Размещено на http://www.allbest.ru/

Реферат

Распространение волн в диспергирующих средах



Содержание

Введение

1. Уравнение электромагнитного поля в среде с дисперсией

2. Частотная дисперсия диэлектрической проницаемости

3. Соотношение Крамерса-Кронига

4. Дисперсия при распространении электромагнитной волны в диэлектрике

5. Дисперсия в среде со свободными зарядами

6. Волны в средах с пространственной дисперсией

7. Распространение волнового пакета в диспергирующей среде

8. Энергия электромагнитного поля в диспергирующей среде

Литература



Введение

Общий вид плоской гармонической волны определяется уравнением вида:

u(r, t) = Aexp(it ikr) = Aexp(i(t k'r) - (k"r)), (1)

где k() = k'() + ik"() - волновое число, вообще говоря, комплексное. Его действительная часть k'() = vф/ характеризует зависимость фазовой скорости волны от частоты, а мнимая часть k"() - зависимость коэффициента затухания амплитуды волны от частоты. Дисперсия, как правило, связана с внутренними свойствами материальной среды, обычно выделяются частотная (временная) дисперсия, когда поляризация в диспергирующей среде зависит от значений поля в предшествующие моменты времени (память), и пространственная дисперсия, когда поляризация в данной точке зависит от значений поля в некоторой области (нелокальность).



1. Уравнение электромагнитного поля в среде с дисперсией

В среде с пространственной и временной дисперсией материальные уравнения имеют операторный вид

Здесь предусматривается суммирование по повторяющимся индексам (правило Эйнштейна). Это - наиболее общая форма линейных материальных уравнений, учитывающая нелокальность, запаздывание и анизотропию. Для однородной и стационарной среды материальные характеристики , и должны зависеть только от разностей координат и времени R = r - r1, = t - t1:

, (.2)

, (3)

. (4)

Волну E(r, t) можно представить в виде 4-мерного интеграла Фурье (разложение по плоским гармоническим волнам)



, (5)

. (6)

Аналогично можно определить D(k, ), j(k, ). Взяв преобразование Фурье вида (5) от правых и левых частей уравнений (2), (3) и (4), получим с учетом известной теоремы о спектре свертки

, (7)

где тензор диэлектрической проницаемости, компоненты которого зависят, в общем случае, и от частоты, и от волнового вектора, имеет вид

(2.8)

Аналогичные соотношения получаются и для i j(k, ) и i j(k, ).

2. Частотная дисперсия диэлектрической проницаемости

При учете только частотной дисперсии материальные уравнения (7) принимают вид:

Dj(r, ) = i j()Ei(r, ), (9)

. (10)



Для изотропной среды тензор i j() обращается в скаляр, соответственно

D(r, ) = ()E(r, ), . (11)

Поскольку восприимчивость () - действительная величина, то

() = '() + i"(), '(-) = '(), "(-) = -"(). (12)

Совершенно аналогично получаем

j(r, ) = ()E(r, ), . (13)

Вводится также комплексная диэлектрическая проницаемость

. (14)

Интегрируя соотношение (11) по частям и учитывая, что () = 0, можно показать, что

.

С учетом формулы (14) уравнения Максвелла (1.16) - (1.19) для комплексных амплитуд принимают вид



. (15)

Здесь учтено, что 4 = -i4div (E)/ = div (D) = div (E). Соответственно, часто вводится комплексная поляризация и полный ток

. (16)

3. Соотношение Крамерса-Кронига

Запишем комплексную проницаемость (14) с учетом соотношений (11) - (13) в виде

, (17)

где () - функция Хевисайда, ( < 0) = 0, ( 0) = 1. Но ( < 0) = ( < 0) = 0, поэтому ()() = (), ()() = (). Следовательно,

,

где () - Фурье-образ функции Хевисайда,

. (18)



Таким образом,

или

. (19)

Аналогично легко получить

. (20)

Заметим, что интегралы в соотношениях (19) и (20) берутся в главном значении. Теперь с учетом соотношений (17), (19) и (20) получаем:

Приравнивая мнимые и действительные части в правой и левой частях этого равенства, получим соотношения Крамерса-Кронига

, (21)

, (22)

устанавливающие универсальную связь между действительной и мнимой частями комплексной проницаемости. Из соотношений Крамерса - Кронига (21), (22) следует, что диспергирующая среда является поглощающей средой.

