Параметры цепи, определение напряжения

29

Задача 1. Ток в цепи равен i. Параметры цепи r₁, r₂, ?L, и 1/?С заданы в таблице вариантов. Определить показания приборов. Написать мгновенное значение напряжения u₁ (t).

Дано

i, А	R1, Ом	?L, Ом	R2, Ом	1/?С, Ом
3*2 (1/2) *sin (wt - 45)	4	3	6	8

Решение.

Определим действующую силу тока, зная ее амплитудное значение

I=I_max/2^0.5=3 (A);

Найдем общее сопротивление цепи, как корень квадратный из суммы квадратов активных и реактивных составляющих (что следует из треугольника сопротивлений):

Z= ( (R₁+ R₂) ^2+ (X_L - X_C) ^2) ^0.5=8.60 (Ом);

Найдем общее действующее напряжение цепи (показания 1-го вольтметра), как произведение действующей силы тока на общее сопротивление цепи:

U=I*Z=25,81 (В);

Найдем амплитудное значение общего напряжения цепи:

U_max=U*2^0,5=36,50 (В);

Найдем угол сдвига фаз напряжения относительно тока

?=arcsin ( (X_L - R_C) /Z) = - 41⁰;

Запишем мгновенное значение напряжения u₁ (t):

u₁ (t) = U_max*sin (?t+? +?) = 36.50*sin (?t - 45 - 41) = 36.50*sin (?t - 86);

Поскольку активная мощность участка цепи (мощность, показываемая ваттметром) определяется как произведение квадрата действующей силы тока на активное сопротивление этого участка, то:

P=I^2*R₁=36 (Вт);

Определим показания 2-го вольтметра. Для этого найдем значение полного сопротивления, создаваемого активным сопротивлением R₂ и емкостным Х_С:

Z₂= (R₂^2+ Х_L^2) ^0.5=30 (B);

U=I* Z₂=3*30=90 (B);

Задача 2. В сеть переменного тока с напряжением u включены параллельно три приемника энергии, активные мощности и коэффициенты мощности, которых известны (смотреть таблицу вариантов). Определить токи приемников и ток в неразветвленной части цепи, а также коэффициент мощности всей установки.

Дано

U, В	Р1, кВт	cos?1	Р2, кВт	cos?2	Р3, кВт	cos?3
380	8	1	18	0,7	9	0,7

Решение.

Поскольку активная мощность равна произведению активной силы тока на напряжение то, учитывая коэффициенты мощности, которые равны отношению активного тока к полному, найдем полные, активные и реактивные токи каждой ветви (причем знак “ - ” соответствует емкостному характеру тока).

Для первой ветви:

I_a1 = P_1/U =21.05 (A);

I₁ = I_a1/cos?₁ =21.05 (A);

I_р1 = (I₁^2 + I_a1^2) ^0.5 =0 (A);

т.е. характер нагрузки первой ветви активный.

Для второй ветви:

I_a2 = P_2/U =47.37 (A);

I₂ = I_a2/cos?₂ =67.67 (A);

I_р2 = (I₂^2 + I_a2^2) ^0.5 = - 48.32 (A);

т.е. характер нагрузки второй ветви активно-емкостный.

Для третьей ветви:

I_a3 = P_3/U =23.68 (A);

I₃ = I_a3/cos?₃ =33.83 (A);

I_р3 = (I₃^2 + I_a3^2) ^0.5 = 72.48 (A);

т.е. характер нагрузки третей ветви активно-индуктивный.

