Главная База знаний "Allbest" Программирование, компьютеры и кибернетика Модели пенсионной схемы

Модели пенсионной схемы

Описание математической модели открытого пенсионного фонда. Смертность и размер когорт. Проектирование программного обеспечения для численного моделирования открытого пенсионного фонда с помощью Rational Rose. Себестоимость программного продукта.

Рубрика Программирование, компьютеры и кибернетика
Вид дипломная работа
Язык русский
Дата добавления 10.11.2012
Размер файла 1,1 M

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Страница:

Размещено на http://www.allbest.ru/

ВВЕДЕНИЕ

Актуарные исследования в постсоветских странах начали развиваться лишь с начала 90-х годов. За такой короткий период ни одно научное направление не может достичь сколько-нибудь серьезного развития. Возникновение научных школ, традиций - весьма долгий процесс, занимающий десятилетия. Довольно естественно поэтому, что отечественные актуарные разработки развивались за это время в основном в русле усвоения и переработки западных, в основном английских и американских источников.

Актуарным базисом называют совокупность исходных данных, принимаемых для выполнения актуарных расчетов. При его построении делаются предположения о величинах будущих статистических показателей, необходимых для расчета пенсий, например, о смертности, о заработной плате, а также предположения о будущей отдаче от инвестирования активов. Задачи актуарных расчетов связаны с оцениванием частот случайных событий и поэтому основываются на математических моделях теории вероятностей и статистики.

Исследования, выполненные в последнее десятилетие в области актуарной математики, в основном относятся к страхованию. Внимание, уделяемое в актуарной литературе пенсионным расчетам, значительно меньше, особенно это касается новых исследований.

Целью данной работы является построение модели пенсионной схемы. Предмет исследования - методы и модели формирования пенсионных схем на примерах государственных и негосударственных пенсионных фондов, как отечественных, так и западных.

Существуют два основных метода формирования пенсионных схем: метод «закрытого фонда» (closed fund) и «открытого фонда» (open fund). При первом методе схема условно закрывается для вступления новых членов и рассматривается достаточность имеющихся резервов и будущих поступлений для выполнения обязательств, уже взятых схемой на себя.

Объектом данного исследования является процесс формирования открытого пенсионного фонда. При методе «открытого фонда» учитывается также будущее вступление новых членов, в частности, новых возрастных когорт.

Основной чертой современного состояния этой области можно назвать поистине огромный разрыв, существующий между теорией и практикой. В нашей стране выполняются, с одной стороны, отдельные теоретические исследования высокого уровня, с другой, математический аппарат большинства прикладных работ примитивен. Крайне мало таких работ, где достаточно передовые теоретические разработки были бы доведены до практической реализации; даже демонстрации их применения единичны, не говоря уже о систематическом использовании. Исходя из этой проблемы, главной задачей данной работы является разработка инструментальных средств моделирования пенсионного фонда. Применение данной разработки позволит проанализировать основные модели открытого пенсионного фонда и получить на практике результаты исследования.

1. АНАЛИЗ СОСТОЯНИЯ ПРОБЛЕМЫ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ

1.1 Финансовые исследования

пенсионный фонд программный модель

Комитетом по международным стандартам финансовой отчетности (КМСФО, IAS Board) в Лондоне были разработаны Международные стандарты финансовой отчетности (МСФО) или International Accounting Standards (IAS). Они имеют рекомендательный характер и представляют собой как бы «базу» для создания национальных стандартов учета на их основе. В то же время, стандарты эти весьма серьезные и подробно проработанные.

МСФО были созданы с целью стандартизации практики учета и обеспечения пользователей информации (в частности, акционеров) адекватными данными о финансовом состоянии компаний. Показателем международного признания МСФО является их широкое принятие для котировки бумаг на крупнейших фондовых биржах. Так, например, Международная организация комиссий по ценным бумагам рекомендовала с 1998 г. признавать IAS для целей листинга на всех международных рынках (включая Лондонскую, Нью-Йоркскую и Токийскую фондовые биржи).

