Методика решения задач линейного программирования

Решение задачи линейного программирования симплекс-методом: постановка задачи, построение экономико-математической модели. Решение транспортной задачи методом потенциалов: построение исходного опорного плана, определение его оптимального значения.

Рубрика Программирование, компьютеры и кибернетика
Вид контрольная работа
Язык русский
Дата добавления 11.04.2012
Размер файла 118,5 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Решение задачи линейного программирования симплекс-методом

Постановка задачи

На предприятии выпускают n видов продукции . При ее изготовлении используются ресурсы P1, P2 и P3. Размеры допустимых затрат ресурсов ограничены соответственно величинами b1, b2 и b3. Расход ресурса i-го (i = 1, 2, 3) вида на единицу продукции j-го вида составляет aij ден. ед. Цена единицы продукции j-го вида равна cj ден. ед.

Требуется:

- составить экономико-математическую модель задачи, позволяющую найти сбалансированный план выпуска продукции, обеспечивающий предприятию максимальный доход;

- найти оптимальный план выпуска продукции по видам (дать содержательный ответ, раскрыв экономический смысл всех переменных, приведенных в решении задачи);

n = 3; b = ; A = ; c = (9 10 16).

Обозначим через x1, x2, x3 количество единиц продукции соответственно П1, П2, П3, планируемой к выпуску, а через f - величину дохода от реализации этой продукции. Тогда, учитывая цену единицы продукции П1, равную 9 ден. ед., единицы П2 - 10 ден. ед., единицы П3 - 16 ден. ед., запишем суммарную величину дохода - целевую функцию - в следующем виде:

f = 9x1 + 10x2 + 16x3. (1)

Переменные х1, х2, х3 должны удовлетворять ограничениям, накладываемым на расход имеющихся в распоряжении предприятия ресурсов. Так, затраты ресурса Р1 на выполнение плана (х1, х2, х3) составят

18x1 + 15x2 + 13x3 единиц,

где 18х1 - затраты ресурса Р1 на выпуск x1 единицы продукции П1; 15х2 - на выпуск единицы продукции П2; 12х3 - на выпуск единицы продукции П3. Указанная сумма не может превышать имеющийся запас Р1 в 360 единиц, т.е.

18x1 + 15x2 + 13x3 360. (2)

Аналогично получаем ограничения по расходу ресурсов Р2, Р3:

6x1 + 4x2 + 8x3 192. (3)

5x1 + 3x2 + 3x3 180. (4)

По смыслу задачи переменные х1, х2, х3 не могут выражаться отрицательными числами, т.е.

xj 0 (j =) (5)

Соотношения (1) - (5) образуют экономико-математическую модель данной задачи. Итак, математически задача сводится к нахождению числовых значений х1*, х2*, х3* переменных х1, х2, х3, удовлетворяющих линейным неравенствам (2) - (5) и доставляющих максимум линейной функции (1).

Приведем модель задачи к канонической форме, преобразовать неравенства в эквивалентные уравнения. Для этого введем в левые части неравенств дополнительные (балансовые) неотрицательные переменные x5, x6, х7. В результате получим:

f = 9x1 + 10x2 + 16x3 > max (6)

18x1 + 15x2 + 13x3 + x4 = 360.

6x1 + 4x2 + 8x3 + x5 = 192. (7)

5x1 + 3x2 + 3x3 + x6 = 180.

xj 0 (j =) (8)

Экономический смысл переменных х4, х5, х6 - возможные остатки ресурсов Р1, Р2, Р3 соответственно (резервы).

Решение задачи симплекс-методом

В канонической модели (6) - (8) каждая из переменных х4, х5, х6 является базисной, а остальные переменные - свободными. В связи с этим, в первую симплексную таблицу системы ограничительных уравнений (1.7) можно записать в виде, разрешенном относительно базиса х4, х5, х6 (табл. 1).

Таблица 1

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x4

360

18

15

13

1

0

0

27,7

x5

192

6

4

8

0

1

0

24

x6

180

5

3

3

0

0

1

60

f

0

-9

-10

-16

0

0

0

задача математический модель программирование

Все элементы столбца свободных членов положительны, поэтому содержащийся в табл. 1 план (0; 0; 0; 360; 192; 180) является опорным. Однако этот план не является оптимальным: в f-строке имеются отрицательные элементы.

