Световые волны

Размещено на http://www.allbest.ru/

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

«Астраханский государственный университет»

Физико-технический факультет

Кафедра теоретической физики и методики преподавания физики

РЕФЕРАТ НА ТЕМУ:

«СВЕТОВЫЕ ВОЛНЫ»

Выполнил:

студент гр. ФД-65

Ракин Г.В

Проверил:

доц. каф. ТФ и МПФ

Водолазская И. В.

Астрахань, 2013 год



Введение

Существование электромагнитных волн было предсказано теоретически Максвеллом как прямое следствие из уравнений электромагнитного поля. Скорость электромагнитных волн в вакууме оказалась равной величине 1/ем . Ее числовое значение почти совпало со скоростью света в вакууме, равной, по измерениям Физо в 1849 г., 3,15?108 м/с.

Другое важное совпадение в свойствах электромагнитных волн и света обусловлено поперечностью волн. Поперечность электромагнитных волн следует из уравнений Максвелла, а поперечность световых волн - из экспериментов по поляризации света (Юнг, 1817 г.).

Эти два факта привели Максвелла к заключению, что свет представляет собой электромагнитные волны.



Общие понятия о световых волнах

Свет или световая волна -- в физической оптике электромагнитное излучение, воспринимаемое человеческим глазом. В качестве коротковолновой границы спектрального диапазона, занимаемого светом, принят участок с длинами волн в вакууме 380--400 нм (750--790 ТГц), а в качестве длинноволновой границы -- участок 760--780 нм (385--395 ТГц).

В более широком смысле, используемом вне физической оптики, светом часто называют любое оптическое излучение, то есть такие электромагнитные волны, длины которых лежат в диапазоне с приблизительными границами от единиц нанометров до десятых долей миллиметра. В этом случае в понятие «свет» помимо видимого излучения включаются как инфракрасное, так и ультрафиолетовое излучения.[1]

Раздел физики, в котором изучается свет, носит название оптика.

Свет может рассматриваться либо как электромагнитная волна, скорость распространения в вакууме которой постоянна, либо как поток фотонов -- частиц, обладающих определённой энергией, импульсом, собственным моментом импульса и нулевой массой (или, как говорили ранее, нулевой массой покоя).

Свойства световых волн

Система уравнений Максвелла.

Приведем законы, которым подчиняется поведение электрического и магнитного полей, лежащие в основе теории электромагнетизма. Эти законы, являющиеся обобщением опыта, формулируются ниже в интегральной форме, так как именно в таком виде обычно выражаются данные эксперимента. Используя основные положения векторного анализа, можно записать эти законы электромагнитного поля в дифференциальной форме.

Если исследуют электромагнитное поле в каком-либо веществе, изотропно заполняющем пространство, то значение векторов иполучаются при усреднении микроскопических величин <Eмикр>=Е и <Hмикр>=H. Такая запись позволяет оперировать с мгновенными напряженностями электрического и магнитного полей в любой точке пространства.

Усреднение микроскопических величин законно в том случае, линейные размеры области, где <Eмикр> и <Hмикр> можно считать неизменными, значительно превышают размеры атомов (молекул). Длина волны л является тем отрезком, на котором напряженность поля сильно изменяется. Поэтому усреднение можно проводить лишь в том случае, когда л значительно больше атомных размеров. Такое равенство соблюдается для всего оптического диапазона спектра, включая короткие ультрафиолетовые лучи. Сложнее обстоит дело в рентгеновской области спектра, где л ? 10-8 см, т.е. того же порядка что размеры атомов.

При переходе к дифференциальной форме законов электромагнитного поля используют следующие теоремы векторного анализа:

Теорема Гаусса о преобразовании поверхностного интеграла в объемный:

. (1)

Теорема Стокса о преобразовании интеграла по замкнутой кривой в поверхностный интеграл (поток ротора через поверхность, охватываемую исследуемой кривой):

. (2)

Итак, вспомним законы электрического и магнитного полей. Первый из них - основной закон электростатики - закон Кулона. Как следствие этого закона формулируется теорема Гаусса о потоке, которая при наличии диэлектриков в исследуемом пространстве записывается в виде

. (3)

Отсюда указанным выше способом переходим к дифференциальной форме закона

, (3а)

где - вектор электрического смещения, - объемная плотность зарядов.

Существенно, что выражения (3) и (3а), полученные из уравнений электростатики, обобщаются Максвеллом для переменных полей, где и зависят от времени.

Отсутствие в природе магнитных зарядов (монополей) приводит к выражению

, (4)

которое преобразуется к виду

div = 0. (4а)

Эти формулы соответствуют хорошо известным модельным представлением о силовых линиях электрического поля, начинающихся на положительных зарядах и заканчивающихся на отрицательных, тогда как линии магнитного поля замкнуты и охватывают породившие их токи. Введение понятия линий электрического и магнитного полей совершенно не обязательно (смысл законов содержится в приведенных формулах), но, как и во многих случаях, наглядность модельных представлений помогает пониманию явления.

Переходя к описанию свойств электрического тока, сформулируем основной закон о зависимости напряженности магнитного поля от силы породившего его тока. Этот закон обычно связывают с именами Био, Савара и Лаплпса. Запишем его в виде, который называют теоремой о циркуляции вектора :

(5)

Дифференциальная форма этого закона получается применением теоремы Стокса к равенству (5) и описывает плотности тока с напряженностью магнитного поля в данной точке:

(6)

Как известно, Максвелл ввел ток смещения, плотность которого удовлетворяет соотношению

(7)

Ток проводимости и ток смещения дополняют друг друга, образуя полный ток плотностью



,

которая, согласно Максвеллу, и фигурирует в уравнении (8).

