Линейное программирование

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

ВВЕДЕНИЕ

1. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ (ЛП)

2. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ЛП

3. ТАБЛИЧНЫЙ СИМПЛЕКС-МЕТОД

4. РЕШЕНИЕ ПОСТАВЛЕННОЙ ЗАДАЧИ СИМПЛЕКСНЫМ МЕТОДОМ

5. ОПИСАНИЕ ПРОГРАММЫ

5.1 Функциональное назначение

5.2 Описание логической структуры

5.3 Используемые технические средства

5.4 Вызов и загрузка

5.5 Входные и выходные данные

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Математическое программирование представляет собой математическую дисциплину, занимающуюся изучением экстремальных задач и разработкой методов их решения.

В общем виде математическая постановка экстремальной задачи состоит в определении наибольшего или наименьшего значения целевой функции f(,,…,) при условиях (,,…,)(), где f и - заданные функции, а - некоторые действительные числа.

В зависимости от свойств функций f и g, математическое программирование можно рассматривать как ряд самостоятельных дисциплин, занимающихся изучением и разработкой методов решения определенных классов задач.

Прежде всего, задачи математического программирования делятся на задачи линейного и нелинейного программирования. При этом если все функции f и линейные, то соответствующая задача является задачей линейного программирования. Если же хотя бы одна из указанных функций нелинейная, то соответствующая задача является задачей нелинейного программирования.

Наиболее изученным разделом математического программирования является линейное программирование. Для решения задач линейного программирования разработан целый ряд эффективных методов, алгоритмов и программ.

Среди задач нелинейного программирования наиболее глубоко изучены задачи выпуклого программирования. Это задачи, в результате решения которых определяется минимум выпуклой (или максимум вогнутой) функции, заданной на выпуклом замкнутом множестве.

В свою очередь, среди задач выпуклого программирования более подробно исследованы задачи квадратичного программирования. В результате решения таких задач требуется в общем случае найти максимум (или минимум) квадратичной функции при условии, что ее переменные удовлетворяют некоторой системе линейных неравенств или линейных уравнений либо некоторой системе, содержащей как линейные неравенства, так и линейные уравнения.

Отдельными классами задач математического программирования являются задачи целочисленного, параметрического и дробно-лилейного программирования.

В задачах целочисленного программирования неизвестные могут принимать только целочисленные значения.

В задачах параметрического программирования целевая функция или функции, определяющие область возможных изменений переменных, либо то и другое зависят от некоторых параметров.

В задачах дробно-линейного программирования целевая функция представляет собой отношение двух линейных функций, а функции, определяющие область возможных изменений переменных, также являются линейными.

Выделяют отдельные классы задач стохастического динамического программирования.

Если в целевой функции или в функциях, определяют область возможных изменений переменных, содержатся случайные величины, то такая задача относится к задаче стохастического программирования.

Задача, процесс нахождения решения которой является многоэтапным, относится к задаче динамического программирования.

Цель данной курсовой работы: приобрести навыки решения задач линейного программирования. Усвоить графический метод и симплексный метод. Проверить свои знания и умения на примере решения конкретной поставленной задачи линейного программирования. Сравнить полученные результаты.

1. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ (ЛП)

Задача, в которой требуется обратить в максимум (минимум) целевую функцию

F(X) = (1)

при условиях

?, i=1,…, s;

=, i=s+1,…, s+t;

?, i=s+t+1,…, m; (2)

? 0, j=1,…, n (3)

называется общей задачей линейного программирования, заданной в произвольной форме.

Эту задачу можно представить в векторной форме:

F (Х) =СТХmax (4)

при

А1х1 + А2х2 +…+ Ajxj+…+ Аnхn; (5)

xj ?0, (6)

где

= , =, … , =, =,

СТ =(с1 , с2 ,…., сn), ХТ =(х1 , х2 ,…., хn),

где Aj - вектор условий; В - вектор ограничений; С - вектор весовых коэффициентов при переменных в целевой функции; Х - вектор переменных.

В матричном виде задача (1)-(3) запишется следующим образом:

F (Х) = СТХmax (min) (7)

при условиях

AX ??= B; (8)

Х?0, (9)

где A=¦aij¦ - матрица размерности mn.

