Рассеяние рентгеновских лучей на молекулах фуллерена

A1 f() cos(t - kL+ 0) (3.23)

Другие вторичные волны создадут колебания с той же частотой (3.21), но отличающиеся от функции (3.23) сдвигом фазы, который в свою очередь, зависит от разности хода вторичных волн.

Для системы плоских когерентных монохроматических волн, движущиеся в определенном направлении, относительный сдвиг фаз прямо пропорционален разности хода L

= kL(3.24)

где k - волновое число

k = 2?/. (3.25)

Для расчета разности хода вторичных волн (3.23) сначала предположим, что облучаемый образец представляет собой одномерную цепочку атомов, расположенных вдоль оси координат Ox (см. рис.3.9). Координаты атомов заданы числами xi, (j = 0, 1, …, N-1), где x0 = 0. Поверхность постоянной фазы первичной плоской волны параллельна цепочке атомов, а волновой вектор k0 - перпендикулярен ей.

Будем рассчитывать плоскую дифракционную картину, т.е. угловое распределение интенсивности рассеянного излучения в плоскости, изображенной на рис.3.9. В этом случае, ориентация месторасположения детектора (иначе говоря, направление вспомогательной оси Or) задается углом рассеяния, который отсчитывается от оси Oz, т.е. от направления волнового вектора k0 первичной волны.

25

Рис.3.9. Геометрическая схема дифракции Фраунгофера в заданной плоскости на прямолинейной цепочке атомов

Без потери общности рассуждений можно полагать, что все атомы расположены на правой полуоси Ox. (кроме атома находящегося в центре координат).

Так как выполнены условия дифракции Фраунгофера, то волновые векторы всех волн, рассеянных атомами, приходят во входное окно детектора с параллельными волновыми векторами k.

Из рис.3.9 следует, что волна, испущенная атомом с координатой xi проходит расстояние до детектора L - xi sin(). Следовательно, колебание чувствительного элемента детектора, вызванного вторичной волной, испущенной атомом с координатой xi, описывается функцией

A1 f() cos(t - k(L- xj sin()) + 0) (3.26)

Аналогичный вид имеют остальные рассеянные волны, попадающие в окно детектора, находящегося в заданном положении.

Величина начальной фазы 0 определяется, в сущности, моментом начала отсчета времени. Ничто не мешает выбрать величину 0 равным -kL. Тогда движение чувствительного элемента детектора, представится суммой

(3.27)

Это означает, что разность хода волн, рассеянных атомами с координатами xi и x0 составляет -xi sin(), а соответствующая разность фаз равна k xi sin().

Частота колебаний электромагнитных волн рентгеновского диапазона очень велика. Для рентгеновских лучей с длиной волны = A частота по порядку величины составляет 1019 сек1. Современная аппаратура не может измерить мгновенные значения напряженностей электрического и магнитного полей (1) при столь быстрых изменениях полей, поэтому все детекторы рентгеновского излучения регистрируют среднее значение квадрата амплитуды электромагнитных колебаний.

Регистрируемая интенсивность рентгеновских лучей, рассеянных атомами облучаемого образца, представляет собой квадрат амплитуды суммарного колебания (11). Для вычисления этой величины целесообразно воспользоваться методом комплексных амплитуд. Каждое слагаемое суммы (11) запишем в комплексной форме

A1 f exp [i(t - j)] (3.28)

где i - мнимая единица, j - сдвиг фазы, равный в рассматриваемой физической картине kxj sin().

Выражение (12) перепишем в виде

A1 f eit e-ij (3.29)

Сомножитель, зависящий от времени, описывает колебания электромагнитного поля с частотой . Модуль этой величины равен единице. Как следствие, комплексная амплитуда электромагнитного колебания, выраженного функцией (12) имеет вид:

A1 f exp [-ij] (3.30)

Комплексная амплитуда суммарного колебания, регистрируемого детектором равна сумме величин (3.30), причем суммирование проводится по всем центрам рассеяния - т.е. по всем атомам облучаемого образца. Квадрат реальной части указанной суммы определяет регистрируемую интенсивность рассеянного рентгеновского излучения

(3.31)

с точностью до аппаратурного коэффициента (сомножителя, определяемого характеристиками регистрирующей аппаратуры).

Интенсивность (3.31) является функцией полярного угла и описывает в плоскости xoz угловое распределение рентгеновских лучей, рассеянных цепочкой атомов, расположенных вдоль оси ox.

Теперь рассмотрим рассеяние рентгеновских лучей на конечном множестве атомов, находящихся в одной плоскости. Пусть на эту систему атомов падает плоская рентгеновская волна с волновым вектором k0, перпендикулярным плоскости атомов.

Свяжем с данной физической системой оси декартовых координат. Ось oz направим вдоль вектора k0, а оси ox и oY расположим в плоскости атомов. Положение каждого атома задается двумя координатами xj и yj, где j = 0, … N - 1. Пусть начало координат совмещено с центром одного из атомов, который имеет номер j = 0.

