Главная База знаний "Allbest" Физика и энергетика Изучение оптических свойств кривых и поверхностей на примере моделирование оптических систем в прикладных программах

Изучение оптических свойств кривых и поверхностей на примере моделирование оптических систем в прикладных программах

Изучение теорий каустик, оптических свойств кривых и поверхностей на примере моделирования оптических систем в СКM Maple. Понятие каустики в рамках геометрической оптики, ее образования. Построение модели каустики, написание программных процедур.

Рубрика Физика и энергетика
Вид дипломная работа
Язык русский
Дата добавления 16.06.2017
Размер файла 1,6 M

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Страница:

28

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования

"Казанский (Приволжский) федеральный университет"

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ ИМ.Н.И. ЛОБАЧЕВСКОГО

Кафедра высшей математики и математического моделирования

Профиль: Информационные технологии в физико-математическом образовании

МАГИСТЕРСКАЯ ДИССЕРТАЦИЯ

НА ТЕМУ:

"Изучение оптических свойств кривых и поверхностей на примере моделирование оптических систем в прикладных программах"

Содержание

  • Введение
  • Глава I. Каустика
  • 1.1 Определение Каустики
  • 1.2 Каустики на плоскости
  • 1.3 Каустики в пространстве
  • 1.4 Математическая модель каустики
  • 1.5 Примеры каустик
  • Глава II. Maple
  • 2.1 Общие сведения о СКМ Maple
  • 2.2 Программирование в СКМ Maple
  • 2.3 Работа с графикой
  • Глава III.
  • 3.1 Построение модели каустики для кривой второго порядка, заданной в параметрическом виде
  • 3.2 Построение модели каустики для плоскости, заданной в параметрическом виде
  • 3.3 Написание программных процедур СКМ Maple Двумерный случай
  • Заключение
  • Списокиспользованнойлитературы
  • Приложения

Введение

Целью магистерской диссертации является изучение теорий каустик, оптических свойств кривых и поверхностей на примере моделирования оптических систем в СКMMaple.

Про каустики знает почти каждый из нас, кому приходилось хоть раз пить чай не из прозрачного стакана, а из чашки. Каждый из нас наблюдал, как на самом дне чашки образуются яркие линии, которые освещены намного сильнее, чем стоящие по соседству с ними точки. Также каустики можно увидеть при выжигании по дереву, когда собираешь световые лучи при помощи стекла, или при наблюдении кривых на дне какого-либо бассейна или даже ванны. Само слово каустики произошло от латинского, и в переводе означает жгучий.

Задачи выпускной квалификационной работы:

1) рассмотреть теоретический материал по теме каустик;

2) ознакомится и изучить среду Maple;

3) смоделировать оптические каустики для кривых второго и третьего порядка.

Магистерская диссертация состоит из Введения, трех глав, Заключения, Списка литературы и Приложения. Первая глава посвящена обзору теории каустик. 2-я глава охватывает обзор системы компьютерной математики Maple. В 3-ей главе описывается построение и исследование каустик для различных кривых второго и третьего порядка. В заключении кратко приведены основные результаты исследования. Приложение включает в себя код программных процедур.

теория каустика модель геометрическая оптика

Глава I. Каустика

1.1 Определение Каустики

Каустика (от лат. жгучий) - огибающая семейства лучей, не сходящихся в одной точке. Каустики в двумерном случае - это такие линии на поверхности, около которых значительно увеличивается интенсивность светового поля.

Яркие световые кривые очень интересной формы можно наблюдать на освещенном столе, на который поставлен граненый стакан с водой. Каустики в движении можно заметить на дне водоема, поверхность которого находиться в волнении. На дождевых каплях при преломлении солнечных лучей возникает каустика разных цветов-радуга. Каустики возникают в множестве других волновых явлений, а не только при рассмотрении световых явлений. Корабельные волны можно взять за каустику гравитационных волн на воде. Работы Я.Б. Зельдовича показывают, что из-за гравитационной неустойчивости изначально почти однородное распределение массы во Вселенной собирается на каустиках и приводит к формированию нитевидной крупномасштабной структуры вселенной.

Оптические каустики в астрономии могут определять гравитационную линзу - геометрию компактного темного объекта.

В геометрической оптики каустики изображают собой линии или поверхности.

В рамках геометрической оптики каустики представляют собой линии и поверхности безгранично малой толщины. С геометрической точки зрения каустика отображает собой эволюту волнового фронта; волновой фронт - эвольвенту каустики. Если принимать к вниманию особенности света, каустики должны обладать определенной толщиной, бесспорно не меньшую, чем протяженность волны света.

Теория каустик непрерывносопряжена с одним из направлений современной математики, это направление - теория катастроф. В дифференциальных уравнениях каустики являются опрокидыванием решений.