Чтобы получить новый опорный план более близкий к оптимальному, выполним симплексное преобразование (табл. 1). С этой целью выберем переменные, участвующие в преобразовании базиса х4, х5, х6 в новый базис. Наибольший по модулю отрицательный элемент (-16) f-строки указывает, что в новый базис следует ввести переменную х3, т.е. в качестве разрешающего в предстоящем симплексном преобразовании надо взять третий столбец. Чтобы определить переменную, выводимую из базиса, составляем симплексные отношения и выбираем наименьшее из них:

min (360/13; 192/8; 180/3) = min (27,7; 24; 60) = 24.

Итак, из базиса надо исключить переменную, стоящую во второй (разрешающей) строке, т.е. х5. На пересечении разрешающих столбца и строки находится разрешающий элемент 8, с которым и выполняем симплекс-преобразование. Получаем табл. 2.

Таблица 2

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x4

48

8,25

8,5

0

1

-1,625

0

5,6

x3

24

0,75

0,5

1

0

0,125

0

48

x6

108

2,75

1,5

0

0

-0,375

1

72

f

384

3

-2

0

0

2

0

Полученному плану X = (0; 0; 24; 48; 0; 108) соответствует значение целевой функции f(X1) = 384. В f-строке табл. 2 есть отрицательный элемент, равный -2, значит, полученный опорный план оптимальным не является.

Наибольший по модулю отрицательный элемент (-2) f-строки указывает, что в новый базис следует ввести переменную х2, т.е. в качестве разрешающего в предстоящем симплексном преобразовании надо взять второй столбец. Чтобы определить переменную, выводимую из базиса, составляем симплексные отношения и выбираем наименьшее:

min (48/8,5; 24/0,5; 108/1,5) = min (5,6; 48; 72) = 5,6.

Итак, из базиса надо исключить переменную, стоящую в первой (разрешающей) строке, т.е. х4. На пересечении разрешающих столбца и строки находится разрешающий элемент 8,5, с которым и выполняем следующее симплекс-преобразование.

В результате приходим к табл. 3.

Таблица 3

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x2

5,647

0,971

1

0

0,118

-0,191

0

x3

21,176

0,265

0

1

-0,059

0,221

0

x6

99,529

1,294

0

0

-0,176

-0,088

1

f

395,3

4,941

0

0

0,235

1,618

0

Полученному плану X2 = (0; 5,647; 21,176; 0; 0; 99,529) соответствует значение целевой функции f(X2) = 395,3. В результате получаем табл. 3, в f-строке которой отрицательных элементов нет.

Значит, опорный план X* = Х2 = (0; 5,647; 21,176; 0; 0; 99,529) является оптимальным, а соответствующее ему значение 395,3 целевой функции будет максимальным.

Итак, по оптимальному плану следует изготовить 5,647 ед. продукции вида П2 и 21,176 ед. продукции П3, продукцию вида П1 производить не следует. При этом предприятие получит максимальную прибыль, которая составит 395,3 денежных единиц.

Останутся неиспользованными 99,529 ед. ресурса Р3, а ресурсы Р1 и Р2 будут израсходованы полностью.

Двойственная задача

Чтобы составить модель двойственной задачи, запишем матрицу исходной задачи (1) - (5) в следующем виде:

. (9)

Транспонируем матрицу (9) и получим матрицу (10) двойственной задачи.

. (10)

По исходной матрице (10) запишем модель задачи, двойственной исходной задаче:

ц = 360y1 + 192y2 + 180y3 > min (11)

18y1 + 6y2 + 5y3 9;

15y1 + 4y2 + 3y3 10;

13y1 + 8y2 + 3y3 16;

yi 0 (i =). (13)

Из теорем двойственности следует, что если решена одна из пары двойственных задач, то одновременно найдено решение и другой задачи. Компоненты оптимального плана этой задачи находятся в строке целевой функции последней симплекс-таблицы решенной задачи,

В п. 2 найден оптимальный план исходной задачи, его компоненты находятся в табл. 3. В f-строке этой же таблицы содержатся и компоненты уi* оптимального плана двойственной задачи (11) - (13). Выписать компоненты уi* поможет соответствие между переменными двойственных задач

Чтобы установить это соответствие, преобразуем ограничения-неравенства (12) в эквивалентные уравнения, вычитая из левых частей дополнительные неотрицательные переменные у1*, у2*, у3*, равные разностям между левыми и правыми частями этих неравенств. Тогда модель (11) - (13) запишется в виде:

ц = 360y1 + 192y2 + 180y3 > min;

18y1 + 6y2 + 5y3 - y4 = 9;

15y1 + 4y2 + 3y3 - y5 = 10;

13y1 + 8y2 + 3y3 - y6 = 16;

yi 0 (i =).