Найдем активный ток неразветвленной ветви, как сумму активных токов параллельных участков:

I_a = I_a1 + I_a2 + I_a3 = 92.11 (A);

Найдем реактивный ток неразветвленной ветви, как сумму реактивных токов параллельных участков (причем знак “ - ” соответствует емкостному характеру тока):

I_р = I_р1 + I_р2 + I_р3 = - 24.16 (A);

Найдем общий ток неразветвленной части цепи, как корень из суммы квадратов его составляющих:

I = (I_р^2 + I_р^2) ^0.5 =95.22 (A);

Найдем коэффициент мощности цепи, как отношение активной составляющей тока к полному току цепи:

? = I_a / I = 0.967;

Задача 3. В схеме заданы напряжение u₂₃ и все параметры цепи. Необходимо: Определить действующие значения токов во всех ветвях и входного напряжения u;

Определить активную, реактивную и полную мощность цепи и проверить баланс мощностей;

Определить коэффициент мощности цепи;

Построить топографическую диаграмму, совмещенную с векторной диаграммой токов.

Дано

U23, В	R1, Ом	ХL1, Ом	ХC1, Ом	R2, Ом	ХL2, Ом	ХC2, Ом	R3, Ом	ХL3, Ом	ХC3, Ом
200	6	2	10	6	8	0	0	2	10

Решение.

Найдем общее сопротивление ветвей 2 и 3, как корень квадратный из суммы квадратов активных и реактивных сопротивлений (причем знак “-” соответствует емкостному характеру нагрузки):

Z₂= (R₂^2 + X_L2 ^2) ^0.5=10 (Ом); Z₃= (X_L3 - X_C3) = - 8 (Ом);

Найдем полные токи ветвей 1 и 2, как отношение напряжения участка 2-3 к общему сопротивлению каждой ветви:

I₂= U_23/Z₂ =20 (A); I₃= U_23/Z₃ =25 (A);

Найдем коэффициент полезной мощности ветвей 1 и 2, как отношение активного сопротивления ветви к полному сопротивлению ветви:

cos (?₂) = R_2/Z₂= 0.6;

cos (?₃) = R_3/Z₃= 0;

Найдем активные составляющие токов ветвей 1 и 2, как произведение полного тока ветви на коэффициент полезной мощности ветви:

I_a2= I₂ * cos (?₂) =12 (A);

I_a3= I₃ * cos (?₃) =0 (A);

Найдем реактивные составляющие токов ветвей 1 и 2, как корень квадратный из разности квадратов полного и активного токов (причем знак “ - ” соответствует емкостному характеру тока, т.е. X_C > X_L):

I_р2= (I₂^2 - I_a2^2) ^0.5=16 (A);

I_р3= (I₃^2 - I_a3^2) ^0.5= - 25 (A);

Найдем активную и реактивную составляющую тока участка 2-3 как сумму активных составляющих ветвей 2, 3 и реактивных составляющих ветвей 2, 3 соответственно (причем знак “ - ” соответствует емкостному характеру тока):

I_a23= I_a2+ I_a3=12 (A);

I_р23= I_р2+ I_р3= - 9 (A);

Найдем полный ток цепи, как корень квадратный из суммы квадратов активного и реактивного токов участка 2-3:

I= (I_а23^2 + I_р23^2) ^0.5=15 (A);

Найдем напряжение участка 1-4 (активное), как произведение полного тока цепи на активное сопротивление R₁:

U₁₄=I * R₁ =90 (B);

Найдем напряжение участка 4-5 (индуктивное), как произведение полного тока цепи на индуктивное сопротивление X_L1:

U₄₅=I * X_L1 =30 (B);

Найдем напряжение участка 5-2 (емкостное), как произведение полного тока цепи на емкостное сопротивление X_С1:

U₅₂=I * X_С1= - 150 (B);

Найдем активное напряжение участка 2-3, как произведение напряжение участка 2-3 на коэффициент полезной мощности участка 2-3 (с учетом того, что коэффициент полезной мощности участка 2-3 равен отношению активного тока к полному):

U_a23 = U₂₃ * (I_a23/I) =160 (B)

Найдем реактивное напряжение участка 2-3, как корень квадратный из разности квадратов полного и активного напряжений (причем знак “ - ” соответствует емкостному характеру напряжения, т.е. I_р23 < 0):

U_р23 = (U₂₃ ^2 - U_a23^2) ^0.5 =-120 (B);