электромагнитный дисперсия волна энергия

4. Дисперсия при распространении электромагнитной волны в диэлектрике

Пусть Р = Np = Ner - объемная поляризация среды, где N - объемная плотность молекул, r - смещение. Колебания молекул под действием внешнего электрического поля описываются моделью Друде-Лоренца (гармонический осциллятор), соответствующей колебаниям электрона в молекуле. Уравнение колебаний одной молекулы (диполя) имеет вид

,

где m - эффективная масса электрона, 0 - частота нормальных колебаний, m - коэффициент, описывающий затухание (потери на излучение), Еd = E + 4P/3 - электрическое поле, действующее на диполь в однородном диэлектрике под действием внешнего поля Е.

Если внешнее поле меняется по гармоническому закону E(t) = Eexp(-it), то для комплексной амплитуды поляризации получаем алгебраическое уравнение

Или

.



Так как D = E = E + 4P, то

. (23)

Здесь обозначено . Другая форма соотношения (23):

. (24)

Из формулы (23) следует, что при 0 . В газах, где плотность молекул невелика, можно принять , тогда

.

Отсюда в силу формулы (1.31) для показателей преломления и поглощения получаем, учитывая, что tg() = "/' << 1:

.

График этих зависимостей приведен на рис. 1. Отметим, что при 0 получается аномальная дисперсия dn/d < 0, то есть фазовая скорость волны возрастает с частотой.



5. Дисперсия в среде со свободными зарядами

Примерами среды со свободными зарядами являются металл и плазма. При распространении в такой среде электромагнитной волны тяжелые ионы можно считать неподвижными, а для электронов записать уравнение движения в виде

.

В отличие от диэлектрика здесь нет возвращающей силы, так как электроны считаются свободными, а - частота соударений электронов с ионами. В гармоническом режиме при E = Eexp(-it) получим:

,

Тогда

, (25)

где - плазменная, или ленгмюровская частота.

Проводимость такой среды естественно определить через мнимую часть проницаемости:

. (26)



В металле << , p << , () 0 = const, () чисто мнимая, , поле в среде существует только в скин-слое толщиной d (kn)-1 << , R 1.

Рис. 1. Дисперсия поглощения и

Рис. 2 Дисперсия в плазме

В разреженной плазме ~ (103 ... 104) c-1 и при >> проницаемость () чисто действительная, , то есть

- (27)

дисперсионное уравнение, его график приведен на рис. Отметим, что при > p коэффициент преломления n действительный и волна свободно распространяется, а при < p коэффициент преломления n мнимый, то есть волна отражается от границы плазмы.

Наконец, при = p получаем n = 0, то есть = 0, значит, D = E = 0. Соответственно, в силу уравнений Максвелла (1.16) и (1.19) rot H = 0, div H = 0, то есть Н = const. В этом случае из уравнения (1.17) следует, что rot Е = 0, то есть

E = -grad - потенциальное поле. Следовательно, в плазме возможно существование продольных (плазменных) волн.

6. Волны в средах с пространственной дисперсией

При учете и пространственной, и временной дисперсии уравнение электромагнитного поля для плоских волн имеет вид (7) с материальными уравнениями вида (8):

Соответственно, для плоских гармонических волн при = 1 уравнения Максвелла (15) с учетом соотношения (1.25) принимают вид:

(28)

Умножим второе из соотношений (28) слева векторно на k и, учитывая первое соотношение, получим:

.

В тензорных обозначениях с учетом соотношения (7) это означает



(29)

Здесь, по-прежнему, подразумевается суммирование по повторяющемуся индексу, в данном случае по j.

Нетривиальные решения системы уравнений (29) существуют при равенстве нулю ее определителя

.

Это условие задает в неявном виде закон дисперсии (k). Для получения явного вида необходимо рассчитать тензор диэлектрической проницаемости.

Рассмотрим случай слабой дисперсии, когда ka << 1, где а - характерный размер неоднородности среды. Тогда можно считать, что i j(R, ) отлично от нуля лишь при |R| < a. Экспоненциальный же множитель в уравнении (8) заметно меняется лишь при |R| ~ 2/k = >> a, то есть экспоненту можно разложить в ряд по степеням R:

exp(-ikR) = 1 - iklxl - klkmxlxm/2 + ... , l, m = 1, 2, 3.

Подставляя это разложение в уравнение (8), получим

(30)



Поскольку при слабой дисперсии интегрирование по R в уравнении (30) выполняется в области размером порядка а3, то

Введем вектор n = k/c и перепишем уравнение (30) в виде:

, (31)

где обозначено .

Поскольку все компоненты i j тензора восприимчивости - действительные величины, то из уравнения (8) следует свойство эрмитовой сопряженности тензора диэлектрической проницаемости . Для среды с центром симметрии тензор диэлектрической проницаемости так же симметричен: i j(k, ) = j i(k, ) = i j(-k, ), при этом разложение i j(k, ) по k содержит только четные степени k. Такие среды называются оптически неактивными или негиротропными.