Задача, в которой необходимо найти максимум целевой функции (1) при условиях (2), приведенных к равенствам, и условиях (3), называется задачей ЛП в канонической форме.

Если в задаче ЛП необходимо отыскать минимум целевой функции

F(X) = min,

то при приведении такой задачи к канонической форме целевая функция

F(X) = -max.

Система ограничений остаётся без изменений.

Вектор Х =(х1 , х2 ,…., хn), удовлетворяющий ограничениям задачи ЛП (2), называется ее решением или планом. Если переменные х1, х2,…., хn удовлетворяют еще и условиям неотрицательности (3), то Х называется допустимым планом или допустимым решением. Множество R(Х) допустимых планов, представляющие собой область допустимых решений (ОДР) задачи ЛП, является выпуклым многогранным множеством.

Допустимый план, соответствующий крайней точке множества, является опорным планом, либо допустимым базисным решением задачи ЛП. Допустимый план, обращающий в максимум (минимум) целевую функцию, называется оптимальным планом задачи ЛП - Хопт.

2. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ЛП

Графический метод основан на геометрической интерпретации задачи линейного программирования и применяется для решения задач двумерного пространства. Задачи трёхмерного пространства решаются очень редко, т.к. построение их решения неудобно и лишено наглядности. Рассмотрим метод на примере двумерной задачи.

Найти решение Х = (х1,х2), удовлетворяющее системе неравенств:

x1-x2 ?-3 (1)

6x1+7x2?42

2x1-3 x2?6

x1+ x2?4

x1, x2 ?0 (2)

при котором значение целевой функции

F = 2x1-x2 (3)

достигает максимума.

Построим на плоскости в декартовой прямоугольной системе координат х1Ох2 область допустимых решений задачи.

Каждая из построенных прямых делит плоскость на две полуплоскости. Координаты точек одной полуплоскости удовлетворяют исходному неравенству, а другой - нет. Чтобы определить искомую полуплоскость нужно взять какую-нибудь точку, принадлежащую одной из полуплоскостей и проверить: удовлетворяют ли её координаты данному неравенству. Если координаты взятой точки удовлетворяют данному неравенству, то искомой является та полуплоскость, которой принадлежит эта точка. В противном случае - другая полуплоскость.

Найдём полуплоскость, определяемую неравенством x1-x2 ?-3. Для этого, построив прямую (I) x1-x2 =-3, возьмём какую-нибудь точку, принадлежащую одной из двух полученных полуплоскостей, например, точку O(0,0). Координаты этой точки удовлетворяют неравенству x1-x2 ?-3. Значит полуплоскость, которой принадлежит точка O(0,0) определяется неравенством x1-x2 ?-3.

Теперь найдём полуплоскость, определяемую неравенством6x1+7x2?42.

Строим прямую II 6x1+7x2=42. Координаты точки O(0,0) удовлетворяют неравенству6x1+7x2?42, а значит, искомой будет вторая полуплоскость.

Теперь ищем полуплоскость для неравенства 2x1-3 x2?6. Координаты точки O(0,0) удовлетворяют неравенств 2x1-3 x2?6. Следовательно, полуплоскость, которой принадлежит точка O(0,0) определяется неравенством 2x1-3 x2?6 (Прямая III).

И полуплоскость для неравенства x1+ x2?4. Координаты точки О(0,0) удовлетворяют неравенству x1+ x2?4 (Прямая IV). Отсюда прямая x1+ x2=4 определяется первой полуплоскостью.

Неравенства x1?0 и x2?0 означают, что область решения будет расположена справа от оси ординат и над осью абсцисс. Таким образом, заштрихованная на рисунке 1 область ABCD будет областью допустимых решений, определённой ограничениями задачи. . Целевая функция принимает свое максимальное значение в одной из вершин фигуры ABCD. Для определения этой вершины, построим вектор С (2; -1) и прямую 2x1-x2=р , где p- некоторая постоянная такая, что прямая 2x1-x2= p имеет общие точки с многоугольником решений. Положим, например, p=1/2 и построим прямую 2x1-x2 =1/2. Далее, будем передвигать построенную прямую в направлении вектора , до тех пор, пока она не пройдет через последнюю ее общую точку с многоугольником решений. Координаты указанной точки и определяют оптимальный план данной задачи.

