3

Ìèíèñòåðñòâî íàóêè è îáðàçîâàíèÿ Óêðàèíû

Õàðüêîâñêèé Íàöèîíàëüíûé Óíèâåðñèòåò èì. Â.Í.Êàðàçèíà

Ôàêóëüòåò êîìïüþòåðíûõ íàóê

Êàôåäðà ìîäåëèðîâàíèÿ ñèñòåì è òåõíîëîãèé

Ìîäåëèðîâàíèå ëîãíîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ

Êóðñîâàÿ ðàáîòà ïî äèñöèïëèíå

«Êîìïüþòåðíîå ìîäåëèðîâàíèå ñòîõàñòè÷åñêèõ ïðîöåññîâ»

Èñïîëíèòåëü *************

ñòóäåíò ****

Ðóêîâîäèòåëü

Ñò. ïðåï. ************

Õàðüêîâ 2007

Ïëàí

1. Ââåäåíèå

2. Ëîãíîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå

3. Ïðèìåíåíèå ëîãíîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ

4. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è

5. Ðåàëèçàöèÿ ïîñòàâëåííîé çàäà÷è

6. Èíñòðóêöèÿ ïîëüçîâàòåëþ

7. Îïèñàíèå ïðîãðàììíîãî ìîäóëÿ

8. Çàêëþ÷åíèå

9. Ñïèñîê èñïîëüçóåìîé ëèòåðàòóðû

10. Îáùèå äàííûå ëîãíîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ

Ââåäåíèå

Äàííàÿ ðàáîòà áûëà ñîçäàíà ñ öåëüþ ïðîìîäåëèðîâàòü ëîãíîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. Ïðîåêò ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðîãðàììíûé ïðîäóêò, êîòîðûé ãåíåðèðóåò ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ðàñïðåäåëåííûå ïî âûøåóêàçàííîìó çàêîíó, îòîáðàæàåò òåîðåòè÷åñêóþ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ è ïëîòíîñòü ïîëó÷åííóþ â ðåçóëüòàòå ýêñïåðèìåíòà. Òàêæå ñ÷èòàåòñÿ ìàò. îæèäàíèå è äèñïåðñèÿ òåîðåòè÷åñêè è ýêñïåðèìåíòàëüíî.

Ëîãíîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå

Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X èìååò ëîãíîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè ì, ó, åñëè X = exp(Y), ãäå Y èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè ì, ó. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ñ ëîãíîðìàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé, è ïðèíèìàåò òîëüêî ïîëîæèòåëüíûå çíà÷åíèÿ. Ãðàôèêè ïëîòíîñòè (ïðèâÿçàí ê ëåâîé âåðòèêàëüíîé îñè îðäèíàò) è ôóíêöèè (ïðèâÿçàí ê ïðàâîé îñè îðäèíàò) ëîãíîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïàðàìåòðàìè ì = 0, ó = 0.7 ïðèâåäåí íà ñëåäóþùåì ðèñóíêå.

Õàðàêòåðèñòèêè

 ñëåäóþùåé òàáëèöå ïðèâåäåíû ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ õàðàêòåðèñòèê ëîãíîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.

Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ

Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ*

Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå

Ñòàíäàðòíîå îòêëîíåíèå

Äèñïåðñèÿ

Àñèììåòðèÿ

Ìîäà

* Ôóíêöèÿ ëîãíîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ F ÷åðåç ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè íå âûðàæàåòñÿ. Äëÿ ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ ôóíêöèè ýòîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïàðàìåòðàìè ì, ó ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé F(x) = Öì,ó(ln x), ãäå Öì,ó - ôóíêöèÿ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïàðàìåòðàìè ì, ó.

Ìîäåëèðîâàíèå

Ìîäåëèðîâàíèå çíà÷åíèé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ñ ëîãíîðìàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì (ñ ïàðàìåòðàìè ì, ó) ïðîâîäèòñÿ ïî ôîðìóëå X = exp(Y), ãäå Y èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ òåìè æå ïàðàìåòðàìè..

