Размещено на http://www.allbest.ru/

Факультет Информатики и вычислительной техники

Кафедра математического и аппаратного обеспечения информационных систем

Курсовая работа

по дисциплине "Вычислительная математика"

"Интерполяция функций в пакете MatLab.

Полином Лагранжа "

Выполнил: студент группы

ИВТ-11-10 Фёдоров В.С.

Содержание

• Введение
• 1. Теоретическая часть
• Интерполяция функций
• Интерполяционная формула Лагранжа
• 2. Практическая часть
• Реализация
• Распечатка серии тестов
• Анализ полученных результатов
• Интерполяция по соседним элементам
• Линейная интерполяция
• Интерполяция кубическими сплайнами
• Интерполяция Лагранжа
• Список использованной литературы

Введение

В вычислительной математике существенную роль играет интерполяция функций, т.е. построение по заданной функции другой (как правило, более простой), значения которой совпадают со значениями заданной функции в некотором числе точек. Причем интерполяция имеет как практическое, так и теоретическое значение. На практике часто возникает задача о восстановлении непрерывной функции по ее табличным значениям, например полученным в ходе некоторого эксперимента. Для вычисления многих функций оказывается эффективно приблизить их полиномами или дробно-рациональными функциями. Теория интерполирования используется при построении и исследовании квадратурных формул для численного интегрирования, для получения методов решения дифференциальных и интегральных уравнений.

Аннотация:

В данной курсовой работе в программном продукте MatLab реализовано интерполирование функций полиномом Лагранжа.

1. Теоретическая часть

Интерполяция функций

Пусть на отрезке [a, b] заданы значения функции y = f (x) в точках

Интерполяция - нахождение многочлена не выше n-ой степени:

(1)

который в точках принимает те же значения, что и данная функция, т.е. выполняются равенства:

() = f () = , i = 0, 1, 2, …,n. (2)

Другими словами, интерполяция - нахождение многочлена вида (1), который на отрезке [a, b] являлся бы приближением для функции y = f (x).

Многочлен (1) называется интерполяционным многочленом, точки - узлами интерполяции

.

Интерполяционная формула Лагранжа

Рассмотрим вопрос об отыскании коэффициентов интерполяционного многочлена (1).

интерполяция полином лагранж математика

Подставляя этот многочлен в систему (2), получаем систему n+1 уравнений первой степени с n+1 коэффициентами :

Решая систему, находим коэффициенты и, подставляя их в (1) получаем искомый интерполяционный многочлен. Однако на практике этот способ связан с громоздкими вычислениями при решении системы.

Поэтому интерполяционный многочлен (1) будем искать в виде:

(4)

Полагая в (4) x = и учитывая условия (2) получим:

,

откуда =

Полагая в (4) x = получим:

,

откуда

=

Аналогично найдем

=

…………………

=

Подставляя найденные значения коэффициентов в формулу (4), получаем искомый многочлен

= + +

. + (5)

Формула (5) называется интерполяционной формулой Лагранжа.

Пример. Найти многочлен второй степени, приближенно выражающий функцию f (x).

x0 = 1	x1 = 3	x2 = 5
y0 = 2	y1 = 1	y2 = 8

Решение. По формуле (5) находим

= + +

= 2 + +

= x +

Блок - схема алгоритма.

2. Практическая часть

Реализация

Для среды разработки был выбран программный продукт MatLab, так как он очень удобен для математических операций и построения графиков.

Листинг:

lagrange. m

function f=LagrangeP (x,y,r)

% (x,y) массивы координат точек

m=length (r);

nx=length (x);

ny=length (y);

if (nx ~= ny),

error (' (x,y) do not have the same # values')

end

for k=1: m

sum = 0;

for i=1: nx

delt (i) =1;

for j=1: nx

if (j ~= i),

delt (i) = delt (i) * (x (k) - xt (j)) / (xt (i) - xt (j));

end

end

sum = sum + ft (i) * delt (i);

end

f (k) =sum;

end

plot (x,y,'o',r)

Руководство программиста:

Назначение программы: Построение полинома Лагранжа.

Используемые функции:

plot (x,y) - команда plot (x, y) соответствует построению обычной функции, когда одномерный массив x соответствует значениям аргумента, а одномерный массив y - значениям функции.

length (x) - встроенная функция, вычисляет количество элементов в одномерном массиве.

interp1 (x, y, xi, `text') - приближение функции одной переменной сплайнами, где x,y - это табличные данные исходной функции, xi - значения аргумента сетки, а `text' = nearest - интерполяция по соседним элементам, linear - линейная итерполяция, Spline - интерполяция кубическими сплайнам.

Руководство пользователя:

Назначение программы: Построение полинома Лагранжа c помощью интерполяционной формулы Лагранжа.

