Экономико-математическая модель

Экономико-математическая модель

Экономико-математическая модель - это выраженная в формально-математических терминах экономическая абстракция, логическая структура которой определяется как объективными свойствами предметами описания, так и субъективным целевым фактором исследования, для которого это описание предпринимается.

Между моделью и ее прототипом не может существовать взаимооднозначного соответствия, так как модель - это абстракция, связанная с обобщениями и потерей информации. Адекватность реальной действительности - основное требование ,предъявляемое к модели.

Конструктивно каждая математическая модель представляет собой совокупность взаимосвязанных математических зависимостей , отражающих определенные группы реальных экономических зависимостей.

Классифицируются экономико-математические модели по различным признакам, в том числе и по математическому инструменту, применяемому при моделировании.

Наиболее распространенными и эффективными математическими методами, которые нашли как теоретическое, так и практическое приложение в экономических исследованиях, являются: дифференциальное исчисление, математическая статистика, линейная алгебра, математическое программирование и другие.

Порядок построения экономико-математической модели

Для построения экономико-математической модели определяется объект исследования: экономика государства в целом, отрасль, предприятие, цех и т.п.

Формулируется цель исследования.

В рассматриваемом экономическом объекте выделяются структурные и функциональные элементы и выделяются наиболее существенные качественные характеристики этих элементов, влияющие на достижения поставленной цели.

Вводятся символические обозначения для учитываемых характеристик экономического объекта. Определяется, какие из них будут рассматриваться как зависимые величины, а какие как независимые.

Формализуются взаимосвязи между определенными параметрами модели, т.е. строится собственно экономико-математическая модель.

Проводятся расчеты по модели и анализируются результаты полученных расчетов.

Если результаты оказываются неудовлетворительными с точки зрения неадекватности отображения моделируемого процесса или явления ,то происходит возврат к одному из предшествующих пунктов и процесс повторяется.

Пример экономико-математической модели

Структуру предприятия удобно описывать организационной моделью, которая демонстрирует состав функциональных подразделений предприятия и связи их подчинения и взаимодействия.

При функциональной организационной структуре предприятие подразделяется на элементы, каждый из которых имеет свои задачи и обязанности. Характеристики и особенности того или иного подразделения соответствуют наиболее важным направлениям деятельности предприятия.

Функциональная организационная модель предприятия на примере ОАО швейная фабрика «Березка»:



Такой вид организационной модели , как правило, встречается в крупных организациях, когда необходимо обеспечить слаженную совместную работу большого числа функциональных подразделений.

Объектом исследования будет являться швейная фабрика «Березка», целью исследования - оценка эффективности работы выпуска продукции. Более подробно для разрешения поставленной цели будем рассматривать функциональный и структурный элемент объекта - производство.

Наиболее существенные и качественные характеристики этого элемента представлены ниже в таблице 1 за временной период с мая 2005 по май 2006.

Для построения экономико-математической модели применен метод математической статистики.

Расчеты по модели и анализ полученных результатов при использовании данного метода включает в себя этапы:

1.Графическое представление характеристик.

2.Предварительный статистический анализ(анализ данных по выборкам).

3.Корреляционный анализ данных.

4.Регрессионный анализ данных.

	сырье, м погонный	затраты на оплату труда, тыс.руб.	материальные затраты, тыс.руб	амортизация, тыс.руб.	полная себестоимость, тыс.руб
май	230	18729	21516	4642	78164
июнь	303	7415	36225	1951	61068
июль	102	7340	12064	1697	30564
август	175	3156	18770	120	31750
сентябрь	155	31854	32548	5364	93611
октябрь	195	28224	23190	1693	77059
ноябрь	112	19939	17061	2018	53794
декабрь	185	26850	25530	2811	81330
январь	98	18589	21042	4061	57179
февраль	248	25728	35358	3718	89639
март	111	14607	22426	2537	51239
апрель	68	3920	13190	118	21689
май	28	2347	5094	104	10510

Исходные данные ОАО швейная фабрика «Березка»

Таблица 1

Из исходных характеристик экономического объекта являются независимыми (Х1,Х2,Х3,Х4) или факторными признаками : сырье, затраты на оплату труда, материальные затраты, амортизация, а зависимой или результативным признаком (У) - полная себестоимость.

1. Графический анализ

Рисунок 1

2. Анализ данных по выборкам.