Рассмотрим рассеяние рентгеновских лучей в полупространство z > 0. При этом можно полагать, что детектор перемещается по полусфере определенного радиуса R, который много больше размера облучаемого образца. Направление на детектор в условиях дифракции Фраунгофера совпадает с волновыми векторами k рассеянных волн, приходящих во входное окно детектора. Это направление характеризуется двумя углами: полярным , который откладывается от оси oz (как на рис.3.9 и 3.10), и азимутом Ф, который отсчитывается от оси ox в плоскости xoY (см. рис.3.10). Иначе говоря, - угол между волновыми векторами первичной k0 и рассеянной k волн. Азимут Ф представляет собой угол между осью OX и проекцией вектора k на плоскость XOY.

Как и предыдущем случае одномерной цепочки атомов, амплитуда суммарного колебания, регистрируемая детектором определяется относительными сдвигами фаз когерентных волн, рассеянных отдельными атомами. Сдвиг фаз рассеянных волн связан с разностью хода соотношением (3.24), как и в выше рассмотренном случае.

Найдем разность хода между волнами, рассеянными атомами с координатами (x0=0, y0=0) и (x, y) в направлении, заданном волновым вектором k (т.е. определенными углами и Ф). Проведем вспомогательную ось OU вдоль проекции вектора k на плоскость XOY (см. рис.3.10).



Рис.3.10. К расчету разности хода вторичных волн, рассеянных на плоской системе атомов в условиях дифракции Фраунгофера.

Точка F на оси OU - проекция центра j-го атома. Длина отрезка OF равняется x cos(Ф) + y sin(Ф), что можно получить преобразованием координат или геометрическим построением. Проекция отрезка OF на направление волнового вектора k дает искомую разность хода - длину отрезка OG, равную

l = [x cos(Ф) + y sin(Ф)] sin(). (3.32)

Следовательно, сдвиг фаз вторичных волн, рассеянными атомами с координатами (x0=0, y0=0) и (xj, yj) в направлении, заданном определенными углами и Ф, равняется

j = k [xj cos(Ф) + yj sin(Ф)] sin(). (3.33)

Регистрируемая интенсивность рассеянного рентгеновского излучения выражается формулой, аналогичной (3.31):

(3.34)

Наконец, рассмотрим дифракцию Фраунгофера рентгеновских лучей на трехмерном объекте. Воспользуемся системой декартовых координат, использованной в предыдущей задаче. Отличие физической картины от предыдущей заключается лишь в том, что центры некоторых атомов имеют координаты zj 0.

Поверхность постоянной фазы первичной плоской монохроматической волны достигает центров рассеяния с различными координатами z 0 в разные моменты времени. Как следствие, начальная фаза волны, рассеянной атомом с координатой z 0 будет отставать от фазы волны, рассеянной атомом с координатой z = 0, на величину t, где t = z / v, v - скорость распространения волны. Частота и длина волны связаны соотношением

= 2v / (3.35)

следовательно, сдвиг фазы рассеянной волны равняется 2z / или kz.

С другой стороны, если координата j-го атома zj 0, разность хода относительно «нулевой» рассеянной волны дополнительно увеличивается на величину z cos(). В результате, сдвиг фазы волны, рассеянной атомом с произвольными координатами (xj, yj, zj) в направлении, заданном углами и Ф, равен

j = k { [xj cos(Ф) + yj sin(Ф)] sin() + zj cos() zj}. (3.36)

Интенсивность рассеянных рентгеновских лучей, регистрируемая детектором, выражается следующей формулой:

(3.37)

3. Практическая часть

3.1. Псевдосимметрия

3.1.1. Поворотная псевдосимметрия дифракционных картин

Симметрией называется инвариантность физической или геометрической системы по отношению к различного рода преобразованиям.

Различные типы симметрии определяются преобразованиями, относительно которых инвариантна данная система. Существует симметрия трансляционная, поворотная, симметрия подобия и т.д.

Симметрия представляет собой одно из фундаментальных свойств Вселенной. Даже основные законы физики: сохранения энергии, импульса и момента импульса связаны с определенными симметрическими преобразованиями пространственно-временного континуума.

Конкретное преобразование, относительно которого инвариантна данная система, называется операцией симметрии. Множество точек, остающихся неподвижными при симметрическом преобразовании, образуют элемент симметрии. Например, если операцией симметрии является поворот, то соответствующим элементом симметрии будет ось, вокруг которой совершается поворот.

Симметрия конечных физических систем, элементы симметрии которых пересекаются хотя бы в одной точке, называется точечной. К точечной симметрии относятся инвариантность относительно поворота на определенный угол (поворотная симметрия), инвариантность относительно отражения в определенной плоскости (зеркальная симметрия), инвариантность относительно инверсии в заданной точке (инверсионная симметрия).

Симметрия подавляющего большинства физических объектов не является абсолютной. Это означает, что физическая или геометрическая система не полностью инвариантна относительно рассматриваемого преобразования.

Для количественного описания отклонений от точной симметрии используется функционал, называемый степенью инвариантности или коэффициентом псевдосимметрии.

Пусть какая-либо физическая характеристика исследуемого объекта описывается функцией точки . Этой функцией может быть массовая плотность, температура электрический потенциал, плотность электрического заряда и т.д. Нас симметрия данного объекта относительно преобразования, которое задано некоторой операцией . Тогда степень инвариантности определяется следующей формулой (4.1), где V - объем объекта. Под интегралом в числителе находится произведение функции на функцию того же объекта, подвергнутого преобразованию . Числитель называется сверткой функции относительно операции . В знаменателе стоит определенный интеграл по объему объекта от квадрата функции .