Оптически активной может быть только среда без центра симметрии. Такая среда называется гиротропной и описывается несимметричным тензором диэлектрической проницаемости i j(k, ) = j i(-k, ) = *j i(k, ).

Для изотропной гиротропной среды тензор i j() является скаляром, i j() = ()i j, а антисимметрические тензоры второго ранга i j l nl и gi j l nl в соотношении (31) - псевдоскалярами, то есть i j l() = ()еi j l, gi j l() = g()еi j l, где еi j l - единичный полностью антисимметричный тензор третьего ранга. Тогда из соотношения (31) получаем для слабой дисперсии (a << ):



i j(k, ) = ()i j - i()еi j l nl.

Подставляя это выражение в уравнение (29), получим:

,

или в координатной форме, направляя ось z вдоль вектора k,

Здесь n = nz, k = kz= n/c.

Из третьего уравнения системы следует, что Ez = 0, то есть волна поперечная (в первом приближении для слабо гиротропной среды). Условие существования нетривиальных решений первого и второго уравнений системы - равенство нулю определителя: [n2 - ()]2 - 2()n2 = 0. Поскольку a << , то и 2/4 << , поэтому

. (32)

Двум значениям n2 соответствуют две волны с правой и левой круговой поляризацией, из соотношения (1.38) следует, что . При этом, как следует из соотношения (32), фазовые скорости этих волн различны, что приводит к повороту плоскости поляризации линейно поляризованной волны при распространении в гиротропной среде (эффект Фарадея).



7. Распространение волнового пакета в диспергирующей среде

Носителем информации (сигналом) в электронике является модулированная волна. Распространение плоской волны в диспергирующей среде описывается уравнением вида:

, (33)

Для электромагнитных волн в среде с временной дисперсией оператор L имеет вид:

.

Пусть диспергирующая среда занимает полупространство z > 0 и на ее границе задан входной сигнал u(t, z = 0) = u0(t) с частотным спектром

. (34)

Так как линейная среда удовлетворяет принципу суперпозиции, то

. (35)

Подставляя соотношение (35) в уравнение (33), можно найти закон дисперсии k(), который будет определяться видом оператора L(u). С другой стороны, подставляя соотношение (34) в уравнение (35), получим



. (36)

Пусть сигнал на входе среды является узкополосным процессом, или волновым пакетом u0(t) = A0(t)exp(-i0t), |dA0(t)/dt| << 0A0(t), то есть сигнал является ММА-процессом. Если << 0, где F(0 ) = 0,7F(0), то

(37)

и волновой пакет (36) можно записать в виде u(z, t) = A(z, t)exp(i(k0z - 0t)), где

. (38)

В первом приближении теории дисперсии ограничиваются линейным разложением . Тогда внутренний интеграл по в уравнении (38) превращается в дельта-функцию:

u(z, t) = A0(t - zdk/d)exp(i(k0z - 0t)), (39)

что соответствует распространению волнового пакета без искажения с групповой скоростью

vгр = [dk(0)/d]-1. (40)



Из соотношения (39) видно, что групповая скорость - это скорость распространения огибающей (амплитуды) A(z, t) волнового пакета, то есть скорость передачи энергии и информации в волне. Действительно, в первом приближении теории дисперсии амплитуда волнового пакета удовлетворяет уравнению первого порядка:

. (41)

Умножая уравнение (41) на А* и складывая его с комплексным сопряжением уравнения (41), умноженным на А, получим

,

то есть энергия волнового пакета распространяется с групповой скоростью.

Нетрудно видеть, что

.

В области аномальной дисперсии (1 < 0 < 2, рис. 1) возможен случай dn/d < 0, что соответствует vгр > c, но при этом существует столь сильное затухание, что не применимы ни сам метод ММА, ни первое приближение теории дисперсии.

Распространение волнового пакета происходит без искажения только в первом порядке теории дисперсии. Учитывая в разложении (37) квадратичное слагаемое, получим интеграл (38) в виде:



. (42)

Здесь обозначено = t - z/vгр, k" = d2k(0)/d2 = d(1/vгр)/d - дисперсия групповой скорости. Прямой подстановкой можно показать, что амплитуда волнового пакета A(z, t) вида (42) удовлетворяет диффузионному уравнению

(43)

с мнимым коэффициентом диффузии D = -id2k(0)/d2 = -id(1/vгр)/d.

Отметим, что даже если дисперсия очень слаба, а спектр сигнала очень узкий, так что в его пределах третий член в разложении (37) много меньше второго, то есть d2k(0)/d2 << dk(0)/d, то на некотором расстоянии от входа в среду искажение формы импульса становятся достаточно большими. Пусть на входе в среду сформирован импульс A0(t) длительностью и. Раскрыв скобки в показателе экспоненты в соотношении (42), получим:

.

