Система M/M/n/0 представляет собой n- линейную СМО с r местами ожидания (r=0), в которую поступает пуассоновский поток интенсивности , а времена обслуживания заявок независимы и при этом время обслуживания каждой заявки на любом приборе распределено по экспоненциальному закону с параметром . В случае, когда , заявка, поступившая в переполненную систему (т.е. когда заняты все приборы и все места ожидания), теряется и вновь в нее не возвращаются. Система M/M/n/r также относится к экспоненциальным СМО.

Уравнения, описывающие распределение заявок в системе

Рассматривая -число заявок в системе в момент t, нетрудно показать, что процесс является однородным Марковским процессом с множеством состояний . Ниже мы покажем, что процесспредставляет собой ПРГ.

Выпишем систему дифференциальных уравнений Колмогорова. Для этого рассмотрим моменты t и . Предполагая, что в момент t процесс v(t) пребывает в состоянии i, определим, куда он может попасть в момент , и найдем вероятности его переходов за время . Здесь возможны три случая.

А. i<n. В этом случае все находящиеся в системе заявки обслуживаются на приборах (если i=0- заявок в системе вообще нет). Вероятность того, что за время процесс не выйдет из состояния i равна произведению вероятности не поступления заявки за время на вероятность того, что за это время не обслужится ни одна из i заявок, т.е. равна . Вероятность перехода за время в состояние i+1 равна - вероятности поступления заявки в систему. Наконец поскольку каждый прибор закончит за время обслуживание находящейся в нем заявки с вероятностью , а таких приборов i, то вероятность перехода в состояние i-1 равна . Остальные переходы имеют вероятность .

Б. n?i<n+r. Этот случай отличается от первого тем, что обслуживаются ровно n заявок, т.е. все приборы заняты. Значит, вероятность через время остаться в состоянии i равна , перейти в состояние i-1 за это же время

Таким образом, мы фактически доказали, что процесс является процессом рождения и гибели с интенсивностями при при и при . Обозначая через , распределение числа заявок в системе в момент t, получаем следующие выражения для в случае, когда :

,

,

,

Если же , то, что очевидно последнего выражения не будет, а в предпоследнем индекс i может принимать значения i=n,n+1,… .

Вычитая теперь из обеих частей равенства, деля на и переходя к пределу

при , получаем систему дифференциальных уравнений:

,

,

, (1.2)

.

Стационарное распределение очереди

В случае конечного r, например r=0, процесс является эргодическим. Также он будет эргодическим в случае при выполнении условия, о котором будет сказано ниже. Тогда из (1) при получаем, что стационарные вероятности состояний pi удовлетворяют систему уравнений:

,

, (1.3)

,

.

Поясним теперь вывод системы уравнений (1.3), исходя из принципа глобального баланса. Так, например, согласно диаграмме переходов для фиксированного состояния i, , имеем, что суммарные потоки вероятностей входящий в состояние i и выходящий из него равны, соответственно, и .

Рисунок 1 Диаграмма переходов

Исходя теперь из принципа локального баланса, что баланс потоков вероятностей между состояниями i и i+1 отражается равенствами :

,

, (1.4)

являющимися уравнениями локального баланса для данной СМО. Проверка справедливости равенств (1.4) производится непосредственным суммированием системы уравнений (1.3) по i при i=0,1,…,n+r-1.

Из соотношения (1.4), выражая рекуррентно вероятности через ,

где , а определяется из условия нормировки , т.е.

. (1.6)

Ясно, что формулы можно получить из общих соотношений для стационарных вероятностей состояний процесса рождения и гибели при указанных выше значениях и .

Если , то стационарный режим существует при любом .

Выпишем теперь выражения для некоторых характеристик очереди.

Стационарная вероятность немедленного обслуживания заявки (обслуживания без ожидания) совпадает со стационарной вероятностью того, что в системе находится 0,1,…,n-1 заявок, т.е.

Рассмотрим интересующий нас частный случай, когда r=0. тогда в системе отсутствуют места для ожидания (система с потерями M/M/n/0) и такая система носит название системы Эрланга. Система Эрланга описывает процессы, происходящие в простейших телефонных сетях, и названа так в честь А. К. Эрланга, впервые её исследовавшего. Для системы M/M/n/0 стационарные вероятности определяются формулой Эрланга

, .

Следовательно, стационарная вероятность потери заявки определяется формулой:

,

которую также называют формулой Эрланга.