Постановлением Правительства РФ от 6 марта 1998 г. № 28_ «Об утверждении Программы реформирования бухгалтерского учета в соответствии с международными стандартами финансовой отчетности» были утверждены цели, задачи и основные направления перехода на Международные стандарты финансовой отчетности (МСФО) в России. Переход на МСФО отвечает требованиям повышения прозрачности российских компаний, предъявляемым серьезными международными инвесторами. Он важен, с этим согласны все аналитики, для привлечения инвестиций в российскую экономику.

В 2005 г. Государственная Дума РФ приняла во втором чтении законопроект, согласно которому консолидированная бухгалтерская отчетность общественно значимых компаний должна составляться в соответствии с МСФО. Действие закона распространяется на кредитные организации, а также на компании, ценные бумаги которых допущены к обращению на торгах фондовых бирж и иных организаторов торговли ценными бумагами. В настоящее время крупнейшие российские компании уже предоставляют консолидированную отчетность по международным стандартам (МСФО, US GAAP). Пока они делают это добровольно, в инициативном порядке. Обычно заинтересованы в этом компании, чьей целью является привлечение инвестиционного капитала путем выхода на фондовые рынки, российские и международные. В России также применяются стандарты US GAAP. Методы учета пенсионных и социальных программ по GAAP (в частности, стандарту FAS 87) очень близки к требованиям МСФО 19.

Внедрение международных стандартов учета в России встречает определенные трудности - прежде всего, кадровые. Необходимы значительные усилия и инвестиции в интеллектуальный потенциал для их освоения и обучения специалистов. Одними из наиболее сложных и малоизвестных являются актуарные нормы МСФО [1].

Международные стандарты финансовой отчетности включают в себя определенные нормы, принципы и методики актуарных расчетов для оценки обязательств перед работниками. Применение этого стандарта требуется во всех компаниях, развивающих свои собственные пенсионные и социальные программы.

Любой нормативный документ всегда основывается на каких-то принципах, которые никогда не могут быть полностью разъяснены в рамках самого документа. Это в значительной мере касается стандартов МСФО (прежде всего, МСФО 19), которые «заимствуют» определенные понятия и методы актуарной математики, адаптируя их к целям учета, но, конечно, не могут и не преследуют цели полностью эти понятия и методы объяснить и уложить в должную перспективу. Это задача, скорее, учебной и «комментаторской» литературы.

Стандарт МСФО 19 «Вознаграждения работникам» регламентирует учет обязательств компаний-работодателей в отношении выплат работникам и порядок признания таких обязательств. Стандарт выделяет пять видов выплат («вознаграждений»):

- краткосрочные, такие, как заработная плата;

- вознаграждения по окончании трудовой деятельности (post-employment benefits), такие, как пенсии, затраты на страхование жизни и медицинское обслуживание по окончании трудовой деятельности;

- другие долгосрочные вознаграждения работникам (other long-term benefits), включая премии к юбилеям;

- выходные пособия;

- выплаты долевыми инструментами (например, акциями компании).

Краткосрочные вознаграждения признаются немедленно, никаких проблем при этом не возникает, так как их размеры известны. То же относится к выходным пособиям (МСФО 19.1_7). Для выплат долевыми инструментами требования стандартом не устанавливаются (МСФО 19.145).

В отношении отсроченных («долгосрочных» в русском переводе МСФО 19) выплат, которые производятся не немедленно (точнее, более чем в течение 12 месяцев после возникновения оснований для них), причем часто только с определенной вероятностью, применяются актуарные методы оценки. Это относится, в частности, к вознаграждениям по окончании трудовой деятельности, размеры которых обычно зависят от зарплаты, стажа, а кроме того, само их получение обусловлено тем, что данный работник останется работником компании и будет иметь право на данный вид пособия (например, он может уволиться, умереть, стать инвалидом и прочее - все эти события происходят только с некоторой вероятностью).

Нужно отметить, что МСФО 19 требует от компаний учитывать не только юридические правовые обязательства, но и любые традиционные обязательства, вытекающие из практики компании.