1.2 Каустики на плоскости

Для начала рассмотрим, что происходит, когда множество световых лучей и произвольная кривая, от которой они отражаются, находятся в одной плоскости. Достаточно демонстративным примером будет отражение лучей от окружности. Каустика, возникающая в данном случае - яркая линия с концом, находящимся между вершиной и центром зеркала (рис. 1.1).

Рисунок 1.1 - Каустика при отражении от окружности

Если мы будем рассматривать параболу, то все лучи, которые будут проходить параллельно ее оси, после того как отражаться, соберутся в одной точке - эта точка будет фокусом параболы. Если говорить об окружности или других кривых это будет не так, лучи при отражении не будут сходиться в одной точке. Если рассматривать узкий пучок параллельных лучей, который падает на кривую, то после отражения от кривой он становиться сходящимся. Иначе говоря, отраженный пучок света не сходиться целиком в одной точке, но узкие пучки света, состоящие из рядом расположенных лучей, будут сходящимися. Точки пересечения, в которых будут сходиться лучи отражения, называются точками концентрации энергии, именно из этих точек и образуется каустика. При помощи данных рассуждений мы можем нарисовать каустику.

Отправим на кривую некоторое количество параллельных лучей. Разделим их отражения на пары и найдем точки пересечения лучей в каждой паре (рис. 1.2).

Рисунок 1.2 - Слева на зеркало запущены 14 лучей, справа - 102 луча, и отмечены точки их попарного пересечения

Если начать увеличивать количество лучей, то расстояние между пересечениями парных лучей будут уменьшаться. Данные точки пересечения будут находиться с каждым разом все ближе друг к другу и на определенном этапе заполнят каустическую линию (кривую).

Рисунок 1.3 - Каждый из отраженных лучей касается каустики

Мы видим один из способов того, как изучить, как устроена каустика. Можно рассмотреть еще один способ увидеть каустику-это направить множество лучей. В итоге на полученном таким образом изображении каустика будет определяться как кривая, которой при отражении касаются отраженные лучи (рис.1.3). Это является еще одной моделью того же самого скопления световой энергии - в данном случае каждый световой луч касается каустики, что означает, что луч вдоль каустики проходит большую часть своего пути и передает ей значимую часть своей энергии. Линия, которая касается каждой прямой из некоторого семейства прямых - является огибающей этого семейства. Получается что, каустикой является огибающая световых лучей. Каустику можно назвать каркасом, на который надеты все световые лучи.

1.3 Каустики в пространстве

Все становиться на порядок сложнее и намного интересней, если рассматривать каустики в трехмерном пространстве. В трехмерном пространстве есть две точки скопления энергии. По-другому можно сказать, что поверхность каустики в пространстве состоит из пары листов.

Для примера возьмем отражающую поверхность следующего вида:

(1.1)

И направим на не сверху пучок параллельно оси z. Если рассматривать плоскость y = 0, то мы получим отражение от параболы z = x2, а в плоскости x = 0 отражение будет идти от параболы z = 2y2. Получаться разные параболы, и лучи от них будут скапливаться на разных высотах и в разных точках по оси z. Одна из точек будет находиться на одном листе нашей каустической поверхности, а вторая на другом.

Рисунок 1.4 - Отражение от пластиковых окон

Рисунок 1.5 - За счет перепада давления стекла прогибаются внутрь

В последнеевремя в Интернете находят фотографии ярких четырехугольных звезд на стенах сооружений (рис.1.4). Эти рисунки являются результатом отражения лучей солнца от пластиковых окон близ лежащих домов.

Это обусловлено тем, что в окнах из пластика между стеклами герметизируется, и воздух между ними выкачивается. Из-за перепада давления каждое из стекол деформируется внутрь и напоминает форму, продемонстрированную на рисунке 1.5 (изображение достаточно сильно растянуто вдоль вертикальной оси). Поверхность, изображенную на рисунке можно хорошо приблизить графиком следующей функции:

(1.2)

подобрав соответствующие константы k и m.

Рисунок 1.6 - Изображение на экране - стене дома - при малом удалении (а) и при большем удалении (б)

Если ограничить кусок окна некоторой поверхностью и направить лучами света, направленными сверху параллельным пучком, а на пути света поставить экран, то при незначительном удалении от нашего окна мы сможем наблюдать на экране картинку, основным фрагментом этой картинки будет являться звезда, состоящая из восьми углов (рис.1.6 (a)). Если же экран будет отодвинут на большее расстояние, то мы сможем увидеть звезду, состоящую из четырех углов, на фоне наиболее меньшего овала (рис.1.6 (б)), что будет соответствовать реальным фотографиям. Четыре отсутствующих по сравнению с левым рисунком луча оказались отрезанными от звезды из-за того, что мы рассматриваем отражение только от ограниченного куска поверхности - от квадратного окна.