(4.1)

Знаменатель формулы (4.1) служит нормировкой, поэтому величина функционала может изменяться от 0 до 1. Если рассматриваемая физическая система полностью инвариантна относительно операции , то коэффициент псевдосимметрии равен единице. Значение = 0 соответствует случаю, когда симметрия системы относительно операции полностью отсутствует.

Понятие степени инвариантности можно распространить и на описание симметрии углового распределения интенсивности рассеянных рентгеновских лучей. В первую очередь, нас интересует инвариантность дифракционных картин относительно поворота на определенный азимутальный угол вокруг точки, соответствующей полярному углу = 0. Иначе говоря, целью исследования является поворотная симметрия углового распределения интенсивности рассеянных рентгеновских лучей, причем поворот осуществляется вокруг волнового вектора k0 первичного излучения.

Для изучения особенностей поворотной симметрии дифракционных картин можно адаптировать функционал общего вида (1). Исследуемой функцией в данном случае является угловое распределение интенсивности рассеянных рентгеновских лучей I(, Ф), а операцией симметрии - поворот дифракционной картины на азимутальный угол вокруг центральной точки картины с полярным углом = 0. Таким образом, количественной характеристикой поворотной симметрии дифракционной картины является следующий функционал:

(4.2)

Внутренние интегралы берутся по диапазону азимутального угла Ф [0, 2?], а внешние интегралы по диапазону полярного угла [0, ?/2].

Следует обратить внимание на некоторые важные особенности всех дифракционных картин. На рис.4.1. видно, что в центре полярной диаграммы находится центральный максимум интенсивности рассеянного излучения. Этот максимум имеет высокую симметрию, близкую к симметрии предельной группы С. В угловом распределении рассеянного излучения центральный максимум занимает некоторый интервал полярных углов [0, C]. Полуширина центрального максимума существенно зависит от длины волны рентгеновских лучей и количества рассеивающих атомов.

Также весьма важно, что интенсивность центрального максимума значительно превышает интенсивность всех остальных точек двумерного угловом распределении рассеянного рентгеновского излучения. Напротив, с ростом полярного угла интенсивность рассеянного излучения в среднем резко падает. Это означает, что периферийная область дифракционной картины (область полярных углов превышающих некоторое значение M) практически не влияет на величину коэффициента поворотной псевдосимметрии (4.2).

Как следствие, в степень инвариантности (4.2) основной вклад дает центральный максимум. Иначе говоря, высокая симметрия центрального максимума подавляет симметрийные особенности всех остальных характерных особенностей дифракционной картины.

Для детального исследования поворотной псевдосимметрии угловом распределении рассеянного рентгеновского излучения целесообразно вычислять функционалы следующего вида:

(4.3)

Внешние интегралы по полярному углу имеют пределы, которые может задавать исследователь, что позволяет изучать поворотную псевдосимметрию в различных интервалах полярного угла. Иначе говоря, величины типа (4.3) дают количественные оценки поворотной псевдосимметрии дифракционной картины внутри кольца, заданного парой полярных углов 1 и 2. (см. рис.4.1).

Естественно разбить диапазон полярных углов [0, ?/2] на поддиапазоны определенной ширины = 2 1 и провести вычисления коэффициентов псевдосимметрии для всех таких поддиапазонов.



Рис.4.1. Кольцо на полярной диаграмме дифракционной картины, ограничивающее диапазон полярных углов [1, 2].

Выше было указано, что при компьютерном моделировании углового распределения интенсивности рассеянных рентгеновских лучей функция I(, Ф) представляется двумерным множеством числовых значений I(l, m) для конечных дискретных наборов углов l = l , l=1,…n; Фm = m Ф, m =1,…nФ. Следовательно, при вычислении коэффициентов псевдосимметрии по результатам расчета углового распределения интенсивности рассеянных рентгеновских лучей двойные интегралы в выражении (4.2) превращаются в двойные суммы

Если нас интересует усредненная поворотная псевдосимметрия всей дифракционной картины, то степень инвариантности следующей формулой:

(4.4)

Если же мы хотим исследовать поворотную псевдосимметрию в различных поддиапазонах полярного угла (см. рис.4.1), то необходимо вычислять отношение сумм для соответствующих интервалов типа (4.3). Тогда коэффициенты псевдосимметрии представятся в виде:

(4.5)

где индексы l1 и l2 соответствуют значениям полярных углов 1 и 2

1 = l1 , 2 = l2 . (4.6)

Задавая определенные значения угла поворота можно вычислять коэффициенты псевдосимметрии дифракционных картин для поворотов различных порядков. Если нас интересует поворотная псевдосимметрия n-го порядка, то угол поворота выражается соотношением.

n = 2 / n. (4.7)

Величину (4.7) далее будем называть углом поворота n-го порядка.

3.1.2. Компьютерное моделирование рассеяния рентгеновских лучей на молекулах и фрагментах кристаллических структур

В настоящей работе проводился расчет характеристик рентгеновского излучения, рассеянного конечным множеством атомов в условиях дифракции Фраунгофера. Первичное рентгеновское излучение представлялось плоской монохроматической волной с определенным волновым вектором k0 и длиной волны .