В этой записи переменные у4, у5, у6 являются базисными, а у1, у2, у3 - свободными. В исходной задаче (6) - (8) переменные x1, x2, x3 являются свободными, а x4, x5, x6 - базисными. Сопоставим базисным переменным одной задачи свободные переменные другой и наоборот, т.е.

СП БП

x1 x2 x3 x4 x5 x6

у4 у5 у6 у1 у2 у3 (14)

БП СП

Воспользуемся соответствием (14) для нахождения компонентов оптимального плана двойственной задачи. Находим их в табл. 3 в f-строке

.

x1

x2

x3

x4

x5

х6

f

395,3

4,941

0

0

0,235

1,618

0

у4

у5

у6

у1

у2

у3

Получим оптимальный план двойственной задачи:

Y* = (0,235; 1,618; 0; 4,941; 0; 0). (15)

Как следует из теорем двойственности, экстремальные значения функций разрешимых двойственных задач совпадают:

fmax = цmin = 395,3.

Величины y1* = 0,235, y2* = 1,618 и y3* = 0 ден. ед. являются теневыми ценами на ресурсы S1, S2, S3 соответственно и в данном случае служат мерой их дефицитности.

Как следует из оптимального плана (15) двойственной задачи, избыточным является ресурс S3 (y3* = 0). Ресурс S2 является наиболее дефицитным (y2* = 1,618), ресурс S1 менее дефицитным (y1* = 0,235).

2. Решение транспортной задачи методом потенциалов

Постановка задачи

В пункте Аi (i = 1,2,3) находится однородная продукция в количестве ai единиц. Себестоимость единицы продукции в пункте Аi равна ci. Готовая продукция поставляется в пункт Вj (j = 1,2,3,4), потребности которого составляют bj единиц. Стоимость сij перевозки единицы продукции из пункта Ai в пункт Bj известна. Требуется:

– составить экономико-математическую модель задачи, позволяющую найти план перевозки готовой продукции из пункта Аi производства в пункт В; потребления при полном удовлетворении спроса на продукцию в этих пунктах, обеспечивающего минимальные суммарные затраты, вызванные производством и доставкой продукции;

– найти оптимальный план перевозки продукции при дополнительном условии, что продукция пункта Аk, в котором себестоимость ее производства наименьшая, должна быть распределена полностью;

– вычислить величину fmin минимальных суммарных затрат на производство и доставку продукции;

– назвать пункты, в которых остается нераспределенная продукция, и указать объемы такой продукции.

А = ; с = (4 2 1); В = (180 720 360 480); С = .

Построение экономико-математической модели

Запишем начальные условия задачи в форме табл. 1.

Таблица 1

Поставщики

Мощности поставщиков

Себестоимость продукции

Пункты потребления и их спрос

В1

В2

В3

В4

180

720

360

480

А1

540

4

3+4=7

6+4=10

5+4=9

1+4=5

x11

x12

x13

x14

А2

660

2

8+2=10

5+2=7

10+2=12

6+2=8

x21

x22

x23

x24

А3

780

1

9+1=10

7+1=8

4+1=5

6+1=7

x31

x32

x33

x34

Обозначим через xij (i =; j =) количество продукции, которое планируется перевезти от поставщика Ai потребителю Bj, а через f - суммарные затраты на производство и перевозку.

Непосредственно в таблице подсчитываем суммарные тарифы на производство и перевозку продукции из пункта Ai (i =) в пункт Bj (j =).