Наконец, когда , то мы имеем систему , для которой при любом стационарные вероятности существуют и, как следует из формул Эрланга при , имеют вид

, .

Вернемся теперь к соотношениям (1.4). Суммируя эти равенства по i=0,1,…,n+r-1 , получаем

,

где - среднее число занятых приборов. Выписанное соотношение выражает равенство интенсивностей принятого в систему и обслуживаемого ею потоков в стационарном режиме. Отсюда мы можем получить выражение для пропускной способности системы , определяемой как среднее число заявок, обслуженных системой в единицу времени, и называемой иногда интенсивностью выхода:

.

Выражение для стационарного числа N заявок в системе нетрудно получить либо непосредственно из распределения вероятностей (4), либо воспользовавшись очевидным соотношением .

Стационарное распределение времени пребывания заявки в системе

Стационарное распределение W(x) времени ожидания начала обслуживания принятой в систему M/M/n/r заявки вычисляется практически так же, как и для системы . Заметим, что заявка, заставшая при поступлении i других заявок в системе, немедленно начинает обслуживаться, если i<n. При полностью загруженной системе заявки выходят из нее через экспоненциально распределенные с параметром времена.

Путем несложных преобразований находим, учитывая независимость времени обслуживания от времени ожидания начала обслуживания, находим, что стационарное распределение V(x) времени пребывания в системе принятой к обслуживанию заявки имеет ПЛС

.

Стационарные средние времена ожидания начала обслуживания и пребывания заявки в системе задаются формулами:

,

.

Последнее выражение можно также получить из формул Литтла.

Нестационарные характеристики

Нестационарное распределение числа заявок в системе получается интегрированием системы (1) с учетом начального распределения .

Если , то система (1) представляет собой линейную однородную систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами.

Выходящий поток

В системе , в установившемся режиме поток заявок, покидающих систему, является пуассоновским. То же самое можно сказать и о выходящем потоке из системы M/M/n/r, если понимать под ним суммарный поток как обслуженных, так и потерянных заявок. Доказательство этого с помощью метода обращения времени полностью совпадает с доказательством аналогичного факта для системы .

2. Обоснование и выбор инструментальной среды для проведения расчетов

Моделирование систем является важным инструментом, когда необходимо понять, объяснить непонятную проблему или решить поставленную задачу с помощью компьютера. Серией компьютерных экспериментов исследуют модель и получают подтверждение или опровержение передэкспериментальных гипотез о поведении модели.

Результаты поведения модели менеджер использует для реального объекта, то есть принимает плановое или прогнозируемое решение, полученное с помощью исследования модели.

Simulink - это компьютерная программная система для моделирования систем управления. Simulink является составным элементом Matlab и использует для моделирования все возможности. С помощью Matlab Simulink моделируются линейные, нелинейные, дискретные, стохастические и гибридные системы.

При этом, в отличие от классических способов моделирования, пользователю не нужно досконально изучать язык программирования и многочисленные методы математики, а достаточно общих знаний, которые нужны для работы с компьютером, и знаний о той предметной области, в которой он работает.

При работе в Matlab Simulink можно моделировать динамические системы, выбирать методы решения дифференциальных уравнений, а также способов изменения модельного времени (с фиксированным или переменным шагом). В ходе моделирования имеется возможность следить за процессами, которые происходят в системе. Для этого используются специальные устройства наблюдения, входящие в состав библиотеки Simulink. Результаты моделирования могут быть представлены в виде графиков и таблиц.

Преимущество Simulink заключается в том, что он позволяет пополнять библиотеки блоков с помощью программ, написанных как на языке Matlab, так и на языках С++, Fortran и Ada.

Исследуемую модель системы составляют в виде блок-схемы. Каждый типичный блок является объектом с графическими чертежами, графическими и математическими символами исполняемой программой и числовыми или формульными параметрами. Блоки соединяются линиями, которые отражают движение материальных, финансовых и информационных потоков между объектами.

Одной из самых распространенных областей, в которой используется инструментарий Matlab Simulink, является экономика. Simulink, в частности используется при исследовании таких экономических процессов как рыночное равновесие, проектирование оптимальных ставок налогообложения бизнеса, анализ динамики циклов и кризисов, оптимальное планирование на фирмах, в банках, страховых компаниях и пенсионных фондах. массовый обслуживание многоканальный имитационный

Итак, Matlab Simulink - это система имитационного моделирования, которая позволяет удобно и легко строить и исследовать модели экономических процессов.

3. Алгоритмическое обеспечение