Угловое распределение интенсивности рентгеновских лучей, рассеянных на конечном множестве атомов, представляется функцией I(, Ф), зависящей от двух углов - полярного и азимутального Ф. Углы и Ф определяют направление на детектор рассеянных рентгеновских лучей, которое в условиях дифракции Фраунгофера совпадает с волновым вектором k рассеянной рентгеновской волны.

Полярный угол отсчитывается от направления волнового вектора k0 первичной рентгеновской волны. Азимутальный угол Ф откладывается в плоскости, перпендикулярной вектору k0. Азимут Ф представляет собой угол между проекцией волнового вектора k рассеянной волны на эту плоскость и произвольно выбранной азимутальной оси.

Набор значений функции I(, Ф) для всевозможных значений аргументов и Ф часто называется дифракционной картиной.

В нашей задаче рассматривается рассеяние рентгеновских лучей в «переднюю» полусферу. Следовательно, полярный угол принадлежит диапазону [0, ?/2],. Азимутальный угол Ф принимает значения в интервале [0, 2?).

В качестве рассеивателей рассматривались молекулы и небольшие фрагменты кристаллов, т.е. трансляционно упорядоченных атомных структур. Месторасположение всех атомов задавалось с помощью декартовой системы координат, ось Z которой совмещалась по направлению с волновым вектором k0.

Так как задача решалась в рамках приближения дифракции Фраунгофера, то интенсивность рассеянного рентгеновского излучения представлялась формулой (3.37).

Алгоритм расчета углового распределения интенсивности рентгеновского излучения в условиях дифракции Фраунгофера был реализован в виде оригинальной компьютерной программы на алгоритмическом языке Object Pascal, разработанной в интегрированной среде Delphi-7.

Программа позволяет задавать значения химического номера атомов (для расчета функции атомного фактора), длины волны рентгеновских лучей.

Координаты центров атомов облучаемых объектов (т.е. рассеивателей) предварительно записывались во внешние файлы. В программе предусмотрена возможность выбора облучаемого объекта из заданного набора рассеивателей.

Так как в качестве рассеивающих объектов используются как молекулы, так и фрагменты кристаллов, то входными параметрами программы также являются кристаллохимические радиусы атомов и радиусы сферически симметричных молекул (кластеров).

Для расчета дифракционной картины диапазоны полярного и азимутального Ф углов разбиты на интервалы и Ф соответственно, количество которых задается пользователем. Для каждого интервала задано значение угла, согласно следующим формулам:

l = l ,l=1,…n, Фm = m Ф, m =1,…nФ,(4.8)

где nl и nm - количество интервалов разбиения полярного и азимутального углов соответственно.

Числа nl и nm связаны с длинами интервалов и Ф следующими соотношениями:

n = (?/2) / и nФ = 2? / (4.9)

Таким образом компьютерная программа позволяет рассчитать угловое распределение интенсивности рассеянных рентгеновских лучей в виде двумерного массива значений

Il,m = I(l, m). (4.10)

Величины и Ф определяют дискретность расчета дифракционной картины.

Аргументы функции углового распределения интенсивности рентгеновского излучения (4.10), рассеянного исследуемым образцом, т.е. значения углов l и m (l = 1, …, n; m =1,…nФ), представляют собой точки на полусфере.

Моделирующая программа визуализирует рассчитанное угловое распределение интенсивности рассеянного рентгеновского излучения Ii,j в виде двумерной (плоской) полярной диаграммы дифракционной картины. Полярный угол откладывается по радиусу от центра картины, азимутальный угол Ф - по дуге окружности против часовой стрелки.

Величина интенсивности рассеянного излучения I(l, m) представляется различным цветом и оттенками. В данной программе используются пять основных цветов: коричневый, красный, желтый, бирюзовый и синий. Коричневый цвет отвечает максимальной интенсивности излучения, темно-синий - минимальной. Переход от одного основного цвета к следующему соответствует изменению интенсивности рассеянного излучения на порядок (т.е. в 10 раз).

Все рассчитанные угловые распределения интенсивности рассеянного рентгеновского излучения нормируются на интенсивность центрального максимума.

а б

Рис.4.1. Дифракционные картины рентгеновских лучей, рассеянных молекулой фуллерена C60.

Длина волны рентгеновского излучения а) = 1,54 A, б) = 0,71 A.

Ось симметрии 5-го порядка молекулы C60 параллельна волновому вектору k0 первичной рентгеновской волны.

а б

Рис.4.2. Дифракционные картины рентгеновских лучей, рассеянных атомными кластерами.

а) икосаэдрический кластер, состоящий из атомов бора, ось симметрии 3-го порядка параллельна волновому вектору k0

б) остаэдрический кластер, состоящий из атомов кремния, ось симметрии 4-го порядка параллельна волновому вектору k0

Длина волны рентгеновского излучения = 0,71 A.

На рис.4.1. - 4.2. приведены примеры полярных диаграмм углового распределения интенсивности рассеянных рентгеновских лучей для разных рассеивателей и длин волн рентгеновского излучения.

На всех полярных диаграммах углового распределения интенсивности рассеянных рентгеновских лучей в центре дифракционной картины (т.е. в окрестностях полярного угла = 0) расположен центральный дифракционный максимум, интенсивность которого пропорциональна квадрату количества атомов рассеивающего образца.

