Главная База знаний "Allbest" Программирование, компьютеры и кибернетика Разработка программы для решения систем линейных алгебраических уравнений методом Зейделя

Разработка программы для решения систем линейных алгебраических уравнений методом Зейделя

Метод Гаусса-Зейделя как модификация метода Якоби, его сущность и применение. Разработка программы решения системы линейных алгебраических уравнений на языке VB, проверка правильности работы программы в MS Excel и математических пакетах MathCad и MatLab.

Рубрика Программирование, компьютеры и кибернетика
Вид курсовая работа
Язык русский
Дата добавления 27.10.2013
Размер файла 325,5 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования Российской Федерации

Национальный минерально-сырьевой университет "Горный"

Кафедра информатики и компьютерных технологий

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине Информатика

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Тема работы: Разработка программы для решения систем линейных алгебраических уравнений методом Зейделя

Автор: студент гр Морозов А.В.

Проверил: ассистент /Кротова С.Ю./

Санкт-Петербург 2012

Аннотация

Пояснительная записка представляет собой отчет о выполнении курсовой работы на тему "Разработка программы для решения систем линейных алгебраических уравнений методом Зейделя". В ней рассмотрены вопросы об оформлении решения систем уравнений на языке Visual Basic for Application.

Страниц ___.

Оглавление

  • Введение
  • Теория метода
  • Вычислительная схема метода Зейделя
  • Разработка программы на языке VBA
  • Решение СЛАУ методом Зейделя в MS Excel
  • Решение СЛАУ методом Зейделя в MathCad
  • Решение СЛАУ методом Зейделя в MatLab
  • Заключение
  • Библиографический список

Введение

Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет сл. вид:

, где

корни СЛАУ;

коэффициенты системы;

свободные члены.

Если число m уравнений равно числу n неизвестных, то такая система называется квадратной. В данной работе рассматривается решение квадратных систем.

В матричном виде квадратная СЛАУ выглядит следующим образом:

или , где

А - матрица коэффициентов системы;

х - столбец неизвестных;

b - столбец свободных членов.

Для матрицы А существует невырожденная матрица С, если . Тогда . Если матрица С является обратной для А, т.е. , тогда:

Для решения СЛАУ разработано множество методов. Прямые методы позволяют найти решение за определенное количество шагов. К ним относятся:

1) Метод Гаусса;

2) Метод Гаусса - Жордана;

3) Метод Крамера;

4) Матричный метод и др.

Итерационные методы позволяют найти решение СЛАУ путем уточнений начальных приближений многократным повторением одинаковых итераций. Число итераций зависит от заданной точности решения.

Наиболее распространенные итерационные методы:

1) Метод Якоби (метод простой итерации);

2) Метод Гаусса - Зейделя.

К решению систем линейных уравнений сводятся такие группы задач:

1) задачи механики (статические, теплотехнические);

2) задачи из геодезии, связанные с построением карт на основании данных геодезической съемки;

3) задачи приближенного решения уравнений, имеющих большое распространение в высшей математике;

4) системы линейных уравнений широко используются в области физики и смежных с ней наук: теории относительности, атомной физике, при составлении прогнозов погоды и т.д.

Перечисленные задачи не исчерпывают всех случаев использования систем линейных уравнений, но обнаруживают, насколько часто приходится сталкиваться при решении задач математики и естествознания с необходимостью исследовать и точно или приближенно решить систему линейных уравнений.

линейное алгебраическое уравнение программа

Теория метода

Метод Гаусса-Зейделя можно рассматривать как модификацию метода Якоби. Основная идея модификации состоит в том, что новые значения используются здесь сразу же по мере получения, в то время как в методе Якоби они не используются до следующей итерации.

Пусть дана квадратная система линейных алгебраических уравнений с n неизвестными, корни которой необходимо найти с заданной точностью :

или

Для решения данной СЛАУ можно применить метод Зейделя, если выполняется условие сходимости для матрицы А. Оно заключается в следующем: модули диагональных элементов строки или столбца матрицы должны быть больше суммы модулей недиагональных элементов этой строки или столбца, т.е.:

Преобразуем матричное выражение к виду , разрешив n-ю строку относительно переменной :

Придадим начальные приближения , значения которых можно рассчитать как: . Посчитаем первые приближения, подставив в систему. Соответственно, на k-м шаге приближения будут рассчитываться как:

В общем виде расчетные формулы выглядят:

Из вычислительной математики известие факт, что для СЛАУ в виде , при условии сходимости матрицы, в процессе итераций получаемые приближения сходятся к корням уравнения при любом начальном приближении, т.е. , где i-й корень СЛАУ. Количество итераций зависит от необходимой точности. Если задана точность , то процесс уточнения неизвестных прекращают, когда выполняется условие критерия близости на k-м шаге:

Вычислительная схема метода Зейделя

Рассмотрим вычислительную схему метода Зейделя на примере системы уравнений задания:

Матрица системы

, вектор-столбец

1. Задается точность ()

2. Проверяется условие сходимости матрицы:

верно;

верно;

верно.