Рисунок 1.7 - Два вида на каустическую поверхность

Теперь попробуем изобразить саму каустическую поверхность, подобную заданному каустическому изображению. Она фактически будет собрана из двух листов. На рисунке 1.7 цветом зафиксировано удаление точек каустики от заданной поверхности: синие точки находятся ближе к поверхности, красные - дальше от поверхности. Сечением одного из листов нашей каустики будет звезда из восьми углов, сечение другого будет границей окружающего звезду овала.

Рисунок 1.8 - Каустики, возникающие при преломлении света, самый яркий элемент - четырехугольная звезда

Рисунок 1.9 - Вздутие на поверхности воды, имитирующее пузырек или мениск

Каустики могут образовываться не только при отражении, но и при преломлении света, скажем на поверхности воды. На фотографиях, воспроизведенных на рисунке 1.9, солнечные лучи преломляются либо на воздушном пузырьке, либо на мениске, возникающем из-за поверхностного натяжения на иголке, погруженной в воду. И здесь, и там на дне мы видим небольшую четырехугольную звезду.

Смоделируем это явление, задав преломляющую поверхность (рис.1.9) уравнением:

(1.3)

Рисунок 1.10 - Изображение на экране - на дне сосуда

Зафиксируем постоянную k и угол падения солнечных лучей б и вспомним, что для воды показатель преломления n = 1,33. С помощью закона преломления sin б = nsin в можно рассчитать направление преломленных лучей - угол в - и, значит, построить картину, которую формируют лучи на экране, расположенном под поверхностью воды - на дне сосуда. Отчетливо видна та же самая асимметричная четырехугольная звезда (рис.1.10), что и на фотографиисм. (рис.1.8).

Рисунок 1.11 - Каустическая поверхность, образующаяся при преломлении на воздушном пузырьке

А вот и соответствующая каустическая поверхность для преломленных лучей (рис.1.11). Синие точки расположены ближе к поверхности воды, а красные более удалены от нее. Сечение внутренней поверхности представляет собой четырехугольную звезду, а внешней - граница овала, содержащего эту звезду.

Табл.1. Кривые и их каустики.

Кривая

Источник света

Каустика

Окружность

На плоскости

Кардиоида

Окружность

Не на плоскости

Улитка Паскаля

Окружность

Бесконечность

Нефроида

Парабола

Лучи,

перпендикулярные

директрисе

Кривая третьего

порядка

Чирнгаузена

Кривая Чирнгаузена

Фокус

Полукубическая

парабола

Циссоида Диоклеса

Фокус

Кардиоида

Кардиоида

Касп

Нефроида

Четырёхлистник

Центр

Астроида

Дельтоид

Бесконечность

Астроида

Логарифмическая

спираль

Центр

Логарифмическая спираль

Циклоида

Лучи, перпендикулярные

линии через каспы

1/2 Циклоиды

y = Ex

Лучи, перпендикулярные

y-лучу

Цепная линия

1.4 Математическая модель каустики

Теория огибающих имеет важное приложение в оптике. Пусть точечный источник света расположен в точке A плоскости. Лучи света, исходящие из A, падают на кривую Z, которая является зеркалом, и, отражаются от нее по правилу равенства углов падения и отражения. Огибающую всех отраженных лучей называют катакаустикой или фокальной линией отражения.

Теорема: Пусть точка Aимеет координаты (). Тогда уравнение прямой, на которой лежит луч, отраженный от точки (X,Y) зеркала Zимеет вид:

(1.4)

Где

§ N=0 - уравнение в декартовых координатах (x,y) касательной к кривой zв точке (X,Y);

§ T=0 - уравнение в декартовых координатах (x,y) нормали к кривой zв точке (X,Y);

§ и - результат подстановки в выражения для N и T.

Если зеркало Z задано параметрическими уравнениями:

(1.5)

то уравнение

(1.6)

определяет прямую, на которой лежит луч, отраженный от зеркала в точке (X,Y).

Для получения огибающей этого семейства прямых нужно продифференцировать это уравнение по . Два получившихся уравнения крайне громоздки и исключить из них переменную в общем случае затруднительно. Тем не менее, можно сравнительно легко найти параметрическое представление дискриминантной кривой. Дело в том, что оба уравнения являются линейными по переменным и , и получившуюся систему можно разрешить - например, по формулам Крамера.

Пример. Найти катакаустику при отражении от параболы и при источнике света, расположенном в точке x=0,y=0.

Рисунок 1.12 - Отражение лучей от кривой

На рисунке 1.12 падающие лучи показаны желтым, отраженные - красным.

