Динамика вращательного движения твердого тела
Кинетическая энергия вращения твердого тела и момент инерции тела относительно нецентральной оси. Основной закон динамики вращения твердого тела. Вычисление моментов инерции некоторых тел правильной формы. Главные оси и главные моменты инерции.
| Рубрика | Физика и энергетика |
| Вид | реферат |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 18.07.2013 |
| Размер файла | 287,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Реферат
Динамика вращательного движения твердого тела
Кинетическая энергия вращения твёрдого тела
Момент инерции твердого тела
Рассмотрим твёрдое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной вертикальной оси. Чтобы удержать ось от перемещений в пространстве, заключим её в подшипники. Опирающийся па нижний подшипник фланец Фл , предотвращает передвижение оси в вертикальном направлении .
Размещено на http://www.allbest.ru/
Абсолютно твёрдое тело можно рассматривать как систему материальных точек с неизменным расстоянием между ними. Линейная скорость элементарной массы равна , где -расстояние массы от оси вращения. Следовательно, для кинетической энергии элементарной массы получается выражение
Кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела складывается из кинетических энергий его частей.
Сумму, входящую в правую часть этого соотношения назовём моментом инерции I тела относительно оси вращения
- момент инерции твёрдого тела.
Слагаемые этой суммы представляют момент инерции материальной точки относительно оси вращения
- момент инерции материальной
точки относительно оси вращения.
Размерность момента инерции [ I ]= 1 кг
Таким образом, кинетическая энергия тела вращающегося вокруг неподвижной оси, равна
- кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела.
Вычисление моментов инерции некоторых тел правильной формы
Согласно определению момент инерции твёрдого тела равен
,
где символом обозначена элементарная масса . Элементарная масса равна произведению плотности тела в данной точке на соответствующий элементарный объём
.
Следовательно, момент инерции можно представить в виде
.
Это значение момента инерции является приближенным . Точное значение I получается при замене суммирования на интегрирование, т.е.
.
Эти интегралы берутся по всему объёму тела .
Пример 1: Вычисление момента инерции тонкого стержня массы m и длинной l, вращающегося вокруг оси перпендикулярной стержню и проходящей через центр масс.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Будем считать стержень однородным, тогда
Другие примеры значений моментов инерции для некоторых тел правильной формы приведём без вычислений .
Пример 2: Полый тонкостенный цилиндр, тонкое кольцо :
Размещено на http://www.allbest.ru/
- момент инерции цилиндра или тонкого кольца
Пример 3: Сплошной цилиндр, диск.
Размещено на http://www.allbest.ru/
- момент инерции сплошного цилиндра или диска
Пример 4: Сплошной шар.
Размещено на http://www.allbest.ru/
- момент инерции шара.
Заметим, что во всех приведённых примерах, тела предполагаются однородными, и вычисляются моменты инерции относительно центральных осей,
т.е. осей проходящих через центр масс.
Момент инерции тела относительно нецентральной оси
Теорема Штейнера
Пусть тело вращается вокруг неподвижной нецентральной оси. Это тело обладает кинетической энергией
, (1)
где I - момент инерции тела относительно данной нецентральной оси. Проведём через центр масс С ось ОО , параллельную данной нецентральной оси . Тогда вращение твёрдого тела можно представить как результат вращения центра масс С вокруг оси и вращение твёрдого тела вокруг центральной оси ОО тоже с угловой скоростью . Кинетическую энергию тоже можно представить как сумму двух слагаемых :
, (2)
где - линейная скорость центра масс. C учётом (1) и (2) получаем
- теорема Штейнера.
Теорема Штейнера: Момент инерции I относительно произвольной оси равен сумме момента инерции I0 относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями :
Таким образом, теорема Штейнера, по существу, сводит вычисление момента инерции относительно произвольной оси к вычислению момента инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела.
Момент импульса твёрдого тела относительно закреплённой оси. Главные оси и главные моменты инерции
Размещено на http://www.allbest.ru/
Рассмотрим твёрдое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной вертикальной оси. Возьмём на оси вращения точку О и будем характеризовать положение образующих тело материальных точек с помощью радиус-векторов , проведённых из этой точки. На рисунке показана i-я материальная точка с массой . Согласно определению момент импульса i-ой материальной точки относительно точки О равен
,
или, используя связь ,
.
Для раскрытия двойного векторного произведения воспользуемся формулой
.
кинетический энергия вращение инерция
Мы видим что, момент импульса i-ой материальной точки не совладает по направлению с угловой скоростью , и его можно представить как сумму двух составляющих: осевой и радиальной
.
Момент импульса всего твёрдого тела равен
или
где I - момент инерции твёрдого тела относительно оси вращения, - составляющая момента импульса тела, перпендикулярная оси вращения. .
