Постановка задачи

Полученному плану X₂ = (0; 5,647; 21,176; 0; 0; 99,529) соответствует значение целевой функции f(X₂) = 395,3. В результате получаем табл. 3, в f-строке которой отрицательных элементов нет.

Значит, опорный план X* = Х₂ = (0; 5,647; 21,176; 0; 0; 99,529) является оптимальным, а соответствующее ему значение 395,3 целевой функции будет максимальным.

Итак, по оптимальному плану следует изготовить 5,647 ед. продукции вида П₂ и 21,176 ед. продукции П₃, продукцию вида П₁ производить не следует. При этом предприятие получит максимальную прибыль, которая составит 395,3 денежных единиц.

Останутся неиспользованными 99,529 ед. ресурса Р₃, а ресурсы Р₁ и Р₂ будут израсходованы полностью.

Двойственная задача

Чтобы составить модель двойственной задачи, запишем матрицу исходной задачи (1) - (5) в следующем виде:

. (9)

Транспонируем матрицу (9) и получим матрицу (10) двойственной задачи.

. (10)

По исходной матрице (10) запишем модель задачи, двойственной исходной задаче:

ц = 360y₁ + 192y₂ + 180y₃ > min (11)

18y₁ + 6y₂ + 5y₃ 9;

15y₁ + 4y₂ + 3y₃ 10;

13y₁ + 8y₂ + 3y₃ 16;

y_i 0 (i =). (13)

Из теорем двойственности следует, что если решена одна из пары двойственных задач, то одновременно найдено решение и другой задачи. Компоненты оптимального плана этой задачи находятся в строке целевой функции последней симплекс-таблицы решенной задачи,

В п. 2 найден оптимальный план исходной задачи, его компоненты находятся в табл. 3. В f-строке этой же таблицы содержатся и компоненты у_i* оптимального плана двойственной задачи (11) - (13). Выписать компоненты у_i* поможет соответствие между переменными двойственных задач

Чтобы установить это соответствие, преобразуем ограничения-неравенства (12) в эквивалентные уравнения, вычитая из левых частей дополнительные неотрицательные переменные у₁*, у₂*, у₃*, равные разностям между левыми и правыми частями этих неравенств. Тогда модель (11) - (13) запишется в виде:

ц = 360y₁ + 192y₂ + 180y₃ > min;

18y₁ + 6y₂ + 5y₃ - y₄ = 9;

15y₁ + 4y₂ + 3y₃ - y₅ = 10;

13y₁ + 8y₂ + 3y₃ - y₆ = 16;

y_i 0 (i =).

В этой записи переменные у₄, у₅, у₆ являются базисными, а у₁, у₂, у₃ - свободными. В исходной задаче (6) - (8) переменные x₁, x₂, x₃ являются свободными, а x₄, x₅, x₆ - базисными. Сопоставим базисным переменным одной задачи свободные переменные другой и наоборот, т.е.

СП БП

x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ x₆

у₄ у₅ у₆ у₁ у₂ у₃ (14)

БП СП

Воспользуемся соответствием (14) для нахождения компонентов оптимального плана двойственной задачи. Находим их в табл. 3 в f-строке

Получим оптимальный план двойственной задачи:

Y* = (0,235; 1,618; 0; 4,941; 0; 0). (15)

Как следует из теорем двойственности, экстремальные значения функций разрешимых двойственных задач совпадают:

f_max = ц_min = 395,3.

Величины y₁* = 0,235, y₂* = 1,618 и y₃* = 0 ден. ед. являются теневыми ценами на ресурсы S₁, S₂, S₃ соответственно и в данном случае служат мерой их дефицитности.

Как следует из оптимального плана (15) двойственной задачи, избыточным является ресурс S₃ (y₃* = 0). Ресурс S₂ является наиболее дефицитным (y₂* = 1,618), ресурс S₁ менее дефицитным (y₁* = 0,235).

