Цифровые автоматы

Содержание

Введение

Глава 1. Представление данных в цифровых автоматах (ЦА)

1.1 Представление чисел в позиционных системах счисления (ПСС)

1.2 Формы представления данных в ЦА

1.3 Выполнение арифметических операций с целыми числами, представленными в машинных кодах

1.4 Выполнение логических операций с целыми числами, представленными в машинных кодах

Глава 2. Методы контроля работы ЦА

2.1. Корректирующая способность кодов

2.2 Метод четности / нечетности. Коды Хеминга

2.3 Контроль по модулю

Глава 3. Построение алгоритма реализации численного метода «быстрой сортировки»

3.1 Математическое описание метода

3.2 Таблица используемых переменных

Список используемых источников

Приложение 1. Блок-схема алгоритма

Введение

В своей курсовой работе я ставлю следующие задачи:

– научиться представлять данные в ЦА;

– изучить методы контроля работы ЦА и научиться строить код Хемминга;

– изучить реализацию алгоритма численного метода «быстрой сортировки» и построить его блок-схему.

Глава 1. Представление данных в цифровых автоматах (ЦА)

1.3 Представление чисел в позиционных системах счисления (ПСС)

Система счисления - это совокупность символов и правил их записи, необходимых для записи чисел.

В позиционной системе счисления вес символа зависит от позиции в которой расположен символ. Например, число 222 - первый символ этого числа имеет вес 200, второй - 20, третий - 2.

Основной характеристикой ПСС является основание. Основание ПСС - это количество символов данной системы счисления, которые используются при составлении чисел. В зависимости от основания ПСС существует четыре основных системы счисления: двоичная, восьмеричная, десятеричная и шестнадцатеричная. Все эти системы счисления используются в ЦА и каждая имеет свои основные функции. Например, числа, записанные в двоичной системе счисления, используются в ЦА для операций производимых процессором: запись, считывание, сложение и т.д.; числа в шестнадцатеричной системе счисления - для адресации ячеек памяти.

Перевод чисел из одной ПСС в другую

При переводе чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием P обычно используют следующий алгоритм:

1) если переводится целая часть числа, то она делится на P, после чего запоминается остаток от деления. Полученное частное вновь делится на P, остаток запоминается. Процедура продолжается до тех пор, пока частное не станет равным нулю. Остатки от деления на P выписываются в порядке, обратном их получению;

2) если переводится дробная часть числа, то она умножается на P, после чего целая часть запоминается и отбрасывается. Вновь полученная дробная часть умножается на P и т.д. Процедура продолжается до тех пор, пока дробная часть не станет равной нулю. Целые части выписываются после двоичной запятой в порядке их получения. Результатом может быть либо конечная, либо периодическая двоичная дробь. Поэтому, когда дробь является периодической, приходится обрывать умножение на каком-либо шаге и довольствоваться приближенной записью исходного числа в системе с основанием P.

Перевод числа из системы счисления с основанием P1 в систему счисления с основанием P2, можно выполнить по такому же алгоритму, но все вычисления нужно проводить в системе счисления с основанием P1. Второй способ перевести число можно в два этапа: переведя это число в десятеричную систему счисления, а затем из десятеричной в систему счисления с основанием P2.

Чтобы перевести число из системы счисления с основанием P
в десятичную систему счисления, нужно найти сумму произведений содержимого разряда на вес этого разряда в системе счисления с основанием P. Где разряд - номер позиции в числе, нумеруются справа налево, начиная с нуля; вес разряда - число, равное основанию системы счисления в степени номера разряда.

Чтобы перевести число из двоичной системы счисления
в восьмеричную (шестнадцатеричную) систему счисления, нужно разбить число на тройки (четверки) цифр, в случае необходимости следует дополнить целую и дробную части числа нулями (целую слева, дробную справа). Затем заменить полученные группы цифр соответствующими им восьмеричными (шестнадцатеричными) цифрами. Например, число 11010010.10₂ нужно перевести в восьмеричную систему счисления. Разобьем число на тройки цифр: 011 010 010. 100 , заменим тройки цифр на соответствующими им восьмеричными цифрами. Получим 11010010.10₂ = 322.4₈

Чтобы перевести число из восьмеричной (шестнадцатеричной) системы счисления в двоичную систему счисления, нужно заменить каждую цифру числа соответствующими им тройками (четверками) двоичных цифр.

Задание. Осуществить перевод числа (А+В), представленного в 10-ой системе из одной системы счисления в другие, по схеме рисунка.

(А+В)₁₀

Решение.