На рисунке 1 видно, что последней общей точкой прямой 2x1-x2=p с многоугольником решений является точка A. Эта точка является местом пересечения прямой II и III, поэтому ее координаты находятся как решение системы уравнений, задающих эти прямые:

6x1+7x2 =42

2x1-3x2=6

При этом значение целевой функции будет равно F = 2x1-x2= 2* 5.25 - 1 *1.5 = 9

Координаты точки B будут оптимальным решением задачи Хопт = (х1опт, х2опт) и равны

х1опт =5.25, х2 опт =1.5.

Рисунок 1 - Область допустимых решений задачи

3. ТАБЛИЧНЫЙ СИМПЛЕКС-МЕТОД

Симплекс-метод решения задачи линейного программирования основан на переходе от одного опорного плана к другому, при котором значение функции возрастает (при условии, что данная задача имеет оптимальный план, и каждый ее опорный план является невырожденным). Указанный переход возможен, если известен какой-нибудь исходный опорный план.

Симплекс-метод является наиболее распространённым универсальным вычислительным методом, который может быть применён для решения любых задач линейного программирования как вручную, так и с помощью ЭВМ.

Идея метода состоит в последовательном продвижении по базисам опорных планов задачи, т.е. в последовательном улучшении планов задачи по определённому критерию, до тех пор, пока не будет получено оптимальное решение.

Рассмотрим последовательно процесс подготовки исходных данных и алгоритм решения задачи ЛП табличным симплекс-методом.

Для решения задачи ЛП, представленной в форме

F (X) = СТХ max (min) (1)

при условиях

AX??=В; (2)

Х?0, (3)

необходимо предварительно выполнить следующие процедуры:

привести математическую модель задачи к каноническому виду;

определить начальное допустимое базисное решение задачи;

ввести в исходную симплекс-таблицу следующие параметры, соответствующие начальному базисному решению:

весовые коэффициенты при переменных в целевой функции (строка); переменные, которые входят в текущий базис (столбец ); значения базисных переменных - =(столбец ); элементы ¦аij¦, i=1,…,m, j=1,…,n, матрицы условий задачи (А1, А2,…, Аn); оценки , ?j, j=1,…,n, соответствующие векторам А1, А2,…, Аn (последняя индексная строка).

Оценки определяются по формуле

, , . (4)

Весовые коэффициенты при базисных переменных проставляются в левый столбец таблицы.

Значение целевой функции при текущем базисе

, (5)

заносится в последнюю строку столбца А0.

Алгоритм симплекс-метода

Заполняется исходная симплекс-таблица по указанным выше правилам.

Если для всех , то данный план является оптимальным.

Если имеются и в столбце Ак все элементы ,то функция не ограниченна сверху на ОДР.

Если имеются и в столбцах Аj, соответствующих этим отрицательным оценкам, существует хотя бы один элемент , то возможен переход к новому, лучшему плану, связанному с большим значением целевой функции.

5. Вектор Ак, который необходимо ввести в базис для улучшения плана, определяется по наименьшей отрицательной оценке ?j. Столбец, содержащий эту оценку, называется направляющим.

6. Вектор, который нужно вывести из базиса, определяется по отношению

. Из базиса выводится вектор Аr, на котором достигается минимум И. Строка r называется направляющей.

Элемент ark, который стоит на пересечении направляющей строки и столбца, называется направляющим.

Заполняется таблица, соответствующая новому базисному решению.

Все элементы aij таблицы определяются по следующему рекуррентному соотношению:

при ;

(6)

при ,

где номер итерации.

Значение ?j можно определить двумя способами: а) как каждый элемент таблицы по выражению (2); б) по формуле (1) .

Процесс вычисления заканчивается, когда найдено оптимальное решение (пункт 2), либо функция будет неограниченна на ОДР (пункт 3).