2. Решение транспортной задачи методом потенциалов

В пункте А_i (i = 1,2,3) находится однородная продукция в количестве a_i единиц. Себестоимость единицы продукции в пункте А_i равна c_i. Готовая продукция поставляется в пункт В_j (j = 1,2,3,4), потребности которого составляют b_j единиц. Стоимость с_ij перевозки единицы продукции из пункта A_i в пункт B_j известна. Требуется:

– составить экономико-математическую модель задачи, позволяющую найти план перевозки готовой продукции из пункта А_i производства в пункт В_; потребления при полном удовлетворении спроса на продукцию в этих пунктах, обеспечивающего минимальные суммарные затраты, вызванные производством и доставкой продукции;

– найти оптимальный план перевозки продукции при дополнительном условии, что продукция пункта А_k, в котором себестоимость ее производства наименьшая, должна быть распределена полностью;

– вычислить величину f_min минимальных суммарных затрат на производство и доставку продукции;

– назвать пункты, в которых остается нераспределенная продукция, и указать объемы такой продукции.

А = ; с = (4 2 1); В = (180 720 360 480); С = .

Построение экономико-математической модели

Запишем начальные условия задачи в форме табл. 1.

Таблица 1

Решение

Зависимость между X и Y будем искать в виде _x = a + bx. Параметры a и b модели найдем по методу наименьших квадратов из системы:

Вспомогательные вычисления соберем в таблицу:

Из таблицы имеем:

= 150 / 10 = 15; = 153 / 10 = 15,3;

= 2709 / 10 = 270,9; = 2906 / 10 = 290,6;

= 3275 / 10 = 327,5.

По формуле Крамера

b = = = 0,6311.

Из первого уравнения

a = - b · = 15,3 - 0,6311 · 15 = 5,8335.

Итак, уравнение прямой линии регрессии Y на Х:

_x = 5,8335 + 0,6311х.

Коэффициент b = 0,6311 означает, что при потреблении 1 единицы ресурса доход предприятия от продажи единицы продукции составляет 0,6311 денежных единицы. Коэффициент а = 5,8335 численно равен гипотетической прибыли при отсутствии потребления ресурса.

Построим корреляционное поле и график _x = 5,8335 + 0,6311х.

Вычислим коэффициент корреляции:

r = = = 0,5289;

коэффициент детерминации:

r² = 0,5289² = 0,2797.

Поэтому 27,97% рассеивания зависимой переменной Y объясняется линейной регрессией Y на Х, а 72,03% рассеивания Y остались необъясненными. Эта доля рассеяния Y может быть вызвана либо случайными ошибками эксперимента, либо тем, что линейная модель не достаточно хорошо согласуется с экспериментальными данными.

Список использованной литературы

1. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. - М.: Высшая школа, 1986.

2. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. - М.: ДИС, 1997.

3. Левин М.И., Макаров В.Л., Рубинов А.М. Математические модели экономических взаимодействия. - М.: Наука, 1993.

4. Минюк С.А., Ровба Е.А., Кузьмич К.К. Математические методы и модели экономике. - Мн.: ТетраСистемс, 2002.

5. Кузнецов А.В., Сакович В.А., Холод Н.И. Высшая математика. Математическое программирование. - Мн.: Вышэйшая школа, 1994.

6. Кузнецов А.В. Руководство по решению задач по математическому программированию. - Мн.: Вышэйшая школа, 1978.

7. Сборник задач и упражнений по высшей математике: Мат. программирование: Учеб. пособие / А.В. Кузнецов, В.А. Сакович, Н.И. Холод и др.; Под общ. ред. А.В. Кузнецова, Р.А. Рутковского. - 2-е изд., перераб. и доп. - Мн.: Выш. шк., 2002. - 487 с.: ил.

8. Справочник по математике для экономистов / В.Е. Барбаумов, В.И. Ермаков, Н.Н. Кривенцова и др.; Под ред. В.И. Ермакова. - М.: Высш. шк., 1987. - 336 с.: ил.

9. Черняк А.А., Новиков В.А., Мельников О.И., Кузнецов А.В. Высшая математика на базе MathCAD / Учебное пособие. - Мн.: МИТСО, 2003. - 272 с.

10. Экономико-математические методы и модели: Учебно-методическое пособие для студентов экономических вузов / В.Н. Тюнянов, Н.Г. Кохан. - Гомель: ГФ УО ФПБ «МИТСО», 2003. - 76 с.

Размещено на Allbest.ru