Так же была разработана программа, результатом работы которой является построение траектории движения, а также построение аттрактора, соответствующего исходным наборам данных. Она является удобным средством для изучения решений уравнения Дуффинга. Изображения хаотических аттракторов с высоким разрешением, полученные с помощью этой программы являются очень известными аттракторами. Хаотический аттрактор на рис.8 () носит название японский аттрактор, а аттрактор на рис.8 () хаотический аттрактор Уеды.

Литература

1. Мун Ф. Хаотические колебания. - М: Мир, 1990. - 311 с.

2. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. - М: Стереотип, 2008. - 480 с.

3. Корн Г., Корн Т. Справочник по Математике. - М: Лань, 2003 г. - 832 с.

4. Мартынова И.М. и О.Ю. Макаренков. Изучение уравнения Дуффинга при аппроксимации кубической нелинейности кусочно-нелинейной функцией. // Вестник ВГУ, серия физика, математика. - 2003. - №3 - с. 201-202

5. Мартынов Б.А. Теория колебаний. Математические модели динамических систем/ Б.А. Мартынов - СПб.: СПбГПУ, 2002. - 56 с.

6. Ueda Y. Survay of Regular and Chaotic Phenomena in Forced Duffing Oscillator/ Y. Ueda. 1991. - 30с.

Приложения

Приложение А: Листинг программы

unit Unit1;

interface

uses

Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

Dialogs, StdCtrls, ExtCtrls, Buttons, Menus, unit2;

type

TForm1 = class (TForm)

Panel1: TPanel;

GroupBox1: TGroupBox;

Label2: TLabel;

Label3: TLabel;

Label6: TLabel;

Label7: TLabel;

InitTEdit: TEdit;

FinalTEdit: TEdit;

MaxEdit: TEdit;

MinEdit: TEdit;

Edit1: TEdit;

Label1: TLabel;

RG1: TRadioGroup;

Edit5: TEdit;

Label9: TLabel;

GroupBox2: TGroupBox;

Label4: TLabel;

Label5: TLabel;

Edit3: TEdit;

Edit2: TEdit;

BitBtn1: TBitBtn;

BitBtn2: TBitBtn;

Button1: TBitBtn;

Edit7: TEdit;

Label12: TLabel;

Label13: TLabel;

Label14: TLabel;

Edit8: TEdit;

BitBtn4: TBitBtn;

BitBtn3: TBitBtn;

GroupBox3: TGroupBox;

Label16: TLabel;

Edit10: TEdit;

Label15: TLabel;

Edit9: TEdit;

BitBtn5: TBitBtn;

BitBtn6: TBitBtn;

procedure FormCreate (Sender: TObject);

procedure N1Click (Sender: TObject);

procedure BitBtn2Click (Sender: TObject);

procedure BitBtn1Click (Sender: TObject);

procedure Button1Click (Sender: TObject);

procedure BitBtn4Click (Sender: TObject);

procedure BitBtn3Click (Sender: TObject);

procedure Edit2Click (Sender: TObject);

procedure Edit3Click (Sender: TObject);

procedure BitBtn5Click (Sender: TObject);

procedure BitBtn6Click (Sender: TObject);

procedure Edit10Click (Sender: TObject);

procedure Edit9Click (Sender: TObject);

private

{ Private declarations }

public

{ Public declarations }

end;

var

Form1: TForm1;

g: TGrafik;

check: integer;

stp: real;

implementation

{$R *. dfm}

procedure TForm1. FormCreate (Sender: TObject);

begin

check: =0;

stp: =0.1;

g: =TGrafik. Create (Form1);

g. SetParent (Form1. Panel1);

InitTEdit. Text: ='-10';

FinalTEdit. Text: ='10';

MinEdit. Text: ='-10';

MaxEdit. Text: ='10';

Button1. Click;

end;

procedure TForm1. N1Click (Sender: TObject);

begin

InitTEdit. Text: ='-10';

FinalTEdit. Text: ='10';

MinEdit. Text: ='-10';

MaxEdit. Text: ='10';

Button1. Click;

end;

procedure TForm1. BitBtn2Click (Sender: TObject);

begin

Edit8. Text: =floattostr (strtofloat (Edit8. Text) - stp);

Button1. Click;

end;

procedure TForm1. BitBtn1Click (Sender: TObject);

begin

Edit8. Text: =floattostr (strtofloat (Edit8. Text) +stp);