Найдем активное напряжение цепи, как сумму напряжения участка 1-4 и активной составляющей участка 2-3

U_а = U₁₄ + U_а23 =150 (B);

Найдем реактивное напряжение цепи, как сумму напряжения участка 4-5, 5-2 и реактивной составляющей участка 2-3

U_р = U_р45 + U_р52 + U_р23 = - 240 (B);

Найдем полное напряжение цепи, как корень квадратный из суммы квадратов активного и реактивного напряжений:

U = (U_а ^2+ U_р ^2) ^0.5=346.6 (B);

Найдем коэффициент полезной мощности цепи, как отношение активного напряжения цепи к полному напряжению цепи:

cos (?) =U_а / U =0.721;

Найдем полную мощность цепи Q, как произведение полного тока цепи на напряжение:

Q = U * I =146088 (Bт);

Найдем активную мощность цепи P, как произведение полной мощности цепи на коэффициент полезной мощности:

P = Q * cos (?) = 105386 (Bт);

Найдем реактивную мощность цепи S, как корень квадратный из разности квадратов полной и активной мощностей:

S= (Q^2 -P^2) ^0.5=101170 (Bт);

Задача 4. В схеме заданы параметры цепи и ЭДС источников. Известно также, что ЭДС Е₁ опережает Е₂ на угол ?. Необходимо:

На основании законов Кирхгофа составить в общем виде систему уравнений для расчета токов во всех ветвях цепи, записав ее в двух формах: а) дифференциальной и б) символической.

Определить комплексы действующих значений токов во всех ветвях, воспользовавшись одним из методов расчета линейных цепей

По результатам, полученным в пункте 2, определить показания ваттметра двумя способами:

а) с помощью выражений для комплексов тока и напряжения;

б) по формуле UIcos (UI)

Построить топографическую диаграмму, совмещенную с векторной диаграммой токов.

Построить круговую диаграмму для тока в одном из сопротивлений при изменении модуля этого сопротивления от 0 до ?.

Пользуясь круговой диаграммой построить график изменения этого тока в зависимости от модуля сопротивления.

Используя данные расчета, полученные в пункте 2, записать выражения для мгновенных значений тока и напряжения. Построить график зависимости одной из этих величин.

Полагая, что между двумя индуктивностями, расположенными в разных ветвях заданной системы, имеется магнитная связь при коэффициенте магнитной индукции М составить в общем виде систему уравнений для расчета токов во всех ветвях цепи, записав ее в двух формах:

а) дифференциальной;

б) символической

Примечание 1. При отсутствии в данной схеме второй индуктивности, вторую нагрузку ввести дополнительно в одну из ветвей.

Примечание 2. Ориентируясь на ранее принятые направления токов в ветвях одноименные зажимы индуктивных катушек выбрать произвольно так, чтобы их встречное включение и обозначить эти зажимы звездочками.

Дано

E1, B	E2, B	?	R1, Ом	L1, мГ	C1, мкФ	R2, Ом	L2, мГ	C2, мкФ	R3, Ом	L3, мГ	C3, мкФ	f, Гц
240	240	п/4	12	2	20	14	8	100	4	5	50	500

Решение.

1) На основании законов Кирхгофа составим в общем виде систему уравнений для расчета токов во всех ветвях цепи, записав ее в двух формах:

а) дифференциальной

Исходя из первого закона Кирхгофа для узла а:

i₁+ i₂+ i₃ = 0;

Исходя из второго закона Кирхгофа для контура bdab:

e₁ = i₁*R₁+ 1/C₃*? i₃dt +i₃ *R₃;

Исходя из второго закона Кирхгофа для контура bcab:

e₂ = 1/C₂*?i₂dt + L₂*di₂/dt + 1/C₃*? i₃dt +i₃ *R₃;

Получили систему из 3 уравнений:

?i₁+ i₂+ i₃ = 0;

?e₁ = i₁*R₁+ 1/C₃*? i₃dt +i₃ *R₃;

?e₂ = 1/C₂*? i₂dt + L₂*di₂/dt + 1/C₃*? i₃dt +i₃ *R₃;

б) символической.