Например, различные благотворительные программы оказания помощи работникам тоже могут требовать оценки обязательств, даже если эти обязательства не формализованы.

Отличие МСФО от методов бухгалтерского учета, применяющихся в настоящее время в нашей стране, - метод учета не по фактической оплате, а на основе принципа, называемого по-английски accrual basis. Вот как определяет это последнее понятие «Новый англо-русский банковский и экономический словарь Б.Г. Федорова» [2].

Принцип наращивания (начисления): принцип бухгалтерского учета, при котором доходы и расходы учитываются в момент возникновения права на них, хотя соответствующие суммы могут быть еще не получены или не оплачены (наиболее распространенный метод учета в противоположность методу учета при фактическом получении или платеже денег).

Если работа в какой-либо компании дает право на пенсии или какие-то пособия со стороны работодателя, то такое право возникает постепенно, а именно в течение срока работы (стажа) в данной компании. Согласно принципам МСФО, к каждому периоду (году) работы в компании должно быть отнесено соответствующее обязательство работодателя по оплате «заработанных» (earned) за год прав. Как велики эти права? Обычными «бухгалтерскими» методами их нельзя оценить. Ввиду сложности такой оценки, она осуществляется актуарными методами. Согласно МСФО 19.57, привлечение компанией для выполнения этой оценки квалифицированного актуария приветствуется, хотя и не требуется в обязательном порядке.

Итак, актуарные оценки требуются в отношении «пособий по окончании трудовой деятельности» и «других долгосрочных пособий». Классификация выплат между этими двумя видами четко не определена. В МСФО 19.16 существуют косвенные указания на то, что к пособиям по окончании трудовой деятельности относятся те выплаты, право на которые обусловлено службой работника в компании и выплата которых является определенной (при выполнении, конечно, некоторых условий, таких, как минимальный стаж). Пособия же, выплата которых является неопределенной, т.е. зависит не только от службы работника в компании, относятся к «прочим». Например, это пособия по нетрудоспособности (disability benefits). Они относятся к «прочим» и не называются пенсиями - пенсиями называются только выплаты первого типа, т.е. выплаты по окончании трудовой деятельности.

Впрочем, в нашей стране само понятие «квалифицированного актуария» пока не ясно. Сложившегося стандарта актуарного образования не существует, тем более такого, который включал бы оценку обязательств по МСФО.

МСФО определяет пенсионные планы следующим образом. Соглашения, в соответствии с которыми компания обеспечивает вознаграждения по окончании трудовой деятельности, называются планами вознаграждений по окончании трудовой деятельности. Компания использует настоящий Стандарт применительно ко всем подобным соглашениям независимо от того, предполагают ли они учреждение отдельного юридического лица для получения взносов и осуществления пенсионных выплат.

То есть независимо от того, производится ли выплата пенсий при помощи отдельного пенсионного фонда (как делается в российской практике) или же без его посредства. В последнем случае пенсионный план функционирует как определенное резервирование внутри компании-работодателя, средства учитываются на специальных счетах. Такая практика распространена в ряде западных стран, например, в Великобритании. В других странах, например, в США, применяются и та, и другая формы организации пенсионных планов.

На самом деле, с того момента, когда вводится само понятие пенсионного плана, как базовое понятие актуарного и учетного регулирования, форма его организации становится уже не такой существенной. В западных странах понятие пенсионного плана вводится на законодательном уровне, и именно это понятие является основным в регулировании, учете и в актуарном оценивании. В этом, пожалуй, и состоит основное отличие западного подхода от современного российского: в российском законодательстве и нормативных актах нет понятия пенсионного плана или аналогичных ему. Существующее российское законодательство и нормативные акты нацелены только на регулирование деятельности пенсионных фондов как организаций. Это, по нашему мнению, одна из основных трудностей на пути приближения российских актуарных стандартов и вообще норм регулирования к международным.

1.2 Пенсионные схемы

Деление пенсионных схем на планы с установленными взносами (defined contribution, DC) и планы с установленными выплатами (defined benefit, DB) определяется в МСФО 19 следующим образом (19.7).