Button1. Click;

end;

procedure TForm1. Button1Click (Sender: TObject);

var x0,xk,YMax,YMin: real;

var _K,_B: real;

var a,b,alf,bet,h,t: real;

var x,y: real;

var i,na,nb: integer;

function f1 (t,x,y: real): real;

begin

result: =y;

end;

function f2 (t,x,v: real): real;

begin

result: =-_K*y-x*x*x+_B*cos (t);

end;

procedure Runge (a,b,h: real; var x,y: real);

var k1,k2,k3,k4,l1,l2,l3,l4,t: real;

begin

t: =a;

while (t <= b) do

begin

k1: =h*f1 (t,x,y);

l1: =h*f2 (t,x,y);

k2: =h*f1 (t+1/2*h,x+1/2*k1,y+1/2*l1);

l2: =h*f2 (t+1/2*h,x+1/2*k1,y+1/2*l1);

k3: =h*f1 (t+1/2*h,x+1/2*k2,y+1/2*l2);

l3: =h*f2 (t+1/2*h,x+1/2*k2,y+1/2*l2);

k4: =h*f1 (t+h,x+k3,y+l3);

l4: =h*f2 (t+h,x+k3,y+l3);

x: =x+1/6* (k1+2*k2+2*k3+k4);

y: =y+1/6* (l1+2*l2+2*l3+l4);

if RG1. ItemIndex=0 then g. AddPathXY (x,y);

t: =t+h;

end; {while}

end;

begin

g. FirstPoint;

g. OnPaint: =Button1click;

x0: =strtofloat (InitTEdit. Text);

xk: =strtofloat (FinalTEdit. Text);

Ymax: =strtofloat (MaxEdit. Text);

Ymin: =strtofloat (MinEdit. Text);

g. SetBorder;

g. SetLabels (x0,xk,Ymin,Ymax);

_K: =strtofloat (edit1. Text);

_B: =strtofloat (edit5. Text);

na: =strtoint (Edit10. Text);

nb: =strtoint (Edit9. Text);

t: =Pi/6*strtofloat (Edit8. Text);

a: =t+2*Pi*na;

b: =t+2*Pi*nb;

alf: =strtofloat (edit2. text);

bet: =strtofloat (edit3. text);

h: =strtofloat (Edit7. Text);

x: =alf;

y: =bet;

case RG1. ItemIndex of

0: begin

Runge (a,b,h,x,y);

end; {0}

1: begin

t: =a;

for i: =1 to nb do

begin

Runge (t,t+2*Pi,h,x,y);

if i>=na then g. AddPointXY (x,y);

t: =t+2*Pi;

end; {for}

end; {1}

end; {case}

end;

procedure TForm1. BitBtn4Click (Sender: TObject);

begin

case check of

0: Edit2. Text: =floattostr (strtofloat (Edit2. Text) - stp);

1: Edit3. Text: =floattostr (strtofloat (Edit3. Text) - stp);

end; {case}

Button1. Click;

end;

procedure TForm1. BitBtn3Click (Sender: TObject);

begin

case check of

0: Edit2. Text: =floattostr (strtofloat (Edit2. Text) +stp);

1: Edit3. Text: =floattostr (strtofloat (Edit3. Text) +stp);

end; {case}

Button1. Click;

end;

procedure TForm1. BitBtn5Click (Sender: TObject);

begin

case check of

2: Edit10. Text: =floattostr (strtofloat (Edit10. Text) - 1);

3: Edit9. Text: =floattostr (strtofloat (Edit9. Text) - 1);

end; {case}

Button1. Click;

end;

procedure TForm1. BitBtn6Click (Sender: TObject);

begin

case check of

2: Edit10. Text: =floattostr (strtofloat (Edit10. Text) +1);

3: Edit9. Text: =floattostr (strtofloat (Edit9. Text) +1);

end; {case}

Button1. Click;

end;

procedure TForm1. Edit2Click (Sender: TObject);

begin

check: =0;

Edit2. Color: =clLime;

Edit3. Color: =clWindow;

Edit9. Color: =clWindow;

Edit10. Color: =clWindow;

end;

procedure TForm1. Edit3Click (Sender: TObject);

begin

check: =1;

Edit3. Color: =clLime;

Edit2. Color: =clWindow;

Edit9. Color: =clWindow;

Edit10. Color: =clWindow;

end;

procedure TForm1. Edit10Click (Sender: TObject);

begin

check: =2;

Edit2. Color: =clWindow;

Edit3. Color: =clWindow;

Edit10. Color: =clLime;

Edit9. Color: =clWindow;

end;

procedure TForm1. Edit9Click (Sender: TObject);

begin

check: =3;

Edit2. Color: =clWindow;

Edit3. Color: =clWindow;

Edit9. Color: =clLime;

Edit10. Color: =clWindow;

end;

end.

Размещено на Allbest.ru