Компьютерное моделирование рассеяния рентгеновских лучей позволило установить, что поворотная симметрия дифракционной картины соответствует точечной симметрии атомного кластера. Точнее говоря, если ось симметрии n-го порядка атомного кластера параллельна волновому вектору k0 первичной рентгеновской волны, то дифракционная картина обладает поворотной симметрией n-го порядка относительно центра картины, т.е. точки с = 0.

Дифракционные картины рентгеновских лучей, рассеянных на фрагментах кристаллов, состоящих из многоатомных молекул, имеют более сложный вид. На рисунках 4.3. - 4.5. приведены некоторые характерные примеры.

аб

Рис.4.3. Дифракционная картина рентгеновских лучей, рассеянных фрагментом примитивной кубической решетки, содержащей в узлах молекулы фуллерена C60.

Рассеивающий фрагмент содержит 8 молекул фуллерена C60.

Длина волны рентгеновского излучения а) = 1,54 A, б) = 0,71 A.

Оси симметрии 5-го порядка молекул C60 параллельны волновому вектору k0 первичной рентгеновской волны.

аб

Рис.4.4. Дифракционная картина рентгеновских лучей, рассеянных фрагментом примитивной кубической решетки, содержащей в узлах молекулы фуллерена C60.

Рассеивающий фрагмент содержит 27 молекул фуллерена C60.

Длина волны рентгеновского излучения а) = 1,54 A, б) = 0,71 A.

Оси симметрии 5-го порядка молекул C60 параллельны волновому вектору k0 первичной рентгеновской волны.

…

аб

Рис.4.5. Дифракционная картина рентгеновских лучей, рассеянных фрагментом гранецентрированной кубической решетки, содержащей в узлах молекулы фуллерена C60.

Рассеивающий фрагмент содержит 14 молекул фуллерена C60.

Длина волны рентгеновского излучения а) = 1,54 A, б) = 0,71 A.

Оси симметрии 5-го порядка молекул C60 параллельны волновому вектору k0 первичной рентгеновской волны.

Легко видеть, что дифракционные картины рентгеновских лучей, рассеянных фрагментами кристаллов, вообще говоря, теряют поворотную симметрию свойственную отдельным молекулам или атомным кластерам.

Для исследования симметрийных особенностей дифракционных картин типа представленных на рис.4.3. - 4.5. целесообразно использовать расчеты поворотной псевдосимметрии.

3.1.3. Псевдосимметрия дифракционных картин рассеяния рентгеновских лучей на фрагментах кристаллов фулеритов

Согласно методике, изложенной в предыдущем разделе, были проведены анализ степени инвариантности дифракционных картин, полученных при рассеянии рентгеновских лучей на молекулах фуллеренов С60 и на фрагментах кристаллов фулеридов.

Расчеты коэффициентов псевдосимметрии проводились отдельно для поддиапазонов полярного угла шириной = 5 (5 угловых градусов). Вычисления были сделаны для двух различных длин волн первичного рентгеновского излучения = 0,71 A и = 1,54 A, что соответствует характеристическим линиям К-альфа молибдена и меди.

Степень инвариантности дифракционных картин была рассчитаны, в первую очередь, для порядков поворота n = 2, 3, 4, 5; иначе говоря, для углов поворота полярной диаграммы n = 180, 120, 90, 72.

Пример полученных результатов приведен на рис.4.2.

Рис.4.2. Гистограмма коэффициентов поворотной псевдосимметрии дифракционных картин, полученных при рассеянии рентгеновских лучей с диной волны = 0,71 на молекуле фуллерена С60.

По вертикали отложены значения степени инвариантности , по горизонтали - порядковые номера поддиапазонов полярного угла шириной = 5. Ось симметрии 5-го порядка молекулы C60 параллельна волновому вектору k0 первичной рентгеновской волны.

На рис.4.2. видно, что коэффициент поворотной псевдосимметрии равен единице во всех поддиапазонах полярного угла. Если порядок поворота дифракционной картины совпадает с порядком оси симметрии облучаемого объекта, вдоль которой направлен волновой вектор k0 первичной рентгеновской волны. Это характерная особенность наблюдается для атомных кластеров любой точечной симметрии.

Кристаллы фуллеридов состоят из отдельных молекул фуллеренов (рис.4.3), которые образуют трансляционно упорядоченную пространственную структуру.

Рис. 4.3. Молекула фуллерена

В настоящей работе были проведены расчеты коэффициентов поворотной псевдосимметрии дифракционных картин, формируемых при рассеянии рентгеновских лучей на небольших кубических фрагментов кристаллов, состоящих из молекул фуллеренов С60. На рис.4.4. - 4.5. приведены сравнительные гистограммы поворотной псевдосимметрии дифракционных картин для порядков поворота n = 4 и n = 5, полученных при рассеянии рентгеновских лучей на кристаллических фрагментах, содержащих различное количество молекул С60 (и следовательно, различное число атомов).

Для сравнения на рис.4.4. представлены гистограммы для одной молекулы фуллерена С60, рассчитанные при идентичных условиях и параметрах.

Рис.4.4. Гистограмма коэффициентов поворотной псевдосимметрии дифракционных картин, полученных при рассеянии рентгеновских лучей с длиной волны = 0,71 A на молекуле фуллерена С60.

По вертикали отложены значения степени инвариантности , по горизонтали - порядковые номера поддиапазонов полярного угла шириной = 15. Оси симметрии 5-го порядка молекул C60 параллельны волновому вектору k0 первичной рентгеновской волны.