Пенсионные планы с установленными взносами - планы пенсионного обеспечения, предполагающие, что компания осуществляет фиксированные взносы в отдельный фонд и не будет иметь каких-либо юридических правовых или традиционных обязательств по уплате дополнительных взносов, если фонд не будет иметь достаточных средств для выплаты всех вознаграждений работникам, причитающихся за услуги, оказанные ими в текущем и предшествующих периодах.

Пенсионные планы с установленными выплатами - планы пенсионного обеспечения иные, чем пенсионные планы с установленными взносами.

Таким образом, за основу классификации берется возникновение (юридических или традиционных) обязательств компании по выплате пенсий. Если такие обязательства возникают (в любой форме), то план нужно считать планом с установленными выплатами. Последнее означает, что для такого плана оценка обязательств производится актуарными методами, исходя из величин будущих пособий, в то время как для пенсионных планов с установленными взносами актуарной оценки обязательств не требуется.

Интересно сравнить эти определения с определениями МСФО 26.8.

Пенсионные планы с установленными взносами - это планы пенсионного обеспечения, в соответствии с которыми размеры пенсий, подлежащих выплате, определяются на основе взносов в пенсионный фонд и прибыли на эти вложения.

Пенсионные планы с установленными выплатами - это планы пенсионного обеспечения, в соответствии с которыми размеры пенсий, подлежащих выплате, определяются по формуле, в основе которой обычно лежит размер вознаграждения, получаемого работником и/ или выслуга лет.

Аналогичные определения были даны в прежней версии 19-го стандарта, однако от них было решено отказаться. Определение МСФО 26 можно назвать «актуарным», так как оно берет за основу правила расчета пенсий, тогда как определение МСФО 19 берет за основу наличие обязательств, поэтому его можно назвать «юридическим». Принципы актуарных методик, заложенных в МСФО, коренятся в теории и практике методов финансирования пенсионных планов с установленными выплатами.

Нужно, прежде всего, иметь в виду два аспекта актуарных расчетов в целях МСФО.

Во-первых, актуарный расчет производится периодически. Как правило, он производится по состоянию на начало каждого календарного года. Этот момент будем называть моментом актуарной оценки.

Во-вторых, все актуарные величины рассчитываются на основе актуарных предположений (допущений, гипотез) - например, о будущей норме доходности инвестиций, о смертности в различных возрастах и т.п. Эти предположения являются упрощенными и никогда в точности не совпадают с реальностью, представляя собой лишь некоторые оценки; кроме того, в момент следующей актуарной оценки они могут быть изменены. Совокупность исходных данных для актуарного расчета, включая статистические данные о настоящем и прошлом, а также предположения о будущем, называется актуарным базисом (basis; в русском переводе МСФО - «база») расчета.

Основным результатом актуарной оценки является расчет сумм, которые требуется внести в план с установленными выплатами - взносов, если речь идет о расчетах в целях финансирования (фондирования) плана, или величин, признаваемых в отчетности, если речь идет о расчетах в целях этой отчетности. Методы МСФО, конечно, решают вторую задачу. И конечно, реальное финансирование и реальные взносы могут отличаться от признаваемых величин.

1.3 Основные актуарные величины

Актуарные обязательства (Accrued Actuarial Liability) AL - понятие, аналогичное понятию пенсионных обязательств в отечественной практике; измеряет сумму активов плана, которые «в идеале» должны иметься в наличии на дату оценки для покрытия будущих выплат.

Нормальный платеж (Normal Cost) NC - сумма взноса, при выполнении актуарных предположений достаточная для финансирования роста обязательств в течение заданного периода.

Фондированные обязательства (Funded Liability) F - сумма обязательств, оплаченных вкладчиком, или, проще говоря, чистый остаток (резерв) по данному плану. Равны суммарной оценочной стоимости активов плана.

Нефондированные обязательства (Unfunded Liability) UL - сумма, определяющая актуарный дефицит (профицит) плана как разница между обязательствами и фондированными обязательствами, UL = AL - F.