Элементы строк новой симплекс-таблицы, в которой записан вектор, вводимый в базис, получают из элементов этой же строки исходной таблицы делением их на величину разрешающего элемента.

Остальные элементы новой симплекс-таблицы вычисляются по правилу треугольника. Для вычисления какого-нибудь из этих элементов находят три числа:

1) число, стоящее в исходной симплекс-таблице на месте искомого элемента новой симплекс-таблицы;

2) число, стоящее в исходной симплекс-таблице на пересечении строки, в которой находится искомый элемент новой симплекс-таблицы, и столбца, соответствующего вектору, вводимому в базис;

3) число, стоящее в новой симплекс-таблице на пересечении столбца, в котором стоит искомый элемент, и строки вновь вводимого в базис вектора (как отмечено выше, эта строка получается из строки исходной симплекс-таблицы делением ее элементов на разрешающий элемент).

Эти три числа образуют своеобразный треугольник, две вершины которого соответствуют числам, находящимся в исходной симплекс-таблице, а третья -- числу, находящемуся в новой симплекс-таблице. Для определения искомого элемента новой симплекс-таблицы из первого числа вычитают произведение второго и третьего.

После заполнения новой симплекс-таблицы просматривают элементы (m+1)-ой строки. Если все , то новый опорный план является оптимальным. Если же среди указанных чисел имеются отрицательные, то, используя описанную выше последовательность действий, находят новый опорный план. Этот процесс продолжают до тех пор, пока либо не получают оптимальный план задачи, либо не устанавливают ее неразрешимость.

При нахождении решения задачи линейного программирования мы предполагали, что эта задача имеет опорные планы, и каждый такой план является невырожденным. Если же задача имеет вырожденные опорные планы, то на одной из итераций одна или несколько переменных опорного плана могут оказаться равными нулю. Таким образом, при переходе от одного опорного плана к другому значение функции может остаться прежним. Более того, возможен случай, когда функция сохраняет свое значение в течение нескольких итераций, а также возможен возврат к первоначальному базису. В последнем случае обычно говорят, что произошло зацикливание. Однако при решении практических задач этот случай встречается очень редко, поэтому мы на нем останавливаться не будем.

Итак, нахождение оптимального плана симплексным методом включает следующие этапы:

1. Находят опорный план.

2. Составляют симплекс-таблицу.

3. Выясняют, имеется ли хотя бы одно отрицательное число . Если нет, то найденный опорный план оптимален. Если же среди чисел , имеются отрицательные, то либо устанавливают неразрешимость задачи, либо переходят к новому опорному плану.

4. Находят направляющие столбец и строку. Направляющий
столбец определяется наибольшим по абсолютном величине отрицательным числом , а направляющая строка -- минимальным из отношений компонент столбца вектора Р0 к положительным компонентам направляющего столбца.

5. Определяют положительные компоненты нового опорного плана, коэффициенты разложения векторов Pj по векторам нового базиса и числа , . Все эти числа записываются в новой симплекс-таблице.

6. Проверяют найденный опорный план на оптимальность. Если план не оптимален и необходимо перейти к новому опорному плану, то возвращаются к этапу 4, а в случае получения оптимального плана или установления неразрешимости процесс решения задачи заканчивают.

4. РЕШЕНИЕ ПОСТАВЛЕННОЙ ЗАДАЧИ СИМПЛЕКСНЫМ МЕТОДОМ

Найти максимум функции

F=2x1-x2 (1)

при ограничениях

x1-x2 ?-3 (2)

6x1+7x2?42

2x1- 3x2?6

x1+ x2?4

x1, x2 ?0 (3)

Приведём заданную модель к каноническому виду, введя свободные переменные х3 , х4, х5, х6 превращающие неравенства (2) в равенства.

Найти максимум

F = 2x1-x2

при ограничениях

s1 s2 s3 s4 s5 s6 s0

х1 - х2 + х3 + 0х4 + 0х5 + 0х6 =-3

6х1 +7х2 + 0х3 + х4+ 0х5 + 0х6 = 42;

2х1 - 3х2 + 0х3 + 0х4+ х5 + 0х6 = 6;

х1 + х2 + 0х3 + 0х4 + 0х5 + х6 =4;

хj >= 0.