А+В=307+6.6=313.6₁₀

313.6₁₀ = ( )₂

Сначала переводим целую часть числа, делим на основание 2:

313/2=156 остаток - 1;

156/2=78 остаток - 0;

78/2=39 остаток - 0;

39/2=19 остаток - 1;

19/2=8 остаток - 1;

9/2=4 остаток - 1;

4/2=4 остаток - 0;

2/2=1 остаток - 0;

Дальше делить нельзя, поэтому собираем все остатки, начиная с конца и учитываем конечный результат от деления т.е. 2/2=1. Получим 313₁₀=100111001₂

Теперь переводим дробную часть числа, умножаем на основание 2:

*	6		*	2		*	4		*	8
	2			2			2			2
1	2		0	4		0	8		1	6

Получим 0.6₁₀ = 0.1001₂ , значит,

313₁₀ 100111001.1001₂

100111001.1001₂ = ( )₈

Разобьем число на тройки цифр: 100 111 001. 100 100 , заменим тройки цифр на соответствующими им восьмеричными цифрами т.е. 100₂=4₈ ; 111₂=7₈ ; 001₂=1₈ . Получим 100111001.1001₂ =471.44₈

100111001.1001₂ = ( )₁₀

1	0	0	1	1	1	0	0	1	.	1	0	0	1	Число
8	7	6	5	4	3	2	1	0		-1	-2	-3	-4	Разряды числа

100111001.1001₂ = 1*2^-4 + 1*2^-1 + 1*2⁰ + 1*2³ + 1*2⁴ + 1*2⁵ + 1*2⁸ =

= 0.0652 + 0.5 + 1 + 8 + 16 + 32 + 256 = 313.5652₁₀ 313.6₁₀

100111001.1001₂ = ( )₁₆

Разобьем число на четверки цифр: 0001 0011 1001. 1001 , заменим четверки цифр на соответствующими им шестнадцатеричными цифрами т.е. 0001₂=1₁₆; 0011₂=3₁₆ ; 1001₂=9₁₆ . Получим 100111001.1001₂ =139.9₁₆

313.6₁₀ = ( )₈

Сначала переводим целую часть числа, делим на основание 8:

313/8=39 остаток - 1;

39/8=4 остаток - 7.

Получим 313₁₀=471₈

Теперь переводим дробную часть числа, умножаем на основание 8:

*	6		*	8		*	4		*	2
	8			8			8			8
4	8		6	4		3	2		1	6

Получим 0.6₁₀ = 0.4631₈ , значит,

313₁₀ 471.4631₈

471.4631₈ = ( )₂

Каждый символ числа 471.4631₈ запишем в двоичной системе счисления: 4₈=100₂ ; 7₈=111₂ ; 1₈=001₂ ; 6₈=110₂ ; 3₈=011₂ .

Получим 471.4631₈ = 100111001.100110011001₂

471.4631₈ = ( )₁₀

4	7	1	.	4	6	3	1	Число
2	1	0		-1	-2	-3	-4	Разряды числа

471.4631₈ = 1*8^-4 + 3*8^-3 + 6*8^-2 + 4*8^-1 + 1*8⁰ + 7*8¹ + 4*8² =

= 0.0002 + 0.0058 + 0.0937 + 0.5 + 1 + 56 + 256 = 313.5997₁₀ 313.6₁₀

471.4631₈ = ( )₁₆

Перевод числа из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную проведем в два этапа: сначала переведем число в десятеричную систему счисления, затем из десятеричной в шестнадцатеричную. Перевод числа 471.4631₈ в десятеричную систему счисления уже осуществлен выше: 471.4631₈ = 313.6₁₀ . Далее переведем 313.6₁₀ в шестнадцатеричную систему счисления:

313.6₁₀ = ( )₁₆

Сначала переводим целую часть числа, делим на основание 16:

313/16=19 остаток - 9;

19/16=1 остаток - 3.

Получим 313₁₀=139₁₆

Теперь переводим дробную часть числа, умножаем на основание 16:

*	6		*	6
	16			16
9	6		9	6

Получим 0.6₁₀ = 0.99₁₆ , значит,

313₁₀ 139.99₁₆

139.99₁₆ = ( )₂

Каждый символ числа 139.99₁₆ запишем в двоичной системе счисления: 1₁₆=0001₂ ; 3₁₆=0011₂ ; 9₁₆=1001₂ .

Получим 139.99₁₆ = 100111001.10011001₂

139.99₁₆ = ( )₈

Перевод числа из шестнадцатеричной системы счисления в восьмеричную будем выполнять в один этап, делая все вычисления в шестнадцатеричной системе счисления.

Сначала переводим целую часть числа, делим на основание 8:

	139	8
	100	27
-	39
	38
1

27	8
20	4
7

Дальше делить нельзя, поэтому собираем все остатки, начиная с конца и учитываем конечный результат от деления т.е. 20/8=4. Получим 139₁₆ = 471₈

Теперь переводим дробную часть числа, умножаем на основание 8:

*	99		*	С8		*	40
	8			8			8
4	С8		6	40		2	00

Получим 0.99₁₆ = 0.4620₈ , значит,

139.99₁₆ 471.4620₈

139.99₁₆ = ( )₁₀

1	3	9	.	9	9	Число
2	1	0		-1	-2	Разряды числа

139.99₁₆ = 9*16^-2 + 9*16^-1 + 9*16⁰ + 3*16¹ + 1*16² = 0.0351 + 0.5625 + 9 + 48 + 256 = 313.5976₁₀ 313.6₁₀

Выполнение арифметических операций над числами, представленными в ПСС

Операции над числами в двоичной, восьмеричной, шестнадцатеричной системе счисления выполняются по тем же правилам, что и арифметические операции над числами в десятеричной системе счисления.