Исходя из первого закона Кирхгофа для узла а:

I₁+ I₂+ I₃ = 0;

Исходя из второго закона Кирхгофа для контура bdab:

2^0.5 * E₁ + 2^0.5 *j* E₁ = I₁*R₁ - I₃*j*1/wC₃+ I₃ *R₃;

Исходя из второго закона Кирхгофа для контура bcab:

E₂ = - I₂*j*1/wC₂+ I₂*j*wL₂ - I₃*j*1/wC₃ + I₃ *R₃;

Получили систему из 3 уравнений:

? I₁+ I₂+ I₃ = 0;

?2^0.5 * E₁ + 2^0.5 *j* E₁ = I₁*R₁ - I₃*j*1/wC₃+ I₃ *R₃;

?E₂ = - I₂*j*1/wC₂+ I₂*j*wL₂ - I₃*j*1/wC₃ + I₃ *R₃;

Определить комплексы действующих значений токов во всех ветвях, воспользовавшись методом двух узлов.

E₁ =240*e ^j45 = 170+170j (B);

E₂ =240*e ^j0 =240 (B);

R₁ =12*e ^j0 =12 (Ом);

R₃ =4*e ^j0 = 4 (Ом);

X_L2 =wL₂*e ^j90= 3.14*2*500*8=25.12*e ^j90 (Ом);

X_c2 = - 1/w C₂*e ^j90= - 1/ (3.14*2*500*100) = - 3.18*e ^j90 (Ом);

X_c3 = - 1/w C₂*e ^j90= - 1/ (3.14*2*500*50) = - 6.37*e ^j90 (Ом);

Запишем сопротивления ветвей в комплексной форме:

Z₁ = R₁ =12*e ^j0;

Z₂ = X_L2 +X_C2 =21.94*e ^j90;

Z₃ = X_L3 +R₃ =5.92*e ^-j47.53;

Найдем проводимости ветвей:

y₁=1/Z₁=1/12*e ^j0 =1/12;

y₂=1/Z₂=1/21.94*e - ^j90 =-j*1/21.94;

y₃=1/Z₃=1/5.92*e ^j47.53 =0.11405+0.12460j;

Найдем напряжение между узлами а и b:

U_ab= (240*e ^j45 *1/12*e ^j0 - 240*e ^j0 *1/21.94*e ^j90) / (1/12-j*1/21.94 + +0.11405+0.12460*j) = (20*e ^j45 -10.97*e ^j90) / (0.19738+0.07902*j) = (14.14213-3.17213*j) / (0.21261 *e ^j21.8) =68.17*e ^-j9;

U_ab =67.33+ j* 0.93;

Найдем токи цепи:

I₁= (E_{1 -} U_ab) *y₁= (170+j*170 - (67.33+j*0.93)) /12=16.48*e ^j59;

I₂= (E_{2 -} U_ab) *y₂= (240- (67.33+j*0.93)) /21.94*e ^j90 =7.87*e - ^j91;

I₃= U_ab*y₁=68.17*e ^-j9 / (5.92*e ^-j47.53) =11.51*e ^j36.53

По результатам, полученным в пункте 2, определим показания ваттметра двумя способами:

а) с помощью выражений для комплексов тока и напряжения;

б) по формуле UIcos (UI):

P= UIcos (UI) =197.76*16.48cos (59 - 45) = 3162.3 (Вт);

Построим топографическую диаграмму, совмещенную с векторной диаграммой токов.