Общая схема оплаты пенсионных обязательств называется актуарным методом финансирования или фондирования плана (funding method, cost method). Первое подразделение пенсионных планов или схем по методам их финансирования - деление на фондируемые и нефондируемые.

Планы, в которых через какое-то время после «запуска» плана предусматривается выход на полное фондирование, т.е. такое состояние, что F ? AL, называют фондируемыми (funded). Нужно заметить, что «новые» планы обычно бывают частично фондированными, пока не ликвидирован начальный актуарный дефицит IUL. Например, нормы американского законодательства предусматривают ограничения на сроки погашения начального дефицита (скажем, для планов одного корпоративного работодателя - не более 15 лет).

Противоположность фондируемым схемам - нефондируемые схемы, которые по-английски называют pay-as-you-go (PAYG), а по-русски иногда - схемами выплат «с колес» (и то, и другое, конечно, жаргонизмы). Это DB схема, в которой средства, необходимые для выплат пенсий, вносятся вкладчиком незадолго до момента выплаты. По PAYG принципу финансируются, как известно, государственные пенсионные системы большинства стран (в том числе России), где ставка пенсионных отчислений (налога) фиксирована. Часто смешивают такое финансирование с распределительным - финансированием по принципу DC схемы, где поступившие средства пенсионных отчислений распределяются между пенсионерами.

Принцип полного фондирования является общим принципом регулирования частных пенсионных фондов во многих странах Европы, США и Канаде. Однако МСФО, будучи только стандартом учета, не мог бы требовать фондирования, т.е. оплаты, пенсионных обязательств. Этого могут требовать только нормы пенсионного регулирования тех или иных стран. (Например, российские нормативные акты не содержат не только никаких требований к фондированию, но и самого этого слова.) По этим причинам МСФО 19 требует лишь показывать пенсионные обязательства в виде пассивов компании, указывая, что DB планы могут быть нефондируемыми либо полностью или частично фондируемыми.

Как оплачивать (фондировать) свои пенсионные обязательства - это дело компании, в которой могут существовать различия между системами фондирования и учета в отношении нефондируемых пенсионных планов, а также, разумеется, в отношении частично и полностью фондируемых.

Однако пенсионные обязательства при этом признаются в балансовом отчете компании-работодателя в полном объеме, то есть в том объеме, полная оплата которого означала бы полное фондирование согласно методу, допустимому в рамках МСФО 19. Это так называемый unit-credit метод, описанный ниже. Суммы, равные нормальным платежам этого метода, признаются в составе расходов в отчете о прибылях и убытках. МСФО 26 предполагает более широкий спектр методов.

Имея в виду указанное различие между учетом и фактическим фондированием плана, будем ниже называть актуарным методом способ расчета обязательств и нормальных платежей [2].

1.4 Индивидуальные актуарные методы

При индивидуальных актуарных методах для каждого индивидуального участника оцениваются величины нормальных платежей NCi и обязательств ALi. Рассчитав эти величины, их суммируют по всем участникам, чтобы получить NC и AL для плана в целом.

Индивидуальные методы могут быть разными, так как обязательства ALi могут рассчитываться по-разному в период накопления, то есть до достижения пенсионного возраста R. К моменту достижения этого возраста пенсия становится «гарантированной» (vested), точнее - назначенной, и обязательства ALi становятся равными сумме, достаточной для финансирования этой пенсии, или, как говорят актуарии, актуарной современной стоимости (actuarial present value, APV) пенсии. Индивидуальные методы, с актуарной точки зрения, различаются способом распределения оплаты пенсии по годам периода накопления. Два крайних случая - начальное фондирование, при котором будущая пенсия оплачивается в момент начала приобретения пенсионных прав, и конечное (терминальное, terminal) фондирование, при котором пенсия оплачивается в момент выхода на пенсию. Начальное фондирование на практике по понятным причинам обычно не применяется, а конечное, хотя и применяется в России, не считается хорошей практикой на Западе (например, в США оно прямо запрещено законом), так как не обеспечивает социальной защищенности работников на случай отказа работодателя (или невозможности) финансировать план. Все актуарные методы, применяемые на практике, предусматривают какое-либо «разложение» оплаты пенсии по годам стажа. При этом они основаны на различных принципах, как будет видно ниже.