Предварительный статистический анализ представлен в таблице 2., в ходе которого по каждому параметру рассчитывались следующие статистические показатели: среднее значение показателя, стандартная ошибка, медиана, мода, стандартное отклонение, дисперсия выборки, эксцесс, ассиметричность, минимум, максимум, интервал, сумма, коэффициент вариации. Брался уровень надежности 95%.

Таблица 2 Результаты расчетов по этапу Статистический анализ:

СЫРЬЕ, М ПОГОННЫЙ	ЗАТРАТЫ НА ОПЛАТУ ТРУДА, Т.РУБ.
Среднее	154,6153846	Среднее	16053,69231
Стандартная ошибка	21,57531188	Стандартная ошибка	2876,404897
Медиана	155	Медиана	18589
Мода	#Н/Д	Мода	#Н/Д
Стандартное отклонение	77,79089328	Стандартное отклонение	10371,02535
Дисперсия выборки	6051,423077	Дисперсия выборки	107558166,7
Эксцесс	-0,406977947	Эксцесс	-1,508916139
Асимметричность	0,302343811	Асимметричность	0,016663109
Интервал	275	Интервал	29507
Минимум	28	Минимум	2347
Максимум	303	Максимум	31854
Сумма	2010	Сумма	208698
Уровень надежности 95,0%	47,00856628	Уровень надежности 95,0%	6267,147886
Коэффициент вариации V,%	50,31251804	Коэффициент вариации V,%	64,60211861
МАТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАТРАТЫ, Т.РУБ.	АМОРТИЗАЦИЯ, Т.РУБ.	ПОЛНАЯ СЕБЕСТОИМОСТЬ,Т.РУБ.
Среднее	21847,23077	Среднее	2371,846154	Среднее	56738,15385
Стандартная ошибка	2536,823476	Стандартная ошибка	477,0664476	Стандартная ошибка	7447,106319
Медиана	21516	Медиана	2018	Медиана	57179
Мода	#Н/Д	Мода	#Н/Д	Мода	#Н/Д
Стандартное отклонение	9146,647119	Стандартное отклонение	1720,087539	Стандартное отклонение	26850,92369
Дисперсия выборки	83661153,53	Дисперсия выборки	2958701,141	Дисперсия выборки	720972102,8
Эксцесс	-0,31202086	Эксцесс	-0,830489026	Эксцесс	-1,088043769
Асимметричность	0,037275084	Асимметричность	0,204463241	Асимметричность	-0,288180418
Интервал	31131	Интервал	5260	Интервал	83101
Минимум	5094	Минимум	104	Минимум	10510
Максимум	36225	Максимум	5364	Максимум	93611
Сумма	284014	Сумма	30834	Сумма	737596
Уровень надежности 95,0%	5527,26353	Уровень надежности 95,0%	1039,438496	Уровень надежности 95,0%	16225,85077
Коэффициент вариации V,%	41,86639129	Коэффициент вариации V,%	72,52104172	Коэффициент вариации V,%	47,32428157

Расчет производился в оболочке «Excel», Сервис > Анализ данных > Описательная статистика.

Выводы: стандартные отклонения выборок исходных данных по сравнению со значениями самих данных велики, т.е. разброс точек в выборках большой.

Отклонения максимальных и минимальных значений выборок от соответствующих медиан и среднего также велики. Это означает , что точки выборок расположены рассеяно.

Значения коэффициента вариации выборок позволяет судить об их неоднородности.

3. Корреляционный анализ данных.

На этом этапе осущест_вляется парное сравнение выборки результирующего показателя с выборками показателей, которые согласно теоретической модели рассматриваются как факторные, а также проверяется степень коррелируемости факторных показателей. Для этих целей строят и анализируют матрицы парных линейных коэффициентов корреляции r, которые изменяются от -1 до 1. Анализ применим лишь в случае линейной зависимости между признаками. Чем ближе значения коэффициента корреляции к -1 или к 1, тем выше степень коррелируемости соответствующих случайных величин. Однако, при r, близких к 1 или -1, регрессионные связи между соответствующими величинами устанавливаться не могут, так как эта ситуация означает фактически функциональную взаимосвязь показателей.

Значимость (существенность) линейного коэффициента корреляции проверяют на основе t-критерия Стьюдента. При этом выдвигается и проверяется нулевая гипотеза о равенстве коэффициента нулю, т.е. об отсутствии связи между х и у. Для этого определяется расчетное значение критерия:

(1)

где r - коэффициент корреляции,

n - число наблюденеий,

?_r - среднее квадратическое отклонение кэффициента корреляции.