Последним из требующихся нам фундаментальных соотношений является математическая формулировка знаменитого открытия Фарадея - закона электромагнитной ин6дукции.

, (9)

в котором электродвижущая сила инд, возникающая в замкнутом контуре, связывается со скоростью изменения потока магнитной индукции , пронизывающего этот контур.

При соблюдении некоторых условий эксперимента (в частности, если контур с током неподвижен и не деформируется за время изменений) справедлива следующая интегральная форма записи закона индукции:

(10)

откуда легко получается дифференциальная форма закона

(11)

Здесь уместно сделать следующее значения:

1. Хорошо известны соображения о вихревом характере электрического поля, порождаемого изменяющимся во времени магнитным полем. Это переменное электрическое поле существенно отличается от потенциального электростатического поля, создаваемого системой неподвижных электрических зарядов, для которого rot = 0. В последующем нас будет интересовать именно переменное электрическое поле. Но, как было показано Максвеллом, наличие переменного электрического поля с неизбежностью приводит к возникновению связанного с ним магнитного поля и поэтому нужно говорить о едином электромагнитном поле, характеризуемом в каждой точке пространства взаимосвязанными ортогональными векторами и .

2. Введение Максвеллом понятий тока смещения в начале выглядело как гениальная догадка. Но несовместимость сформулированного уравнения электромагнитного поля (6) и уравнения непрерывности

, (10)

выражающего одно из самых общих свойств материи - закон сохранения электрического заряда, - с неизбежностью приводит к необходимости введения дополнительного слагаемого в правую часть уравнения поля. Следовательно, уравнение (2.3.6) должно иметь вид

. (11)

Именно это изменяющееся во времени электрическое поле, столь неудачно названо «током смещения», и связанное с ним магнитное поле будут играть главную роль в дальнейшем изложении.

Итак, имеем уравнение электромагнитного поля в следующем виде:

, ,

, . (12)

Их нужно дополнить «материальными» уравнениями, учитывающими соотношения между векторами , , , и . При отсутствии феромагнитных сегнетоэлектрических материалов для изотропных сред можно записать эти уравнения при помощи трех констант: у (электропроводность), (диэлектрическая проницаемость) и (магнитная проницаемость), постулируя линейную связь между и , и , и , т.е.

= , = , = у. (13)

Следует также сформулировать граничные условия для уравнений электромагнитного поля, из которых наиболее широко будем использовать равенство тангенциальных составляющих и на границе раздела двух сред, т.е.

, (14)

если предположить, что граничащие среды разделены слоем, в котором , , у изменяются непрерывно, а и конечны, то при стремлении к нулю толщины этого слоя уравнения (9) и (6) сведутся к равенствам (14). Однако при решении конкретных задач часто возникает необходимость задать значение искомых функций на границе исследуемой области. Такие граничные условия определяются условиями эксперимента и не вытекают из уравнений электромагнитного поля. Они должны быть добавлены к системе уравнений (11). В частности, при рассмотрении безграничного пространства часто задают вид тех или иных функций на бесконечности, руководствуясь физическими условиями решаемой задачи.

Система уравнений, включающая в себя уравнения электромагнитного поля, «материальные» соотношения и граничные условия, названа системой уравнений Максвелла и играет в электродинамике ту же роль, что и аксиматика уравнений Ньютона в классической механике.

Поперечность электромагнитных волн

Допустим, что волны распространяются в однородном незаряженном диэлектрике. Применим к ним фундаментальные уравнения Максвелла

,

и материальные уравнения = , = .

Пусть волна - плоская и монохроматическая. Запишем ее в комплексном виде

, (15)

где - круговая частота, k - волновой вектор, а амплитуды E0, H0 постоянны. Дифференцируя по времени, получаем , т.е. операция дифференцирования в этом случае сводится к умножению на i. Аналогично, дифференцирование по координатам x,y,z сводится к умножению на . Заметив это и обозначая координатные орты через получаем

(16)

и аналогично для rot . В результате уравнения Максвелла перейдут в

(17)

Введем единичный вектор нормали к фронту волны и скорость распространения последнего в направлении этой нормали - так называемую нормальную скорость . Тогда

(18)

И предыдущие соотношения перейдут в

(19)

отсюда видно, что векторы , , в плоской электромагнитной волне взаимно перпендикулярны. Перпендикулярность векторов и к вектору , или, что то же, к направлению распространения волны, означает, что электромагнитные волны поперечны. Т.о. проблема поперечности световых волн, с которой не могли справиться теории механического эфира, совсем не возникает в электромагнитной теории света.

Скорость электромагнитной волны

Из уравнений Максвелла можно определить и скорость электромагнитной волны . С этой целью запишем эти уравнения в скалярной форме:

или

(20)

Отсюда после почленного перемножения и сокращения на ЕН получаем для v и показателя преломления следующие выражения:

, (21)

Последнее соотношение называется законом Максвелла. Для немагнитных сред () оно переходит в .

В вакууме v = c, т.е. v совпадает с электродинамической постоянной с. Тем самым раскрывается глубокий смысл открытия В.Вебера и Кольрауша, впервые измеривших эту постоянную в 1856г.