Задание

А) Сложить числа (А)₁₆ и (В)₁₆

(А)₁₀ = 307₁₀ = 133₁₆ (В)₁₀ = 6.6₁₀ = 6.99₁₆

+	133.00
	6.99
	139.99

Б) Вычесть из числа (А)₈ число (В)₈

(А)₁₀ = 307₁₀ = 463₈ (В)₁₀ = 6.6₁₀ = 6.46₈

-	463.00
	6.46
	454.31

В) Умножить числа (С)₂ и (В)₂

(С)₁₀ = 91₁₀ = 1011011₂ (В)₁₀ = 6.6₁₀ = 110.1001₂

*	1011011
	110.1001
1011011
+ 1011011000
101101100000
1011011000000
	1001010101.0011

В) Разделить число (С)₂ на (В)₂

(С)₁₀ = 91₁₀ = 1011011₂ (В)₁₀ = 6.6₁₀ = 110.1₂

1011011	110.1
10110110	1101
01101		1110.0
010011
001101
0001101
0001101
0000000

1.2 Формы представления данных в ЦА

Кодирование и формы представления чисел в ЦА

Представление чисел в машинных кодах для выполнения арифметических операций

Прямой код - это двоичный код числа, записанный в разрядной сетке, в старшем разряде которого указывается знак числа.

Для положительных чисел прямой код числа совпадает с обратным и дополнительном кодом т.е. [A]_пр = [A]_обр = [A]_доп .

В противном случае, когда число отрицательное:

– обратный код получается из прямого, путем инверсии всех разрядов, за исключением знакового;

– дополнительный код получается путем прибавления единицы к обратному коду т.е. [A]_доп = 1 + [A]_обр .

Модифицированный обратный (дополнительный) код - аналог обратного (дополнительного) кода, с той лишь разницей, что на знак выделяются два старших разряда.

Задание. Числа А, -А, С и -С представить в прямом, обратном, дополнительном, модифицированном обратном и модифицированном дополнительном кодах.

А = 307₁₀ = 100110011₂ С = 91₁₀ = 1011011₂

[A]_пр = [A]_об = [A]_доп = 0|000000100110011

[A]_мод.об = 00|00000100110011

[A]_{мод.доп} = 00|00000100110011

[-A]_пр = 1|000000100110011

[-A]_об = 1|111111011001100

[-A]_мод.об = 11|11111011001100

[-A]_доп = 1|111111011001100+1 = 1|111111011001101

[-A]_{мод.доп} = 11|11111011001100+1 = 11|11111011001101

[C]_пр = [C]_об = [C]_доп = 0|000000001011011

[C]_мод.об = 00|00000001011011

[C]_{мод.доп} = 00|00000001011011

[-C]_пр = 1|000000001011011

[-C]_об = 1|111111110100100

[-C]_мод.об = 11|11111110100100

[-C]_доп = 1|111111110100100+1 = 1|111111110100101

[-C]_{мод.доп} = 11|11111110100100+1 = 11|11111110100101

Представление чисел в формате с фиксированной запятой

Для чисел, представленных в формате с фиксированной запятой, предварительно определяется место запятой между разрядами, поэтому число может быть определено только в определенном диапазоне. Если рассматривать два числа, у которых место положения различны, то числа выравниваются по младшему разряду. Для этого все числа заносимые в ЦА предварительно умножаются на маштабный коэффициент.

Например:

111.101 * 2⁴ = 1111010 - целый вид;

111.101 * 2-³ = 0.111101 - дробный вид,

где 2⁴ и 2-³ - маштабный коэффициент.

Задание. Числа A, -A, B и -B представить в формате с фиксированной точкой (в 16-ти разрядах). При этом числа A и B привести к целому виду, а -A и -B к дробному с 4-мя знаками после запятой.

А = 307₁₀ = 100110011₂

A = 0000000100110011 - целый вид;

A = 100110011*2-⁴ = 000000010011.0011 - дробный вид.

В = 6.6₁₀ = 110.1₂

B = 110.1*2¹ = 0000000000001101 - целый вид;

B = 110.1*2-³ = 000000000000.1101 - дробный вид.

Представление чисел в формате с плавающей запятой

Любое число N в системе счисления с основанием q можно записать в виде N=M*q^p, где M называется мантиссой числа, а p - порядком. Такой способ записи чисел называется представлением с плавающей точкой.

Мантисса должна быть правильной дробью, первая цифра дробной части которой отлична от нуля: M из диапазона [0.1; 1).

Такое, наиболее выгодное для компьютера, представление вещественных чисел называется нормализованным.

Мантиссу и порядок q-ичного числа принято записывать в системе с основанием q, а само основание - в десятичной системе.

При хранении числа с плавающей точкой отводятся разряды для мантиссы, порядка, знака числа и знака порядка:

…

…

Например: 753.15 = 0.75315*10³.

Задание. Числа A, -A, B и -B представить в формате с плавающей точкой.