Ïðèìåíåíèå ëîãíîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ

 ñòàòèñòèêå òàê íàçûâàåìîå ëîãíîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ïðèìåíÿåòñÿ â òîì ñëó÷àå, êîãäà íà÷èíàåò èçìåíÿòüñÿ öåíà àêòèâà â áóäóùåì - à ýòî ñëó÷àéíûé ïðîöåññ, êîòîðûé â ïðèíöèïå äîëæåí îïèñûâàòüñÿ íîðìàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì.  òî æå âðåìÿ äëÿ öåëåé âåðîÿòíîñòíîé îöåíêè ñòîèìîñòè àêòèâà â òåîðèè ïîëüçóþòñÿ íå íîðìàëüíûì, à ëîãíîðìàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì. Ýòî îáóñëîâëåíî ñëåäóþùèìè ïðè÷èíàìè. Âî-ïåðâûõ, íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî åå öåíòðàëüíîé îñè è ìîæåò èìåòü êàê ïîëîæèòåëüíûå, òàê è îòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ; îäíàêî öåíà àêòèâà íå ìîæåò áûòü îòðèöàòåëüíîé. Âî-âòîðûõ, íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ãîâîðèò î ðàâíîé âåðîÿòíîñòè äëÿ çíà÷åíèé ïåðåìåííîé îòêëîíèòüñÿ ââåðõ èëè âíèç.  òî æå âðåìÿ íà ïðàêòèêå, íàïðèìåð, èìååò ìåñòî èíôëÿöèÿ, êîòîðàÿ îêàçûâàåò äàâëåíèå íà öåíû â ñòîðîíó èõ ïîâûøåíèÿ, à òàêæå ñàìà âðåìåííàÿ ñóùíîñòü äåíåã: ñòîèìîñòü äåíåã ñåãîäíÿ ìåíüøå, ÷åì ñòîèìîñòü äåíåã â÷åðà, íî áîëüøå, ÷åì ñòîèìîñòü äåíåã çàâòðà. Êðèâàÿ ëîãíîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âñåãäà ïîëîæèòåëüíà è èìååò ïðàâîñòîðîííþþ ñêîøåííîñòü (àñèììåòðè÷íî), ò.å. îíà óêàçûâàåò íà áîëüøóþ âåðîÿòíîñòü öåíû îòêëîíèòüñÿ ââåðõ. Ïîýòîìó åñëè, äîïóñòèì, öåíà àêòèâà ñîñòàâëÿåò 50 äîëë., òî êðèâàÿ ëîãíîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñâèäåòåëüñòâóåò î òîì, ÷òî îïöèîí ïóò ñ öåíîé èñïîëíåíèÿ 45 äîëë. äîëæåí ñòîèòü ìåíüøå îïöèîíà êîëë ñ öåíîé èñïîëíåíèÿ 55 äîëë., â òî âðåìÿ êàê â ñîîòâåòñòâèè ñ íîðìàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì îíè äîëæíû áûëè áû èìåòü îäèíàêîâóþ öåíó. Õîòÿ íåëüçÿ íàäåÿòüñÿ, ÷òî ïðèâåäåííûå èñõîäíûå ïðåäïîëîæåíèÿ â òî÷íîñòè âûïîëíÿþòñÿ âî âñåõ ðåàëüíûõ ðûíî÷íûõ ñèòóàöèÿõ, òåì íå ìåíåå ïðèíÿòî ñ÷èòàòü, ÷òî ëîãíîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå äîñòàòî÷íî õîðîøî êàê ïåðâîå ïðèáëèæåíèå â ñëó÷àå àêòèâîâ, êîòîðûìè òîðãóþò íà êîíêóðåíòíûõ ðûíêàõ àóêöèîííîãî òèïà äëÿ äëèííûõ ðàññìàòðèâàåìûõ ïåðèîäîâ.

Ïîñòàíîâêà çàäà÷è

Áûëà ïîñòàâëåíà çàäà÷à ïðîìîäåëèðîâàòü ëîãíîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, âûâåñòè ãðàôèê ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ, ïîëó÷åííûé ïðè ïîìîùè àíàëèòè÷åñêèõ ðàñ÷åòîâ, è ãðàôèê, ïðîìîäåëèðîâàííûé ñ ïîìîùüþ ñòîõàñòè÷åñêîãî ìåòîäà. Ïîñ÷èòàòü ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèþ àíàëèòè÷åñêèì è ñòîõàñòè÷åñêèì ñïîñîáàìè è çàíåñòè ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû â òàáëèöó (SrtingGrid).