Энергия переносимая электромагнитной волной

Электромагнитная волна представляет собой электромагнитное возмущение распространяющееся, как уже говорилось, в вакууме со скорость c , а в среде - со скоростью . С этим электромагнитным возмущением связанна энергия, плотность которой (т.е. энергия, заключенная в единице объема) выражается для электрического поля через, а для магнитного поля через . В случае монохроматической волны и , так что энергия волны пропорциональна квадрату ее амплитуды. Это соотношение между энергией и амплитудой сохраняет свое значение и для любой другой волны.

При распространении электромагнитной волны происходит перенос энергии, подобно тому, как это имеет место при распространении упругой волны. Вопрос о течении энергии в упругой волне был впервые (1874г.) рассмотрен Н.А.Умовым который доказал общую теорему о потоке энергии в любой среде. Поток энергии в упругой волне может быть вычислен через величины, характеризующие потенциальную энергию упругой деформации и кинетическую энергию движения частиц упругой среды. Плотность потока энергии выражается с помощью специального вектора (вектор Умова). Аналогичное рассмотрение плодотворно и для электромагнитных. До известной степени можно уподобить энергию электрического поля потенциальной энергии упругой деформации, а энергию магнитного поля - кинетической энергии движения частей деформированного тела. Так же как и в случае упругой деформации, передача энергии от точки к точке в электромагнитной волне связанна с тем обстоятельством, что волны электрической магнитной напряженности находятся в одной фазе. Такая волна называется бегущей. Движение энергии в бегущей упругой волне удобно изображается с помощью вектора , который можно назвать вектором энергии и который показывает, какое количество энергии протекает в волне за 1с. через 1 метр в квадрате. Для электромагнитных волн вектор этот был введен Пойтингом (1884г.) Его уместно называть вектором Умова-Пойтинга.

Нетрудно найти выражение этого вектора для простого случая, выражающего распространение полоской электромагнитной волны вдоль оси x.



Умножив на и на и сложив,

получим

(22)

где есть плотность энергии. Рассматривая поток энергии S , входящий и выходящий из элементарного объема, найдем выражение для изменения плотности энергии по времени

Отсюда

(21)

что представляет собой численное выражение вектора Умова - Пойтинга для электромагнитной волны. Что касается направления вектора Умова - Пойтинга , то он перпендикулярен к плоскости , проходящей через векторы электрической и магнитной напряженностей, т.е. в векторной форме запишется в общем виде

. (22)

Своим направление вектор Умова - Пойтинга определяет направление переноса энергии волны и может быть во многих случаях принят за направление светового луча. Не следует, однако, забывать , что понятие луча есть понятие геометрической оптики и не имеет вполне соответствующего образа в области волновых представлений, для которых введен вектор Умова - Пойтинга .[2]

Связь амплитуды световой волны с ее интенсивностью

В монохроматической световой волне электрическое поле и магнитное поле изменяются с постоянной частотой (циклическая частота), каждая проекция векторов и пропорциональна величине cos(t + ). Здесь t - время, (t + ) - фаза колебаний, - начальная фаза, зависящая от пространственных координат. Разные проекции векторов и могут иметь различающиеся начальные фазы.

Поверхность с определенным значением фазы (поверхность равных фаз) перемещается в направлении волнового вектора по нормали к поверхности со скоростью c/n (фазовая скорость света), где c - скорость света в вакууме, n - показатель преломления среды. Длина волнового вектора называется волновым числом и по определению равна

, (23)

здесь л - длина волны света.

В бегущей монохроматической световой волне векторы и в каждый момент времени перпендикулярны друг другу и равны по величине (в системе единиц СГС Гаусса). Направление движения световой волны перпендикулярно обоим векторам и , то есть световая волна - поперечная волна. Если векторы и в какой-то точке пространства в какой-то момент времени не перпендикулярны друг другу или не равны по длине, то через эту точку проходит не одна волна, а несколько волн в различных направлениях.

Далее будем обсуждать только направление распространения световой волны (вектор Пойнтинга) и направление вектора , так как направление вектора однозначно ими определяется.

Пусть световая волна распространяется в направлении оси Z. Тогда вектор лежит в плоскости XY, так как перпендикулярен направлению распространения. Если вектор колеблется вдоль какой-то линии в этой плоскости, то световая волна называется линейно поляризованной. Если вектор произвольно меняется в плоскости XY, то в каждый момент времени его можно разложить на сумму двух векторов вдоль осей X и Y. Произвольную волну, распространяющуюся вдоль оси Z, можно представить, как сумму двух линейно поляризованных волн с колебанием вектора вдоль осей X и Y соответственно.

Если конец вектора вращается по окружности в плоскости XY, то такой свет называется циркулярно поляризованным или светом с круговой поляризацией. Свет поляризован по левому кругу, если в фиксированной точке при наблюдении навстречу свету вектор (как и вектор ) вращается по левому кругу, то есть против часовой стрелки. Если конец вектора описывает эллипс, то волна называется эллиптически поляризованной. Если волна монохроматическая, то конец вектора описывает эллипс, окружность, либо вектор гармонически колеблется вдоль линии.

Интенсивностью световой волны I называют среднее значение модуля вектора Пойнтинга. Время усреднения либо считают равным времени регистрации света, либо равным постоянной времени приемника света. Поскольку для бегущей волны векторы и перпендикулярны, модуль вектора Пойнтинга можно найти по формуле



.