Решение. Имеем и уравнение семейства отраженных прямых

(1.7)

Для нахождения уравнения огибающей данного семейства, вычисляем дискриминант этого полинома, рассматриваемого относительно переменной t:

(1.8)

Это уравнение определяет одну изолированную точкуx=0, y=1/4 (фокус параболы) и некоторую кривую, симметричную относительно оси . Мы выделим только ее кусок, лежащий внутри параболы (рис.1.13):

Рисунок 1.13 - Каустика

Теперь проиллюстрируем другой способ представления каустики - в параметрическом виде. Продифференцируем уравнение семейства по параметру t:

(1.9)

и разрешим получившуюся систему относительно x и y:

(1.10)

Заметим, что если бы мы двигали источник света по оси по направлению к фокусу параболы, то отраженные от нее лучи пересекались бы все дальше и дальше, пока не стали бы параллельными этой оси. На этом факте основано применение параболы: отражающая поверхность прожектора делается в виде параболоида вращения, в фокус которого помещается источник света.

Можно и "обратить" процесс, заставив лучи, приходящие "из бесконечности" собираться в фокусе - тогда мы получаем параболическую антенну спутникового телевидения, или же боевое оружие античности, первое появление которого принято связывать с именем Архимеда.

Рисунок 1.14 - Катакаустика

Пример. Катакаустика (рис.1.14) при отражении от полуокружности при источнике света, находящемся "на бесконечности":

дает представление о картинке, наблюдаемой при отражении солнечных лучей от поверхности чашки (рис.1.15):

Рисунок 1.15 - Каустика в чашке

Получим теперь формулы для каустики. Для окружности и источнике света, находящемся в бесконечности на оси , уравнение семейства отраженных лучей имеет вид:

(1.11)

Дифференцируем это равенство по t и находим y, затем подстановкой в исходное устанавливаем x:

(1.12)

Из этих уравнений можно найти и неявное представление каустики в виде:

(1.13)

Эта кривая известна как нефроида и относится к типу эпициклоид.

Пример. Катакаустика при отражении от окружности при источнике света, находящемся внутри нее (рис.1.16):

Рисунок 1.16 - Катакаустика (источник света внутри).

Для окружности и при имеем уравнение каустики в виде:

(1.14)

При источнике на самой окружности - например, при , - получим уравнение каустики в виде:

(1.15)

оно определяет замкнутую кривую, которая называется кардиоидой (рис.1.17).

Рисунок 1.17 - Кардиодида

1.5 Примеры каустик

Радуга - это частный случай каустики, игр света. Каустика представляет собой сложную, а иногдаи очень красивую картину, создаваемую сходящимися световыми лучами в результате их (многократных) преломлений и отражений на поверхностях раздела сред с различной оптической плотностью. Простейшими случаями каустики являются: яркая точка света в фокусе собирающей линзы; тонкий луч прожектора, в фокусе параболического зеркала которого имеется точечный источник света; сложная световая фигура (кардиоида) внутри полого, открытого сверху цилиндра (например, чашки) при отражении света от его внутренней поверхности (рис.1.18); дрожащие ячейки света на дне неглубокого водоёма (рис.1.19); узкие лучи, полученные в результате отражений от поверхностей2-го и более высоких порядков; солнечные и лунные дорожки на поверхности воды и, наконец, радуга на небе.

Рис.1.18. Каустика в виде кардиоиды

Рис.1.19. Каустика на дне освещённого бассейна

Значение каустик во вселенной

В настоящее время распределение вещества во Вселенной чрезвычайно неоднородно (существуют планеты. Солнце, звезды, галактики, скопления галактик и т.д.). Современная астрофизика считает, что на ранних этапах развития Вселенной таких неоднородностей не было. Как же они сформировались? Я.Б. Зельдович в 1970 г. предложил объяснение образования скоплений пылевидной материи, математически эквивалентное анализу возникновения особенностей каустик, начатому в 1963 г.Е.М. Лифшицем, Халатниковым и Судаковым.

Рассмотрим бесстолкновительную среду, т.е. среду настолько разреженную, что ее частицы проходят друг "сквозь" друга, не сталкиваясь. Предположим, для простоты, что частицы не взаимодействуют и движутся по инерции: через какое-то время t частица, находившаяся в точке х, перейдет в точку х + vt.

Предположим, что в начальный момент скорость частицы, находящейся в точке х, была v0 (х); векторное поле v0 называется начальным полем скоростей среды. С течением времени частицы будут двигаться, и поле скоростей будет меняться (хотя скорость каждой частицы и не меняется, в следующий момент времени эта частица находится на новом месте).

На рисунке1.20показано начальное поле скоростей одномерной среды v0 и получающиеся из него через время t = 1, 2 и 3 ноля v1, v2, v3. Мы наблюдаем, что, начиная с определенного момента, более быстрые частицы начинают обгонять более медленные; в результате чего, поле скоростей становится трехзначным: через одну точку пространства три потока частиц проходят с разной скоростью.

Рисунок 1.20 - Эволюция поля скоростей бесстолкновительной среды

Движение нашей среды можно описать как однопараметрическое семейство отображений прямой на прямую. Собственно для каждого t определено отображение gt, переводящее начальное положение частицы (х) в конечное: gt = х + v0 (х) t.