МСФО 19 (но не МСФО 26) предписывает конкретный индивидуальный метод оценки пенсионных обязательств и расчета нормальных платежей - так называемый метод накопленных прав (accrued benefit method; в русском переводе МСФО 19 - «метод накопленного вознаграждения»).

Данный метод основан на вычислении пенсионных прав - пенсии, «заработанной» на определенный возраст. Математически пенсионные права выражаются некоторой функцией , если - возраст участника.

«Классический» метод накопленных прав был разработан для пенсионных планов, в которых каждый год стажа позволяет определить соответствующую ему «прибавку» к пенсии (планы, определенные выше как тип I).

В МСФО используется такое актуарное понятие, как current service cost - «стоимость текущего стажа» (или «текущих услуг»). Под стоимостью текущего стажа работников понимаются обязательства, которые возникнут за период от момента настоящей оценки до момента следующей оценки . Эта стоимость равна нормальному платежу метода накопленных прав. МСФО 19 требует признания этой величины в составе расхода компании-работодателя. Соответственно, прошлый стаж - от момента начала приобретения пенсионных прав до момента, по состоянию на который сделана последняя оценка, будущий - после момента, по состоянию на который делается настоящая оценка, до достижения пенсионного возраста. Однако нужно иметь в виду, что понятие стоимость прошлого стажа (past service cost) употребляется не по аналогии с понятием стоимости текущего стажа. Оно означает увеличение обязательств по прошлым периодам в связи с изменением условий плана в текущем периоде (МСФО 19.7).

Будем говорить о простейшем случае - пенсии по старости, назначаемой с определенного («нормального») целого пенсионного возраста . Пусть некоторый участник начал приобретать пенсионные права с целого возраста . Будем считать, что в момент настоящей оценки участник находится в возрасте . Обозначим через приращение пенсионных прав в течение периода текущего стажа, т.е. годовое приращение функции ,

, (1.1)

и наоборот, определяется как сумма приращений пенсионных прав по годам:

. (1.2)

Правила расчета нормальных платежей и обязательств при этом методе просты и очевидны. Нормальные платежи рассчитываются как суммы, достаточные для оплаты пенсионных прав в размере , т.е. как актуарная (т.е. средняя, ожидаемая) современная (т.е. приведенная к настоящему моменту времени с помощью дисконтирования) стоимость пенсии в таком размере (постоянном или, например, начальном, если схема предполагает индексацию пенсий). Обязательства пенсионного плана в отношении участника могут быть вычислены как актуарная современная стоимость пожизненной пенсии «заработанного» размера.

Актуарные современные стоимости условимся обозначать аббревиатурой APV (actuarial present value).

Далеко не всегда пенсионные схемы строятся так, что можно определить приращения пенсии, даваемые данным годом стажа работника. Для этого случая метод накопленных прав (accrued benefit) получил развитие: был изобретен так называемый unit-credit метод.

Рост пенсионных прав по годам при этом методе предполагается линейным от возраста начала приобретения пенсионных прав до пенсионного возраста ,

, (1.3)

где - «расчетная пенсия», которая представляет собой некоторый отправной размер пенсии, принимаемый в расчетах. Величины прав и пенсии можно считать в тех единицах, в каких это удобно: считать их размером месячной пенсии, годовой пенсии, или же актуарной стоимости пенсии.

Если имеет вид (1.3), то

(1.4)

Смысл этой формулы очень простой: каждый год зарабатывается одинаковая часть расчетной пенсии, или, другими словами, финансирование расчетной пенсии раскладывается равномерно по годам стажа.

Различают две «модификации» unit-credit метода:

- Accrued benefit unit-credit метод, называемый также «традиционным» или «обычным» (regular) unit-credit;

- Projected benefit unit-credit метод, называемый также projected unit-credit, или projected unit методом, а в русском переводе МСФО19 - «методом прогнозируемой условной единицы», - метод, совмещающий методологию определения накопленных прав с прогнозированием или «проектированием» пенсии.

