, задача (3) примет вид:

(5)

Так как движение жидкости безвихревое, траектории движения всех частиц будут строго прямолинейными и параллельными между собой, а значит, компоненты скорости: v=0, w=0.

К уравнениям движения добавим граничные условия: на свободной поверхности выполняется кинематическое и динамическое условие. В итоге получаем систему дифференциальных уравнений с граничными условиями:

(6)

Так как движение прямолинейное и параллельное то единственная проекция вектора скорости u будет оставаться постоянной и может изменяться только в поперечном к траекториям направлении:

(7)

, так как в нашем случае синус равен единице то все силы по направлениям приравниваются к ускорению свободного падения.

Представим давление в виде суммы двух составляющих статической и динамической:

.(8)

Статическое давление определяется из уравнения равновесия:

.(9)

Используя выражение для кинематического коэффициента вязкости:

,(10)

подставив в нашу систему полное давление, получим:

(11)

Легко догадаться, что динамическое давление не будет зависеть от y и z. Левая часть уравнения зависит только от x, значит, левые и правые части должны быть равны одной и той же величине:

. (12)

Это означает, что перепад давления на единицу длины в направлении движения постоянен. Таким образом, наша задача сводится к решению дифференциального уравнения Пуассона:

,(13)

где правая часть есть постоянная величина, границы, вдоль которых течёт вода, не деформируются и остаются не подвижными, что удовлетворяет условию прямолинейного параллельного движения. Используя условие прилипания, мы сводим нашу задачу к задаче Пуассона при нужных нам граничных условиях. Так как правая часть остаётся постоянной, то уравнение сводится к уравнению Лапласа заменой:

.(14)

При такой замене рассматриваемая задача о прямолинейном параллельном движении вязкой жидкости внутри канала прямоугольной формы, будет сводиться к решению уравнения Лапласа для функции :

(15)

при граничных условиях на неподвижных стенках:

(16)

на свободной границе:

(U=const)(17)

С помощью известного из математической физики метода Фурье, получим решение полученной системы. Данный метод широко применяется для решения уравнений математической физики. Его суть заключается в том, что мы функцию из уравнения (15) представляем в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной:

(18)

Подставляем данную замену в уравнение (15) и разделим переменные:

(19)

Разделим переменные:

В (19) левая часть зависит только от y, а правая - только от z равенство между ними возможно, только если обе части

(знак при выбран для удобства) (20)

Отсюда: (21)

Полученная пара уравнений может быть решена стандартным способом. Дополним уравнения условиями (16) и (17).

Требуется указать такие и такую , тождественно не равную нулю, чтобы (6) имело решение.

Рассмотрим три случая для :

1. ищем решение в виде: , где С - const,

= -(находится из граничных условий) , а по условию: , не подходит

2. =0 (аналогично получаем, что не подходит)

3. характеристическое уравнение имеет два корня: , решение имеет вид: . Подставив граничные условия (16) и (17), получаем что , а решение примет вид:

.(22)

Решим уравнение системы (21) относительно z, с уже найденным :

,(23)

где , - произвольные постоянные.

Тогда, решение уравнение Лапласа имеет вид:

.(18)

Подставив полученное решение в уравнение (14) получим искомое значение давления:

. (20)

4. Заключение

Когда речь заходит о построении математической модели какого-либо явления, принадлежащего к физике, социологии, экономике или другой области знаний, встаёт вопрос о правильном построении системы дифференциальных уравнений и её решения, исходя из начальных или граничных условий.

Современную физику невозможно представить без математики, и с появлением новых областей исследования, новых теорий, встаёт необходимость в пополнении математической базы, исследовании новых методов. Многие задачи современной физики могут быть решены только с помощью численных методов. В интенсивном взаимодействии теоретической физики и современной математики создаются качественно новые классы моделей современной математической физики.

В данной работе представлен аналитический метод решения стационарного уравнения Навье-Стокса в трехмерной геометрии. Решение получено для несжимаемой жидкости. Решение нелинейных уравнений ищется методом последовательных приближений. Метод последовательных приближений позволяет свести задачу к решению последовательности систем линейных дифференциальных уравнений для неизвестной функции с учетом нелинейной части, в которую входят известные функции. Затем используется преобразование Лапласа для временной переменной и преобразование Фурье - для пространственных переменных.

5. Список использованной литературы:

1. Сборник задач по уравнениям математической физики \ Под ред. В. С. Владимирова. - М.:ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 288 с.

2. Динамика вязкой не сжимаемой жидкости \ Слёзкин Н.А. -М.:1955.- 519с.

3. КМГЭ для решения плоских задач Гидродинамики \ Учебное пособие \ К.Е. Афанасьев, С.В. Стуколов -Кемерово:2001.

Размещено на Allbest.ru