Размещено на http://www.allbest.ru/

Лабораторная работа

«Решение нелинейных уравнений»

Постановка задачи

[0,1; 2]

Решить нелинейное уравнение шаговым методом, методом половинного деления, методом Ньютона и методом простой итерации.

Вычислим шаг по формуле:

h=

h=0,1.

1. Теоретическая часть

Шаговый метод

Суть метода:

1) Разбиение промежутка на число n интервалов.

2) Вычисление таблицы значения функции при изменении величины на интервале [a, b] с шагом h.

Из анализа таблицы на предмет смены знака выбираем интервал изоляции корня.

Методы уточнения корня

Метод половинного деления

Суть метода:

Метод основан на последовательном сужении интервала, пока длинна интервала не станет меньше заданной точности eps.

Алгоритм:

1) Найти первый вариант корня по формуле: х=(а+b)/2. Где [a, b] - интервал изоляции корня, найденный в шаговом методе.

2) Затем нужно найти значение функции в точках «а» и «х».

3) Проверить условие F(a)*F(x)<0, если условие выполнено, то корень расположиться на отрезке [a, x], в этом случае точку b нужно переместить в точку x, если условие не выполнено, то корень находится на отрезке [x, b], в этом случае точку «а» нужно переместить в точку «х».

4) Перейти к первому пункту.

Алгоритм продолжается до тех пор пока не выполнится условие F(x)<eps.

Метод Ньютона

Условия сходимости корня:

1) F(x) на интервале [a, b] должна быть непрерывна и монотонна.

2) Начальное приближение к корню должно быть выбрано на одной из границ по условию:

F(x₀)*F» (x₀)>0.

Геометрически это означает, что первая касательная, проведенная в точке x₀, к кривой F(x₀) должна пересекать ось «х» на интервале [a, b].

Выполняя построение касательных в точках (x_i, F(x_i)) - получаем последовательность {x_i+1} до тех пор, пока не выполнится критерий точности.

Метод простой итерации

Метод простой итерации основан на замене исходного уравнения F(x)=0 эквивалентным уравнением x=S(x) которое получается из исходного уравнения, если мы выражаем из него «х».

Окончательное значения выбирается из нескольких вариантов проверяемых условием |S' (x)|<1 где «х» принадлежит интервалу [a, b].

2. Реализация в Mathcad

1) Задание диапазона значений Х от 0.1 до 2 с шагом 0.1

2) Описание функции f(x)

Ответ: 1.375

3. Реализация в С++

Шаговый метод

Текст программы:

#include «stdafx.h»

#include <math.h>

#include <iostream>

#define n 20

#define co 0.000001

using namespace std;

double f (double x)

{return sin (log(x)) - cos (log(x))+2*log(x);

}

void main()

{

double xn, xk, h, a, b;

printf («vvedi xn, xk\n»);

cin>>xn>>xk;

h=fabs (xk-xn)/n;

double ma[n], mb[n];

int k=0; a=xn; b=a+h;

while (b<=xk+h/100.)

{

if (f(a)*f(b)<0) {ma[k]=a; mb[k]=b; k++;}

a=b; b=b+h;

}

if (k==0) printf («\n net solutions!\n»);

else {printf(«\n number roots k=%d\n», k);

printf («\n intervalj:\n»);

printf («\n a \t b\n»);

for (int i=0; i<k; i++) printf («\n % 5.2f \t % 5.2f\n», ma[i], mb[i]);

}

char st; cin>>st;

}

Вывод:

нелинейный уравнение mathcad итерация

4. Метод Ньютона

Текст программы:

#include «stdafx.h»

#include <math.h>

#include <iostream>

#define n 100

using namespace std;

double f (double x)

{return sin (log(x)) - cos (log(x))+2*log(x);}

double f1 (double x)

{return (cos (log(x))+sin (log(x))+2)/x;

}

double f2 (double x)

{return (-2*sin (log(x))+1)/pow (x, 2);

}

void main()

{double a, b, c, x, xkor;

double eps=0.001;

printf («vvedi a, b\n»);

cin>>a>>b;

 // выбор начального приближения

if (f(a)*f2 (a)>0) x=a;

else x=b;

printf («\n nachalnoe priblizhenie kornya x0=%1f \n», x);

int k=0;

while (fabs(f(x))>eps)

{k++; x=x-f(x)/f1 (x);

} xkor=x;

printf («\n koren x=%1f\n», xkor);

printf («\n chislo shagov interacii po metody Nutona k=%d \n», k);

char st; cin>>st;

}

Вывод:

5. Метод половинного деления

Текст программы:

#include «stdafx.h»

#include <math.h>

#include <iostream>

#define n 100

using namespace std;

double f (double x)

{return sin (log(x)) - cos (log(x))+2*log(x);

}

void main()

{double a, b, c, xkor;

double eps=0.001;

printf («vvedi a, b\n»);

cin>>a>>b;

int k=0;

while (fabs(b-a)>eps)

{k++;

c=(b+a)/2.;

if (f(a)*f(c)<=0) b=c;

else a=c;

}

xkor=(a+b)/2.;

printf («\n koren x=%6.3f\n», xkor);

printf («\n number shagov interacii k=%d\n», k);

char st;

cin>>st;

}

Вывод:

Размещено на Allbest.ru