и сопоставляется с t_{табличное} с заданными параметрами (уровнем значимости ?, принимается обычно за 0,05, и числом степеней свободы ? = n - 2, где n - число наблюдений).

Если t_{расчетное} › t_{табличное} , то нулевая гипотеза отвергается и линейный коэффициент считается значимым, а связь между х и у - существенной, если же неравенство обратное, то связь между х и у отсутствует.

Вообще говоря, отсутствие корреляционной связи между факторным признаками и наличие тесной связи (значение парных коэффициентов корреляции )между результативным и факторными признаками - условие включения этих факторных признаков в регрессионную модель.

Кроме того, при построении модели регрессии необходимо учитывать проблему мультиколлениарности (тесной зависимости между факторными признаками), которая существенно искажает результаты исследования.

Одним из индикаторов определения наличия мультиколлинеарности между факторными признаками является превышение величины парного коэффициента корреляции 0,8 (r ? 0,8).

	сырье,м погонный	затраты на заработную плату,т.руб.	материальные затраты, тыс.руб	амортизация, тыс.руб.	полная себесто- имость, тыс.руб
сырье,м погонный	1
затраты на заработную плату,т.руб.	0,349630305	1
материальные затраты, тыс.руб	0,830118488	0,587647564	1
амортизация, тыс.руб.	0,377214053	0,759164207	0,612169366	1
полная себестоимость, тыс.руб	0,678604269	0,909886866	0,825715323	0,8247215	1

Таблица 3

Для определения наличия мультиколлениарности и устранения мультиколлениарных признаков была построена и проанализирована матрица парных коэффициентов корреляции, см. таблица 3.

Матрица парных коэффициентов корреляции

Расчет производился в оболочке «Excel», Сервис > Анализ данных > Корреляция.

Из таблицы 3 видно, что между факторными признаками Сырье и Материальные затраты коэффициент корреляции больше 0,8. Для устранения мультиколлинеарности необходимо исключить из корреляционной модели один из этих признаков, расчеты приведены в таблицах 4 и 5.

Матрица парных коэффициентов корреляции для модели без «Материальных затрат»

	сырье, м погонный	затраты на оплату труда, тыс.руб.	амортизация, тыс.руб.	полная себестоимость, тыс.руб
сырье, м погонный	1
затраты на оплату труда, тыс.руб.	0,349630305	1
амортизация, тыс.руб.	0,377214053	0,759164207	1
полная себестоимость, тыс.руб	0,678604269	0,909886866	0,824721504	1

Таблица 4

Матрица парных коэффициентов корреляции для модели без «Сырья»

	затраты на оплату труда, тыс.руб.	материальные затраты, тыс.руб	амортизация, тыс.руб.	полная себестоимость, тыс.руб
затраты на оплату труда ,тыс.руб.	1
материальные затраты, тыс.руб	0,587647564	1
амортизация, тыс.руб.	0,759164207	0,612169366	1
полная себестоимость, тыс.руб	0,909886866	0,825715323	0,824721504	1

Таблица 5

В обеих моделях теперь отсутствует проблема мультиколлениарности, т.к. все парные коэффициенты между факторными признаками < 0,8.

Так как коэффициент корреляции r между результативным и факторными признаками больше > 0,3, то все признаки дальше участвуют в анализе.

Какую из этих двух модель необходимо выбрать покажет дальнейший анализ.

Для определения признаков рассчитали t_{расчетное} и взяли t_{табличное}, см. таблицы 6 и 7.

Матрица расчетных значений t - критерия Стьюдента

для модели без «Материальных затрат»

	сырье, м погонный	затраты на оплату труда, тыс.руб.	амортизация, тыс.руб.	полная себестоимость, тыс.руб
сырье, м погонный
Затраты на оплату труда, тыс.руб.	1,237707018
амортизация, тыс.руб.	1,350871631	3,868284073
полная себестоимость, тыс.руб	3,064211348	7,274210595	4,836609752
tтабличное	2,200985159

Таблица 6

Матрица расчетных значений t - критерия Стьюдента

для модели без «Сырья»

	затраты на оплату труда,тыс.руб.	материальные затраты, тыс.руб	амортизация, тыс.руб.	полная себестоимость ,тыс.руб
затраты на оплату труда тыс.руб.
материальные затраты, тыс.руб	2,408806699
амортизация, тыс.руб.	3,868284073	2,567683844
полная себестоимость, тыс.руб	7,274210595	4,854902951	4,836609752
tтабличное	2,200985159

Таблица 7

Расчет производился в оболочке «Excel» вручную по формуле (1), t_{табличное} рассчитывалось с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР исходя из той же формулы.