Целевая функция задачи запишется в виде:

f = 7x11 + 10x12 + 9x13 + 5x14 + 10x21 + 7x22 + 12x23 + 8x24 +

+ 10x31 + 8x32 + 5x33 + 7x34. (1)

Запишем ограничения, накладываемые мощностями поставщиков:

x11 + x12 + x13 + x14 540;

x21 + x22 + x23 + x24 660; (2)

x31 + x32 + x33 + x34 780.

Спрос пунктов потребления выражаем в виде равенств:

x11 + x21 + x31 = 180;

x12 + x22 + x32 = 720; (3)

x13 + x23 + x33 = 360;

x14 + x24 + x34 = 480.

Если исключить обратные перевозки, должны выполняться ограничения:

xij 0 (i =; j =). (4)

Соотношения (1) - (4) образуют экономико-математическую модель рассматриваемой задачи: целевая функция (1), описывающая транспортные затраты, минимизируется при ограничениях (2) - (4).

Сравнивая суммарную мощность поставщиков 540 + 660 + 780 = 1980 с суммарным спросом пунктов потребления 180 + 720 + 360 + 480 = 1740, видим, что эти суммы не совпадают. Имеем открытую транспортную задачу.

Часть произведенной поставщиками продукции (1980-1740 = 240 единиц) останется нераспределенной. Введем в рассмотрение фиктивного потребителя В5 со спросом, равным небалансу, т.е. 240 единицам, с одинаковыми затратами на перевозку, равными ci5 = 0 (i = ). Пятый столбец будем рассматривать в последнюю очередь.

Построение исходного опорного плана

Построим опорный план по правилу минимального элемента.

В клетку (1; 4) с тарифом 5 впишем число х14 = 480, удовлетворив спрос потребителя В4 - четвертый столбец исключаем из рассмотрения.

В клетку (3; 3) с тарифом 5 впишем число х33 = 360, удовлетворив спрос потребителя В3 - третий столбец исключаем из рассмотрения.

В клетку (1; 1) с тарифом 7 впишем число х11 = 60, исчерпав запасы поставщика А1 - первую строку исключаем из рассмотрения.

В клетку (2; 2) с тарифом 7 впишем число х22 = 660, исчерпав запасы поставщика А2 - вторую строку исключаем из рассмотрения.

В клетку (3; 2) с тарифом 8 впишем число х32 = 60, удовлетворив спрос потребителя В2 - второй столбец исключаем из рассмотрения

В клетку (3; 1) с тарифом 10 впишем число х31 = 120, удовлетворив спрос потребителя В1 - первый столбец исключаем из рассмотрения

Оставшуюся у поставщика А3 продукцию в объеме 240 единиц распределяем фиктивному потребителю В5. Окончательно получаем табл. 2.

Таблица 2

180

720

360

480

240

7

10

9

5

0

540

60

480

10

7

12

8

0

660

660

10

8

5

7

0

780

120

60

360

240

Исходным опорным планом перевозок является

Х1 =.

Этому плану соответствует значение целевой функции:

f (X1) = 60 · 7 + 480 · 5 + 660 · 7 + 120 · 10 + 60 · 8 + 360 · 5 =

= 420 + 240 + 4620 + 1200 + 480 + 1800 = 10920

(без учета показателей фиктивного потребителя).

Определение оптимального плана

Условие для базисных клеток m + n - 1 = 3 + 5 - 1 = 7 выполняется.

Для определения потенциалов имеем систему уравнений:

u1 + v1 = 7;

u1 + v4 = 5;

u2 + v2 = 7;

u3 + v1 = 10;

u3 + v2 = 8;

u3 + v3 = 5;

u3 + v5 = 0.

Поскольку число уравнений системы на 1 меньше числа потенциалов (система неопределенная), положим u1 = 0. Найдем остальные потенциалы и впишем их в табл. 3.

v1 = 7 - 0 = 7; v4 = 5 - 0 = 5; u3 = 10 - 7 = 3;

v2 = 8 - 3 = 5; v3 = 5 - 3 = 2; v5 = 0 - 3 = -3;

u2 = 7 - 5 = 2.