Нетрудно сообразить, что для однородного тела симметричного относительно оси вращения (для однородного тела вращения ) суммарный момент импульса направлен вдоль оси вращения в ту же сторону что и , и равен
.
Действительно в этом случаи тело можно разбить на пары равных по массе, расположенных симметрично материальных точек. Сумма моментов каждой пары направлена вдоль вектора , следовательно, и суммарный момент импульса будет совпадать по направлению с и равен .
Для несимметричного (или неоднородного) тела момент импульса , вообще говоря, не совпадает по направлению с вектором . При вращении тела вектор поворачивается вместе с ним, описывая конус .
Заметим, что в случае вращения однородного симметричного тела, силы бокового давления подшипников на ось не возникают. В отсутствие силы тяжести подшипники можно было бы убрать, - ось и без них сохраняла бы своё положение в пространстве. Ось, положение которой в пространстве остаётся неизменным при вращении вокруг неё тела в отсутствии внешних сил, называется свободной осью тела
Можно доказать, что для тела любой формы и с произвольным распределением масс существуют три взаимно перпендикулярные, проходящие через центр масс оси, которые могут служить свободными осями: эти оси называются главными осями инерции тела. Моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции тела.
В общем случае эти моменты различны: .
Для тела с осевой симметрией два главных момента инерции имеют одинаковую величину, третий же, вообще говоря, отличен от них: .
И, наконец, в случае тела с центрально симметрией, все три главных момента одинаковы:.
Примеры:
Параллелепипед: Диск:
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Цилиндр: Шар:
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Основной закон динамики вращения твёрдого тела
Будем рассматривать твёрдое тело как систему жёстко связанных материальных точек с массой , и пусть ось вращения неподвижная. Для всякой системы материальных точек имеет место закон изменения суммарного момента импульса во времени:
Это уравнение справедливо и для твёрдого тела. В этом случае - момент импульса тела, а справа стоит - сумма моментов внешних сил, действующих на тело, т.е.
- основной закон динамики вращения твёрдого тела
Если ось вращеня главная, то , и получаем
,
т.е. - аналог второго закона Ньютона для
вращательного движения твёрдого тела
В случае главной оси вращения при суммарном моменте внешней силы, действующем на тело, равном нулю, имеет место закон сохранения момента импульса твёрдого тела:
- закон сохранения момента импульса твёрдого тела.
Если суммарный момент внешних сил , то он совершает работу, которая приводит к увеличению кинетической энергии вращающегося твёрдого тела (в этом случае потенциальная энергия ).
Итак - работа при вращении твёрдого тела
Вычислим также мощность при вращении твёрдого тела:
,
- мощность при вращении твёрдого тела
Аналогия между поступательным и вращательным движением
|
Поступательное движение |
Вращательное движение |
|
|
s(t) - путь - линейная скорость - линейное ускорение m - масса - сила - 2-ой закон Ньютона - импульс -кинетическая энергия -работа -мощность |
- угол поворота - угловая скорость - угловое ускорение I - момент инерции - момент силы - 2-ой закон Ньютона для вращательного движения - момент импульса - кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела - работа при вращательном движении - мощность при вращательном движении |
Из этого сопоставления легко заключить, что во всех случаях роль массы играет момент инерции, роль силы -момент силы, роль импульса -момент импульса, и т.д.
Гироскопы
Гироскопом (или волчком) называется массивное симметричное тело, вращающееся с большой скоростью вокруг оси симметрии. Эту ось будем называть осью гироскопа. Ось гироскопа является одной из главных осей инерции. Поэтому, если она не поворачивается в пространстве, момент импульса равен , где I -момент инерции относительно оси гироскопа.
При попытке вызвать поворот оси гироскопа наблюдается своеобразное явление, получившее название гироскопического эффекта: под действием сил, которые, казалось бы, должны вызвать поворот оси гироскопа ОО вокруг прямой(см. рисунок), ось гироскопа поворачивается вокруг прямой О''О'' направленной вдоль направления действия сил и . Поведение гироскопа оказывается полностью соответствующим законам динамики вращательного движения. Действительно, момент сил и направлен вдоль прямой О'О'. За время dt момент импульса гироскопа получит приращение , которое имеет такое же направление, как и . Спустя время dt момент импульса гироскопа будет равен и будет лежать в плоскости рисунка.. Таким образом, ось гироскопа повернётся вокруг прямой О''О'' на некоторый угол .
Из рисунка видно, что
,
Отсюда следует, что поворот оси гироскопа в новое положение произошел с угловой скоростью
.
Перепишем это соотношение в виде :
Векторы , и взаимно перпендикулярны (вектор направлен вдоль прямой О''О'', на нас). Поэтому связь между ними можно записать в векторном виде :
.