3. Вычисление начальных приближений:

4. Нахождение приближений:

5. Критерий близости:

, заданная точность не достигнута.

Дальнейшие итерации выполняются аналогично (таблица 1).

Таблица 1

Результат вычислений методом Зейделя

k

0

0,187

-0,169

-0,137

1

0,187

-0,173

-0,076

0,0007

0,0044

0,0615

0,0615

2

0, 190

-0,155

-0,085

0,0024

0,0179

0,0088

0,0179

3

0,189

-0,158

-0,083

0,0010

0,0027

0,0014

0,0027

4

0,189

-0,158

-0,083

0,0001

0,0004

0,0002

0,0004

Решение достигается за 4 итерации. Корни СЛАУ:

Разработка программы на языке VBA

1. Блок-схема программы

Размещено на http://www.allbest.ru/

2. Описание подпрограмм

1) Имя: VVOD

Назначение: подпрограмма, осуществляющая считывание данных с листа MS Excel.

Вход:

list - лист MS Excel, в котором содержаться исходные данные;

row - номер строки, с которой начинается считывание матрицы;

col - номер столбца, с которого начинается считывание матрицы;

n - число строк матрицы;

m - число столбцов матрицы.

Выход:

М1 () - матрица исходных данных.

2) Имя: PROVERKA

Назначение: осуществляет проверку сходимости матрицы коэффициентов, сообщает результат проверки.

Вход:

list - лист MS Excel, на который выводится результат проверки сходимости;

n - число строк и столбцов матрицы;

М1 () - матрица исходных данных.

Выход: -

3) Имя: ZEIDEL

Назначение: осуществляет решение СЛАУ, выводит процесс вычислений на лист MS Excel.

Вход:

list - лист MS Excel, на который выводится вычисления;

n - число строк и столбцов матрицы;

М1 () - матрица коэффициентов;

М2 () - матрица-столбец.

Выход:

М3 () - матрица, содержащая корни СЛАУ

4) Имя: VIVOD

Назначение: подпрограмма, осуществляющая вывод корней СЛАУ на лист MS Excel

Вход:

list - лист MS Excel, в который выводятся данные;

n - число строк матрицы корней;

М3 () - матрица корней.

Выход: -

3. Листинг подпрограммы

1) Основная программа

Sub RESHENIE ()

Dim C As Integer

C = InputBox ("Введите число переменных")

ReDim A (C, C) As Single

ReDim b (C, 1) As Single

ReDim X (C) As Single

Call VVOD (1, 2, 1, C, C, A ())

Call VVOD (1, 2, C + 1, C, 1, b ())

Call PROVERKA (1, C, A ())

Call ZEIDEL (1, C, A (), b (), X ())

Call VIVOD (1, C, X ())

End Sub

2) Подпрограмма ввода данных

Sub VVOD (list As Integer, row As Integer, col As Integer, n As Integer, m As Integer, M1 () As Single)

Dim i As Integer

Dim j As Integer

For i = 1 To n

For j = 1 To m

M1 (i, j) = Worksheets (list). Cells (row + i - 1, col + j - 1). Value

Next j

Next i

End Sub

3) Подпрограмма проверки сходимости

Sub PROVERKA (list As Integer, n As Integer, M1 () As Single)

Dim i As Integer

Dim j As Integer

Dim d As Integer

Dim sum As Integer

Worksheets (list). Cells (1, n + 3). Value = "Проверка сходимости"

d = 0

For i = 1 To n

sum = 0

For j = 1 To n

If j <> i Then sum = sum + Abs (M1 (i, j))

Next j

If Abs (M1 (i, i)) > Abs (sum) Then d = d + 1

Next i

If d = n Then

Worksheets (list). Cells (2, n + 3). Value = "Сходится"

Else

Worksheets (list). Cells (2, n + 3). Value = "Не сходится"

End If

End Sub

4) Подпрограмма решения СЛАУ методом Зейделя

Sub ZEIDEL (list As Integer, n As Integer, M1 () As Single, M2 () As Single, M3 () As Single)

Dim i As Integer

Dim j As Integer

Dim g As Integer

Dim S As Single

ReDim m (n) As Single

ReDim X (n) As Single

Dim e As Single

Dim f As Single

Dim v As Single

e = 0.001

g = o

'Подсчет начальных приближений. Подготовка таблицы решения

For i = 1 To n

X (i) = M2 (i, 1) / M1 (i, i)

Worksheets (list). Cells (n + 3, 1). Value = "№"

Worksheets (list). Cells (n + 3,2). Value = Str (g)

Worksheets (list). Cells (n + 4 + i, 1). Value = "X" + Str (i)

Worksheets (list). Cells (2 * n + 5 + i, 1). Value = "раз-ть X" + Str (i)

Worksheets (list). Cells (3 * n + 7, 1). Value = "MAX разность"