Отображение g0 является тождественным преобразованием, оставляющим каждую точку на месте. Отображения, соответствующие моментам t, близким к 0, взаимно однозначны и не имеют особенностей. После момента первого обгона отображение gt имеет две складки.

Рисунок 1.21 - Особенности плотности после обгона

Пусть в начальный момент плотность среды в точке х была с0 (х), Современем плотность изменится. Легко догадаться, что после обгона график плотности будет иметь вид (на расстоянии 8 от точки складки плотность оказывается порядка 1/vе).

Исходя из этого, небольшие отличия начального ноля скоростей от постоянного приводят через достаточно большое время к образованию скоплений частиц (в местах бесконечно большой плотности).

Глава II. Maple

Для построения каустик, используется система компьютерной математикиMaple (ver.17) о которой и будет идти речь в этой главе.

2.1 Общие сведения о СКМ Maple

Maple-это система компьютерной математики созданная для символьных вычислений, работы с математическими выражениями в разных формах.

Система компьютерной математики является мощным инструментом для выполнения вычислений и работы с разными формами математических и аналитических расчетов. Данная система может быть применена в образовательных и научных целях.

2.2 Программирование в СКМ Maple

Оператор цикла

Как и в другихязыках программмирования, в операторе цикла надо указать переменную цикла, ее начальное значение (from), шаг (by), и ее конечное значение (to) и условие для ее выполнения (while). Тело цикла, если даже тело состоит не из большого количества операторов, располагается между do и od. Команда для закрытия скобки odможет быть убрана и вместо нее могут стоять команды end или enddo. Не все команды оператора цикла могут быть включены в цикл, это является не обязательным условием. Обычно за начальное условие применяется единица и тогда это выглядит следующим образом from: =1 (это можно не писать). Как и начальное условие, шаг цикла будет равен единице,a условие while, и, если дано конченое число для заданной переменной данного цикла, нужно указывать только для того чтобы досрочно выйти из цикла. Аналогично, если будет дано условие, то конечное число можно не вносить. Пример:

>k: =0;

> for i from 1 by 2 to 12 while (k<3) do k: =i od;

При выполнении данного цикла (в данном случае он выйдет из цикла при значении k равным 4) на экран выводиться всего две записиk: =1 и k: =3, фиксирующие присвоение заданной переменной k чисел 1 и 3.

До выполнения данного цикла нашей переменной следует присвоить любое значение, если мы этого не сделаем система выдаст сообщение об ошибке и не сможет выполнить проверку этого условия (Error, cannot determine if this expression is true or false). Наша переменная цикла после выполнения присваивает и сохраняет последнее пройденное значение. У нас в примере им будет число 5. Чтобы программа нам вывела на экран значение i не нужно использовать обычные операторы print или while. Нужно написать имя нашей переменной и точку с запятой:

> i;

Если вместо точки с запятой поставить двоеточие, то на экран значение переменной выводиться не будет. А если цикл двойной, например,

> for i to 5 do for j to 6 do i*j od; od;

То в независимости от того что мы поставим: точку с запятой или же двоеточие, результат промежуточных вычислений мы не сможем увидеть, пока не применим специальный оператор вывода, например,print.

Условный оператор

Простейший условный оператор включает три основные служебные команды: if, then и end. Логическое выражение (условие) ставиться после оператора if. Всегда в конце условного оператора следует поставить: end,fi или endif. Например: if k<5 then k5end. Если взять усложненную форму оператора, то есть возникает возможность выбора из нескольких вариантов: if k <5 then k5else k0 end. При выполнении условия k <5, на экран будет выводиться значение переменной k5, если оно не будет выводиться, то на экран выводиться условие k0. Также условный оператор может выполнять команды как оператор выбора:

>ifk=1 thenk1

>elif k=2 then k2

>elif k=4 then k4

>elif k=5 then k5 else k0 end if;

Опираясь на значение переменной kпроизводиться вывод на экран одного и заданных выражений k1, k2, k3 или k5. Но если не удовлетворяется ни одно из условий, то оператор выдаст значение k0. Есть еще условный оператор, который имеет следующую структуру обращений: `if' (K, M, L). Тут K - заданное условие, за Mвыступает выражения, возвращающее оператор. Ели заданное условие является истинным, за Lвыступает выражение, возвращающее условие, если данное условие ложно. Данный оператор удобно использовать определенно в формулы, в качестве некоторой функции какой - либо переменной K с обоими ее значениями Mи L.

Процедуры

Для описания простейшей процедуры нужно описать ее имя, перечислить аргументы и задать тело процедуры. В ниже приведенной процедуре FcF с аргументами x и y производиться вычисление произведения xy:

> F: =proc (x,y) x*y end;

Для того чтобы обратиться к процедуре может выглядеть следующим образом: F (5,9).

