2. Математическая часть

Традиционную теорию (обычных) множеств можно рассматривать как частный случай теории нечетких подмножеств (почему нужно говорить "нечеткое подмножество" а не "нечеткое множество", понятно хотя бы из того, что область определения нечеткого подмножества - всегда обычное, а не нечеткое множество). Важно, что здесь мы имеем новое и очень полезное для нас расширение традиционного понятия. И тем не менее, все то, что можно описать или объяснить с помощью теории нечетких подмножеств, рассматривают и без этой теории, используя другие понятия. Всегда можно зеленить одно математическое понятие другим. Но будет ли это новое понятие настолько же понятным, как и старое, и будет ли оно порождать свойства, которые с его помощью было бы легче обнаружить, доказать и использовать

Пусть Е есть множество, А - подмножество Е: А Е.

Тот факт, что элемент х множества Е есть элемент подмножества А, или, как еще говорят, принадлежит А, обычно обозначают с помощью символа :х А

Для выражения этой принадлежности можно использовать и другое понятие - характеристическую функцию _А (х), значения которой указывают, является ли (да или нет) х элементом А:

Напомним хорошо известные свойства булевой бинарной алгебры. Пусть А - дополнение А относительно Е, т.е. такое подмножество Е, для которого АА=, АА=Е. Если хА, то хА, и можно записать _А (х) = 1, _А (х) = 0.

Для двух данных подмножеств А и В можно рассмотреть пересечение А В.

Имеем

Это позволяет нам записать

_АВ (х) = _А (х) * _В (х)

где операция * определена таблицей на рис.2 и называется булевым произведением.

Таким же образом для двух подмножеств А и В определяют объединение или соединение

обладающее свойством

_АВ (х) = _А (х) _В (х)

где операция (булева сумма) определена таблицей на рис.3.

Дадим строгое определение понятия, нечеткого подмножества, введенного Заде.

Пусть Е есть множество, счетное или нет, их - элемент Е. Тогда нечетким подмножеством А множества Е называется множество упорядоченных пар

{ (x|_A (x)) }, x E

где _A (x) - степень принадлежности x в А. Таким образом, если _A (x) принимает свои значения во множестве М значений функции принадлежности или, короче, во множестве принадлежностей, то можно сказать, что х принимает значение в М посредством функции _A (x). Таким образом,

х М.

Эта функция также называется функцией принадлежности.

Поскольку в дальнейшем мы будем рассматривать булевы бинарные функции как частный случай таких функций принадлежности, в данной работе мы заменим приведенное выше определение на следующее. Пусть Е - множество, счетное или нет, и х - элемент Е. Тогда нечеткое подмножество А множества Е определяется как множество упорядоченных пар

{ (x, _A (x)) }, x E

где _A (x) - характеристическая функция принадлежности, принимающая свои значения во вполне упорядоченном множестве М, которая указывает степень или уровень принадлежности элемента х подмножеству А. Множество М будет называться множеством принадлежностей.

Если М = {0, 1}, то "нечеткое подмножество" А будет рассматриваться как "ненечеткое" или просто "обычное" подмножество.

Таким образом, понятие нечеткого подмножества связано с понятием множества и позволяет изучать нестрого определенные понятия используя математические структуры.

Рассмотрим несколько примеров:

1) нечеткое подмножество чисел х, приблизительно равных данному действительному числу n, где n R (R - множество действительных чисел);

2) нечеткое подмножество целых чисел, очень близких к 0;

3) пусть а - действительное число и х - небольшое положительное приращение а; тогда числа а + х образуют нечеткое подмножество во множестве действительных чисел;

4) пусть Н - элемент решетки; элементы, ближайшие к Н, по отношению порядка образуют нечеткое подмножество в множестве всех элементов решетки.

Определим следующие операции.

Пусть Е - множество, М - множество принадлежностей, А и В - два нечетких подмножества Е.

1. Включение.

Будем говорить, что множество А включено в В или А содержится в В, если хЕ и _А (х) _В (х). Это обозначается следующим образом: АВ. Строгое включение соответствует случаю, когда все неравенства строгие, и обозначается АВ.

2. Равенство.

Нечеткие подмножества А и В равны (обозначение: А=В), если хЕ и _А (х) =_В (х). Если найдется, по крайней мере, один элемент хЕ, что это равенство не выполняется, нечеткие подмножества А и В не равны.

3. Дополнение.

Нечеткое подмножество называется дополнением нечеткого подмножества A, если хЕ и (х) =1-_А (х).

4. Пересечением нечетких подмножеств A и B называется нечеткое подмножество АВ, функция принадлежности которого определяется следующим образом: хЕ, _АВ (х) =min (_А (х),_В (х)).

5. Объединением двух нечетких подмножеств A и B называется нечеткое подмножество АВ, функция принадлежности которого определяется следующим образом:

хЕ, _АВ (х) =mах (_А (х),_В (х)).