А = 307 = 0.307*10³

В = 6.6 =0.66*10¹

Кодирование и формат представления символьной информации

В большинстве первых компьютеров использовался семибитный код КОИ-7 (код обмена информацией, семизначный). В таком коде можно было закодировать 2⁷=128 символов. Но с развитием техники это стало довольно неудобно.

Новый код был уже восьмибитным и основывался на американском стандартном коде обмена информацией ASCII (American Standard Code for Information Interchange). В восьмибитном коде можно закодировать уже 2⁸=256 символов. Этого вполне хватает чтобы без всяких проблем использовать в тексте большие и маленькие буквы русского и латинского алфавитов, знаки препинания, цифры, специальные символы.

С недавнего времени был предложен новый стандарт символьного кодирования UNICODE. Шестнадцать разрядов позволяют обеспечить уникальные коды для 2¹⁶=65536 различных символов - этого поля достаточно для размещения в одной таблице символов большинства языков планеты.

Задание. Используя таблицу Windows 12.51, закодировать свои: фамилию и имя (записанные на русском и английском языках). Вписать их в разрядную сетку.

Буква	Десятиричный код	Двоичный код		Буква	Десятиричный код	Двоичный код
Ш	216	11011000		S	83	1010011
а	224	11100000		h	104	1101000
б	225	11100001		a	97	1100001
а	224	11100000		b	98	1100010
р	240	11110000		a	97	1100001
о	238	11101110		r	114	1110010
в	226	11100010		o	111	1101111
				v	118	1110110
П	207	11001111
а	224	11100000		P	80	1010000
в	226	11100010		a	97	1100001
е	229	11100101		v	118	1110110
л	235	11101011		e	101	1100101
				l	108	1101100

1.3 Выполнение арифметических операций с целыми числами, представленными в машинных кодах

Арифметические операции с целыми числами, представленными в машинных кодах, выполняются только операцией сложения. Т.е. операция разности, заменяется операцией сложения, операция произведения также заменяется операцией сложения.

Например, вычислить: А + B, A - B, -A - B. Пусть А=160₁₀, B=45₁₀.

[A]_доп = 0|000000010100000

[-A]_доп = 1|111111101100000

[B]_доп = 0|000000000101101

[-B]_доп = 1|111111111010011

	А + B			A - B			-A - B
+	0|000000010100000		+	0|000000010100000		+	1|111111101100000
	0|000000000101101			1|111111111010011			1|111111111010011
	0|000000011001101			0|000000001110011			1|111111100110011

Задание. Произвести сложение чисел, представленных в машинных кодах: A+C; -A+C; A+(- C); -A+(- C).

A = 307₁₀ =100110011₂ С = 91₁₀ = 1011011₂

[A]_доп = 0|000000100110011

[-A]_доп = 1|111111011001101

[C]_доп = 0|000000001011011

[-C]_доп = 1|111111110100101

	А + C			-A + C
+	0|000000100110011		+	1|111111011001101
	0|000000001011011			0|000000001011011
	0|000000110001110			1|111111100101000
	А + (- C)			-A + (- C)
+	0|000000100110011		+	1|111111011001101
	1|111111110100101			1|111111110100101
	0|000000011011000			1|111111001110010

1.4 Выполнение логических операций с целыми числами, представленными в машинных кодах

Количество логических операций может быть вычисленно по формуле , где n - число переменных. Из формулы видно, что для двух переменных a и b логических операций 16. Основные из них: логическое сложение, логическое умножение, логическое отрицание, сложение по модулю 2.

Для выполнения логических операций, используют таблицы истинности:Логическое сложение a b		Логическое умножение a & b		Логическое отрицание		Сложение по модулю 2 a b
a \ b	1	0		a \ b	1	0		a			a \ b	1	0
1	1	1		1	1	0		1	0		1	0	1
0	1	0		0	0	0		0	1		0	1	0

Задание:

а) произвести логическое сложение чисел А и С:

	0|000000100110011
	0|000000001011011
	0|000000101111011

б) произвести логическое умножение чисел А и С:

&	0|000000100110011
	0|000000001011011
	0|000000000010011

в) произвести сложение чисел А и С по модулю 2.

	0|000000100110011
	0|000000001011011
	0|000000101101000

г) произвести логический сдвиг: влево для чисел А и -А, вправо для С и -С

A		-A
0|000000100110011		1|111111011001101	Число
0|000001001100110		1|111110110011010	Результат сдвига влево

C		-C
0|000000001011011		1|111111110100101	Число
0|000000000101101		0|111111111010010	Результат сдвига вправо

д) произвести логический циклический сдвиг: влево для чисел А и -А, вправо для чисел С и -С

A		-A
0|000000100110011		1|111111011001101	Число
0|000010011001100		1|111101100110100	Результат сдвига влево на 2 бита

C		-C
0|000000001011011		1|111111110100101	Число
0|000000000010110		0|011111111101001	Результат сдвига вправо на 2 бита

e) произвести арифметический сдвиг: влево для чисел А и -А, вправо для чисел С и -С

A		-A
0|000000100110011		1|111111011001101	Число
0|000001001100110		1|111110110011010	Результат сдвига влево
C		-C
0|000000001011011		1|111111110100101	Число
0|000000000101101		1|011111111010010	Результат сдвига вправо

Глава 2. Методы контроля работы ЦА

2.1 Корректирующая способность кодов

При работе ЦА могут произойти те или иные сбои, приводящие к искажению информации. Поэтому при проектировании ЦА должны предусматриваться средства, позволяющие контролировать, выявлять и исправлять возникающие ошибки. Решение всех задач контроля становится возможным только при наличии определенной избыточности информации, которая сопровождает основную информацию. Иначе говоря, при представлении числа в каком-либо коде, необходимо предусмотретьв этом коде дополнительные (контрольные) разряды.