Функции

В системе компьютерной математики Mapleфункция является упрощенным типом процедуры. Как и в процедурах нужно указывать название, обозначать аргументы и тело заданной функции. Все аргументы нужно указывать в скобках. Если аргумент единственный, то скобки можно не писать. Ниже приведен пример, помогающий вычислить мощность объединения и пересечения множеств:

> A: ={a,b,c}:

> B: ={a,b,d}:

> f: = (x,y) - > (nops (x union y),nops (x intersect y));

> f (A,B);

f: = (x, y) > (nops (x Ѓѕ y), nops (x ? y))

4, 2.

2.3 Работа с графикой

Для того чтобы построить график или нарисовать рисунок, включая анимированных графиков и рисунков, в СКMMaple существует большое количество разнообразных команд. Множество из них требует того, чтобы был вызван пакет, включающий данную команду. Несложные графики можно построить тривиальным оператором plot. Для оператора plotне нужно подключение каких-либо команд. Для него не нужно дополнительных средств.

Приведем некоторые простые варианты для построения графиков функций.

График элементарных функций; plot (cos). В данной команде указание аргумента не обязательно. (рис.2.1).

Например, такие не очень привычные выражения, как plot (sin+cos). Такие математические высказывания случат либо как демонстративный материал, либо как не очень сложный справочный. Довольно нечасто такие виды обращений используют для оператора plot.

График (рис.2.2) функции y = sin (x) с обозначением пределов x=0.2*Piи обрезанием системы координат (0.0.8):

plot (sin (x),x=0.2*Pi,0.0.8).

Если не фиксировать ограничения по оси, то на графике будет показан весь график (если он не определен на бесконечности).

Рисунок 2.1-График функций y = sin (x) Рисунок2.2 - График функций y = sin (x) с ограничениями

Глава III

3.1 Построение модели каустики для кривой второго порядка, заданной в параметрическом виде

В данной работе рассматривается два случая:

1) Когда источником света выступают точки находящиеся на заданном расстоянии друг от друга на заданной прямой

2) Когда источником света выступает пучок света.

Для каждого из этих случаев рассматриваются следующие модели, состоящие из:

1. Источника света (Пучок или параллельные лучи)

2. Отражающей поверхности (кривая) заданной в параметрическом виде.

3. Лучей света, описываемых законами геометрической оптики.

Модель источников света

Для начала рассмотрим случай, когда источником света выступает прямая на которой расположены точки, на прямой параллельной Oy (x=const) и отдалённой от вершины заданной кривой на расстоянии L. Источники света равномерно располагаются на заданной прямой с шагом h. Все источники на заданной прямой излучают свет в одинаковом направлении, и под определенным углом к оси абсцисс.

Рисунок 3.1 - Построение отражения луча

В качестве источника света (рис.3.1) возьмем прямую (1), из которой будут выходить лучи света, заданные через направляющий вектор (2). В работе я буду рассматривать различные вариации направления вектора и начальных данных прямой. Исследую и рассмотрю различные прямые и различные источники света, а также различное количество лучей падающий на заданную кривую.

Геометрическая оптика

Геометрическая оптика - это раздел оптики, рассматривающий законы излучения света в различных средах и отражения света от различного вида поверхностей.

Закон отражения света

Луч света в определенной среде прямолинеен до того момента, пока он не достигнет границы данной среды с другой средой. На границе этих сред луч светаизменяет свое направление. Часть света (а в ряде случаев и весь свет) возвращается в первую среду. Это явление называется отражением света. Одновременно свет частично проходит во вторую среду, меняя при этом направление своего распространения - преломляется.

Вычисление отражённого луча

Если использовать вектора, то решение находиться в более простом виде (рис.3.2):

Рисунок 3.2 - Геометрическое представление отражения луча

Для того чтобы найти вектор отражения нам нужно из вектора направления света вычесть удвоенное произведение вектора нормали на отношение скалярного произведения вектора направления света и нормали к скалярному произведению вектора нормали самого на себя:

(3.1)

Делит на скалярное произведение нормали самой на себя не нужно, если данная нормаль уже нормирована.

Если прямая задана точкой (, ) и вектором направления (, ), то вектор нормали (ненормированный). В некоторых случаях нужно знать знак нормали, чтобы знать, какая сторона прямой "внешняя".

Алгоритм построения для первого источника света (параллельные лучи) (Рис.3.3):

1. Построение кривой. Кривая должна быть задана в параметрическом виде.

2. Задаем прямую на которой будут располагаться источники света.

3. Задаем точку на данной прямой из которой будет исходить луч света.

4. Задаем направление вектора источника света.

5. При помощи точки и направляющего вектора вычисляем уравнение прямой.

6. Строим отрезок соединяющий точку на прямой и точку пересечения.

7. Находим нормаль.

8. Строим направление отраженной от кривой луча.

9. Строим прямую, определяющую направление отраженного луча.

Рисунок 3.3 - Параллельно направленные лучи

Рисунок 3.4 - Пучок света

Алгоритм построения для второго источника света (Пучок) (Рис.3.4):

1. Построение кривой. Кривая должна быть задана в параметрическом виде.