Обозначим векторы условий задачи через s1 - s6, а вектор ограничений s0.

Таблица 1. Симплекс таблица на первой итерации.

Bx	s0	s 1	s2	s3	s 4	s 5	s 6	z 1	z2
z1	3	1	-1	-1	0	0	0	1	0
x4	42	6	7	0	1	0	0	0	0
x5	6	2	-3	0	0	1	0	0	0
z2	4	1	1	0	0	0	-1	0	1
?j	-7M	-2M-2	1	M	0	0	M	0	0

Если в таблице полученные коэффициенты небазисных переменных в строке ?j - отрицательные, то данное решение не оптимальное и нужно переходить к следующей итерации. Определим вводимую переменную. Вводимая переменная определяется среди множества небазисных переменных, как переменная, имеющая наибольший отрицательный коэффициент в ?j -строке. Если так случится, что все коэффициенты в ?j -cтроке будут неотрицательными, то дальнейшее увеличение значения целевой функции будет невозможно; это будет означать, что достигнуто оптимальное решение. В нашем случае необходимо продолжать последующие итерации.

Теперь построим симплекс-таблицу на второй итерации.

Для этого:

- вычислим элементы новой направляющей строки , согласно:

новая направляющая строка, = текущая направляющая строка / направляющий элемент

-вычислим элементы остальных строк, согласно:

новая строка = текущая строка - ее коэффициент в направляющем столбце * новая направляющая строка.

Таблица 2. Симплекс таблица на второй итерации.

Bx	s0	s 1	s2	s3	s 4	s 5	s 6	z 1	z2
z1	0	0	1/2	-1	0	-1/2	0	1	0
x4	24	0	16	0	1	-3	0	0	0
X1	3	1	-3/2	0	0	Ѕ	0	0	0
z2	1	0	5/2	0	0	-1/2	-1	0	1
?j	-M+6	0	-3M-2	M	0	M+1	M	0	0

Так как во второй таблице в строке ?j имеются отрицательные числа, то продолжаем делать вычисления до тех пор, пока в строке ?j все числа не будут положительными.

Таблица 3. Симплекс таблица на третьей итерации

Bx	s0	s 1	s2	s3	s 4	s 5	s 6	z 1	z2
x2	0	0	1	-2	0	-1	0	2	0
x4	24	0	0	32	1	13	0	-32	0
x1	3	1	0	-3	0	-1	0	3	0
z2	1	0	0	5	0	2	-1	-5	1
?j	-M+6	0	0	-5M-4	0	-2M-1	M	6M+4	0

Таблица 4. Симплекс таблица на четвертой итерации.

Bx	s0	s 1	s2	s3	s 4	s 5	s 6	z 1	z2
x2	2/5	0	1	0	0	-1/5	-2/5	0	2/5
x4	88/5	0	0	0	1	1/5	32/5	0	-32/5
x1	18/5	1	0	0	0	1/5	-3/5	0	3/5
x3	1/5	0	0	1	0	2/5	-1/5	-1	1/5
?j	34/5	0	0	0	0	3/5	-4/5	M	M+4/5

Таблица 5. Симплекс таблица на последней итерации.

Bx	s0	s 1	s2	s3	s 4	s 5	s 6	z 1	z2
x2	3/2	0	1	0	1/16	-3/16	0	0	0
x6	11/4	0	0	0	5/32	1/32	1	0	-1
x1	21/4	1	0	0	3/32	7/32	0	0	0
x3	3/4	0	0	1	1/32	13/32	0	-1	0
?j	9	0	0	0	1/8	5/8	0	M	M

Поскольку все ?j ? 0, то план, представленный в таблице 5, будет оптимальным x1 =21/4=5.25, x2 =3/2=1.5 , Fmax = 9

При значениях x1 =5.25, x2 = 1.5, удовлетворяющих системе неравенств, целевая функция достигает своего максимального значения: 9.