Ðåàëèçàöèÿ ïîñòàâëåííîé çàäà÷è

Äëÿ ðåøåíèÿ ïîñòàâëåííîé ÿ èñïîëüçîâàë ñðåäó ïðîãðàììèðîâàíèÿ Delphi 7.

Ñíà÷àëà áûëè ñäåëàíû ðàñ÷åòû ïî ôîðìóëàì êîòîðûå îïèñûâàëèñü âûøå äëÿ òîãî, ÷òîáû îòîáðàçèòü ãðàôèê ïëîòíîñòè ëîãíîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè ïîìîùè àíàëèòè÷åñêèõ ðàñ÷åòîâ.

Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîëó÷èòü ãðàôèê ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ íà îñíîâå ñòîõàñòè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé, áûë âûáðàí ìåòîä Íåéìàíà.

Òàêæå íóæíî áûëî ïîñ÷èòàòü ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèþ è ââåñòè ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû íà ýêðàí. Ôîðìóëû êîòîðûõ ïðåäñòàâëåíû íèæå

Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå

Äèñïåðñèÿ

var

Form1: TForm1;

kk:Int64;

flag:boolean;

implementation

Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ

function TForm1.PL(x:double):double; //--density of distribution

begin

if x<>0 then

result := exp(-(ln(x)-mu)*(ln(x)-mu)/(2*sigma*sigma))/(x*sigma*Sqrt(2*Pi))

else

result := 0;

end;

function TForm1.LogNorm() : double; //--for a method of Neumann

var

y : real;

x : double;

begin

repeat

x := a+random*(b-a);

f := PL(x);

y := fmax*random;

until y<f;

result := x;

end;

procedure TForm1.Clear; //------------clear array---------

const M=50;

var j : integer;

begin

for j:=0 to (M-1) do

begin

gist[j] := 0;

end;

end;

procedure TForm1.Panel1Click(Sender: TObject);

var

x, r, sr, h1, h2, Ob,g1,g2, chi2_N, chi2_12, chi2_if, sum, Z : double;

p, y, Mat, Mat2, Disp : real;

M, j : integer;

N, i, u : longint;

begin

flag:=false;

Gauge1.Progress:=0;

//-------**All fields must be filled!**---------

if (E1.Text='') or (E2.Text='') or (E3.Text='') or (E4.Text='') or

(E5.Text='') then

begin

with Application do

begin

NormalizeTopMosts;

MessageBox('All of fields must be filled!', 'Error', MB_OK);

RestoreTopMosts;

end;

exit;

end;

//----------**initialization**--------------

T := GetTime;

Clear;

Chart1.Series[0].Clear;

Chart1.Series[1].Clear;

Chart1.Series[2].Clear;

sigma := StrToFloat(E1.Text);

mu := StrToFloat(E2.Text);

a := StrToFloat(E3.Text);

b := StrToFloat(E4.Text);

kk:=StrToint64(E5.Text);

if kk>2000000000 then

begin

Showmessage ('Î÷åíü áîëüøîå ÷èñëî, ââåäèòå ìåíüøåå');

exit;

end;

N := StrToInt(E5.Text);

g1:=100/N;

g2:=0;

Randomize;

M := 50;

//---------------**theoretical method**------------------

for i:=1 to 100 do

begin

if (i mod 10) =0 then application.ProcessMessages;

x := a+i*(b-a)/100;

//p := PL(x);

if x<>0 then

p := exp(-(ln(x)-mu)*(ln(x)-mu)/(2*sigma*sigma))/(x*sigma*Sqrt(2*Pi))

else

p := 0;

Chart1.Series[0].AddXY(x, p);

end; //---theoretical

//***********************************************************

Ìåòîä Íåéìàíà

//---------------**method of Neumann**------------------------

fmax :=Chart1.Series[0].MaxYValue;

{for i:=1 to N do

begin

if (i mod 10) =0 then application.ProcessMessages;

x := a+i*(b-a)/N;

f := PL(x);

if (f>fmax)then

fmax := f;

end;} //max

//------------------------------

Clear;

chi2_N:=0;

Mat:=0;

Mat2:=0;

Disp:=0;

i:=0;

