Моделирование процесса параметрической идентификации динамического объекта

Преобразование формулы и решение ее с помощью Метода Эйлера. Моделирование метода оптимизации с функцией Розенброка. Поиск модели зашумленного сигнала. Нахождение минимума заданной целевой функции методом покоординатного спуска нулевого порядка.

Рубрика Программирование, компьютеры и кибернетика
Вид курсовая работа
Язык русский
Дата добавления 21.12.2013
Размер файла 1,2 M

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Постановка задачи

В нашей работе нам нужно создать модель, которая будет удовлетворять исходным данным и сможет найти оптимальные параметры для идентификации исходной функции. Результатом работы должны быть графики поиска минимума значения функции, гистограмма распределения точек генератора случайных чисел, а также график Y теоретического, Y экспериментального от времени.

Моделирование используется, если эксперимент с реальным объектом:

1) опасный

2) дорогой

3) долговременный / краткосрочный

4) невозможный / трудный

Условная схема моделирования:

Т.к. у нас отсутствует объект, то мы заменяем его на Y теоретическое + шум

Y экспериментальное = Y теоретическое + шум

2. Нахождение Y теоретического. Преобразование формулы и решение ее с помощью Метода Эйлера

Здесь нам нужно найти значения функции Y теоретического, для того, чтобы потом получить Y экспериментальное, с помощью шума.

Используя метод введения дополнительной переменной, получим:

Перейдём в вещественную форму:

Обозначим:

Получим систему уравнений в канонической форме:

Далее решаем систему методом Эйлера. Начальные условия:

А также, на каждом шаге подставив полученные значения, рассчитываем

Выберем шаг h=0.5, выполним необходимые вычисления и построим график функции.

Полученный график представлен на рис. 1. По графику видно, что функция

y(t)-> к числу чуть больше 0. А выходит она из точки ~ -1500.
Узнаем точные значения этих точек. Для этого вычислим пределы:

= 30

= -1500

Некоторые значения y представлена в таблице 1 «Зависимость значения функции от времени».

Наилучший период наблюдения t=1…300, шаг h=0.5.

Взято 300 точек, т. к. уже на этом периоде наблюдения видно как график функции сходится к положительному числу около 0. График функции искажается при шаге больше 0.5 (при шаге больше 0,8 - расходится). А при меньшем шаге сходимость получим за большее число шагов. Поэтому выбран шаг h=0.5.

Таблица 1. Зависимость значения функции от времени

t

y(t)

1

-1500,000

11

1130,336

21

-407,472

31

-131,811

41

546,368

51

-554,815

61

465,039

71

-156,678

81

-15,510

91

218,653

101

-192,945

111

201,441

121

-48,697

131

18,974

141

98,544

151

-54,763

161

97,352

171

-2,843

181

28,262

191

54,751

201

-2,138

211

56,381

221

16,410

231

30,295

241

38,875

251

17,849

261

40,304

271

24,418

281

30,484

291

33,157

3. Моделирование метода оптимизации

3.1 Описание метода поиска

Метод предназначен для нахождения экстремума (минимума) функции , но в нашем случае: .

1. Задается начальная точка , отличная от точки минимума. Задаются точность (E) и шаг (h).

2. Далее выбираем координату (направление), по которой будем двигаться по функции:

а все остальные координаты фиксируем. И ищем минимальное значение функции как функцию одной переменной (Х1)

В случае если новое значение функции больше предыдущего, то меняем шаг на противоположный (h = - h).

3. Когда находим значение координаты, при котором значение функции минимально, то выбираем другую координату, по которой будем двигаться по функции:

а все остальные координаты снова фиксируем.

Выбор остановки задан 4 условиями:

1.

2.

3.

4. Число обращений (итераций)

k(f) > kmax

3.2 Результаты работы программы

Квадратичная функция (Эллипс)

Функция имеет вид

Начальная точка А0 (2, 2).

Таблица 2. Изменение x1 и x2, исходя из поиска min значения квадратичной функции

№ шага

X1

X2

1

2

2

2

1,8

2

3

1,6

2

4

1,4

2

5

1,2

2

6

1

2

7

0,8

2

8

0,6

2

9

0,4

2

10

0,2

2

11

2,78E-16

2

12

2,78E-16

1,8

13

2,78E-16

1,6

14

2,78E-16

1,4

15

2,78E-16

1,2

16

2,78E-16

1

17

2,78E-16

0,8

18

2,78E-16

0,6

19

2,78E-16

0,4

20

2,78E-16

0,2

21

2,78E-16

2,78E-16

N = 21

Функция Розенброка

Функция имеет вид:

Начальная точка А0 (2, 2).