Построим круговую диаграмму для тока во второй ветви при изменении модуля сопротивления этой ветви от 0 до ?. Для этого найдем максимальный ток I_k при сопротивлении третей ветви, равном 0:

I_k = E₁*y₁ + E₂*y₂ = (170+170j) /12 - 240*j*1/21.94 = 14.17+ 3.22j = =14.53*e^12.8;

Найдем сопротивление цепи относительно зажимов a и b:

Z_ab=1/ (y₁+y₂) +Z₃=-1/ (j*1/21.94+1/12) + 0.11405+0.12460j = 0.05+0.08j+ +0.11405+0.12460j=0.164+0.205j=0.26*e⁵¹;

В окружности

хорда равна I_k = 14.53*e^12.8;

коэффициент равен k=0.36;

вписанный угол ?= - 7

Пользуясь круговой диаграммой построим график изменения этого тока в зависимости от модуля сопротивления.

Используя данные расчета, полученные в пункте 2, запишем выражения для мгновенных значений тока и напряжения. Построим график зависимости одной из этих величин.

U_ab=68.17* sin (wt-9);

I₂=11.51* sin (wt + 36.53)

График - синусоиды, смещенные относительно оу на 9⁰ и - 36,53⁰ соответственно.

Полагая, что между двумя индуктивностями, расположенными в разных ветвях заданной системы, имеется магнитная связь при коэффициенте магнитной индукции М (добавим вторую индуктивность в 3 ветвь) составим в общем виде систему уравнений для расчета токов во всех ветвях цепи, записав ее в двух формах:

а) дифференциальной;

б) символической

1) На основании законов Кирхгофа составим в общем виде систему уравнений для расчета токов во всех ветвях цепи, записав ее в двух формах:

а) дифференциальной. Исходя из первого закона Кирхгофа для узла а:

i₁+ i₂+ i₃ = 0;

Исходя из второго закона Кирхгофа для контура bdab:

e₁ = i₁*R₁+ 1/C₃*? i₃dt + L₃*di₃/dt - M₂₃*di₂/dt + i₃ *R₃;

Исходя из второго закона Кирхгофа для контура bcab:

e₂ = 1/C₂*?i₂dt + L₂*di₂/dt - M₂₃*di₃/dt+ 1/C₃*? i₃dt+ L₃*di₃/dt - M₃₂*di₃/dt+i₃ *R₃;

Получили систему из 3 уравнений:

?i₁+ i₂+ i₃ = 0;

? e₁ = i₁*R₁+ 1/C₃*? i₃dt + L₃*di₃/dt - M₂₃*di₂/dt + i₃ *R₃;

? e₂ = 1/C₂*?i₂dt + L₂*di₂/dt - M₂₃*di₃/dt+ 1/C₃*? i₃dt+ L₃*di₃/dt - M₃₂*di₃/dt+i₃ *R₃;

б) символической.

Исходя из первого закона Кирхгофа для узла а:

I₁+ I₂+ I₃ = 0;

Исходя из второго закона Кирхгофа для контура bdab:

2^0.5 * E₁ + 2^0.5 *j* E₁ = I₁*R₁ - I₃*j*1/wC₃+ I₃ *R₃ +I₃*j*wL₃ - I₂*j*wM₃₂;

Исходя из второго закона Кирхгофа для контура bcab:

E₂ = - I₂*j*1/wC₂+I₂*j*wL₂-I₂*j*wM₃₂ - I₃*j*1/wC₃ + I₃ *R₃ - I₃*j*wM₂₃;

Получили систему из 3 уравнений:

? I₁+ I₂+ I₃ = 0;

?2^0.5 * E₁ + 2^0.5 *j* E₁ = I₁*R₁ - I₃*j*1/wC₃+ I₃ *R₃ +I₃*j*wL₃ -I₂*j*wM₃₂;

?E₂ = - I₂*j*1/wC₂+I₂*j*wL₂-I₂*j*wM₃₂ - I₃*j*1/wC₃ + I₃ *R₃ - I₃*j*wM₂₃;