Таблица 3

180

720

360

480

240

7

s12 = 5

10

s13 = 6

9

5

s15 = 3

0

u1 = 0

540

60

(+)

480

(-)

s21 = 1

10

7

s23 = 8

12

s24 = 1

8

s25 = 1

0

u2 = 2

660

660

10

8

5

s34 = -1

7

0

u3 = 3

780

120

(-)

60

360

(+)

240

v1 = 7

v2 = 5

v3 = 2

v4 = 5

v5 = -3

Определим оценки свободных клеток и впишем их в левые верхние углы клеток:

s12 = 10 - (5 + 0) = 5; s13 = 8 - (2 + 0) = 6; s15 = 0 - (-3 + 0) = 3;

s21 = 10 - (7 + 2) = 1; s23 = 12 - (2 + 2) = 8; s24 = 8 - (5 + 2) = 1;

s25 = 0 - (-3 + 2) = 1; s34 = 7 - (5 + 3) = -1.

Имеется отрицательная оценка s34 = -1. Начиная с нее строим замкнутый цикл:

(3, 4)(+) - (3, 1)(-) - (1, 1)(+) - (1, 4)(-).

Минимальной загрузкой (120) среди отрицательных клеток обладает (3, 1). Вычитаем 120 из загрузки клеток (3, 1), (1, 4) и добавляем 120 к загрузке клеток (1, 1), (3, 4).

Получаем новую таблицу 3, в которой заново рассчитываем потенциалы и оценки свободных клеток.

Таблица 3

180

720

360

480

240

7

s12 = 4

10

s13 = 5

9

5

s15 = 2

0

u1 = 0

540

180

360

s21 = 2

10

7

s23 = 8

12

s24 = 2

8

s25 = 1

0

u2 = 1

660

660

s31 = 1

10

8

5

7

0

u3 = 2

780

60

360

120

240

v1 = 7

v2 = 6

v3 = 3

v4 = 5

v5 = -2

Отрицательных оценок нет. Следовательно, получен оптимальный план:

X* = Х1 =.

По оптимальному плану Х* следует перевезти от поставщика А1 потребителям В1 и В4 продукцию в количестве 180 и 360 единиц соответственно, от поставщика А2 потребителю В2 - 660 единиц, от поставщика А3 - потребителям В2, В3 и В4 - 60, 360 и 120 единиц соответственно.

При этом суммарные затраты на перевозку продукции от поставщиков к потребителям будут минимальными и составят fmin = 10800 денежных единиц.

У поставщика А3 останется невостребованными 240 единиц продукции.

3. Решение задачи методом наименьших квадратов

Предприятие потребляет некоторый ресурс X (един. в месяц) и выпускает продукцию, которую продает и получает доход Y (денежных един. в месяц).

Этот процесс продолжается в течении 10 месяцев. Значения X и Y приведены в таблице 3. Необходимо построить линейную модель зависимости Y от X методом наименьших квадратов. Решение проиллюстрировать графически. Сделать выводы экономического характера с использованием полученной модели.

Решение

19

Xi

23

7

31

6

11

20

17

12

4

19

Yi

26

3

22

4

24

32

11

8

16

7

Зависимость между X и Y будем искать в виде x = a + bx. Параметры a и b модели найдем по методу наименьших квадратов из системы:

Вспомогательные вычисления соберем в таблицу:

i

xi

yi

xiyi

xi2

yi2

y(x)

1

23

26

598

529

676

20,3488

2

7

3

21

49

9

10,2512

3

31

22

682

961

484

25,3976

4

6

4

24

36

16

9,6201

5

11

24

264

121

576

12,7756

6

20

32

640

400

1024

18,4555

7

17

11

187

289

121

16,5622

8

12

8

96

144

64

13,4067

9

4

16

64

16

256

8,3579

10

19

7

133

361

49

17,8244

У =

150

153

2709

2906

3275

Из таблицы имеем:

= 150 / 10 = 15; = 153 / 10 = 15,3;

= 2709 / 10 = 270,9; = 2906 / 10 = 290,6;

= 3275 / 10 = 327,5.

По формуле Крамера

b = = = 0,6311.

Из первого уравнения

a = - b · = 15,3 - 0,6311 · 15 = 5,8335.

Итак, уравнение прямой линии регрессии Y на Х:

x = 5,8335 + 0,6311х.

Коэффициент b = 0,6311 означает, что при потреблении 1 единицы ресурса доход предприятия от продажи единицы продукции составляет 0,6311 денежных единицы. Коэффициент а = 5,8335 численно равен гипотетической прибыли при отсутствии потребления ресурса.