EPSILON = 0.001; %Точность

h = 0.1; %Шаг

Таблица 3. Изменение x1 и x2, исходя из поиска min значения функции Розенброка

№ шага

X1

X2

1

2

2

2

1,9000

2

3

1,8000

2

4

1,7000

2

5

1,6000

2

6

1,5000

2

7

1,4000

2

N = 7

Начальная точка А0 (1, -4).

EPSILON = 0.001; %Точность

h = 0.1; %Шаг

Таблица 4. Изменение x1 и x2, исходя из поиска min значения функции Розенброка

№ шага

X1

X2

1

1

-4

2

0,8

-4

3

0,6

-4

4

0,4

-4

5

0,2

-4

6

5,55E-17

-4

7

5,55E-17

-3,8

8

5,55E-17

-3,6

9

5,55E-17

-3,4

10

5,55E-17

-3,2

11

5,55E-17

-3

12

5,55E-17

-2,8

13

5,55E-17

-2,6

14

5,55E-17

-2,4

15

5,55E-17

-2,2

16

5,55E-17

-2

17

5,55E-17

-1,8

18

5,55E-17

-1,6

19

5,55E-17

-1,4

20

5,55E-17

-1,2

21

5,55E-17

-1

22

5,55E-17

-0,8

23

5,55E-17

-0,6

24

5,55E-17

-0,4

25

5,55E-17

-0,2

26

5,55E-17

1,28E-15

27

0,2

1,28E-15

N = 27

4. Реализация ГСЧ

Создание ГСЧ и поиск модели зашумленного сигнала. В нашем случае используем метод усечения для создания ГСЧ. Чтобы испытать ГСЧ строим гистограмму на 10000 точек. Сгенерированные точки должны соответствовать закону:

. y_max - максимальное значение Y по модулю из всех точек графика Y теор.

возьмем , т. к. y_max по модулю больше 500 (1500).

Проверка генератора «Треугольного шума» при N = 10000 и delta_y = 7.5:

График Y теоретического и Y экспериментального (зашумленный график Y теоретического).

Таблица 5. Значения Yэкс в зависимости от шума

№ точки

Yэкс(1), =0,005

Yэкс(2), =0,01

Yэкс(3), =0,02

1

-1506,561

-1496,972

-1496,153

7

85,083

84,577

88,712

13

1245,416

1256,870

1264,160

19

112,760

98,695

92,571

25

-939,953

-938,000

-946,931

31

-131,166

-132,577

-145,555

37

775,672

777,251

796,285

43

232,010

231,750

229,776

49

-547,185

-551,959

-555,088

55

-191,216

-194,543

-181,249

61

465,503

455,118

452,909

67

252,133

241,894

263,565

73

-293,631

-286,842

-295,902

79

-173,814

-186,403

-181,508

85

264,253

267,846

265,955

91

218,090

216,414

215,207

97

-136,696

-134,625

-138,823

103

-141,899

-136,791

-149,690

109

151,825

139,051

159,285

115

175,463

182,452

196,729

121

-50,295

-57,314

-57,741

127

-87,542

-81,579

-99,699

133

73,835

80,696

73,237

139

132,399

125,263

120,820

145

3,160

-6,364

-15,126

151

-56,997

-53,019

-57,606

157

42,379

37,533

47,935

163

97,419

95,323

81,791

169

22,288

23,213

28,786

175

-23,178

-25,147

-38,311

181

30,386

32,702

31,370

187

67,780

72,577

95,659

193

35,731

44,098

24,397

199

-7,754

0,426

-22,380

205

24,917

21,248

18,903

211

60,712

55,789

54,944

217

35,090

33,137

46,121

223

12,417

12,223

2,387

229

19,943

27,383

9,027

235

49,462

36,241

51,913

241

42,892

48,288

37,082

247

23,786

18,381

17,030

253

24,232

16,265

28,930

259

41,899

42,570

24,516

265

33,159

38,792

45,036

271

20,799

25,678

39,845

277

20,084

34,589

13,267

283

33,599

47,143

29,720

289

36,889

31,634

33,448

295

28,651

35,716

36,139

5. Нахождение минимума заданной целевой функции

Создадим математическую модель процесса с коэффициентами a1=8 и T=1 и подберем их таким образом, чтобы при данных значениях целевая функция была минимальна.