Выполнение программы: В окошке Command Window введем табличные данные исходной функции x и y, а также X абсцисс точек, в которых вычисляются значения интерполяционного полинома. После этого введем Y=LagrangeP (x,y,X) для построения полинома Лагранжа. Выводится графики исходной функции и интерполянты.

Распечатка серии тестов

Для примера возьмем исходную функцию: , построим график этой функции:

Находим точки дискретизации, где шаг равен 0.5:

x	2	2,5	3	3,5	4	4,5	5	5,5	6	6,5	7
y	-0,68	-0,57	-0,03	-0,23	-0,74	-0,40	0,52	0,70	0,14	0,09	0,65

Интервал вычисления интерполянты: от 2 до 7 с шагом 0.1

Используем встроенную функцию: - интерполяция по соседним элементам.

Строим точки дискретизации и график интерполянты:

- линейная итерполяция.

Строим точки дискретизации и график интерполянты:

- интерполяция кубическими сплайнам.

Строим точки дискретизации и график интерполянты:

Воспользуемся написанной функцией:

- интерполяция формулами Лагранжа.

Строим точки дискретизации и график интерполянты:

Анализ полученных результатов

Ниже приведен листинг программы для вычисления погрешности. Функция выводит на экран максимальное по модулю значение погрешности.

Листинг:

pogr. m

function p=pogr (X,Y)

yi=sin (2*X). *sin (X);

P=yi-Y;

p=P;

abs (p);

max (p)

Интерполяция по соседним элементам

Возьмем для теста несколько не узловых точек.

X	2,10	2,37	2,64	2,91	3,18	3,45	3,72	3,99	4,26
Y	-0,68	-0,57	-0,57	-0,04	-0,04	-0,23	-0,23	-0,74	-0,41
X	4,53	4,8	5,07	5,34	5,61	5,88	6,15	6,42	6,69
Y	-0,41	0,52	0,52	0,70	0,70	0,15	0,15	0,09	0,09

>> pogr (X,Y); - вычисляем максимальную погрешность 0.1972.

Линейная интерполяция

Возьмем для теста несколько не узловых точек.

X	2,10	2,37	2,64	2,91	3,18	3,45	3,72	3,99	4,26
Y	-0,66	-0,60	-0,42	-0,13	-0,10	-0,21	-0,45	-0,73	-0,56
X	4,53	4,8	5,07	5,34	5,61	5,88	6,15	6,42	6,69
Y	-0,34	0,15	0,54	0,64	0,58	0,28	0,13	0,09	0,30

>> pogr (X,Y); - вычисляем максимальную погрешность 0.1228

Интерполяция кубическими сплайнами

Возьмем для теста несколько не узловых точек

X	2,10	2,37	2,64	2,91	3,18	3,45	3,72	3,99	4,26
Y	-0,76	-0,70	-0,40	-0,10	-0,01	-0,17	-0,49	-0,74	-0,69
X	4,53	4,8	5,07	5,34	5,61	5,88	6,15	6,42	6,69
Y	-0,35	0,17	0,61	0,76	0,60	0,27	0,05	0,05	0,24

>> pogr (X,Y); - вычисляем максимальную погрешность 0.0446

Интерполяция Лагранжа

Возьмем для теста несколько не узловых точек

X	2,10	2,37	2,64	2,91	3,18	3,45	3,72	3,99	4,26
Y	-0,70	-0,67	-0,41	-0,11	0,0009	-0,17	-0,50	-0,74	-0,70
X	4,53	4,8	5,07	5,34	5,61	5,88	6,15	6,42	6,69
Y	-0,35	0,17	0,61	0,77	0,60	0,27	0,05	0,06	0, 19

>> pogr (X,Y); - вычисляем максимальную погрешность 0.0963

Из вычислений видно, что интерполяция по соседним элементам является самым неточным, а интерполяция кубическими сплайнами и интерполяция формулами Лагранжа намного точнее.

Список использованной литературы

1. Волков, Е.А. Численные методы: учеб. пособие / E. A. Волков. - М.: Наука, 1982. - 256 с.

2. Турчак, Л.И. Основы численных методов: учеб. пособие / Л.И. Турчак; под ред.В. В. Щенникова. - М.: Наука, 1987. - 320 с.

3. Поршнев, С.В. Вычислительная математика. Курс лекций: учеб. пособие / С.В. Поршнев. - 2-е изд., доп. - СПб.: БХВ-Петербург, 2004. - 320 с.

4. Демидович, Б.П. Основы вычислительной математики: учеб. пособие / Б.П. Демидович, И.А. Марон. - 6-е изд., стереотип. - СПб.; М.; Краснодар: Лань, 2007. - 672 с.

Размещено на Allbest.ru