Worksheets (list). Cells (n + 4 + i, g + 2). Value = CInt (X (i) * 1000) / 1000

Next i

Do

'Подсчет суммы элементов

For i = 1 To n

For j = 1 To n

If i <> j Then S = S + M1 (i, j) * X (j)

Next j

'Нахождение приближений

v = X (i)

X (i) = (1/M1 (i, i)) * (M2 (i, 1) - S)

Worksheets (list). Cells (n + 4 + i, g + 3). Value = CInt (X (i) * 1000) / 1000

S = 0

m (i) = Abs (X (i) - v)

Worksheets (list). Cells (2 * n + 5 + i, g + 3). Value = CInt (m (i) * 10000) / 10000

'Выбор наибольшей разности

f = m (1)

j = 1

Do

If f < m (j) Then f = m (j)

j = j + 1

Loop Until j > n

Worksheets (list). Cells (3 * n + 7, g + 3). Value = CInt (f * 10000) / 10000

Next i

g = g + 1

Worksheets (list). Cells (n + 3, g + 2). Value = g

Loop Until f < e

For i = 1 To n

M3 (i) = X (i)

Next i

End Sub

5) Подпрограмма вывода корней СЛАУ

Sub VIVOD (list As Integer, n As Integer, M3 () As Single)

Dim i As Integer

Dim col As Integer

col = n + 6

Worksheets (list). Cells (1, col). Value = "Корни СЛАУ"

For i = 1 To n

Worksheets (list). Cells (1 + i, col). Value = "X" + Str (i)

Worksheets (list). Cells (1 + i, col + 1). Value = CInt (M3 (i) * 1000) / 1000

Next i

End Sub

Результат работы программы

Сначала пользователю необходимо ввести СЛАУ в матричном в виде: выписать матрицу коэффициентов при неизвестных и матрицу свободных членов (рис.1).

Рис.1.

При запуске программы появляется диалоговое окно, в котором предлагается ввести число переменных СЛАУ (рис.2).

Рис.2.

Пользователю необходимо ввести число переменных (равно числу строк СЛАУ), после чего программа выдает на лист MS Excel корни уравнения, а также вычисления, выполняемые в каждой итерации (рис.3).

Самостоятельный ввод пользователем числа переменных делает программу для решения СЛАУ методом Зейделя применимой для любого числа переменных.

Рис.3.

Решение СЛАУ методом Зейделя в MS Excel

Рис.4.

Решение СЛАУ методом Зейделя в MathCad

Проверка сходимости

Начальные приращения

Первая итерация

Вторая итерация

Третья итерация

Четвертая итерация

,

Решение СЛАУ методом Зейделя в MatLab

clc; clear all, close all;

%Исходные данные

A= [7.77, 0.27, - 0.29;

1.15 - 6.22, 1.77;

1.05, 4.52, 9.544;];

b= [1.45, 1.05, - 1.31];

X= [0 0 0;

0 0 0];

e=0.001;

%Начальные приближения

x1=b (1,1) /A (1,1);

x2=b (1,2) /A (2,2);

x3=b (1,3) /A (3,3);

m=max (abs (x1),abs (x2));

m=max (m,abs (x3));

if m<e

disp ([x1 x2 x3])

end;

%Итерации

while m>e

X (1,1) =x1;

X (1,2) =x2;

X (1,3) =x3;

x1= ( (b (1,1) - A (1,2) *x2-A (1,3) *x3) /A (1,1));

x2= ( (b (1,2) - A (2,1) *x1-A (2,3) *x3) /A (2,2));

x3= ( (b (1,3) - A (3,1) *x1-A (3,2) *x2) /A (3,3));

X (2,1) = (x1-X (1,1));

X (2,2) = (x2-X (1,2));

X (2,3) = (x3-X (1,3));

m=max (abs (X (2,1)), abs (X (2,2)));

m=max (m, abs (X (2,3)));

end;

disp ([x1 x2 x3])

Рис.5.

Заключение

В ходе выполнения работы нами была разработана программа на языке VBA, позволяющая находить корни СЛАУ методом Зейделя. Правильность работы программы была проверена аналогичным методом в редакторе MS Excel и математических пакетах MathCad и MatLab. В результате проверки корни СЛАУ, вычисленные программой, и корни, найденные с помощью вышеуказанных средств, совпали. Разработанная программа применима для решения СЛАУ методом Зейделя с другим числом переменных при условии сходимости матрицы коэффициентов.

Библиографический список

1. Методические указания к курсовой работе Информатика решение систем линейных алгебраических уравнений итерационными методами. Санкт-Петербург, 2004г.

2. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. Учебн. пособие для ВТУЗов. Изд.4-е, испр. М.: Наука, 1970.

3. Зельднер Г.А. Программируем на языке QuickBASIC 4.5 Изд 2-е, исправленное и дополненное, М.: ABF, 1996.

4. Хэлворсон М. Эффективная работа с Microsoft Office 2000. СПб, М, Харьков, Минск: Питер, 2001.

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.

© 2000 — 2023, ООО «Олбест» Все права защищены