Выберем шаг h = 0.2. Точность EPSILON = 0.0001. Количество итераций ITERATION_AMOUNT = 1000.

Результаты пошагового приближения показаны в таблице 6 «Зависимость CF от значений a1 и T», график CF представлен на рис. 7

CF1min = 8,901453

CF2min = 44,05068

CF3min = 132,7882

Таблица 6. Зависимость CF от значений параметров a1 и T

№ шага

A1

T

CF1 (m=0,005)

CF2 (m=0,01)

CF 3 (m=0,02)

1

8

1

1,884E+12

1,884E+12

1,884E+12

2

8

1

1,884E+12

1,884E+12

1,884E+12

3

7,8

1

1,784E+12

1,784E+12

1,784E+12

4

7,6

1

1,686E+12

1,686E+12

1,686E+12

5

7,4

1

1,591E+12

1,591E+12

1,591E+12

6

7,2

1

1,499E+12

1,499E+12

1,499E+12

7

7

1

1,409E+12

1,409E+12

1,409E+12

8

6,8

1

1,323E+12

1,323E+12

1,323E+12

9

6,6

1

1,239E+12

1,239E+12

1,239E+12

10

6,4

1

1,158E+12

1,158E+12

1,158E+12

11

6,2

1

1,079E+12

1,079E+12

1,079E+12

12

6

1

1,004E+12

1,004E+12

1,004E+12

13

5,8

1

9,309E+11

9,309E+11

9,309E+11

30

2,4

1

1,166E+11

1,166E+11

1,166E+11

31

2,2

1

9,359E+10

9,359E+10

9,359E+10

32

2

1

7,337E+10

7,337E+10

7,337E+10

33

1,8

1

5,592E+10

5,592E+10

5,592E+10

34

1,6

1

4,124E+10

4,124E+10

4,124E+10

35

1,4

1

2,933E+10

2,933E+10

2,933E+10

36

1,2

1

2,019E+10

2,019E+10

2,019E+10

37

1

1

1,381E+10

1,381E+10

1,381E+10

38

0,8

1

1,021E+10

1,021E+10

1,021E+10

39

0,6

1

9,37E+09

9,37E+09

9,371E+09

40

0,6

1,2

586850,911

585505,007

588790,108

41

0,6

1,4

124642,353

124498,296

125774,153

42

0,6

1,6

105470,917

105284,132

105939,099

43

0,6

1,8

98001,114

98219,831

98781,217

44

0,8

1,8

94310,316

94510,650

95055,002

45

1

1,8

90793,658

90975,608

91502,927

64

4,8

1,8

57063,664

56896,317

57100,004

65

5

1,8

57029,796

56844,065

57030,719

66

5

2

32987,463

33084,055

33539,979

67

5,2

2

30410,132

30504,267

30945,503

68

5,4

2

27937,650

28029,328

28455,877

69

5,6

2

25570,018

25659,237

26071,099

70

5,8

2

23307,234

23393,996

23791,170

71

6

2

21149,300

21233,604

21616,090

72

6,2

2

19096,214

19178,060

19545,860

73

6,4

2

17147,978

17227,366

17580,478

74

6,6

2

15304,590

15381,521

15719,945

75

6,8

2

13566,052

13640,525

13964,261

76

7

2

11932,362

12004,378

12313,427

77

7,2

2

10403,522

10473,079

10767,441

78

7,4

2

8979,530

9046,630

9326,304

79

7,6

2

7660,388

7725,030

7990,017

80

7,8

2

6446,094

6508,279

6758,578

81

8

2

5336,650

5396,377

5631,989

82

8,2

2

4332,055

4389,323

4610,248

83

8,4

2

3432,308

3487,119

3693,356

84

8,6

2

2637,411

2689,764

2881,314

85

8,8

2

1947,362

1997,258

2174,120

86

9

2

1362,163

1409,601

1571,776

87

9,2

2

881,813

926,793

1074,280

88

9,4

2

506,311

548,834

681,634

89

9,6

2

235,659

275,724

393,836

90

9,8

2

69,856

107,463

210,888

91

10

2

8,901

44,051

132,788

розенброк эйлер моделирование идентификация

Выводы

Ввиду того, что метод покоординатного спуска нулевого порядка, он довольно неточен. Из-за того, что функция Розенброка имеет овражный рельеф, дойти до точки минимума не удалось. Точка остановки в этом случае была довольно далеко от точки минимума. В случае с функцией Эллипса точка минимума была достигнута за 21 итерацию, при шаге h = 0.2. Несмотря на это точка минимума заданной целевой функции была достигнута абсолютно точно за 91 итерацию, при шаге h = 0.2, и точностью 0,0001.

Список источников

1. http://ru.wikipedia.org/wiki/Функция_Розенброка