Если еще учесть, что E = H, то получим выражение

. (24)

Следовательно, для интенсивности можно записать

, (25)

где скобки <> означают среднее по времени значение. Эта формула приближенно верна и при сложении почти однонаправленных световых волн.

Пусть модуль напряженности электрического поля E световой волны в некоторой точке изменяется по закону

. (26)

Поставим в соответствие этой вещественной функции E некоторую комплексную функцию , которую будем называть комплексной напряженностью поля световой волны

, (27)

где i - мнимая единица, а знак минус перед i - вопрос соглашения. Назовем величину (t - ) - комплексной амплитудой световой волны.

Вещественная (настоящая) напряженность поля световой волны E равна вещественной части придуманной нами комплексной напряженности .

Возникает вопрос, насколько однозначно это сопоставление.

Действительно, есть неоднозначность сопоставления комплексного числа вещественному, но для аналитической функции, например, гармонической (косинусоидальной) эта неоднозначность пропадает. Если вещественная функция в окрестности некоторой точки разлагается в ряд Тейлора, то эту функцию с помощью этого ряда однозначно можно продолжить на комплексную плоскость.

Зачем нужна комплексная напряженность поля?

Сложение комплексных напряженностей можно сделать наглядным. Комплексное число можно представить себе, как вектор на комплексной плоскости, и складывать комплексные напряженности по правилам сложения векторов. Сумма вещественных напряженностей может быть получена, как вещественная часть суммы комплексных напряженностей.

Для монохроматического света (света одной частоты) можно складывать не комплексные напряженности, а комплексные амплитуды, так как одни от других отличаются одинаковым для всех слагаемых множителем exp (-it). Комплексная амплитуда суммы волн равна сумме комплексных амплитуд.

Складывая комплексные амплитуды волн, излучаемых вторичными источниками, мы можем найти комплексную амплитуду поля в любой точке за щелью. Длина этого вектора на комплексной плоскости равна амплитуде вещественного поля E, а направление определяет сдвиг фазы колебаний вещественного поля.

Все приемники света в оптическом диапазоне регистрируют интенсивность света, а не напряженность поля световой волны. Интенсивность света равна квадрату модуля комплексной амплитуды поля с коэффициентом c/8 в системе единиц СГС Гаусса для линейной поляризации света. Часто в задачах интересуются отношением интенсивностей, в этом случае постоянный сомножитель несуществен.

Согласно дифракционной формуле Френеля - Кирхгофа комплексная амплитуда вторичного источника света в точке наблюдения может быть выражена по формуле:

. (28)

Здесь - комплексная амплитуда поля в точке расположения вторичного источника света, dS - площадь излучающей поверхности вторичного источника, r - расстояние от вторичного источника до точки наблюдения, k - волновое число, - угол между нормалью к поверхности вторичного источника и направлением распространения света к точке вторичного источника, - угол между нормалью к поверхности вторичного источника и направлением от вторичного источника к точке наблюдения.

Амплитуда излучения вторичного источника обратно пропорциональна расстоянию от вторичного источника до точки наблюдения, но в задачах по дифракции и этой зависимостью обычно пренебрегают. Последнее связано с тем, что в приближении малых углов дифракции различные точки экрана почти одинаково удалены от вторичного источника. Поэтому в выражении для комплексной амплитуды оставляют быстро меняющийся сомножитель exp(ikr), заменяя медленно меняющийся с расстоянием сомножитель 1/r константой.

Амплитуда вторичного источника света пропорциональна площади источника. При решении задач это обычно учитывают тем, что мысленно разбивают щель или другой вторичный источник на источники света одинаковой площади, считая при этом, что они излучают волны, которые в точке наблюдения имеют одинаковые амплитуды, но разные фазы. Тогда векторы комплексных амплитуд будут по разному ориентированы на комплексной плоскости. Угол поворота относительно оси X равен фазе комплексного числа.

Фазовый множитель комплексной амплитуды равен exp(ik(r1 + r2), где k = 2/л - волновое число, r1 - расстояние от истинного источника до вторичного источника, r2 - расстояние от вторичного источника до точки наблюдения. Следовательно, угол поворота на комплексной плоскости равен k(r1 + r2).[3]

Средняя плотность энергии в излучении лазера

световой волна лазер атом

Спонтанное излучение некогерентно. В этом случае атомы источника излучают свет независимо друг от друга. Фазы волн, испускаемых различными атомами, их поляризация и направления распространения никак не связаны между собой. Обычные источники света -- пламена, лампы накаливания, газоразрядные трубки, люминесцентные лампы и пр. -- излучают некогерентно. В них свечение вызывается либо столкновениями между атомами, совершающими тепловое движение, либо электронными ударами. Правда, в таких источниках наряду со спонтанным происходит и индуцированное излучение. Однако оно возбуждается некогерентным спонтанным излучением, а потому и само некогерентно. Испускаемый свет характеризуется большей или меньшей степенью беспорядка. Максимальный беспорядок достигается в равновесном излучении в полости. В нем представлены всевозможные фазы и частоты, всевозможные направления колебаний, всевозможные направления распространения света. Если заимствовать терминологию из акустики и радиотехники, то можно сказать, что указанные источники света генерируют не правильные или упорядоченные волны, а шумы, пригодные только для освещения, грубой сигнализации, получения изображений, фотографирования и пр., но не для передачи речи, телевидения и т.д., осуществляющихся посредством радиоволн, излучаемых радиостанциями.