6. Дизъюнктивной суммой нечетких подмножеств А и В называется нечеткое подмножество АВ, определяемое следующим образом:

АВ=.

7. Разностью нечетких подмножеств А и В называется нечеткое подмножество А-В, определяемое следующим образом: А-В=.

8. Алгебраическим произведением нечетких подмножеств A и B называется нечеткое подмножество АВ, функция принадлежности которого определяется следующим образом:

хЕ, _АВ (х) = _А (х) _В (х).

9. Алгебраической суммой двух нечетких подмножеств А и В называется нечеткое подмножество , функция принадлежности которого определяется следующим образом:

хЕ, = _А (х) + _В (х) - _А (х) _В (х).

10. Симметричная разность. По определению симметричная разность двух множеств А и В - это множество

С = АВ = (А\В) (В\А).

Пример. Проиллюстрируем основные операции над нечеткими подмножествами на примере подмножеств А={ (х₁ | 0.2), (х₂ | 0.7), (х₃ | 1), (х₄ | 0), (х₅ | 0.5) } и В={ (х₁ | 0.5), (х₂ | 0.3), (х₃ | 1), (х₄ | 0.1), (х₅ | 0.5) }, определенных на множестве Е={х₁, х₂, х₃, х₄, х₅}.

АВ={ (х₁ | 0.2), (х₂ | 0.3), (х₃ | 1), (х₄ | 0), (х₅ | 0.5) }

АВ={ (х₁ | 0.5), (х₂ | 0.7), (х₃ | 1), (х₄ | 0.1), (х₅ | 0.5) }

={ (х₁ | 0.8), (х₂ | 0.3), (х₃ | 0), (х₄ | 1), (х₅ | 0.5) }

={ (х₁ | 0.5), (х₂ | 0.7), (х₃ | 1), (х₄ | 0.9), (х₅ | 0.5) }

А-В=А={ (х₁ | 0.2), (х₂ | 0.7), (х₃ | 0), (х₄ | 0), (х₅ | 0.5) }

В-А=В={ (х₁ | 0.5), (х₂ | 0.3), (х₃ | 0), (х₄ | 0.1), (х₅ | 0.5) }

АВ= (А) (В) ={ (х₁ | 0.5), (х₂ | 0.7), (х₃ | 0), (х₄ | 0.1), (х₅ | 0.5) }

АВ={ (х₁ | 0.1), (х₂ | 0.21), (х₃ | 1), (х₄ | 0), (х₅ | 0.25) }

={ (х₁ | 0.6), (х₂ | 0.79), (х₃ | 1), (х₄ | 0.1), (х₅ | 0.75) }

Основные свойства операций.

1. Операции пересечения и объединения коммутативны (перестановочны): АВ = ВА; АВ = ВА.

2. Операции пересечения и объединения ассоциативны.

(АВ) С = А (ВС) = АВС

(АB) С = А (ВС) = АВС.

3. Операции объединения и пересечения взаимно дистрибутивны.

Для вещественных чисел закон дистрибутивности читается так: а (в+с) = ав + ас. Для множеств закон дистрибутивности имеет вид:

а) (АВ) С = (АС) (ВС)

б) (АB) С = (АС) (ВС).

Докажем равенство:

а). Предположим, что x (АВ) С, тогда xС и xА или xВ. Рассмотрим первый случай xС и xА. Тогда хАС, а значит, по определению объединения, х (АС) (ВС).

Во втором случае, т.е. при xС и xВ получаем, что x (ВС) (АС). Таким образом, мы доказали включение

[ (АВ) С] [ (АС) (ВС)].

Докажем обратное включение. Пусть х (АС) (ВС), тогда хАС или хВС. В первом случае хА и хС. Во втором случае хВ и xС. В обоих случаях получаем, что хС и хА или хВ. Следовательно, х (АВ) С. Тем самым доказано включение (АС) (ВС) (АВ) С.

Таким образом, (АВ) С= (АС) (ВС), что и требовалось доказать.

Пусть А₁, А₂,. - некоторые множества и пусть все они включены в S (А₁, А₂,. S). Тогда выполняются следующие соотношения.

4. - дополнение объединения множеств равно пересечению их дополнений.

5. - дополнение пересечения множеств равно объединению их дополнений.

Докажем свойство 4. Пусть х, тогда хзначит, x не принадлежит ни одному из множеств A_k (k, хА_k), следовательно, по определению дополнения хS\А_k для любого k. Отсюда вытекает, что х. Обратно, пусть х тогда этот элемент принадлежит каждому из множеств S \ A_k (k, хS\ A_k). Следовательно, хA_k для любого k, а, значит, х и поэтому х, что и требовалось доказать. [8]

Рис. 3 Структурная схема алгоритма операции пересечения

Рис. 4 Структурная схема алгоритма операции объединения

Рис. 5 Структурная схема алгоритма операции разности

Рис. 6 Структурная схема алгоритма операции произведения

Рис. 7 Структурная схема алгоритма операции симметричной разности

3. Практическая часть

Назначение программы