Систематический код - это код, содержащий в себе информационные и контрольные разряды. В контрольные разряды записывается некоторая информация об исходном числе, поэтому систематический код обладает избыточностью.

При этом абсолютная избыточность будет выражаться количеством контрольных разрядов - k, а относительная избыточность - , где m - количество информационных разрядов.

Понятие корректирующей способности кода связывают с возможностью обнаружения и исправления ошибки. Количественно корректирующая способность кода определяется вероятностью обнаружения или исправления ошибки. Корректирующая способность кода связана понятием кодового расстояния.

Кодовое расстояние (Хемингово расстояние) d для кодовых комбинаций A и B определяется как вес такой третьей комбинации, которая получается сложением исходных комбинаций по модулю 2. Вес кодовой комбинации V - это количество единиц содержащихся в кодовой комбинации.

Например, A=100111001 и B=011011100. Отсюда веса кодовых комбинаций будут равны: V(A)=5, V(B)=5. Кодовая комбинация C=A+B=111100101, вес этой кодовой комбинации равен V(C)=6. Таким образом кодовое расстояние для A и B - d(A,B)=V(C)=6.

В любой позиционной системе счисления минимальное кодовое расстояние равно 1. В теории кодирования показано, что систематический код обладает способностью обнаружения ошибки только тогда, когда код расстояния для него больше или равен 2t. Следовательно, , где t - кратность обнаруживаемых ошибок. Это означает, что между соседними кодовыми комбинациями должна существовать, по крайней мере одна кодовая комбинация.

2.2 Метод четности / нечетности. Коды Хеминга

Если в математическом коде выделен один контрольный разряд, то к каждому двоичному числу добавляется один избыточный разряд. В этот разряд записывается 1 или 0 с таким условием, чтобы сумма цифр по модулю 2 была равна 0 для случая четности или 1 для случая нечетности. Появление ошибки в кодировании обнруживается по нарушению четности / нечетности. При таком кодировании допускается, что может возникнуть только одна ошибка.

Пример реализации метода четности:

Число	Контрольный разряд	Проверка
10101011	1	0
11001010	0	0
10010001	1	0
11001011	0	1 - ошибка

Можно представить и несколько видоизмененный способ контроля по методу четности / нечетности. Длинное слово разбивается на группы, каждая из которых содержит n разрядов. Контрольные разряды - k, выделяются всем группам по строкам и столбцам согласно следующей схеме:

Увеличение избыточности приводит к тому, что появляется возможность не только обнаружить ошибку, но и исправить ее.

Например: число 1000111011010101110010101 представим по указанной выше схеме, получим:

1	0	0	0	1	0
	1	0	1	1	0
0	1	0	1	0	0
1	1	1	0	0	1
1	0	1	0	1	1
0	1	0	0	1

Теперь, если при передаче было получено число:

1	0	0	0	1	0
1	1	0	1	1	0
0	1	0	0	0	0
1	1	1	0	0	1
1	0	1	0	1	1
0	1	0	0	1

Тогда проверка показывает, что ошибка возникла в информации третьей строки и четвертого столбца. Следовательно, разряд, содержащий ошибочную информацию, находится на пересечении третьей строки и четвертого столбца. Ошибку можно устранить изменив 0 на 1.

Код Хэмминга - биочный систематический код, то есть состоящий из информационных и корректирующих символов, рассположенных по строго определенной системе, имеющих одинаковую длину и всегда занимающих строго определенные места в кодовых комбинациях.

При передаче кода может быть искажен или не искажен любой символ. Если длина кода - n символов, то - полное количество комбинаций кода. По методике Хэмминга можно определить число информационных символов кода, обнаруживающего и корректирующего одиночную ошибку следующим образом:

, где

- число информационных символов в коде;

- число контрольных символов;

- длина кода Хемминга.

Соотношение n, и для кода Хэмминга можно представить в виде таблицы:

Таблица 2.2.a

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
	0	0	1	1	2	3	4	4	5	6	7	8	9	10	11	11
	1	2	2	3	3	3	3	4	4	4	4	4	4	4	4	5

Пусть необходимо передать число 11₁₀=1011₂. Значит . Используя таблицу 2.2.a получаем: , .

Далее необходимо определить на какой позиции должны находиться контрольные коэффициенты. Позиция контрольных коэффициентов - k в коде вычисляется по формуле - , где i - порядковый номер коэффициента k. Получаем 7-разрядный код:

Таблица 2.2.c

1	2	3	4	5	6	7	Разряды кода Хемминга
k1	k2	И4	k3	И3	И2	И1	Назначение разрядов
		1		0	1	1	Значение разряда

Где k_i - контрольный коэффициент (отсчет идет слева на право); И_i - информационный символ (отсчет идет справа на лево).