Однако можно создать и когерентно излучающие источники света, в которых бы различные атомы излучали волны согласованно, подобно радиостанциям, т.е. с одинаковыми частотами, фазами, поляризацией и направлением распространения.

Такие источники открыли широкие возможности для разнообразных научных и технических применений. Они называются оптическими квантовыми генераторами или лазерами. Слово «лазер» образовалось из первых букв полного английского названия «Light amplification by stimulated emission of radiation», что в переводе означает: усиление света посредством индуцированного излучения. Созданию лазеров предшествовало изобретение мазеров, т.е. усилителей микроволн, работающих также на принципе индуцированного излучения. Поэтому первоначально лазеры назывались оптическими мазерами. Подробное рассмотрение устройства и работы лазеров и мазеров дается в квантовой электронике.

Лазер работает на принципе индуцированного излучения. Допустим, что на атом падает фотон с энергией

, (29)

где и -- какие-либо два энергетических уровня атома. Если атом находится на нижнем уровне , то падающий фотон может поглотиться. Если же атом находится на верхнем уровне , то может произойти вынужденный переход на нижний уровень с испусканием второго фотона. Индуцированно излученный фотон характеризуется не только той же частотой (как и при спонтанном излучении), но также теми же фазой^ поляризацией и направлением распространения. Вместо одного падающего фотона получается два тождественных фотона. Эта особенность индуцированного излучения и используется в лазерах.

Рассмотрим теперь не единичный атом, а среду из атомов. Обозначим через N1 и N2 числа атомов в единице объема на уровнях и соответственно. Допустим, что в среде распространяется плоская монохроматическая волна, частота которой определяется условием (29). За время dt = dx/v, где v -- скорость распространения, a dx -- расстояние, пройденное волной, с нижнего уровня на верхний переходит в среднем u()N1 dt атомов и такое же число фотонов поглощается. Из-за индуцированного излучения с верхнего уровня на нижний перейдет u()N2 dt атомов и родится такое же число фотонов той же поляризации и направления распространения, что и у рассматриваемой волны. Фотоны, излученные спонтанно, а также фотоны, индуцированные другими волнами, можно не учитывать, так как среди них только ничтожная часть распространяется в нужном направлении и обладает нужной поляризацией.

Увеличение числа фотонов в единице объема при прохождении волной расстояния dx = vdt представится выражением

. (30)

Коэффициенты Эйнштейна и связаны соотношением

g2= g1, (31)

где g1 и g1 -- кратности уровней и . Используя это соотношение, перепишем предыдущее уравнение в виде

(32)



Чтобы при распространении в среде волна усиливалась, необходимо выполнение условия

. (33)

Его молено записать в виде

n2 > n1 (34)

где n1 = N1 g1 и n2 = N2 g2 -- числа атомов на каждом из простых уровней, из которых состоят сложные уровни и .

В обычных условиях, когда среда находится в термодинамическом равновесии, n2 < n1, т.е. на каждом простом верхнем уровне находится меньше атомов, чем на нижнем. Это непосредственно следует из формулы Больцмана

N = n0 e -/kT. (35)

Можно искусственно получить термодинамически неравновесную среду, у которой выполняется соотношение, обратное (33) или (34). Такая среда называется активной или средой с инверсной заселенностью по отношению к энергетическим уровням и . Следовательно, для усиления световой волны необходимо, чтобы среда, в которой волна распространяется, была активной. Идея использования индуцированного излучения для усиления волны была впервые высказана в 1939 г. в докторской диссертации В.А. Фабрикантом (р. 1907) и впоследствии (в 1951 г.) на нее было выдано авторское свидетельство.

В то время на идею Фабриканта не было обращено должного внимания. Казалось, что создание систем с инверсной заселенностью энергетических уровней -- дело бесперспективное.

Усиление света в активной среде обычно сравнивают с нарастанием лавины, изображая фотоны в виде шариков. Летящий фотон-шарик порождает второй фотон-шарик с переходом атома с верхнего уровня на нижний. Получаются два одинаковых шарика, летящих в прежнем направлении, затем четыре шарика и т.д. Но эта грубая иллюстрация не объясняет, как в результате наложения фотонов формируется монохроматическая волна строго определенного направления. Эта сторона дела становится понятной, если сравнить изучаемое нами явление с классической картиной распространения плоской монохроматической волны в однородной среде. Волна вызывает колебания в атомах и молекулах среды. Последние переизлучают шаровые волны, когерентные друг с другом и с падающей волной. Эти шаровые волны, интерферируя между собой, создают снова плоский новой фронт, распространяющийся в среде. Они влияют только на фазовую скорость волны. Если среда абсолютно прозрачна, то амплитуда волны должна оставаться постоянной, как того требует закон сохранения энергии. В поглощающих средах энергия волны частично переходит в тепло -- амплитуда волны убывает. Но в активной среде молекулы и атомы находятся в возбужденных состояниях. За счет энергии возбуждения вторичные световые волны, излучаемые молекулами и атомами,

усиливаются. Однако их фазы и поляризация остаются прежними. Поэтому остаются прежними поляризация и фаза также и результирующей волны, возникающей в результате интерференции таких вторичных волн. Усиливается только ее амплитуда.