Clear;

chi2_if := 0;

while true do

begin

if (i mod 10) =0 then application.ProcessMessages;

inc(i);

x := LogNorm();

Mat := Mat+x; //expectation

Mat2 := Mat2 +sqr(x);

if (x>b) or (x<a) then

continue;

u := trunc((x-a)/((b-a)/M));

gist[u] := gist[u]+1;

h1 := random;

h2 := random;

Ob := sqrt(-2*ln(h1))*cos(2*Pi*h2);

Ob := mu+Ob*sigma;

x := exp(Ob);

if (x>b) or (x<a) then

continue;

u := trunc((x-a)/((b-a)/M));

gist1[u] := gist1[u]+1;

g2:=g2+g1;

Gauge1.Progress:=trunc(g2)+1;

if i>N then break;

if flag=true then

begin

N:=i;

break;

end;

end;

Mat := Mat/N;

Mat2 := Mat2/N;

Disp := Mat2 - sqr(Mat);

for j:=0 to (M-1) do //------histogram

begin

sum := (Power(N*PL(a+(b-a)/M*(j+0.5))*(b-a)/M-gist[j], 2))/

(N*PL(a+(b-a)/M*(j+0.5))*(b-a)/M);

chi2_N := chi2_N+sum;

Chart1.Series[1].AddXY((a+(j+0.5)*(b-a)/M), gist[j]/N*M/(b-a));

end;

E6.Text := FloatToStrF(chi2_N, fffixed, 4, 4);//--chi-square for a Neumann

//****************************************************************

Ìåòîä îáðàòíîé ôóíêöèè

//--------------**method of inverse function**-----------------

Clear;

chi2_if := 0;

{for i:=1 to N do

begin

h1 := random;

h2 := random;

Ob := sqrt(-2*ln(h1))*cos(2*Pi*h2);

Ob := mu+Ob*sigma;

x := exp(Ob);

if (x>b) or (x<a) then

continue;

u := trunc((x-a)/((b-a)/M));

gist[u] := gist[u]+1;

end;}

for j:=0 to (M-1) do //------histogram

begin

sum := (Power(N*PL(a+(b-a)/M*(j+0.5))*(b-a)/M-gist1[j], 2))/

(N*PL(a+(b-a)/M*(j+0.5))*(b-a)/M);

chi2_if := chi2_if+sum;

Chart1.Series[2].AddXY((a+(j+0.5)*(b-a)/M), gist1[j]/N*M/(b-a));

gist1[j]:=0;

end;

E8.Text := FloatToStrF(chi2_if, fffixed, 4, 4); //chi-sq for a inverse function

E10.Text := FloatToStr(exp(mu+sqr(sigma)/2)); //--expectation (teor)

E11.Text := FloatToStr(Mat); //--expectation (experim)

E12.Text := FloatToStr((exp(sqr(sigma))-1)*exp(2*mu+sqr(sigma)));

E13.Text := FloatToStr(Disp);

D := GetTime;

Z := MilliSecondSpan(D, T);

e5.Text:=IntTostr(N);

Edit1.Text := FloatToStrF(Z, fffixed, 6, 6);

//*****************************************************************

end;

procedure TForm1.Panel7Click(Sender: TObject);

begin

Close;

end;

procedure TForm1.E1KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);

begin

if (key='-')

then begin

if Pos ('-', (Sender as TEdit).Text)=0 then Begin (Sender as TEdit).SelStart:=0; key:='-'; end

else key:=#0;

end;

if Sender is TEdit then

begin

if Not((Key in ['0'..'9'])or (Key=Chr(vk_Back))

or (Key=DecimalSeparator) or (Key='-')) then

Key:=#0

else

begin

if Key = DecimalSeparator then

if Pos(DecimalSeparator,(Sender as TEdit).Text)>0 then

Key:=#0;

end;

end;

end;

procedure TForm1.Aboutme1Click(Sender: TObject);

begin

AboutBox.Show;

end;

procedure TForm1.Timer1Timer(Sender: TObject);

begin

Panel19.Caption := TimeToStr(Time);

end;

procedure TForm1.E1KeyDown(Sender: TObject; var Key: Word;

Shift: TShiftState);

begin

if (ssShift in Shift)then

key:=0;

end;

procedure TForm1.Panel20Click(Sender: TObject);

begin

flag:=true;

end;

end.