Выводы: в результате сравнения t_{расчетное} и t_{табличное} выяснилось, что с вероятностью 0,95 можно утверждать , что связь между результативным и факторными признаками является существенной (t_{расчетное} › t_{табличное}), неслучайной. Какую из этих двух модель лучше выбрать покажет дальнейший анализ.

4. Регрессионный анализ данных.

На этом этапе, используя метод наименьших квадратов, строится многофакторная регрессионная зависимость(уравнение регрессии) результирующего показателя от оставшейся после предшествующих шагов анализа факторных показателей.

Линейная модель ,содержащая независимые переменные только в первой степени, имеет вид:

(2)

где а₀ - свободный член,

а_1…а_n - параметры уравнения (коэффициенты регрессии),

х_1….х_n - значения факторных признаков.

Параметры уравнения регрессии рассчитываются методом наименьших квадратов , при этом решается система нормальных уравнений с к+1 неизвестными.

Для измерения степени совокупности влияния отобранных факторов на результативный признак рассчитывают совокупный коэффициент детерминации R² и совокупный коэффициент множественной корреляции R - общие показатели тесноты связи признаков. Пределы изменения : 0 ? R ? 1. Чем ближе R к 1 , тем точнее уравнение множественной линейной регрессии отражает реальную связь.

Проверка значимости моделей, построенных на основе уравнений регрессии, начинается с проверки значимости каждого коэффициента регрессии. Значимость коэффициента регрессии осуществляется с помощью t - критерия Стьюдента ( отношение коэффициента регрессии к его средней ошибке):

(3)

Коэффициент регрессии считается статистически значимым , если t_{расчетное} › t_{табличное} с заданными параметрами (уровнем значимости ?, = 0,05, и числом степеней свободы ? = n - к -1, где n - число наблюдений, к - число факторных признаков).

Проверка адекватности модели осуществляется с помощью F - критерия Фишера и величины средней ошибки аппроксимации, которая не должна превышать 12 - 15% . Если величина F_{расчетное} > F_{табличное} , то связь признается существенной. F_{табличное} находиться при заданном уровне значимости ? = 0,05 и числе степеней свободы v₁ =k и v₂ = n-k-1. (4)

Модель без учета «Материальных затрат»

В таблице 8 сгенерированы результаты по регрессионной статистике.

Регрессионная статистика
Множественный R	0,997434896
R-квадрат	0,994876372
Нормированный R-квадрат	0,993168496
Стандартная ошибка	2219,306976
Наблюдения	13

Таблица 8

Эти результаты соответствуют следующим статистическим показателям:

Множественный R - коэффициент корреляции R,

R-квадрат - коэффициент детерминации R²;

F табличное
3,862548358

В таблице 9 сгенерированы результаты дисперсионного анализа, которые используются для проверки значимости коэффициента детерминации R².

Таблица 9

	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	3	8607337323	2869112441	582,5226438	1,2734E-10
Остаток	9	44327911,1	4925323,455
Итого	12	8651665234

Df - число степеней свободы, SS - сумма квадратов отклонений,

MS - дисперсия MS, F - расчетное значение F-критерия Фишера,

Значимость F - значение уровня значимости, соответствующее вычисленному F;

	Коэффи циенты	Стандарт ная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
полная себесто- имость, тыс.руб	2857,593011	1130,014906	2,528810014	0,094646561	603,5411613	6318,727183
сырье, м погонный	132,3000047	8,941959918	14,79541464	1,27093E-07	112,071886	152,5281233
затраты на оплату труда, тыс.руб.	1,586039072	0,095432478	16,61948958	4,61669E-08	1,370155809	1,801922334
амортизация, тыс.руб.	3,357368468	0,582082818	5,76785358	0,000270158	2,040605653	4,674131282

В таблице 10 сгенерированы значения коэффициентов регрессии и их

статистические оценки.

t табличное	2,306004133

Таблица 10

Коэффициенты - значения коэффициентов регрессии,

Стандартная ошибка - стандартные ошибки коэффициентов регрессии,

t - статистика - расчетные значения t - критерия Стьюдента, вычисляемые по формуле 2,

Р-значения - значения уровней значимости ,соответствующие вычисленным значениям t,

Нижние 95% и Верхние 95% - соответствующие границы доверительных интервалов для коэффициентов регрессии.