Индуцированное излучение было использовано для генерации когерентных световых волн. Идея этого впервые была высказана в 1957 г. A.M. Прохоровым (р. 1916) и П.Г. Басовым (р. 1922) и независимо от них Ч. Таунсом (р. 1915). Чтобы активное вещество превратить в генератор световых колебаний, надо осуществить обратную связь. Необходимо, чтобы

часть излученного света все время находилась в зоне активного вещества и вызывала вынужденное излучение все новых и новых атомов. Для этого активное вещество помещают между двумя параллельными зеркалами.

Допустим, например, что оно представляет собой цилиндр, а плоскости зеркал S1 и S2 перпендикулярны к оси этого цилиндра (рисунок 1а). Тогда луч света, претерпевая многократные отражения от зеркал S1 и S2 будет

Рис. 1. Простейший открытый резонатор

представляет собой цилиндр, а плоскости зеркал S1 и S2 перпендикулярны к оси этого цилиндра. Тогда луч света, претерпевая многократные отраженияот зеркал S1 и S2, будет проходить много раз через активное вещество, усиливаясь при этом в результате вынужденных переходов атомов с высшего энергетического уровня S1 на более низкий уровень S2 (рисунок 1б). Получается открытый резонатор представляющий собой в сущности интерферометр Фабри-Перо, только заполненный активной средой.

Такой резонатор будет не только усиливать свет, но также коллимировать и монохроматизировать его. Для просто ты предположим сначала, что зеркала S1 и S2 идеальные. Тогда лучи, параллельные оси цилиндра, будут проходить через активное вещество туда и обратно неограниченное число раз. Все же лучи, идущие наклонно, в конце концов попадут на боковую стенку цилиндра, где они рассеются или выйдут наружу. Ясно поэтому, что максимально усилятся лучи, распространяющиеся параллельно оси цилиндра. Этим и объясняется коллимация лучей. Конечно, строго параллельные лучи получить нельзя.

Этому препятствует дифракция света. Угол расхождения лучей принципиально не может быть меньше дифракционного предела

, (36)

где D -- ширина пучка. Однако в лучших газовых лазерах такой предел практически достигнут.

Учтем теперь, что в реальном лазере часть света, чтобы ее можно было использовать, должна быть выпущена из активной среды наружу. С этой целью одно из зеркал, например S2, де лается полупрозрачным. Кроме того, и зеркало Si лишь частично отражает свет, хотя коэффициент отражения его и близок к 100 %. Это приводит к ослаблению светового пучка. Чтобы лазер был генератором света, необходимо, чтобы усиление светового пучка в активной среде превосходило некоторое минимальное -- пороговое значение. Именно, должно быть выполнено следующее условие. Световой пучок, вышедший от Si, после прохождения туда и обратно через активную среду и отражения от S1 должен вернуться в исходное положение с наименьшей интенсивностью. Иначе в результате последовательного повторения этих процессов интенсивность пучка будет непрерывно убывать и лазер перестанет генерировать. Поэтому для генерации недостаточно выполнения простого неравенства (34). Оно должно быть выполнено с некоторым запасом, т.е. число атомов N2 на верхнем уровне в единице объема активной среды должно превышать некоторое минимальное -- пороговое -- значение.

Конечно, нарастание интенсивности волны в активной среде не может продолжаться беспредельно, так как заселенность верхнего энергетического уровня ограничена. По мере обеднения атомами верхнего уровня S2 скорость нарастания интенсивности волны будет уменьшаться, и волна начнет затухать еще до того, как перестанет выполняться условие (34).[4]

Взаимодействие света с атомом

Основной вклад в энергию взаимодействия атома с электромагнитной волной обеспечивает взаимодействие электрического диполя с моментом с электрическим полем напряженностью :

. (37)

Оператор дипольного момента атома равен

, (38)

где - радиус-вектор i-го электрона, проведенный из ядра.

Оператор дипольного взаимодействия атома с плоской световой волной с амплитудой и частотой имеет вид

, (39)

Вкладом остальных моментов можно пренебречь. Необходимость учета магнитнодипольных и электроквадрупольных взаимодействий возникает в тех случаях, когда электродипольные переходы невозможны (запрещены).

Энергия дипольного взаимодействия атома на семь порядков меньше величины энергии перехода, поэтому применима теория возмущения для переходов атомов под действием света. Отношение размеров атома к длине световой волны составляет примерно a/ ~ 0,510-10/0,510-6 = 10-4. Следовательно, в каждый момент времени фаза волны в пределах атома практически одинакова. Поэтому в выражении (3) можно пренебречь зависимостью поля от координат:

. (40)

Вероятность перехода атома за единицу времени из состояния i в состояние f выражается формулой

(cos2)(/ ), (41)

где - угол между векторами и , а = (Ef - Ei) - энергия перехода. Здесь выделена в качестве множителя спектральная плотность энергии светового облучения

() = (/ ). (42)

В формулах (41) - (42) знак «+» соответствует вынужденному испусканию (Ef < Ei), а знак «-» - поглощению света атомом (Ef > Ei).

Полагая, что ансамбль атомов имеет изотропное распределение ориентации вектора дипольного момента относительно вектора напряженности поля , находим среднее значение



. (43)

С учетом формул (6) и (7) получаем формулу вероятности поглощения света атомом в единицу времени:

= Bfi(), (44)

где Bfi - коэффициент поглощения, равный

Bfi = Bif = .[5] (45)

Дипольное приближение

Электрический дипольный момент -- векторная физическая величина, характеризующая, наряду с суммарным зарядом (и реже используемыми высшими мультипольными моментами), электрические свойства системы заряженных частиц (распределения зарядов) в смысле создаваемого ею поля и действия на нее внешних полей. Главная после суммарного заряда и положения системы в целом (ее радиус-вектора) характеристика конфигурации зарядов системы при наблюдении ее издали.