Задача 5. Два электродвигателя переменного тока подключены параллельно к цепи с напряжением u₂и работают с низким коэффициентом мощности cos?₁. Измерительные приборы в цепи каждого электродвигателя показывают токи I₁ и I₁ и мощности Р₁ и Р₂. Провода линии электропередачи имеют активное сопротивление r₀ и индуктивное x₀. Численные значения всех величин, необходимых для расчета, приведены в таблице вариантов. Необходимо:

А. Рассчитать заданную электрическую цепь и определить (до подключения конденсаторов):

Ток в линии

Напряжение в начале линии

Потерю и падение напряжения в линии

Активную, реактивную и полную мощности в конце линии и мощность потерь в проводах

Коэффициент мощности установки

КПД линии

Б. Рассчитать компенсационную установку для получения cos?₂=0,95 и определить для указанного значения коэффициента мощности емкость и мощность батареи конденсаторов.

В. Выполнить расчет цепи при условии работы компенсационной установки и найти величины, указанные в пункте А. Полученные результаты свести в таблицу и сравнить для различных режимов работы электродвигателя (до компенсации и при cos?₂=0,95). Отметить, какие выводы дает улучшение коэффициента мощности установки.

Дано.

R0, Ом	Х0, Ом	I1, А	I2, А	Р1, кВт	Р2, кВт	U2, В
0,06	0,05	90	70	15	12	220

Решение.

А. Найдем активное сопротивление каждого электродвигателя, исходя из того, что активная мощность равна произведению активного сопротивления на квадрат тока ветви. Значит:

R₁=P_1/I₁² =1.852 (Ом);

R₂=P_2/I₂² =2.449 (Ом);

Найдем реактивную мощность каждого электродвигателя, как произведение тока на напряжение:

Q₁=U₁ * I₁ =19800 (Bт);

Q₂=U₂ * I₂ =15400 (Bт);

Найдем полную мощность каждого электродвигателя, как корень квадратный из разности полной и активной мощностей:

S₁= (Q₁² +! P₁²) ^0.5 =12924 (Bт);

S₂= (Q₂² +! P₂²) ^0.5 =9651 (Bт);

Найдем реактивное сопротивление каждого электродвигателя, исходя из того, что реактивная мощность равна произведению реактивного сопротивления на квадрат тока ветви (реактивное сопротивление является индуктивным):

X_L1=S_1/I₁² =1.596 (Ом);

X_L2=S_2/I₂² =1,970 (Ом);

Найдем полное сопротивление каждого электродвигателя, исходя из того, что полное сопротивление равно корню квадратному из суммы квадратов его активной и реактивной составляющих:

Z₁= (X_L1² + R₁²) ^0.5=2,444

Z₂= (X_L2² + R₂²) ^0.5=3,143

Найдем активную проводимость параллельного участка:

g = g₁ + g₂; где

g₁ =R₁/ Z₁²;

g₂ =R₂/ Z₂²;

Значит

g = g₁ + g₂ = R₁/ Z₁² + R₂/ Z₂² = 0.558

Найдем реактивную проводимость параллельного участка:

b=b₁+ b₁; где

b₁ = X_L1/ Z₁²;

b₂ = X_L2/ Z₂²;

Значит

b=b₁+ b₁ = X_L1/ Z₁² + X_L2/ Z₂² =0.467;

Найдем проводимость параллельного участка, исходя из того, что полная проводимость равна корню квадратному из суммы квадратов ее активной и реактивной составляющих:

y= (g₁² + b₂²) ^0.5=0.727;

Найдем полный ток цепи, как произведение напряжения параллельного участка на проводимость параллельного участка:

I=U₂ * y=160 (A);

Составим эквивалентную схему, заменив параллельный участок на эквивалентные активные и реактивные сопротивления:

Найдем эквивалентные активные и реактивные сопротивления параллельного участка:

R₁₂ =g₁₂/y₁₂² =1.055 (Ом);

X_L12 =b₁₂/y₁₂² =0.882 (Ом);

Найдем полное сопротивление параллельного участка:

Z₁₂= (R₁₂² + X_L12²) ^0.5=1.375 (Ом);