Значение контрольных коэффициентов по правилу: если сумма единиц на проверочных позициях четная, то значение контрольного коэффициента равно 0, в противном случае - 1.

Таблица 2.2.d

Позиция контрольного коэффициента	Проверочные позиции
1	1, 3, 5, 7, 9, 11, 13…
2	2, 3, 6, 7, 10, 11, 14…
4	4, 5, 6, 7, 12, 13, 14…
8	8, 9, 10, 11, 12, 13, 14…

Итак, используя таблицу 2.2.d назодим значения контрольных коэффициентов k_i:

k₁ = 1 + 0 + 1 = 0;

k₂ = 1 + 1 + 1 = 1;

k₃ = 0 + 1 +1 = 0.

Получим код Хемминга 0110011 для передачи числа 11₁₀.

Теперь рассмотрим пример корректировки полученного кодированного в коде Хемминга числа, в котором есть сбой. Получили число 0110001. Для исправления ошибки необходимо определить позицию, в которой произошел сбой. Для этого определяем значения контрольных коэффициентов, используя таблицу 2.2.d:

k₁ = 0 + 1 + 0 + 1 = 0 - нет ошибки;

k₂ = 1 + 1 + 0+ 1 = 1 - ошибка;

k₃ = 0 + 0 +0 + 1 = 1 - ошибка.

Номер ошибочного разряда совпадает с суммой позиций контрольных коэффициентов, указавших на наличие ошибки т.е. 2 + 4 = 6. Для исправления ошибки достаточно инвертировать значение 6-го разряда.

Задание. Построить код Хемминга для числа А.

A = 307₁₀ = 100110011₂

Используя таблицу 2.2.a получаем: , .

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	Разряды кода Хемминга
k1	k2	И9	k3	И8	И7	И6	k4	И5	И4	И3	И2	И1	Назначение разрядов
		1		0	0	1		1	0	0	1	1	Значение разряда

k₁ = 1 + 0 + 1 + 1 + 0 + 1 = 0;

k₂ = 1 + 0 + 1 + 0 + 0 = 0;

k₃ = 0 + 0 +1 + 1 + 1 = 1;

k₄ = 1 + 0 + 0 + 1 + 1 = 1.

Получим код Хемминга 0011001110011.

При передаче, получили код с ошибкой 0011001110111. Проверяем:

k₁ = 0 + 1 + 0 + 1 + 1 + 1 + 1 = 1; - ошибка;

k₂ = 0 + 1 + 0 + 1 + 0 + 1 = 1; - ошибка;

k₃ = 1 + 0 + 0 +1 + 1 + 1 = 0; - нет ошибки;

k₄ = 1 + 1 + 0 + 1 + 1 + 1 = 1 - ошибка.

Ошибка находится в разряде 1 + 2 + 8 = 11, инвертируем 11-й разряд и получаем исходный код Хемминга.

2.3 Контроль по модулю

Контроль выполнения арифметических и логических операций можно осуществлять с помощью контрольных кодов, представляющих собой остатки от деления чисел на некоторый модуль. Такой контроль называют контролем по модулю. Для двоичных чисел этот модуль обычно равер или больше 3. Различают числовой и цифровой контроль по модулю.

При числовом методе код заданного числа определяется как наименьший положительный остаток от деления числа на выбранный модуль. Например, определить контрольный код числа 160 по модулю 6. Для этого делим 160 на 6, получаем остаток - 4.

При цифровом методе контроля, контрольный код числа образуется делением суммы цифр числа на выбранный модуль. Например, определить контрольный код числа 160 по модулю 6. Сумма цифр числа 160 равна 7, делим ее на 6. Получим остаток 1, значит это, контроль числа 160 по модулю 6, при цифровом методе контроля.

Числовой метод контроля

Арифметические операции можно представить в виде последовательности следующих элементарных операций: передача слова, сдвиг, взятие обратного кода, сложение.

Операцию сдвига можно представить как передачу слова из i-го разряда в (i+x) разряд. Поэтому, контроль сдвига можно осуществить по методу четности / нечетности.

Контроль выполнения арифметических операций: сложение, вычитание, умножение можно осуществить методом контроля по модулю. Для этого применяют формулы:

K_A = A mod P K_B = B mod P

K_A+B = (A + B) mod P = (K_A + K_B) mod P

K_A*B = (A * B) mod P = (K_A * K_B) mod P

Например, найдем контрольный код чисел A, B и контрольный код арифметических операций над ними, получим:

A	B	A + B	A - B	A * B	Арифметические операции над числами
89	57	146	33	5073	Значение чисел
8	3	2	6	6	Контроль по модулю 9

Проверка выполненных операций:

K_A+B = (8 + 3) mod 9 = 2 - нет ошибки;

K_A-_B = (8 - 3) mod 9 = 5

K_A*B = (8 * 3) mod 9 = 6 - нет ошибки.