Дипольный момент -- первый мультипольный момент.

Простейшая система зарядов, имеющая определенный (не зависящий от выбора начала координат) ненулевой дипольный момент -- это диполь (две точечные частицы с одинаковыми по величине разноимёнными зарядами). Электрический дипольный момент такой системы по модулю равен произведению величины положительного заряда на расстояние между

зарядами и направлен от отрицательного заряда к положительному, или:

(46)

где q -- величина положительного заряда, -- вектор с началом в отрицательном заряде и концом в положительном.

Для системы из N частиц электрический дипольный момент равен

(47)

где -- заряд частицы с номером i а -- её радиус-вектор; или, если суммировать отдельно по положительным и отрицательным зарядам:

, (48)

где N+, N-- -- число положительно/отрицательно заряженных частиц, N = N+ + N-- , q+, q-- -- их заряды; Q+, R+, Q--, R-- -- суммарные заряды положительной и отрицательной подсистем и радиус-векторы их «центров тяжести».

Электрический дипольный момент (если он ненулевой) определяет в главном приближении электрическое поле диполя (или любой ограниченной системы с суммарным нулевым зарядом) на большом расстоянии от него, а также воздействие на диполь внешнего электрического поля.

Дипольный член (определяемый дипольным моментом системы или распределения зарядов) является лишь одним из членов бесконечного ряда, называемого мультипольным разложением, дающего при полном суммировании точное значение потенциала или напряженности поля в точках, находящихся на конечном расстоянии от системы зарядов-источников. В этом смысле дипольный член выступает как равноправный с остальными, в том числе и высшими, членами мультипольного разложения (хотя зачастую он и может давать больший вклад в сумму, чем высшие члены). Этот взгляд на дипольный момент и дипольный вклад в создаваемое системой зарядов электрическое поле обладает существенной теоретической ценностью, но в деталях довольно сложен и довольно далеко выходит за рамки необходимого для понимания существенных физического смысла свойств дипольного момента и большинства областей его использования.

Для прояснения физического смысла дипольного момента, так же как и для большинства его приложений, достаточно ограничиться гораздо более простым подходом -- рассматривать дипольное приближение.

Широкое использование дипольного приближения основывается на той ситуации, что очень во многих, в том числе теоретически и практически важных случаях можно не суммировать весь ряд мультипольного разложения, а ограничиться только низшими его членами -- до дипольного включительно. Часто этот подход дает вполне удовлетворительную или даже очень маленькую погрешность.

В электростатике достаточное условие применимости дипольного приближения (в смысле задачи определения электрического потенциала или напряженности электрического поля, создаваемого системой зарядов, имеющей определенный суммарный заряд и определенный дипольный момент) описывается весьма просто: хорошим это приближение является для областей пространства, удаленных от системы-источника на расстояние r, много большее, чем характерный (а лучше -- чем максимальный) размер d самой этой системы. Таким образом, для условий дипольное приближение r >> d является хорошим.

Если суммарный заряд системы равен нулю, а ее дипольный момент нулю не равен, дипольное приближение в своей области применимости является главным приближением, то есть в его области применимости оно описывает основной вклад в электрическое поле. Остальные же вклады при r >> d пренебрежимо малы (если только дипольный момент не оказывается слишком мал по сравнению с квадрупольным, октупольным или высшими мультипольными моментами).

Если суммарный заряд не равен нулю, главным становится монопольное приближение (нулевое приближение, закон Кулона в чистом виде), а дипольное приближение, являясь следующим, первым, приближением, может играть роль малой поправки к нему. Впрочем, в такой ситуации эта поправка будет очень мала в сравнении с нулевым приближением, если только мы находимся в области пространства, где вообще, говоря, само дипольное приближение является хорошим. Это несколько снижает его ценность в данном случае (за исключением, правда, ситуаций, описанных чуть ниже), поэтому главной областью применения дипольного приближения приходится признать случай нейтральных в целом систем зарядов.

Существуют ситуации, когда дипольное приближение является хорошим (иногда очень хорошим и в каких-то случаях даже может давать практически точное решение) и при невыполнении условия r >> d. Для этого нужно только чтобы высшие мультипольные моменты (начиная с квадрупольного) обращались в ноль или очень быстро стремились к нулю. Это довольно легко реализуется для некоторых распределенных систем.

В дипольном приближении, если суммарный заряд ноль, вся система зарядов, какой бы она ни была, если только ее дипольный момент не ноль, эквивалентна маленькому диполю (в этом случае всегда подразумевается маленький диполь) -- в том смысле, что она создает поле, приближенно совпадающее с полем маленького диполя. В этом смысле любую такую систему отождествляют с диполем и к ней могут применяться термины диполь, поле диполя и т.д. В статье выше, даже если это не оговорено явно, всегда можно вместо слова диполь слова «нейтральная в целом система, имеющая ненулевой дипольный момент» -- но, конечно, вообще говоря только в случае, если подразумевается выполнение условий корректности дипольного приближения.