Найдем полное активное сопротивление цепи (сумма всех активных сопротивлений):

R= 2*R₀ + R₁₂ =1,175 (Ом);

Найдем полное реактивное сопротивление цепи (сумма всех реактивных сопротивлений):

X_L = 2*X_L0 + X_L12 = 0,982 (Ом);

Найдем полное сопротивление цепи, как корень квадратный из суммы квадратов активного и реактивного сопротивлений:

Z = (X_L² + R²) ^0.5= 1.531 (Ом);

Найдем полное напряжение цепи, как произведение полного тока цепи на полное сопротивление цепи:

U=I * Z = 245 (B);

Зная полный ток цепи, найдем падение напряжения в проводах линии на активном сопротивлении:

U_а0 = I * 2*R₀ = 19,20 (B);

Зная полный ток цепи, найдем падение напряжения в проводах линии на реактивном сопротивлении:

U_р0 = I * 2*X_L0 = 15,00 (B);

Найдем полное падение напряжения цепи в проводах линии, как корень квадратный из суммы квадратов падения напряжения в проводах линии на активном и реактивном сопротивлениях:

U₀ = (U_а0² + U_р0²) ^0,5 =25 (В);

Найдем активную, реактивную и полную мощности в конце линии и мощность потерь в проводах, исходя из того, что полная мощность в конце линии равна произведению полного тока линии на напряжение в конце линии:

P= I² *R₁₂ =27008 (Вт); Q= I² *X_L12 =22579 (Вт);

S= (P² + Q²) ^0.5=35202 (Вт);

Найдем коэффициент мощности установки:

cos?= R₁₂/Z₁₂= R₁₂/ (R₁₂² + X_L12²) ^0.5=0.558;

Найдем коэффициент полезной мощности ЛЭП:

? = (U - U_a0) / U=0.90;

Б. Рассчитаем компенсационную установку для получения cos?₂=0,95 и определим для указанного значения коэффициента мощности емкость и мощность батареи конденсаторов.

Заменим данную схему на эквивалентную с учетом результатов, полученных в п.А.

?

Пусть емкостное сопротивление батареи конденсаторов составляет X_С Ом. Найдем проводимость параллельного участка.

g = g₁ + g₂; где

g₁ =R_экв/ Z₁²;

g₂ =0;

Значит

g = g₁ + g₂ = R_экв/ Z₁² + 0= 0,558;

Найдем реактивную проводимость параллельного участка:

b=b₁ - b₁; где

b₁ = X_Lэкв/ Z₁²;

b₂ = X_С/ Z₂²;

Значит

b=b₁+ b₁ = X_L1/ Z₁² - 1/ X_C² =0.467 - 1/ X_C^2;

Найдем проводимость параллельного участка, исходя из того, что полная проводимость равна корню квадратному из суммы квадратов ее активной и реактивной составляющих:

y= (g₁² + b₂²) ^0.5= (0,311364 + (0.467 - 1/ X_C^{2) 2}) ^0.5;

Заменим данную схему на эквивалентную, заменив участок с параллельным соединением на сопротивление Z_пар активно-индуктивного характера:

где

R_пар= g/y²=0.558/ (0,311364 + (0.467 - 1/ X_C^{2) 2});

X_Lпар= b/y²= (0.467 - 1/ X_C²⁾ / (0,311364 + (0.467 - 1/ X_C^{2) 2});

Найдем полное активное сопротивление цепи (сумма всех активных сопротивлений):

R= 2*R₀ + R_пар =0,1 + 0.558/ (0,311364 + (0.467 - 1/ X_C^{2) 2}) (Ом);

Найдем полное реактивное сопротивление цепи (сумма всех реактивных сопротивлений):

X_L=2*X_L0+X_L12 = 0,12+ (0.467-1/ X_C²⁾ / (0,311364 + (0.467 - 1/ X_C^{2) 2}) (Ом); Поскольку cos?₂=0,95 то tg?₂=0.33, значит