2. Задаем точку источники света.

3. Задаем прямую на которой будут располагаться координаты направляющих векторов.

4. Задаем направление вектора источника света.

5. При помощи точки и направляющего вектора вычисляем уравнение прямой.

6. Строим отрезок соединяющий точку на прямой и точку пересечения.

7. Находим нормаль.

8. Строим направление отраженной от кривой луча 9. Строим прямую, определяющую направление отраженного луча

В данном примере будем рассматривать в качестве произвольной кривой кривую второго порядка параболу.

Ее уравнение в параметрическом виде будет выглядеть следующим образом:

, (3.2)

где t-параметр.

Уравнение прямой будет выведено при помощи начальной точки и вектора направления:

, (3.3)

где k-параметр, - координата начальной точки на оси Ox, -координата начальной точки на оси Oy, -координата направления вектора на оси Ox,-координата направления вектора на оси Oy.

Для нахождения точек пересечение запишем наше уравнение в векторном виде:

, (3.4)

Затем нужно найти точки пересечения, точки пересечение получим приравняв по координатам части пар метрически заданных функций:

, (3.5)

При решении данной системы получим коэффициенты,,,. Далее нам нужно выбрать подходящие нам. Выбирать будем при помощи вычисления расстояния от точки на прямой источников света до каждой из полученных пары решений.

3.2 Построение модели каустики для плоскости, заданной в параметрическом виде

Построение каустик в пространстве производиться подобно двумерному случаю.

Алгоритм

1. Строим геометрические фигуры, с определенными ограничениями.

2. Задаем плоскость, которая будет выступать в роли источника света.

3. Задаем точку на плоскости, из которой будет исходить луч света

4. Задаем направление вектора при помощи второй точки.

5. Через начальную точку, и направление вектора находим точку пересечения луча с плоскостью.

6. Строим отрезок соединяющий точку на прямой и точку пересечения.

7. Находим нормаль.

8. Строим направление отраженного от плоскости луча.

9. Строим прямую, определяющую направление отраженного луча.

3.3 Написание программных процедур СКМ Maple Двумерный случай

Для начала задаем параметрическое уравнение кривой второго порядка:

r: = [t^2/ (2*3),t]:

Далее вводим координаты начальной точки:

x [0]: =10;

y [0]: =5;

Задаем направляющий вектор:

x_dir [0]: =-1;

y_dir [0]: =.3;

Выводим уравнение прямой, с учетом того вектор направления может быть равен нулю:

ifx_dir [0] =0 then

a: = [x [0],y_dir [0] *k+y [0]]; else

a: = [x_dir [0] *k+x [0],y_dir [0] *k+y [0]]:

endif:

Описываем уравнение наше кривой и ограничения на которых она будет строиться:

plt [01]: =plot ([op (r),t=-20.20],scaling=constrained):

Описываем точку, при помощи которой будем задавать направление

луча:

plt [02]: =point ([x [0],y [0]]):

Описываем точку, которая будет задавать направления луча света

выводим все значения, которые мы записали:

plt [03]: =point ([x [0] +x_dir [0],y [0] +y_dir [0]]):

Описываем уравнение нашей прямой и ограничения на которых она будет задаваться:

plt [04]: =plot ([op (a),k=-20.20],scaling=constrained):

Выводим все значения, которые мы получили (Рис.3.4):

display ([plt [01],plt [02],plt [03],plt [04]],scaling=constrained,axes=none);

Рисунок 3.4 - Построение кривой, начальной точки, и вектора направления

Следующим шагом записываем систему уравнений, для нахождения точки падения луча:

tmp1: =solve (eq,{t,k});

Находим точки пересечения прямой и кривой:

y [1]: =rhs (tmp1 [1] [2]):

x [1]: =subs (t=rhs (tmp1 [1] [2]),r [1]):

y [2]: =rhs (tmp1 [2] [2]):

x [2]: =subs (t=rhs (tmp1 [2] [2]),r [1]):

Рассчитываем расстояние между корнями получившихся уравнений и начальной точкой:

per1: =sqrt ( (x [1] - x [0]) ^2+ (y [1] - y [0]) ^2):

per2: =sqrt ( (x [2] - x [0]) ^2+ (y [2] - y [0]) ^2):

Выбираем подходящую нам точку при помощи задания условия:

if evalf (sqrt ( (x [1] - x [0]) ^2+ (y [1] - y [0]) ^2)) < (sqrt ( (x [2] - x [0]) ^2+ (y [2] - y [0]) ^2)) then

x [11]: =x [1]

else x [11]: =x [2]

end if;

if evalf (sqrt ( (x [1] - x [0]) ^2+ (y [1] - y [0]) ^2)) < (sqrt ( (x [2] - x [0]) ^2+ (y [2] - y [0]) ^2)) then

y [11]: =y [1]

else y [11]: =y [2]

end if;