А

б

Рис.4.5. Гистограммы коэффициентов поворотной псевдосимметрии дифракционных картин, полученных при рассеянии рентгеновских лучей с длиной волны = 0,71 A на фрагменте кубической примитивной решетки, в узлах которой расположены молекулы фуллерена С60.

По вертикали отложены значения степени инвариантности , по горизонтали - порядковые номера поддиапазонов полярного угла шириной = 15. Оси симметрии 5-го порядка молекул C60 параллельны волновому вектору k0 первичной рентгеновской волны.

Число молекул фрагмента а) NМ = 8, б) NМ = 27.

а

б

Рис.4.6. Гистограммы коэффициентов поворотной псевдосимметрии дифракционных картин, полученных при рассеянии рентгеновских лучей с длиной волны = 0,71 A на фрагменте кубической гранецентрированной решетки, в узлах которой расположены молекулы фуллерена С60.

По вертикали отложены значения степени инвариантности , по горизонтали - порядковые номера поддиапазонов полярного угла шириной = 15. Оси симметрии 5-го порядка молекул C60 параллельны волновому вектору k0 первичной рентгеновской волны.

Число молекул фрагмента а) NМ = 14, б) NМ = 63.

Сравнение рисунков 4.4. и 4.5, а также 4.4. и 4.6. ясно демонстрирует, что с увеличением количества молекул (и атомов) в кристаллическом фрагменте величина коэффициента поворотной псевдосимметрии 5-го порядка уменьшается во всех поддиапазонах полярного угла. Это объясняется тем, что кубические фрагменты структуры трансляционно упорядоченных молекул фуллерена не обладают поворотной симметрией 5-го порядка.

С другой стороны, на рис.4.4. 4.6. видно, что с ростом количества молекул увеличивается коэффициент поворотной псевдосимметрии 4-го порядка из-за возрастания количества рассеивающих объектов, находящихся в узлах примитивной кубической кристаллической решетки. Таким образом, в дифракционных картинах точечная симметрия кристаллической решетки превалирует над точечная симметрией отдельных атомных кластеров, расположенных в узлах решетки, даже если все кластеры имеют одинаковую ориентацию.

Указанные тенденции наблюдаются на фрагментах как примитивной, так и гранецентрированной кубической кристаллической решетки.

Далее приводятся результаты аналогичных расчетов коэффициента поворотной псевдосимметрии для длины волны рентгеновского излучения = 1,54 A.

Рис.4.7. Гистограмма коэффициентов поворотной псевдосимметрии дифракционных картин, полученных при рассеянии рентгеновских лучей с длиной волны = 1,54 A на молекуле фуллерена С60.

По вертикали отложены значения степени инвариантности , по горизонтали - порядковые номера поддиапазонов полярного угла шириной = 15. Оси симметрии 5-го порядка молекул C60 параллельны волновому вектору k0 первичной рентгеновской волны.

а

б

Рис.4.8. Гистограммы коэффициентов поворотной псевдосимметрии дифракционных картин, полученных при рассеянии рентгеновских лучей с длиной волны = 1,54 A на фрагменте кубической примитивной решетки, в узлах которой расположены молекулы фуллерена С60.

По вертикали отложены значения степени инвариантности , по горизонтали - порядковые номера поддиапазонов полярного угла шириной = 15. Оси симметрии 5-го порядка молекул C60 параллельны волновому вектору k0 первичной рентгеновской волны.

Число молекул фрагмента а) NМ = 8, б) NМ = 27.

а

б

Рис.4.9. Гистограммы коэффициентов поворотной псевдосимметрии дифракционных картин, полученных при рассеянии рентгеновских лучей с длиной волны = 0,71 A на фрагменте кубической гранецентрированной решетки, в узлах которой расположены молекулы фуллерена С60.

По вертикали отложены значения степени инвариантности , по горизонтали - порядковые номера поддиапазонов полярного угла шириной = 15. Оси симметрии 5-го порядка молекул C60 параллельны волновому вектору k0 первичной рентгеновской волны. Число молекул фрагмента а NМ = 14, б NМ = 63.

Из сравнения рисунков 4.7-4.9. следуют те же выводы о подавлении точечной симметрии атомных кластеров точечной симметрия кристаллической решетки с возрастанием количества атомов кристаллического фрагмента (количества кластеров, расположенных в узлах кристаллической решетки). Эти выводы подтверждаются расчетами для примитивной и гранецентрированной кубической кристаллической решетки.

4. Выводы

1. Разработан алгоритм и компьютерная программа расчета углового распределения интенсивности рентгеновского излучения, рассеянного фрагментом атомной структуры в условиях дифракции Фраунгофера.

2. С помощью программы выполнены расчеты дифракционных картин, полученных при рассеянии рентгеновских лучей разных длин волн на молекулах фуллерена и фрагментах кубических структур фуллеритов.

3. Проведены исследования поворотной псевдосимметрии дифракционных картин для вышеуказанных рассеивателей. Обнаружена тенденция подавления точечной симметрии отдельных молекул симметрией кристаллической решетки.

5. Список используемой литературы

Чупрунов Е.В., Хохлов А.Ф., Фаддеев М.А. Кристаллография. М.: Издательство Физико-математической литературы, 2000.496 с.