X_L/R=0.33,0,1 + 0.558/ (0,311364 + (0.467 - 1/X_C^{2) 2}) = 3* (0,12+ (0.467-1/ X_C²⁾ / / (0,311364+ (0.467-1/ X_C^{2) 2}));

Решим уравнение относительно X_C²

1/ (0,311364 + (0.467 - 1/X_C^{2) 2}) =0.654+1.8* (0.467-1/ X_C²⁾ / (0,311364+ (0.467-1/ X_C^{2) 2}));

1 = 0,654* (0,311364+ (0.467-1/ X_C^{2) 2}) + 1.8* (0.467-1/ X_C²⁾

(0.467-1/ X_C^{2) 2} +2.752* (0.467-1/ X_C²⁾ - 1.529=0

(0.467-1/ X_C²⁾ =1.376+1.850=3.226

(0.467-1/ X_C²⁾ =1.376 - 1.850= - 0.474, 1/ X_C² =-2.859, 1/ X_C² =0.941

Значит

X_C =1.031 (Ом);

Значит, емкость батареи конденсаторов составляет:

C= 1/wX_C =308 (мкФ)

В. Найдем полное активное сопротивление цепи (сумма всех активных сопротивлений):

R= 2*R₀ + R_пар =0,1 + 0.558/ (0,314 + (0.467 - 1/ X_C^{2) 2}) = 1,03 (Ом);

Найдем полное реактивное сопротивление цепи (сумма всех реактивных сопротивлений):

X_L=2*X_L0+X_L12 = 0,12+ (0.467-1/ X_C²⁾ / (0,311364 + (0.467 - 1/ X_C^{2) 2}) =

= 0,34 (Ом);

Найдем полное сопротивление цепи, как корень квадратный из суммы квадратов активного и реактивного сопротивлений:

Z = (X_L² + R²) ^0.5= 1,09 (Ом);

Найдем ток цепи, как отношение полного напряжения цепи к полное сопротивление цепи:

I=U / Z = 225.7 (A);

Зная полный ток цепи, найдем падение напряжения в проводах линии на активном сопротивлении:

U_а0 = I * 2*R₀ = 22.58 (B);

Зная полный ток цепи, найдем падение напряжения в проводах линии на реактивном сопротивлении:

U_р0 = I * 2*X_L0 = 27.09 (B);

Найдем полное падение напряжения цепи в проводах линии, как корень квадратный из суммы квадратов падения напряжения в проводах линии на активном и реактивном сопротивлениях:

U_а0 = (U_а0² + U_р0²) ^0,5 = 38.31 (В);

Найдем активную, реактивную и полную мощности в конце линии и мощность потерь в проводах, исходя из того, что полная мощность в конце линии равна произведению полного тока линии на напряжение в конце линии:

P= I² *R₁₂ =50459 (Вт);

Q= I² *X_L12 =11213 (Вт);

S= (P² + Q²) ^0.5=51690 (Вт);

Найдем коэффициент мощности установки:

cos?= R₁₂/Z₁₂= R₁₂/ (R₁₂² + X_L12²) ^0.5=0.95;

Найдем коэффициент полезной мощности ЛЭП:

? = (U - U_a0) / U=0.85;

Составим сводную таблицу:

Характеристика	Без конденсаторов	С батареей конденсат.
I, A	160	225.7
Напряжение в начале линии, U, В	245	245
Падение напряжения цепи в проводах линии, U0, В	25	38,31
Потеря напряжения цепи в проводах линии, Uа0, В	19, 20	22,58
Активная мощность Р, Вт	27008	50459
Реактивная мощность Q, Вт	22579	11213
Полная мощность S, Вт	35202	51690
Коэффициент мощности установки	0,56	0,95

Выводы:

При повышении коэффициента мощности установки ток линии повышается;

Повышается активная мощность установки, и понижается реактивная мощность;

Повышаются токи электродвигателей, что приводит к необходимости увеличивать сечение обмоток.