Для вычисления касательной находим производную:

dr: =diff (r,t);

Находим касательную:

kas: =evalf (subs (t=y [11],dr));

Задаем условие для вывода нормали и выводим нормаль:

norm1: = [kas [2],-kas [1]];

if norm1 [1] * (x [0] - x [11]) +norm1 [2] * (y [0] - y [11]) <0

then norm1: = [-kas [2],kas [1]];

end if;

Описываемточку определяющую вектор нормали:

plt [07]: =point ([x [11] +norm1 [1],y [11] +norm1 [2]]):

Выводим все значения, которые мы получили (Рис.3.5):

display ([plt [01],plt [02],plt [04],plt [07]],scaling=constrained,axes=none);

Рисунок 3.5 - Построение кривой, начальной точки, точки пересечения и направления нормали

По ранее выведенным формулам находим поэтапно вектор отражения.

Первым этапом находим отношение скалярного произведения вектора направления и вектору нормали к скалярному произведению вектора нормали самого на себя:

n1: = (x_dir [0] *norm1 [1] +y_dir [0] *norm1 [2]) / (norm1 [1] *norm1 [1] +norm1 [2] *norm1 [2]):

Затем находим удвоенное произведение вектора нормали на получившуюся константу n1:

n2: = [norm1 [1] *2*n1,norm1 [2] *2*n1]:

Вычитаем из вектора направления вектор n2:

l: = [x_dir [0] - n2 [1],y_dir [0] - n2 [2]]:

Получившийся вектор l и будет вектором отражения. Запишем уравнение отражённой прямой:

lk: =solve ( (x-x [11]) /l [1] = (y-y [11]) /l [2],y);

Описываем уравнение отраженной прямой:

plt [08]: =plot (lk,x=x [11] - 5. x [11],scaling=constrained):

Выводим все значения которые мы получили (Рис.3.6):

display ([plt [01],plt [02],plt [04],plt [05],plt [08]],scaling=constrained,axes=none);

Рисунок 3.6 - Построение кривой, начальной точки, и вектора направления

Далее пишем процедуру для некоторого количества лучей.

Для начала зададим входные параметры: кривую в параметрическом виде и ограничения для нее:

r1: = [t^2/ (2*60),t]:

t1: =-10:

t2: =10:

1) Затем перейдем к первой процедуре.

Первая процедура будет заполнять заданный нами массив определенными значениями.

В данной процедуре будут заполняться только две точки, первая из которых является начальной, а вторая характеризует вектор направления:

prbRefLines: =proc (L,h,d1,d2,N)

global Line_, r1;

local dh,dir, i;

dir: = [d1,d2]:

dh: = (h/N):

for i from 1 to N do

Line_ [i]: = [[L,-h/2+ (i-1) *dh],dir, [0,0], [0,0]];

enddo:

endproc:

2) Вторая процедура будет считать точку пересечения и точку характеризующую вектор направления луча отражения:

prbRefArray: =proc (L,N)

global Line_, r1:

local dir_,x,y,a_,tmp1,kas,per1,per2,norm,l,n1,n2,k, i,dr;

# вектор направления

for i from 1 to N do

# расчет пересечения:

a_: = [k*Line_ [i] [2] [1] +Line_ [i] [1] [1],k*Line_ [i] [2] [2] +Line_ [i] [1] [2]]:

if Line_ [i] [2] [1] =0 then

a_: =x=Line_ [i] [1] [1]:

else

a_: = [k*Line_ [i] [2] [1] +Line_ [i] [1] [1],k*Line_ [i] [2] [2] +Line_ [i] [1] [2]]:

end if:

solve ({r1 [1] =a_ [1],r1 [2] =a_ [2] },{t,k}):

tmp1: =solve ({r1 [1] =a_ [1],r1 [2] =a_ [2] },{t,k}):

y [1]: =rhs (tmp1 [1] [2]):

x [1]: =subs (t=rhs (tmp1 [1] [2]),r1 [1]):

y [2]: =rhs (tmp1 [2] [2]):

x [2]: =subs (t=rhs (tmp1 [2] [2]),r1 [1]):

per1: =evalf (sqrt ( (x [1] - Line_ [i] [1] [1]) ^2+ (y [1] - Line_ [i] [1] [2]) ^2)):

per2: =evalf (sqrt ( (x [2] - Line_ [i] [1] [1]) ^2+ (y [2] - Line_ [i] [1] [2]) ^2)):

if evalf (sqrt ( (x [1] - Line_ [i] [1] [1]) ^2+ (y [1] - Line_ [i] [1] [2]) ^2)) <evalf (sqrt ( (x [2] - Line_ [i] [1] [1]) ^2+ (y [2] - Line_ [i] [1] [2]) ^2)) then

Страница:


Подобные документы

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.

© 2000 — 2023, ООО «Олбест» Все права защищены