Эти два метода отличаются способом определения величины расчетной пенсии . «Обычный» unit-credit предполагает, что рассчитывается по условиям пенсионного плана на дату оценки. Например, пусть пенсия в плане рассчитывается по правилу конечной зарплаты (final salary rule), т.е. как фиксированная доля от зарплаты за последний год перед выходом на пенсию. Тогда расчетная пенсия для возраста должна быть определена как такая доля от зарплаты за год, предшествующий оценке (обозначим эту зарплату ), .

Этот метод для таких планов и вообще планов типа II, однако, имеет один важный недостаток. Дело в том, что зарплаты, как правило, растут от года к году стажа. Поэтому и величина расчетной пенсии растет. Это значит, что предполагаемая в момент настоящей оценки величина пенсии, которая будет заработана на возраст , как правило, будет меньше величины, действительно рассчитываемой в момент следующей актуарной оценки. Поэтому появляется актуарный дефицит, вызванный «отставанием» нормальных платежей от роста зарплаты. Этот эффект называется back-loading.

Чтобы исключить такой нежелательный эффект, и был введен projected unit-credit - метод «прогнозируемой условной единицы». Согласно этому методу, расчетная пенсия p вычисляется не на основе текущей зарплаты, а на основе прогнозируемой картины зарплаты до момента выхода работника на пенсию. Расчетная пенсия представляет собой прогнозируемую пенсию.

Из методов равномерных взносов распространены два:

- нормальный возраста вхождения (Entry Age Normal, EAN);

- индивидуальный равномерных премий (Individual Level Premium, ILP).

При методах равномерных взносов нормальные платежи рассчитываются исходя из правила их равенства либо в абсолютном выражении, либо (чаще) как доли от зарплаты.

1.5 Постановка задачи

1. Анализ моделей и методов формирования открытого пенсионного фонда

2. Определение основных параметров математической модели открытого пенсионного фонда

3. Разработка алгоритмической модели открытого пенсионного фонда

4. Разработка программного обеспечения для анализа пенсионных схем открытой формы.

Формализация представления: динамика развития пенсионного фонда представлена на рисунке 1.1.

Рисунок 1.1 - Динамика развития пенсионного фонда

Цель работы - построение модели пенсионной схемы.

Предмет исследования - методы и модели формирования пенсионных схем.

Объект исследования - процесс формирования открытого пенсионного фонда.

В данном разделе было проанализировано состояние проблемы, рассмотрены методы решения задачи, а также сформулирована постановка задачи, определен объект исследования и поставлены цели исследования.

2. РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ОТКРЫТОГО ПЕНСИОННОГО ФОНДА

2.1 Описание математической модели открытого пенсионного фонда

При индивидуальных методах расчеты производятся отдельно для каждого участника.

Задача актуария состоит в составлении плана внесения взносов в пенсионную схему и выплаты пенсий. На практике актуарий обычно делает это для коротких периодов. Для наглядности производится расчет на длительный период (100 лет).

Работники, вносящие взносы в пенсионную схему, и пенсионеры, получающие из нее пенсии, называются участниками или членами схемы. Все используемые модели дискретны, т.е. расчеты (выплаты пенсий, внесение взносов) производятся в целые моменты времени, а именно в начале каждого года. Пенсии выплачиваются в начале каждого года всем достигшим пенсионного возраста (по умолчанию - 60 лет). Например, в момент времени 0 выплачиваются пенсии участникам, достигшим 60 лет в этот момент, в момент времени 1 - пенсии достигшим 60 в этот момент и пенсии дожившим до 61 из тех, кто вышел на пенсию в момент 0, и т.д. Пенсионный возраст одинаков для мужчин и женщин. Дисконтирование при актуарном расчете производится по постоянной процентной ставке. Число участников уменьшается за счет смертности (миграция рабочей силы, инвалидность и др. причины выбытия не принимаются во внимание).