Иванов Б.Н. Законы физики. М.: Высшая школа, 1986.335 с.

Иванов А.И., Минькова Р.Д., Панаиоти Н.Н. физика 9 класс. Часть I. М.: 2002.128 с.

Мякишев Г.Я. Синяков А.З. Физика. Колебания и волны. М.: Дрофа, 2007.287 с.

Потапов М.К., Александров В.В., Пасиченко П.И. Алгебра и анализ элементарных функций. Справочное пособие. М.: АО «СТОЛЕТИЕ», 1996.736 с.

Чупрунов Е.В., Сафьянов., Головачев В.П., Фаддеев М.А., Хохлов А.Ф. Задачи по кристаллографии. М.: Издательство Физико-математической литературы 2003. 208 с.

Бытько Н.Д. Физика. ч.1 и 2. М.: Высшая школа. 1972.336 с.

Ф. Крауфорд. Волны. 1965г.529с.

Горелик Г.С. Колебания и волны. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1959г.572с.

6. Приложения

6.1. Приложение 1. Комплексные числа

6.1.1. Определение комплексного числа

При рассмотрении действительных чисел оказалось, что нельзя найти такое число, квадрат которого равен (-1). Для того чтобы задачи с использованием этого числа были разрешимы, вводится понятие комплексного числа.

Комплексное число представляет собой выражение вида a + bi, где a и b - действительные числа, а число i представляет собой . С комплексными числами, как и с действительными, можно проводить математические операции:

Выражения a + bi и c + di называют равными, только в том случае, когда одновременно выполняются два равенства a = c и b = d.

Суммой двух комплексных чисел a + bi и c + di называют комплексное число вида (a + c) + (b + d) i.

Произведением двух комплексных чисел a + bi и c + di называют комплексное число вида (ac - bd) + (ad + bc) i.

Часто комплексное число обозначают одной буквой, например.

Если комплексное число z умножить само на себя n раз (n?2), то это произведение называют степенью комплексного числа, кроме того, z1 = z.

Раз комплексные числа можно складывать и умножать между собой, значит, среди комплексных чисел действуют и основные законы сложения и умножения: коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность умножения относительно сложения.

Для умножения и сложения комплексных чисел существуют и обратные операции:

Разностью комплексных чисел z1 и z2 называют такое число z3, которое в сумме с z2 даёт z1.

Частным комплексных чисел z1 и z2 называют такое число z3, которое при умножении с z2 даёт z1.

Рассмотрим случай, когда одно из действительных чисел, которые составляют комплексное число a + bi равно нулю.

b = 0. Тогда комплексное число a + bi принимает вид a + 0i, что равно a.

a = 0. Тогда комплексное число принимает вид 0 + bi, что равно bi. Такие числа называют чисто мнимыми числами. Рассмотрим частный случай, когда b=1. Тогда комплексное число a + bi примет вид 0 + 1i, что равно i. Комплексное число вида 0 + 1i называют мнимой единицей.

b = 0, a = 0. Тогда комплексное число примет вид a + 0i, что равно 0.

6.1.2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел

Всякое действительное число можно изобразить точкой на прямой. Для этого используют горизонтальную или действительную ось. Значит можно графически изобразить и чисто мнимое число. Для этого вводится вертикальная или мнимая ось. Попробуем графически изобразить комплексное число. Так как комплексное число - это сумма действительного и чисто мнимого, то комплексное число изображается так, как показано на рис.1.

Рис.1. Геометрическая интерпретация комплексного числа.

Комплексное число можно изобразить и радиус-вектором. Тогда, из получившегося прямоугольного треугольника, можно найти модуль этого вектора. А так как мы комплексное число изображали вектором, то модуль комплексного числа - это модуль этого радиус-вектора, или модуль комплексного числа z=a+bi - это действительное число .

Рассмотрим геометрическую иллюстрацию сложения двух комплексных чисел z1 = a + bi и z2 = c + di. Изобразим комплексное число радиус-вектором. Тогда комплексные числа можно сложить по правилу параллелограмма (Рис.2).

Рис.2. Геометрическая иллюстрация суммы двух комплексных чисел.

z₃ = z₁ + z₂ = a + bi + c + di = (a + c) + (b + d) i

Аргументом комплексного числа z = a + bi, отличного от нуля, называется любое число ?, являющихся решением системы уравнений:

(1)

Для числа z = 0 аргумент не определяется.

Главным аргументом комплексного числа z = a + bi ? 0 принято называть его аргумент из интервала [0; 2?) и обозначать этот аргумент arg z.

6.1.3. Сопряженные комплексные числа

Комплексное число называют числом, сопряженным комплексному числу z = a + b i.

Легко видеть, что число , сопряженное числу , есть число z.

6.1.4. Тригонометрическая форма комплексных чисел

Пусть z=a+bi - некоторое комплексное число, отличное от нуля. Обозначим через r его модуль, а через ? - один из его аргументов. Тогда число z можно записать в виде

z = r (cos ? + i sin ?) (2)

Правая часть равенства (1) называется тригонометрической формой комплексного числа z.

6.1.5. Экспоненциальная форма комплексных чисел

Пусть z=a+bi - некоторое комплексное число, отличное от нуля. Обозначим через r его модуль, а через ? - один из его аргументов. Тогда число z можно записать в виде

(3)

А теперь, если мы приравняем правые части соотношений (2) и (3), то мы получим формулу перехода от экспоненциальной формы к тригонометрической и наоборот:

r (cos ? + i sin ?) = ei?(4)

Полученное соотношение называется функцией Эйлера.