2. http://nsft.narod.ru/Programming/colmetopt.html

3. http://www.mathworks.com

4. http://www.exponenta.ru/soft/matlab/potemkin/book/matlab/chapter0/0_0.asp

5. http://matlab.exponenta.ru

6. Н.Ю. Золотых. Использование пакета Matlab в научной и учебной работе - Нижний Новгород, 2006 - 165 с.

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

  • Решение задачи на тему максимизации функций многих переменных. Описание метода дихотомии, его применение для решения нелинейных уравнений. Решение данной задачи с использованием метода покоординатного спуска. Составление алгоритмов, листинг программы.

    курсовая работа [138,5 K], добавлен 01.10.2009

  • Нахождение минимума целевой функции для системы ограничений, заданной многоугольником. Графическое решение задачи линейного программирования. Решение задачи линейного программирования с использованием таблицы и методом отыскания допустимого решения.

    курсовая работа [511,9 K], добавлен 20.07.2012

  • Назначение и классификация методов поисковой оптимизации. Эффективность поискового метода. Методы поиска нулевого порядка: исходные данные, условия, недостатки и применение. Структура градиентного метода поиска. Основная идея метода наискорейшего спуска.

    лекция [137,8 K], добавлен 04.03.2009

  • Математическое моделирование электрической схемы, ее расчет и оптимизация. Расчет сопротивления элементов и ветвей. Решение системы уравнений методом Халецкого. Метод многомерной оптимизации – метод покоординатного спуска. Система линейных уравнений.

    курсовая работа [626,2 K], добавлен 17.12.2011

  • Моделирование имитационной модели системы управления, состоящей из ПИ-регулятора и инерционного объекта второго порядка. Прогон и оптимизация модели на системе имитационного моделирования ИМОДС. Оценка параметров системы до и после оптимизации.

    курсовая работа [1,3 M], добавлен 17.02.2013

  • Обзор методов решения в Excel. Рекурентные формулы метода Эйлера. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка для решения уравнения первого порядка. Метод Эйлера с шагом h/2. Решение дифференциальных уравнений с помощью Mathcad. Модифицированный метод Эйлера.

    курсовая работа [580,1 K], добавлен 18.01.2011

  • Моделирование объектов САР, объекта управления. Особенности параметрической оптимизации. Описание пакета ИМОДС: назначение и функции, система файлов, структура меню пользователя. Описание программы и моделируемых объектов. Оценка параметров системы.

    курсовая работа [1,3 M], добавлен 16.02.2013

  • Математическое описание элементов автоматической системы моделирования. Определение передаточной функции объекта по переходной характеристике методом площадей. Вычисление статических характеристик случайного процесса по заданной реакции, расчет дисперсии.

    курсовая работа [337,2 K], добавлен 10.02.2012

  • Синтез цифровой системы управления с передаточной функцией. Структурная схема объекта регулирования с экстраполятором нулевого порядка. Преобразование дискретной передаточной функции относительно псевдочастоты. Оценка устойчивости синтезированной системы.

    курсовая работа [499,9 K], добавлен 06.08.2013

  • Построение пространства допустимых решений. Нахождение оптимального решения с помощью определения направления убывания целевой функции. Нахождение оптимальной точки. Поиск экстремумов методом множителей Лагранжа. Условия экстремума Куна-Таккера.

    контрольная работа [396,2 K], добавлен 13.09.2010

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.