Задание. Определить контрольные коды чисел A и C по модулю P, а также контрольные коды суммы A + C и разности A - C.

К_А = 307 mod 9 = 1;

K_C = 91 mod 9 = 1;

K_A+C = (307+91) mod 9 = 398 mod 9 = 2; проверка:

K_A+C = (1 + 1) mod 9 = 2 mod 9 = 2 - нет ошибки.

K_A-_C = (307-91) mod 9 = 216 mod 9 = 0; проверка:

K_A-_C = (1 - 1) mod 9 = 0 mod 9 = 0 - нет ошибки.

Цифровой метод контроля

Контроль выполнения арифметических операций: сложение, вычитание, умножение выполняется по темже формулам, только при цифровом методе контроля, контрольный код числа образуется делением суммы цифр числа на выбранный модуль.

Задание. Определить контрольные коды чисел A и C по модулю P, а также контрольные коды суммы A + C и разности A - C.

К_А = (3+0+7) mod 9 = 1;

K_C = (9+1) mod 9 = 1;

K_A+C = (3+0+7+9+1) mod 9 = 20 mod 9 = 2; проверка:

K_A+C = (1 + 1) mod 9 = 2 mod 9 = 2 - нет ошибки.

K_A-_C = (3+0+7-9-1) mod 9 = 0 mod 9 = 0; проверка:

K_A-_C = (1 - 1) mod 9 = 0 mod 9 = 0 - нет ошибки.

Глава 3. Построение алгоритма реализации численного метода «быстрой сортировки»

3.1 Математическое описание метода

Алгоритм сортировки К. Хоора называют сортировкой с разделением или «быстрой сортировкой». В основу алгоритма положен метод последовательного дробления массива на части.

Алгоритм «быстрой сортировки» можно проанализировать на примере. Пусть дан массив M[i] = (9, 11, 12, 3, 19, 1, 5, 17, 10, 18, 3, 19, 17, 9, 12, 20, 20, 19, 2, 5). После первого вызова процедуры QuickS в исходном массиве будет определена его середина (10-й элемент) и переменной X присвоено значение m[10], т.е. 18. После этого массив делится на две части. Далее выполняется обмен элементами по следующему правилу:

При просмотре левой части массива слева направо выполныется поиск такого элемента массива, что M[i]>X, затем при просмотре правой части справа налево отыскивается такой элемент, что M[i]<X. Выполняется обмен местами данных элементов, пока все элементы слева от середины, удовлетворяющие условию M[i]>X, не будут обменены с элементами, рассположенными справа от середины и удовлетворяющими условию M[i]<X. В результате этого получим массив из двух частей следующего вида:

9, 11, 12, 3, 19, 1, 5, 17, 10, 18, 3, 19, 17, 9, 12, 20, 20, 19, 2, 5 Число итераций =1

19, 20, 12, 3, 19, 1, 5, 17, 10, 18, 3, 19, 17, 9, 12, 20, 11, 9, 2, 5 Число итераций =2

19, 20, 20, 3, 19, 1, 5, 17, 10, 18, 3, 19, 17, 9, 12, 12, 11, 9, 2, 5 Число итераций =3

19, 20, 20, 19, 19, 1, 5, 17, 10, 18, 3, 3, 17, 9, 12, 12, 11, 9, 2, 5 Число итераций =4

19, 20, 20, 19, 19, 18, 5, 17, 10, 1, 3, 3, 17, 9, 12, 12, 11, 9, 2, 5 Число итераций =5

Далее левая часть в свою очередь дробится на две части, и вызывается процедура для сортировки левой части (с 1-го по 6-й элемент)

20, 20, 19, 19, 19, 18, 5, 17, 10, 1, 3, 3, 17, 9, 12, 12, 11, 9, 2, 5 Число итераций =6

20, 20, 19, 19, 19, 18, 5, 17, 10, 1, 3, 3, 17, 9, 12, 12, 11, 9, 2, 5 Число итераций =7

После того как левая часть массива отсортирована, опять рекурсивно вызывается процедура, в которой определяется середина данной части массива, и выполняется обмен элементов. Массив становится таким:

20, 20, 19, 19, 19, 18, 5, 17, 10, 1, 3, 3, 17, 9, 12, 12, 11, 9, 2, 5 Число итераций =8

20, 20, 19, 19, 19, 18, 5, 17, 10, 1, 3, 3, 17, 9, 12, 12, 11, 9, 2, 5 Число итераций =9

Далее опять рекурсивно вызывается процедура для сортировки, пока в каждой из частей останется по одному элементу.