6.2. Приложение 2. Определение координат вершин шестидесятигранника

Для того чтобы найти координаты шестидесятигранника, необходимо сначала рассмотреть икосаэдр. Икосаэдр имеет 12 вершин. Впишем его в сферу единичного радиуса и введём декартову систему координат. Начало системы координат совместим с центром многогранника. Ось OZ проведем через вершину P1. Ось OX выберем так, что ребро P1P2 окажется в плоскости XOZ. Тогда координаты вершины P1 равны

. (1)

Для дальнейших действий необходимо получить координаты вершины P2. Для этого воспользуемся поворотом первой вершины вокруг оси Y на угол 52. Тогда искомые координаты вершины можно найти следующим образом:

x'2 = sin(252), y'2 = 0, z'2 = cos(252), (2)

Известно, что

. (3)

Путём несложных преобразований получаем, что:

(4)

Разделим отрезок P1P2 на 3 части так, как показано на рис.1. Обрезая вершины икосаэдра на некотором расстоянии от вершины, мы получим необходимый нам шестидесятигранник. Рёбра полученного шестидесятигранника, изображают межатомные связи в молекуле фуллерена. В молекуле фуллерена существуют связи двух типов: 6-6 (это связь представляет собой общее ребро между двумя шестиугольными гранями) и 5-6 (это связь представляет собой общее ребро между шестиугольной и пятиугольной гранями). Экспериментально доказано, что длины связей различаются. Усреднённые значения равны 1,44 A (для связи 6-6) и 1,39A (для связи 5-6). По обозначениям на рис.1 этим значениям соответствуют следующие символы:

a ? 1,39A, b ? 1,44 A(5)

Найдём координаты Q1. Сначала найдём длину L отрезка P1P2. По теореме Пифагора получится:

Рис.1. Ребро икосаэдра.

(6)

Подставив в формулу (4) значения координат (1) и (2), получим, длину отрезка P1P2:

(7)

Длину отрезка P1P2 можно будет выразить следующим образом, через сумму маленьких отрезков:

L = 2a + b(8)

Для нахождения координат Q1 необходимо найти длину отрезка a. Для этого составим соотношение b к a:

(9)

Обозначим эту величину символом S и выразим b:

b = a S(10)

А теперь подставим это соотношение в формулу (6).

L = a (2 + S) (11)

А теперь заменим L на число (5).

= a (2 + S) (12)

Отсюда:

(13)

Координаты Q1 найдём, рассмотрев подобные треугольники P1P2R2 и P1Q1R1:

(14)

(15)

Выразим значения координат и подставим в них численные значения:

(16)

(17)

Теперь необходимо найти координаты ещё 4 точек, образованных обрезанной вершиной P1. Координаты двух из них получаются умножением полученных координат точек Q1 на матрицы поворота на углы . В общем виде матрица поворота на угол выглядит так:

(18)

где ? - угол поворота, C' = (1-cos(?)), k1, k2, k3 -направляющие косинусы.

Так как мы поворачиваем вершину вокруг оси OZ, то направляющие косинусы равны k1=0, k2=0, k3=1. Тогда матрица поворота на углы будет выглядеть следующим образом:

(19)

Тогда координаты точек Q2 и Q3 будут выглядеть следующим образом:

(20)

Координаты двух других точек Q4 и Q5 получаются путём умножением полученных координат точек Q1 на матрицы поворота на углы :

(21)

Отсюда координаты точек Q4 и Q5 будут выглядеть следующим образом:

(22)

Только что были получены координаты пяти вершин, полученных обрезанием вершины P1. Для того, чтобы найти координаты 5 вершин, полученных обрезанием вершины P2 необходимо повернуть икосаэдр вокруг оси Y таким образом, чтобы вершина P1 встала на место P2 (на угол 252), а затем еще раз повернуть вокруг оси, проходящей через вершину P2 на угол . Косинус величины 52. описан в соотношении (3). Путём несложных преобразований получаем, что

(23)

Подставим эти значения в матрицу общего вида (18). Получим

(24)

Теперь получим вторую матрицу поворота через матрицу общего вида (18). Так как мы вращаем вокруг оси, проходящей через вершину P2, то направляющие косинусы этой матрицы будут соответственно равны координатам вершины P2. Иначе

(25)

Угол поворота равен , значит

(26)

Тогда, при подставлении в матрицу (18) данных (25) и (26), получается:

(27)

Теперь вектор с координатами вершин Q1, Q2, Q3, Q4, Q5 мы умножаем сначала на матрицу (25), а затем векторы, с полученными координатами мы умножаем на матрицу (27). Таким образом мы получаем координаты вершин Q6, Q7, Q8, Q9, Q10. Теперь каждую из полученных вершин необходимо повернуть на углы . Матрицы поворота определены, как (19) и (21). Так мы получим координаты вершин Q11 - Q30.

Для того чтобы получить остальные 30 вершин фуллерена надо у полученных координат Q1 - Q30 сменить знаки. Иначе говоря получить координаты вершины Q31 можно получить так:

(28)

Таким же образом получаются и координаты оставшихся вершин.