линейный программирование симплекс графический

5. ОПИСАНИЕ ПРОГРАММЫ

5.1 Функциональное назначение

Назначение данной программы состоит в определении наименьшего или наибольшего значения целевой функции.

Объектом моделирования является система неравенств, т.е. условия, при которых достигается max или min целевой функции.

Возможности программного средства весьма ограничены, так как это программное средство рассчитано только на решение данной конкретной задачи.

Процесс взаимодействия пользователя с программой организуется путем подбора max или min значения целевой функции.

5.2 Описание логической структуры

Программа состоит из файла с расширением *.m.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 2. Блок схема программы.

1. Примерное задание max целевой функции.

2. Задаем условие на цикл. Пока параметр p больше нуля, программа будет выполняться.

3. Задание интервала в графической таблице по оси x1, в данном случае интервал задается от 0 до 10.

4. Выражение x2 из первого уравнения. Так как x1-x2 ?-3, заменяя неравенство равенством, получаем x1-x2 =-3. Из последнего выражения следует x2_1=x1+3.

5. Выражение x2 из второго уравнения. Так как 6x1+7x2?42 переходим к равенству 6x1+7x2=42, или x2_2=(42-6*x1)/7.

6. Выражаем x2 из третьего уравнения. Получаем x2_3=(2*x1+6)/3.

7. В четвертом уравнение х2 принимает значение равное х2_4=4-x1

8. Выражение су (или x2) из целевой функции: cy=2*x1-p.

9. Построение графика.

10. Построение координатной сетки.

11. Запрос на введение нового значения параметра p.

5.3 Используемые технические средства

Processor Intel Pentium 4 3000 MHz, RAM 512 МB, Video nVidia GeForce FX 5200, HDD 80 GB, OS Windows XP Professional, клавиатура, мышь.

5.4 Вызов и загрузка

5.4.1 Запускается MATLAB. Записывается код программы в текстовый редактор (если программа существует, то выбрать каталог, в котором находится сохраненный файл). Файл сохраняется с расширением *.m. В командном окне вводим название файла и «Ввод».

5.4.2 Все сообщения, выдаваемые при загрузке, появляются в командном окне, выделенные красным цветом.

5.5 Входные и выходные данные

Входными данными служат система ограничений целевой функции, а выходными данными является график, min функции. Значения (x1, x2). Пользователь контролирует входные данные.

Некорректный ввод параметров (при этом произойдет выход из системы).

Таблица сбоев и аварийных ситуаций

Вид сообщения	Причина	Действия пользователей
Файл не найден	Файл не находится в текущем каталоге	Выбрать каталог, где находится файл
Синтаксические ошибки	Некорректный ввод	Исправление текста

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе выполнения курсовой работы, было найдено решение исходной задачи линейного программирования двумя способами: графическим методом и табличным симплекс-методом. В графической части представлен график, показывающий решение данной задачи. Также было разработано приложение для решения исходной задачи ЛП графическим методом. Результаты решений задачи линейного программирования совпадают. Максимум функции равен 4.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Акулич И.Л. «Математическое программирование в примерах и задачах»: Учеб. Пособие для студентов эконом. спец. вузов. - М.: Высш. шк., 1986. - 319 с., ил.

2. Зайченко Ю.П., Шумилова С.А. «Исследование операций». Сборник задач. - 2-е изд., перераб. и доп. - К. «Высшая школа». 1990. - 239 с. : ил.

3. Тах Х.А. «Введение в исследование операций» 7-е издание.: Пер. с англ. -- М.: Издательский дом "Вильяме", 2005. -- 912 с: ил. -- Парал. тит. англ.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Текст программы:

% LINPROG

clear

format short

format compact

c=1;

p=1/2;

while c>0;

x1=0:10

x2_1=x1+3;

x2_2=(42-6*x1)/7;

x2_3=(2*x1-6)/3;

x2_4=4-x1;

cy=2*x1-p;

plot(x1, x2_1, '-k', x1, x2_2, '-k', x1, x2_3, '-k', x1, x2_4, '-k', x1, cy, '-r');

grid, pause

p=input('vvedite novoe znachenie p= ')

end % while

% [x,y]=ginput

Размещено на Allbest.ru