Переменная интегрирования меняется здесь в пределах порядка и, поэтому если (дальняя зона), то можно положить , тогда интеграл примет вид преобразования Фурье:



,

где - спектр входного импульса,

.

Таким образом, импульс в среде с линейной дисперсией групповой скорости в дальней зоне превращается в спектрон-импульс, огибающая которого повторяет спектр входного импульса. При дальнейшем распространении форма импульса не меняется, но увеличивается его длительность при одновременном уменьшении амплитуды.

Из уравнения (43) можно получить некоторые полезные законы сохранения для волнового пакета. Если проинтегрировать по времени выражение

A*L(A) + AL(A*), где ,

то получим закон сохранения энергии:

.

Если проинтегрировать по времени выражение L(A)A*/ - L(A*)A/ = 0, то получим второй закон сохранения:



.

Проинтегрировав же по времени само уравнение (43), получим третий закон сохранения:

.

При выводе всех законов сохранения учитывалось, что A() = dA()/d = 0.

8. Энергия электромагнитного поля в диспергирующей среде

При наличии потерь закон сохранения электромагнитной энергии (1.33) принимает вид:

W/t + div S + Q = 0, (44)

где S - вектор Пойтинга вида (1.34), Q - мощность тепловых потерь, которые приводят к уменьшению со временем амплитуды волны. Рассмотрим квазимонохроматические ММА-волны.

(45)



Используя выражение для дивергенции векторного произведения и уравнения Максвелла (1.16), (1.17), получаем:

.

Подставляя сюда выражения (45) для ММА-полей и усредняя его по периоду колебаний электромагнитного поля Т = 2/, что уничтожает быстро осциллирующие компоненты exp(-2i0t) и exp(2i0t), получим:

. (46)

Будем рассматривать немагнитную среду с = 1, то есть B0 = H0, и используем материальное уравнение вида (2), связывающее вектора D и E, чтобы получить связь между медленно меняющимися амплитудами полей вида (45) для случая однородной и изотропной среды без пространственной дисперсии

.

В слабо диспергирующей среде () - почти дельта-функция, то есть за время запаздывания поляризации поле почти не меняется и его можно разложить по степеням , учитывая только первые два слагаемые:

.



Заметим, что величина в квадратных скобках, как следует из соотношения (11), равна диэлектрической проницаемости среды на частоте 0, поэтому

.

Для узкополосного процесса производная D0/t с той же точностью имеет вид D0/t = (0) Е0/t + ....

Тогда соотношение (46) принимает вид:

(47)

Для чисто монохроматической волны постоянной амплитуды dW/dt = 0, тогда из уравнений (44) и (47) получаем:

. (48)

Если пренебречь диссипацией, то есть положить в уравнении (44) Q = 0, а в уравнении (47) в силу соотношения (48) " = 0,то получим:

,



откуда для средней плотности энергии электромагнитного поля следует

. (49)



Литература

1. Беликов Б.С. Решение задач по физике. М.: Высш. школа, 2007. - 256 с.

2. Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики. М.: Наука, 2008. - 464 с.

3. Геворкян Р.Г. Курс общей физики: Учеб. пособие для ВУЗов. Изд. 3-е, перераб. М.: Высш. школа, 2007. - 598 с.

4. Детлаф А.А., Курс физики: Учеб. пособие для ВУЗов М.: Высш. школа, 2008 - 608 с,

5. Иродов И.Е. Задачи по общей физике 2-е изд. перераб. М.: Наука, 2007. - 416 с.

6. Кикоин И.К., Китайгородский А.И. Введение в физику. М.: Наука, 2008. - 685 с.

7. Рыбаков Г.И. Сборник задач по общей физике. М.: Высш. школа, 2009. - 159 с.

8. Рымкевич П.А. Учебник для инж.- эконом. спец. ВУЗов. М.: Высш. школа, 2007. - 552 с.

9. Савельев И.В. Сборник вопросов и задач 2-е изд. перераб. М.: Наука, 2007. - 288 с.

10. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Термодинамика и молекул. физика М.: Наука, 2009. - 551 с.

11. Трофимова Т.И. Курс физики М.: Высш. школа, 2007. - 432 с.

12. Чертов А.Г. Задачник по физике с примерами решения задач и справочными материалами. Для ВУЗов. Под. ред. А.Г Чертова М.: Высш. школа, 2007. - 510 с.

13. Шепель В.В. Грабовский Р.И. Курс физики Учебник для ВУЗов. Изд. 3-е, перераб. М.: Высш. школа , 2008. - 614 с.

14. Шубин А.С. Курс общей физики М.: Высш. школа, 2008. - 575 с.

Размещено на Allbest.ru