Идеально дипольное приближение для формул механического момента, создаваемого внешним полем, действующим на диполь, и потенциальной энергии диполя во внешнем поле, работает в случае однородности внешнего поля. В этом случае эти две формулы выполняются точно для любой системы, имеющей определенный дипольный момент, независимо от размера (равенство нулю суммарного ее заряда подразумевается).

Границу приемлемости дипольного приближения для этих формул определяет в целом такое условие: разность напряженности поля в разных точках системы должна быть по модулю много меньше самого значения напряженности поля. Качественно это означает, что для обеспечения корректности этих формул размеры системы должны быть тем меньше, чем более неоднородно действующее на нее поле.[6]

Релятивистские эффекты в атоме

Уравнение Шредингера для свободной нерелятивистской частицы

. (49)

Легко видеть, что уравнение (49) получается из нерелятивистского соотношения для свободной частицы:

, (50)

если положить

, . (51)

Релятивистское уравнение для свободной частицы можно получить из соотношения

. (52)

Здесь m = m0 - масса покоя частицы. Обозначив волновую функцию (, t) и учитывая формулы (51) получаем уравнение

, (53)

которое можно записать в виде

, (54)

где использовано обозначение . Это уравнение Клейна-Гордона (1926). Для безмассовой частицы: m = = 0, оно принимает вид волнового уравнения:

, (55)

Уравнение Клейна-Гордона может быть применено к частицам с нулевым спином и не годится для описания электрона. Релятивистское уравнение для электрона получил П. Дирак (1928).

П. Дирак записал релятивистское соотношение (52) в виде

, (55)

а затем, чтобы удовлетворялся принцип суперпозиции, его «линеаризовал»:

. (56)

Здесь k - четыре независимые четырехрядные эрмитовы матрицы. С учетом операторов энергии и импульса (51), получаем уравнение Дирака для свободного релятивистского электрона

, (57)

где = (1, 2, 3) - векторная матрица, т.е. вектор, компонентами которого являются четырехрядными матрицами. Волновая функция является четырехкомпонентной функцией вида

. (58)

Матрицы Дирака удовлетворяют следующим условиям:



, , (k, k = 0, 1, 2, 3), (57)

где под I понимается единичная матрица. Эти условия могут быть получены путем приравнивания квадратов правых частей формул (49) и (50). Условия (54) позволяют найти явный вид матриц:

, ,

, .(58)

Здесь 1(2,3) - двумерные спиновые матрицы Паули.

Чтобы найти уровни энергии атома водорода с учетом релятивистских эффектов, необходимо решить уравнение Дирака с учетом кулоновского взаимодействия электрона с ядром:

. (59)

Стационарные решения этого уравнения имеют вид

. (60)

Опуская громоздкое решение уравнения (49), которое можно найти в подробных курсах квантовой механики, запишем выражение для уровней энергии:

. (61)

Разлагая эти выражения в ряд по квадрату постоянной тонкой структуры и ограничиваясь первыми двумя членами, находим формулы:

а) при отрицательном знаке перед 1/2 в формуле (51) и n = k + l + 1

, (61а)

б) при положительном знаке перед 1/2 в формуле (3) и n = k + l + 2

, (61б)

В случае а) квантовое число полного момента j связано с l формулой

, l = 0, 1, 2, … (62а)

а в случае б) - формулой



, l = 1, 2, 3, … (62б)

Поэтому выражения (4а) и (4б) можно записать в виде одной формулы:

, (63)

Формула (63) дает выражение для тонкой структуры термов атома водорода: каждый уровень с главным числом n расщепляется на несколько подуровней по числу значений квантового числа j при данном значении n. Величина расщепления уровней имеет порядок 2 = (1/137)2. Например, найдем расщепление между уровнем n = 2, j = 1/2 (состояния 2s1/2 и 2p1/2) и уровнем n = 2, j = 3/2 (состояние 2p3/2). Из формулы (63) следует

эВ. (64)

Из формулы (64) следует, что уровни 2s1/2 и 2p1/2 должны точно совпадать, так им отвечают одинаковые значения квантовых чисел n и j. Опыты Лэмба и Ризерфорда (1947) показали, что эти уровни не совпадают. Разность составляет в единицах частоты 1958 МГц. Вызвано это взаимодействием атома с вакуумом.[5]



Список литературы

1. Ландсберг Г. С. Оптика. -- М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. -- С. 387. -- ISBN 5-9221-0314-8.

2. Иродов И. Е. Электромагнетизм. Основные законы/И. Е. Иродов. -- 7-е изд. -- М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009. -- 319 с : ил. -- (Технический университет. Общая физика). ISBN 978-5-9963-0064-8

3. Крылов И.Р. - Лекции по оптике для физфака. -- [Электронный ресурс]:http://www.phys.spbu.ru/content/File/Library/studentlectures/Krylov/Metodich/Meop_40.htm

4. Сивухин Д. В. Общий курс физики. Учеб. пособие: Для вузов. В 5 т. Т. IV. Оптика. -- 3-е изд., стереот. -- М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 792 с. - ISBN 5-9221-0228-1.

5. Джалмухамбетов А.У. Конспекты лекций по теоретической физике. Квантовая механика. -- А.: Астраханский госуниверситет, 2008.- 80 с.

6. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. -- Издание 7-е, исправленное. -- М.: Наука, 1988. -- 512 с. -- («Теоретическая физика», том II). -- ISBN 5-02-014420-7

Размещено на Allbest.ru