Заметим, что эта формула справедлива лишь в том случае, если ' <<
Допустим, что ось гироскопа может свободно поворачивается вокруг некоторой точки О (см. рисунок).
Размещено на http://www.allbest.ru/
Рассмотрим поведение такого гироскопа в поле сил тяжести. Момент сил, приложенных к гироскопу, равен по величине : , где m - масса гироскопа, l - расстояние от точки О до центра инерции гироскопа, - угол, образованный осью гироскопа с вертикалью.
Под действием момента сил момент импульса получит за время dt приращение , перпендикулярное вектору .
При этом вертикальная плоскость, проходящая через ось гироскопа, повернётся на угол . Угол при этом не меняется.
Таким образом, в поле сил тяжести ось гироскопа с неподвижной точкой О поворачивается вокруг вертикали, описывая конус. Такое движение гироскопа называется прецессией Угловую скорость прецессии ' можно найти, приняв во внимание полученное ранее соотношение
.
Подставляем сюда M , получим
, отсюда - угловая скорость прецессии.
Литература
Савельев И. В. Курс физики. Т. 1. Механика. Молекулярная физика. -- М.: Наука, 1989. - 350 с.
Савельев И. В. Курс физики. Т. 2. Электричество и магнетизм. -- М.: Наука, 1989. - 496 с.
Савельев И. В. Курс физики. Т. 3. Квантовая физика. -- М.: Наука, 1989. - 301 с.
Сивухин Д. В. Механика. -- М.: Физматлит, 2002. -- 576 с.
Сивухин Д. В. Термодинамика и молекулярная физика. -- М.: Физматлит, 2002. - 592 с.
Сивухин Д. В. Электричество. -- М.: Физматлит, 2002. -- 688 с.
Сивухин Д. В. Оптика. -- М.: Физматлит, 2002. -- 752 с.
Сивухин Д. В. Атомная физика. -- М.: Физматлит, 2002.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Момент инерции тела относительно неподвижной оси в случае непрерывного распределения масс однородных тел. Теорема Штейнера. Кинетическая энергия вращающегося твердого тела. Плоское движение твердого тела. Уравнение динамики вращательного движения.
презентация [163,8 K], добавлен 28.07.2015Динамика вращательного движения твердого тела относительно точки, оси. Расчет моментов инерции некоторых простых тел. Кинетическая энергия вращающегося тела. Закон сохранения момента импульса. Сходство и различие линейных и угловых характеристик движения.
презентация [913,5 K], добавлен 26.10.2016Сущность механического, поступательного и вращательного движения твердого тела. Использование угловых величин для кинематического описания вращения. Определение моментов инерции и импульса, центра масс, кинематической энергии и динамики вращающегося тела.
лабораторная работа [491,8 K], добавлен 31.03.2014Основной закон динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси. Изучение методических рекомендаций по решению задач. Определение момента инерции системы, относительно оси, перпендикулярной стержню, проходящей через центр масс.
реферат [577,9 K], добавлен 24.12.2010Два основных вида вращательного движения твердого тела. Динамические характеристики поступательного движения. Момент силы как мера воздействия на вращающееся тело. Моменты инерции некоторых тел. Теорема Штейнера. Кинетическая энергия вращающегося тела.
презентация [258,7 K], добавлен 05.12.2014Экспериментальное изучение динамики вращательного движения твердого тела и определение на этой основе его момента инерции. Расчет моментов инерции маятника и грузов на стержне маятника. Схема установки для определения момента инерции, ее параметры.
лабораторная работа [203,7 K], добавлен 24.10.2013Динамика вращательного движения твердого тела относительно точки и оси. Расчет моментов инерции простых тел. Кинетическая энергия вращающегося тела. Закон сохранения момента импульса. Сходство и различие линейных и угловых характеристик движения.
презентация [4,2 M], добавлен 13.02.2016Виды систем: неизменяемая, с идеальными связями. Дифференциальные уравнения движения твердого тела. Принцип Даламбера для механической системы. Главный вектор и главный момент сил инерции системы. Динамические реакции, действующие на ось вращения тела.
презентация [1,6 M], добавлен 26.09.2013Основы динамики вращения твёрдого тела относительно неподвижной и проходящей через него оси, кинетическая энергия его частиц. Сущность теоремы Гюгенса-Штейнера. Расчет и анализ результатов зависимости момента инерции шара и диска от массы и радиуса.
курсовая работа [213,6 K], добавлен 02.05.2012Основы динамики вращений: движение центра масс твердого тела, свойства моментов импульса и силы, условия равновесия. Изучение момента инерции тел, суть теоремы Штейнера. Расчет кинетической энергии вращающегося тела. Устройство и принцип работы гироскопа.
презентация [3,4 M], добавлен 23.10.2013