Построим корреляционное поле и график x = 5,8335 + 0,6311х.

Вычислим коэффициент корреляции:

r = = = 0,5289;

коэффициент детерминации:

r2 = 0,52892 = 0,2797.

Поэтому 27,97% рассеивания зависимой переменной Y объясняется линейной регрессией Y на Х, а 72,03% рассеивания Y остались необъясненными. Эта доля рассеяния Y может быть вызвана либо случайными ошибками эксперимента, либо тем, что линейная модель не достаточно хорошо согласуется с экспериментальными данными.

Список использованной литературы

1. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. - М.: Высшая школа, 1986.

2. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. - М.: ДИС, 1997.

3. Левин М.И., Макаров В.Л., Рубинов А.М. Математические модели экономических взаимодействия. - М.: Наука, 1993.

4. Минюк С.А., Ровба Е.А., Кузьмич К.К. Математические методы и модели экономике. - Мн.: ТетраСистемс, 2002.

5. Кузнецов А.В., Сакович В.А., Холод Н.И. Высшая математика. Математическое программирование. - Мн.: Вышэйшая школа, 1994.

6. Кузнецов А.В. Руководство по решению задач по математическому программированию. - Мн.: Вышэйшая школа, 1978.

7. Сборник задач и упражнений по высшей математике: Мат. программирование: Учеб. пособие / А.В. Кузнецов, В.А. Сакович, Н.И. Холод и др.; Под общ. ред. А.В. Кузнецова, Р.А. Рутковского. - 2-е изд., перераб. и доп. - Мн.: Выш. шк., 2002. - 487 с.: ил.

8. Справочник по математике для экономистов / В.Е. Барбаумов, В.И. Ермаков, Н.Н. Кривенцова и др.; Под ред. В.И. Ермакова. - М.: Высш. шк., 1987. - 336 с.: ил.

9. Черняк А.А., Новиков В.А., Мельников О.И., Кузнецов А.В. Высшая математика на базе MathCAD / Учебное пособие. - Мн.: МИТСО, 2003. - 272 с.

10. Экономико-математические методы и модели: Учебно-методическое пособие для студентов экономических вузов / В.Н. Тюнянов, Н.Г. Кохан. - Гомель: ГФ УО ФПБ «МИТСО», 2003. - 76 с.

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

  • Алгоритм решения задач линейного программирования симплекс-методом. Построение математической модели задачи линейного программирования. Решение задачи линейного программирования в Excel. Нахождение прибыли и оптимального плана выпуска продукции.

    курсовая работа [1,1 M], добавлен 21.03.2012

  • Теоретическая основа линейного программирования. Задачи линейного программирования, методы решения. Анализ оптимального решения. Решение одноиндексной задачи линейного программирования. Постановка задачи и ввод данных. Построение модели и этапы решения.

    курсовая работа [132,0 K], добавлен 09.12.2008

  • Математическое программирование. Линейное программирование. Задачи линейного программирования. Графический метод решения задачи линейного программирования. Экономическая постановка задачи линейного программирования. Построение математической модели.

    курсовая работа [581,5 K], добавлен 13.10.2008

  • Построение математической модели. Выбор, обоснование и описание метода решений прямой задачи линейного программирования симплекс-методом, с использованием симплексной таблицы. Составление и решение двойственной задачи. Анализ модели на чувствительность.

    курсовая работа [100,0 K], добавлен 31.10.2014

  • Критерий эффективности и функции в системе ограничений. Общая постановка задачи линейного программирования. Составление математической модели задачи. Алгоритмы решения задачи симплексным методом. Построение начального опорного решения методом Гаусса.

    курсовая работа [232,4 K], добавлен 01.06.2009

  • Применение методов линейного программирования для решения оптимизационных задач. Основные понятия линейного программирования, свойства транспортной задачи и теоремы, применяемые для ее решения. Построение первичного опорного плана и системы потенциалов.

    курсовая работа [280,8 K], добавлен 17.11.2011

  • Графическое решение задач. Составление математической модели. Определение максимального значения целевой функции. Решение симплексным методом с искусственным базисом канонической задачи линейного программирования. Проверка оптимальности решения.

    контрольная работа [191,1 K], добавлен 05.04.2016

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.