Èíñòðóêöèÿ ïîëüçîâàòåëþ

Ïðè çàïóñêå ïðîãðàììû ïåðåä ïîëüçîâàòåëåì îòêðûâàåòñÿ ôîðìà, íà êîòîðîé åñòü ïîëÿ ââîäà ïàðàìåòðîâ, ïîëÿ âûâîäà ïîñ÷èòàííûõ çíà÷åíèé, ïîëå äëÿ âûâîäà ãðàôèêà è êíîïêè, ïðè íàæàòèè íà êîòîðûå ïðîèñõîäèò òî èëè èíîå ñîáûòèå.

Ñïðàâà â ðàçäåëå "Òåîðåòè÷åñêè ïîëüçîâàòåëü ìîæåò ââåñòè çíà÷åíèå sigma è mu, òå çíà÷åíèÿ êîòîðûå îí ñ÷èòàåò íóæíûìè; a è b ýòî èíòåðâàë â ïðåäåëàõ êîòîðîãî ìåíÿåòñÿ ãðàôèê. È çíà÷åíèå N - (êîëè÷åñòâî ºêñïåðåìåíòîâ) - â çàâèñåìîñòè îò òîãî ñêîëüêî ðàç ìû áóäåì ïðîâîäèòü ºêñïåðåìåíò .  çàâèñèìîñòè îò âûáîðà äàííûõ ïàðàìåòðîâ ïîëüçîâàòåëü ìîæåò ïîëó÷èòü ðàçëè÷íûå ôîðìû ãðàôèêà ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè.

 ðàçäåëå "Êðèòåðèé ñîãëàñèÿ" âûâîäÿòñÿ çíà÷åíèÿ îöåíêè Õè-êâàäðàò äëÿ äâóõ óêàçàííûõ ìåòîäîâ. Íèæå âûâîä ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ è äèñïåðñèè, ïîñ÷èòàííûõ òåîðåòè÷åñêè è ýêñïåðèìåíòàëüíî.

Ñïðàâà âíèçó ôîðìû âûâîäèòñÿ ñèñòåìíîå âðåìÿ è âðåìÿ âûïîëíåíèÿ ðàñ÷¸òîâ â ìèëëèñåêóíäàõ.

Ïðè íàæàòèè íà êíîïêó «Âûâåñòè ãðàôèêè è âû÷èñëèòü» ñëåâà âûâîäÿòñÿ ãðàôèê ïëîòíîñòè ëîãíîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ (ïîñòðîåííûé òåîðåòè÷åñêè), ãèñòîãðàììû ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ïî ëîãíîðìàëüíîìó çàêîíó, ñìîäåëèðîâàííûå ïðè ïîìîùè ìåòîäà Íåéìàíà è ìåòîäà îáðàòíîé ôóíêöèè.

Ïðè íàæàòèè íà êíîïêó «Ñòîï» ïðîãðàììà ïðåêðàùàþòñÿ ñâîþ ðàáîòó è íà÷èíàåò ñ÷èòûâàòü çíà÷åíèÿ êîòîðûå îáðàáîòàëèñü äî îïðåäåëåííîãî ìîìåíòà è çàïèñóåò çíà÷åíèÿ â ïîëÿ.

Ïðè íàæàòèè íà êíîïêó «2D/3D» ïîëüçîâàòåëü ìîæåò íàáëþäàòü èçìåíåíèå ãðàôèêà èç 2D â 3D è íàîáîðîò.

Ïðè íàæàòèè íà êíîïêó «Âûõîä» ïðîãðàììà áóäåò çàâåðøåíà.

 çàêëàäêå «About» ïîëüçîâàòåëü ìîæåò óçíàòü î ñîçäàòåëÿõ äàííîãî ïðîãðàììíîãî ïðîäóêòà è êðàòêîå îïèñàíèå ïðîãðàììíîãî ïðîäóêòà.

Îïèñàíèå ïðîãðàììíîãî ìîäóëÿ.

Ïðîãðàììà ñîñòîèò èç îäíîãî îêíà, íà êîòîðîì ðàñïîëîæåíû âñå ýëåìåíòû óïðàâëåíèÿ. Ñïðàâà ôîðìû íàõîäÿòñÿ ïîëÿ äëÿ ââîäà èñõîäíûõ äàííûõ.