В таблице 11 сгенерированы предсказанные значения результирующего фактора Y и значения остатков. Последние вычисляются как разность между предсказанным и исходным значениям Y.

Наблюдение	Предсказанное Y	Остатки
1	78576,42428	-412,4242814
2	61255,20002	-187,2000206
3	33691,17456	-3127,174561
4	31418,51735	331,4826465
5	91894,70678	1716,293221
6	79104,48549	-2045,485491
7	56074,39615	-2280,396148
8	79355,80571	1974,194293
9	58940,14712	-1761,147116
10	88956,30336	682,6966372
11	49227,81005	2011,189951
12	18467,43597	3221,564032
13	10633,59316	-123,5931632

Таблица 11

Расчет производился в оболочке «Excel», Сервис > Анализ данных > Регрессия.

t_{табличное} рассчитывалось с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР исходя из формулы (3).

F_{табличное} рассчитывалось с помощью функции FРАСПОБР исходя из формулы (4).

Модель без учета «Сырья»

Регрессионная статистика
Множественный R	0,983232832
R-квадрат	0,966746802
Нормированный R-квадрат	0,955662403
Стандартная ошибка	5653,863353
Наблюдения	13

Таблица 12

	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	3	8363969696	2787989899	87,21688674	5,68904E-07
Остаток	9	287695537,3	31966170,81
Итого	12	8651665234

Таблица 13

	Коэффи циенты	Станда ртная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
полная себесто имость, тыс.руб	1992,888488	4236,311712	0,470430087	0,649239402	-7590,314376	11576,09135
затраты на оплату труда, тыс.руб.	1,430363491	0,248983274	5,744817576	0,000278107	0,867124195	1,993602788
матери альные затраты, тыс.руб	1,187585684	0,232389908	5,11031521	0,000636233	0,661883189	1,713288179
аморти зация, тыс.руб.	2,461032929	1,536123969	1,602105675	0,143596048	-1,013920904	5,935986761

t табличное	2,306004133

Таблица 14



Наблюдение	Предсказанное Y	Остатки
1	65758,37475	12405,62525
2	60420,80042	647,1995839
3	30995,16308	-431,1630845
4	29093,4229	2656,577097
5	99410,20661	-5799,206609
6	74070,10843	2988,891574
7	55740,66995	-1946,669945
8	77635,1743	3694,825697
9	63565,34811	-6386,348112
10	89934,05543	-295,0554319
11	55762,64509	-4523,645092
12	23554,57043	-1865,57043
13	11655,4605	-1145,460501

Таблица 15

Все пояснения к таблицам , а также способ расчета, указаны в модели без учета «Материальных затрат» .

Перейдем к анализу сгенерированных таблиц обеих моделей.

Значение множественного коэффициента регрессии R в модели без учета «Материальных затрат» равно 0, 997, а в модели без учета «Сырья» равно 0,983. Это позволяет сделать вывод, что первая модель точнее отражает реальную связь.

При оценке значимости коэффициентов регрессии с помощью сравнения расчетного и табличного значений t - критерия Стьюдента стало очевидно, что следует выбрать модель «Материальных затрат». В данной модели t_{расчетное} найденных коэффициентов превышает t_{табличное} (см. таблицу 10) t - критерия Стьюдента, что позволяет сделать вывод, что коэффициенты регрессии в уравнении являются значимыми.

Тогда как в модели без учета «Сырья» два коэффициента регрессии ниже t_{табличное} ( см. таблицу 14), что говорит об отсутствии их значимости.

Проверку адекватности модели осуществляем уже только с моделью без учета «Материальных затрат».

Значение средней ошибки аппроксимации не превышает 12-15 %, что хорошо видно на рисунке 2, так как разница между предсказанным и исходным результирующим фактором Y очень небольшая.

Рассчитанный уровень значимости (см. таблицу 9) равен 1,2734E-10 < 0,05, это подтверждает значимость R². Значение F_{расчетное} - критерия Фишера больше F_{табличное}, значит связь между признаками признается существенной.

Рисунок 2

Таким образом, получаем искомое уравнение регрессии:

Выводы: Выполнив данную работу по этапам, была построена экономико-математическая модель методом математической статистики на примере ОАО швейной фабрики «Березка». Модель имеет вид:

.

Выбранные факторы Х₁,Х₂ и Х₃ существенно влияют на У, что подтверждает правильность их включения в построенную модель.

Так как коэффициент детерминации R² значим, то это свидетельствует о существенности связи между рассматриваемыми признаками.

Отсюда следует, что построенная модель эффективна.