2.2 Аппроксимация амплитудно-частотной характеристики фильтров верхних частот

Ранее были рассмотрены вопросы аппроксимации АЧХ фильтров нижних частот. Применяя преобразование частоты, полученными данными можно воспользоваться для аппроксимации ФВЧ, полосовых и заграждающих фильтров, которая выполняется следующим образом. По исходным данным к этим фильтрам строится низкочастотный прототип. Затем, в зависимости от выбранной или заданной аппроксимации, описанным способом определяют координаты полюсов и нулей низкочастотного прототипа и, выполняя обратное преобразование находят координаты нулей и полюсов исходного фильтра.

Низкочастотный прототип ФВЧ имеет такую же неравномерность аф коэффициента передачи в полосе пропускания и ту же частоту среза fс, что и исходный ФВЧ. Нормирующей частотой является частота среза. Нормированная граничная частота полосы задерживания НЧ-прототипа, на которой необходимо обеспечить требуемое затухание bф (см. рис. 2.а.), определяется как F1=1/F2, где F2=f2/fc-нормированная граничная частота полосы задерживания фильтра высоких частот (см. рис. 1, б).

При переходе к высокочастотной функции необходимо в низкочастотной передаточной функции заменить переменную p на 1/p, при этом каждый полюс p'K низкочастотного прототипа преобразуется в полюс pK=1/p'K и нуль в начале координат (ZK=0), а каждый его Z'K-в нуль ZK=1/Z'K и полюс в начале координат (pK=0):

3. Каскадная реализация активных фильтров

Реализация передаточных функций, обеспечивающих необходимое АЧХ, чаще всего осуществляется по методу каскадно-развязанного включения звеньев 1-го и 2-го порядков. При такой реализации передаточная функция должна быть представлена в виде произведения сомножителей 1-го и 2-го порядка Ki(p):

(12)

Рис. 5. Каскадное соединение звеньев

Каждый из сомножителей Ki в выражении (4) реализуется соответствующим звеном. Если звенья не влияют друг на друга. то схема обладает требуемой передаточной функцией n-го порядка.

Передаточную функцию K(p) можно разложить на сомножители, используя различные комбинации постоянных множителей Hi, нулей и полюсов. Вещественные полюса образуют звенья 1-го порядка с передаточной функцией

, (13)

где B(p) - полином первой степени или единица; -постоянное число.

Комплексно-сопряженные полюсы образуют звенья 2-го порядка с передаточной функцией

, (14)

где В(р) - полином второй или меньшей степени. В зависимости от вида полинома В(р) передаточные функции второго порядка и реализующие их звенья подразделяются в соответствии с табл. 2; и - постоянные коэффициенты.

Таблица 2. Виды передаточных функций второго порядка и типы звеньев

Для четного порядка n>2 каскадная схема содержит n/2 звеньев второго порядка, каждое с передаточной функцией типа (14). Если порядок n>2 является нечетным, то схема содержит (n-1)/2 звеньев второго порядка с передаточными функциями типа (14) и одно звено первого, порядка с передаточной функцией типа (13).

Для звеньев второго порядка, описываемых функцией (14), определим:

собственную частоту

(15)

(16)

Для обеспечения коэффициента передачи фильтра в полосе пропускания равного единице (0 дБ) необходимо соблюдать условие

(17)

Так как операционные усилители обладают большим входным и малым выходным сопротивлениями, то звенья, построенные с их применением, практически не влияют друг на друга. Поэтому в дальнейшем рассматриваются вопросы реализации передаточных функций фильтров с помощью звеньев, содержащих операционные усилители.

3.1 Звенья фильтров верхних частот первого порядка

Звено ФВЧ 1-го порядка должно реализовать передаточную функцию вида

, (23)

где НВ=H/, q=1/, H и параметры передаточной функции НЧ-прототипа (18).

Схема звена с неинвертирующим усилителем (рис. 9) имеет передаточную функцию

(24)

Рис. 9. Звено ФВЧ первого порядка с положительным коэффициентом усиления

Сравнение (23) и (24) дает возможность получить формулы для расчета: R1=1/cq, К=НВ

Значения емкости при этом, как и раньше, задаются от 1 до 10.