 öåíòðå ôîðìû ðàçìåùåíà êíîïêà «Âûâåñòè ãðàôèêè è âû÷èñëèòü», íàæàòèå íà êîòîðóþ çàïóñêàåò ãåíåðàòîð ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Íà ãðàôèêå ïîÿâëÿþòñÿ äâå êðèâûå îïèñûâàþùèå ôóíêöèþ ïëîòíîñòè ëîãíîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Êðàñíûì öâåòîì èçîáðàæåíà òåîðåòè÷åñêàÿ êðèâàÿ, à ñèíèì (ìåòîä îáðàòíîé ôóíêöèè) è çåëåíûì (ìåòîä Íåéìàíà) - ïîëó÷åííàÿ â ðåçóëüòàòå ýêñïåðèìåíòà. Ñïðàâà â ïîëÿõ îòîáðàæàþòñÿ çíà÷åíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ è äèñïåðñèè..

Çàêëþ÷åíèå

 ìîåé ðàáîòå ÿ ðàññìîòðåë ëîãíîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, ìû ïîëó÷èëè ãðàôèêè ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ è ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ, è ñâÿçè ñ äðóãèìè ðàñïðåäåëåíèÿìè.

 ðåçóëüòàòå ðàáîòû áûë ñîçäàí ïðîãðàììíûé ïðîäóêò â ñðåäå Delphi 7, ãäå ìû ìîæåì ïîñìîòðåòü êàê ìîäåëèðóåòñÿ ëîãíîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, âûâîäÿòñÿ ãðàôèêè ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè ïîìîùè àíàëèòè÷åñêèõ ðàñ÷åòîâ è ñòîõàñòè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé. À òàêæå âû÷èñëÿåòñÿ ìàò. îæèäàíèå è äèñïåðñèÿ, ñòîõàñòè÷åñêèì è àíàëèòè÷åñêèì ñïîñîáàìè.

Ñïèñîê èñïîëüçóåìîé ëèòåðàòóðû

1. http://en.wikipedia.org

2. Øåôôå Ã. Äèñïåðñèîííûé àíàëèç. - Ì.: Ôèçìàòãèç, 1980. - 628 ñ.

3. «Delphi 2005: «Ñåêðåòû ïðîãðàììèðîâàíèÿ»», Ìèõàèë Ôëåíîâ.



Îáùèå äàííûå ëîãíîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå
Ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè ì=0
Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ì=0
Ïàðàìåòðû
Íîñèòåëü
Ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè
Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ
Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå
Ìåäèàíà	eì
Ìîäà
Äèñïåðñèÿ
Êîýôôèöèåíò àñèììåòðèè
Êîýôôèöèåíò ýêñöåññà
Èíôîðìàöèîííàÿ ýíòðîïèÿ

Ëîãíîðìàìëüíîå ðàñïðåäåëåìíèå â òåîðèè âåðîÿòíîñòåé - ýòî äâóõïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî àáñîëþòíî íåïðåðûâíûõ ðàñïðåäåëåíèé. Åñëè ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà èìååò ëîãíîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, òî å¸ ëîãàðèôì èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå.

Îïðåäåëåíèå

Ïóñòü ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X çàäà¸òñÿ ïëîòíîñòüþ âåðîÿòíîñòè, èìåþùåé âèä:

,

ãäå . Òîãäà ãîâîðÿò, ÷òî X èìååò ëîãíîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè ì è ó. Ïèøóò: X˜LogN(ì,ó²).

Ìîìåíòû

Ôîðìóëà äëÿ k-ãî ìîìåíòà ëîãíîðìàëüíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X èìååò âèä:

îòêóäà â ÷àñòíîñòè:

,

.

Ñâîéñòâà ëîãíîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ

· Åñëè - íåçàâèñèìûå ëîãíîðìàëüíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, òàêèå ÷òî , òî èõ ïðîèçâåäåíèå òàêæå ëîãíîðìàëüíî:

.

Ñâÿçü ñ äðóãèìè ðàñïðåäåëåíèÿìè

· Åñëè X˜LogN(ì,ó²), òî

Y = lnX˜N(ì,ó²).