Затем рекурсивно вызывается процедура для аналогичной сортировки правой части (с 7-го по 13-й элемент). Результат последовательных этапов сортировки массива отображается так:

20, 20, 19, 19, 19, 18, 5, 17, 10, 1, 3, 3, 17, 9, 12, 12, 11, 9, 2, 5 Число итераций =10

20, 20, 19, 19, 19, 18, 17, 17, 10, 1, 3, 3, 5, 9, 12, 12, 11, 9, 2, 5 Число итераций =11

20, 20, 19, 19, 19, 18, 17, 17, 10, 1, 3, 3, 5, 9, 12, 12, 11, 9, 2, 5 Число итераций =12

20, 20, 19, 19, 19, 18, 17, 17, 10, 9, 3, 3, 5, 9, 12, 12, 11, 1, 2, 5 Число итераций =13

20, 20, 19, 19, 19, 18, 17, 17, 10, 9, 11, 3, 5, 9, 12, 12, 3, 1, 2, 5 Число итераций =14

20, 20, 19, 19, 19, 18, 17, 17, 10, 9, 11, 12, 5, 9, 12, 3, 3, 1, 2, 5 Число итераций =15

20, 20, 19, 19, 19, 18, 17, 17, 10, 9, 11, 12, 12, 9, 5, 3, 3, 1, 2, 5 Число итераций =16

20, 20, 19, 19, 19, 18, 17, 17, 10, 9, 11, 12, 12, 9, 5, 3, 3, 1, 2, 5 Число итераций =17

20, 20, 19, 19, 19, 18, 17, 17, 12, 9, 11, 12, 10, 9, 5, 3, 3, 1, 2, 5 Число итераций =18

20, 20, 19, 19, 19, 18, 17, 17, 12, 12, 11, 9, 10, 9, 5, 3, 3, 1, 2, 5 Число итераций =19

20, 20, 19, 19, 19, 18, 17, 17, 12, 12, 11, 9, 10, 9, 5, 3, 3, 1, 2, 5 Число итераций =20

20, 20, 19, 19, 19, 18, 17, 17, 12, 12, 11, 9, 10, 9, 5, 3, 3, 1, 2, 5 Число итераций =21

20, 20, 19, 19, 19, 18, 17, 17, 12, 12, 11, 10, 9, 9, 5, 3, 3, 1, 2, 5 Число итераций =22

20, 20, 19, 19, 19, 18, 17, 17, 12, 12, 11, 10, 9, 9, 5, 5, 3, 1, 2, 3 Число итераций =23

20, 20, 19, 19, 19, 18, 17, 17, 12, 12, 11, 10, 9, 9, 5, 5, 3, 1, 2, 3 Число итераций =24

20, 20, 19, 19, 19, 18, 17, 17, 12, 12, 11, 10, 9, 9, 5, 5, 3, 1, 2, 3 Число итераций =25

20, 20, 19, 19, 19, 18, 17, 17, 12, 12, 11, 10, 9, 9, 5, 5, 3, 3, 2, 1 Число итераций =26

Как видно из примера, данный массив будет отсортирован за 26 итераций методом «быстрой сортировки». Тот же массив отсортированный линейным методом, будет отсортирован за 190 итераций, пузырьковым методом за 170 итераций. Как видно из приведенных примеров, алгоритм «быстрой сортировки» дает более лучшие результаты.

3.2 Таблица используемых переменных

Имя переменной	Тип переменной	Описание переменной
M[i]	Целый / Вещественный	Сортируемый массив чисел
i j	Целый	Используются в цикле при обращении к элементу массива
X	Целый / Вещественный	Значение элемента в середине массива
First Last	Целый	Границы сортируемого массива
tmp	Целый / Вещественный	Временное хранение значения элемента массива при обмене

Примечание: так как процедура сортировки массива - рекурсия, то переменные i, j, X - должны быть локальными.

Заключение

В процессе выполнения курсовой работы, я узнал как представляются данные в ЦА, научился переводить числа из одной системы счисления в другую, научился представлять числа в машинном коде и выполнять над ними арифметические и логические операции. При изучении метода контроля работы ЦА, я научился строить код Хемминга, а также выявлять ошибки в данных, закодированных кодом Хемминга. При изучении реализации алгоритма численного метода «быстрой сортировки», я увидел преимущество данного метода в отличии от других методов сортировки.

Таким образом, при выполнении курсовой работы, я получил новые знания и навыки для своей профессиональной деятельности.

Список используемых источников

1. Понаморев В.С., Красников В.В. Методические указания по курсу «Организация и функционирование ЭВМ и систем». Ч.1. Арифметические основы ЭВМ. ДГТУ, 1996.

2. Интернет-ресурс «Системы счисления: двоичная, восьмиричная, шестнадцатиричная»

http://www.pascalstudy.narod.ru/tems/pas_5.html

3. Коштоев В.В., Кипиани К.К. Учебное пособие «Основы прикладной теории цифровых автоматов» Тбилиси, 1998.

4. Интернет-ресурс «Теоретические основы информатики. Коды Хемминга»

http://de.uspu.ru/Informatics/Metodes/DPP/F/08/1/glavs/5/564.htm

5. Интернет-ресурс «Контроль по модулю арифметических операций в десятичной и двоичной СС»

http://distance-onu.by.ru/metod/11.htm

6. Интернет-ресурс «Глава 3. Выражения и Операции. Побитовые Операции Сдвига»

http://pyramidin.narod.ru/jscript/coreguide15/expr.html

7. Turbo Pascal для школьников: Учеб. пособие.- 3-е доп.изд.- М.: Финансы и статистика, 2002.-528 с.

Приложение 1. Блок-схема алгоритма