На рис. 10 показана схема звена ФВЧ первого порядка, построенного на операционном усилителе в инвертирующем включении. Его передаточная функция

.

Задавшись значением С, определяем нормированные значения сопротивлений: R1=1/cq, R2=R1Hв.

Рис. 10. Звено ФВЧ первого порядка на инвертирующем ОУ

3.2 Реализация передаточных функций второго порядка для фильтров верхних частот Баттерворта и Чебышева

Нормированную передаточную функцию фильтра верхних частот можно подучить из передаточной функции нормированного НЧ-прототипа с помощью замены переменной р на 1/р. Следовательно, функция фильтров верхних частот Баттерворта и Чебышева будет содержать сомножители второго порядка:

, (27)

где b=/, a=1/, HB=H/, H, и -нормированные коэффициенты звена фильтра нижних частот второго порядка (НЧ-прототипа).

Коэффициент усиления фильтра верхних частот представляет собой значение его АЧХ при бесконечном значении частоты . Следовательно, для звеньев второго порядка, описываемых функцией (27), коэффициент усиления K=HB=H/.

3.3 Реализация передаточных функций второго порядка эллиптических фильтров Золотарева-Кауэра и с нулями передачи на мнимой оси

Вследствие того, что передаточные функции эллиптических фильтров содержат комплексно-сопряженные нули на оси j, в их состав входят сомножители второго порядка вида

, (35),

где Н*=Нв=Н(н/н) - в случае ФВЧ; H*=Hn=-в случае полосового фильтра; H, H и H-параметры передаточной функции вида (35) НЧ-прототипа второго порядка.

Таким образом, типовая передаточная функция эвена второго порядка эллиптических и заграждающих фильтров имеет вид (35). Схемы реализации этой функции необходимо выбирать в зависимости от соотношения между коэффициентами и . Так, схема, изображенная на рис. 20.а, имеет передаточную функцию

, (36)

что дает возможность реализовать только те функции, у которых в (35) >.

Приравняв (36) к (35), получим следующие расчетные соотношения:

 (37)

Передаточная функция для схемы на рис. 20.б имеет вид функции (35) при

В данном случае, очевидно, что в (5) должно быть >. Параметры схемы рассчитываются с помощью следующих формул:

а

б

Рис. 20. Схемы на основе ИНУН с положительным коэффициентом усиления, реализующие два нуля на мнимой оси

Если в схеме на рис. 20, а принять R, то из анализа выражения (36) легко видеть, что в этом случае ==1/a2. Расчетные формулы можно подучить из (37):

Рассмотренные схемы используют неинвертирующий усилитель и их целесообразно применять при добротностях звеньев Q10.

На рис. 21 изображена схема, которая реализует функцию (35) при

H*=-KR4/R5; =R5/R1R2R4C2C2; =1/R2C2; =k/R2R3C1C2.

Если задаться нормированными значениями C1, C2, R5, а также K1, то остальные параметры рассчитываются следующим образом:

(38)

Если выбрать C1=C2, то приемлемое значение сопротивления

R5= (39)

Если добротность Q10, то сопротивления, рассчитанные по (38) и (39), будут иметь приемлемые значения. Однако если Q>10, получается нежелательный разброс значений сопротивлений. В этом случае нужно выбирать C1, C2 и R5 таким образом, чтобы сохранялся небольшой разброс значений. Например, можно выбрать значение емкости C2 относительно большим по сравнению с C1 для того, чтобы значение сопротивления R2 входило в диапазон значений сопротивлений R1 и R3.

Рассмотренная схема применяется при любых соотношениях между коэффициентами и в выражении (35).

Рис. 21. Универсальное звено второго порядка, реализующее два нуля на мнимой оси

4. Расчет аналогового фильтра верхних частот по Золотареву-Кауэру

Заданием на курсовую работу является расчет фильтра верхних частот с аппроксимацией Золотарева-Кауэра со следующими требованиями:

FC = 1000 Гц,

f1 = 830 Гц,

АФ = 3 дБ,

ВФ = 50 дБ.