2.2 Уравнение баланса

Пусть - время в годах. Пусть - фонд пенсионных накоплений (или, точнее, стоимость активов пенсионной системы) на момент (до внесения взносов и выплаты пенсий); - пенсионный взнос, - суммарные пенсии, выплачиваемые в момент . Как взнос, так и пенсия состоят из распределительной и накопительной составляющих:

(2.1)

Распределительная составляющая взноса немедленно выплачивается в виде пенсий, . Она рассчитывается умножением месячной распределительной пенсии на 12 и число работников ,

Размер пенсионного фонда определяется равенством

(2.2)

где - предполагаемая актуарием ставка доходности инвестиций.

В случае схемы с определенными взносами (DC) взносы являются заданными, а пенсии подлежат расчету; в случае схемы с определенными выплатами (DB) заданы, а вычисляются актуарием [3].

В основе метода открытого фонда лежит уравнение баланса актуарных текущих стоимостей взносов и выплат:

+ (2.3)

где - предполагаемый «индивидуальный фонд» («накопленная ответственность», accrued liability) работника на момент 0,

- время в годах,

- предполагаемый индивидуальный взнос («нормальная цена», normal cost),

- вероятность того, что лицо возраста проживет еще лет,

- коэффициент дисконта,

- пенсионный возраст,

- годовая накопительная пенсия.

Для работника возраста (вновь вступившего в схему) следует считать накопленную ответственность нулевой. Уравнение (2.3) написано для участника, вступающего в схему в момент 0 в возрасте . Для других лет и возрастов оно записывается по очевидной аналогии.

При EAN (entry-age normal) методе для DB схемы в уравнение (2.3) подставляется и вычисляется ставка взноса .

При unit-credit методе для DB схемы в (2.3) вычисляются исходя из правила .

В DB схемах суммарная нормальная цена для года вычисляется суммированием нормальных цен всех индивидуальных участников. Суммарная накопленная ответственность для года вычисляется суммированием величин накопленной ответственности для всех индивидуальных участников.

В DB схемах может возникать дефицит средств («нефинансируемая ответственность») по сравнению с расчетным, согласно (2.3). Нефинансируемая ответственность возникает по двум причинам:

- на момент создания схемы многие участники находятся в возрастах выше начального возраста , то есть их нормальные цены за ряд лет не внесены;

- набор предположений для актуарного оценивания может измениться, в силу чего нормальные цены предыдущих лет окажутся недостаточными (или избыточными).

Наличие нефинансируемой ответственности выражается отличием накопленной ответственности от фактически имеющегося фонда . Обозначим нефинансируемую ответственность через .

Начальная нефинансируемая ответственность есть нефинансируемая ответственность, возникшая по первой причине. Для коррекции нефинансируемой ответственности в размер пенсионного взноса включается дополнительный платеж [4].

Таким образом,

. (2.4)

Пенсии могут вычисляться различными способами. Можно задать либо (пенсии без индексации)

, (2.5)

где - заданное значение (начальная пенсия), либо (пенсии с индексаций)

, (2.6)

где - предполагаемая актуарием норма инфляции, либо (т.н. правило средней зарплаты за последние годы стажа)

, (2.7)

где - ставка (норма) замещения.

При индивидуально-страховой DC схеме в уравнение (2.3) подставляется , где задана, и вычисляется пенсия согласно (2.5) или (2.6), т.е. с индексацией или без. Если в схеме имеется некоторый начальный фонд, то он распределяется между участниками пропорционально числу лет стажа.

При индивидуально-страховой DВ схеме может применяться также агрегатный метод финансирования пенсий. При этом методе актуарий рассчитывает норму взносов в пенсионный фонд как величину постоянной доли от фонда заработной платы, внесение которой позволит профинансировать пенсии:

, (2.8)

2.3 Смертность и размер когорт

Нормы смертности для имитации задаются таблицей «реальной» смертности.

Число умирающих из когорты численностью имитируется биномиальной случайной величиной с параметрами и (актуарная вероятность смерти для возраста ). Для ускорения вычислений в данной версии программы используется нормальное приближение этой биномиальной величины. При этом величины моделируются как , где величины стандартно нормальны и независимы для различных и . При переходе к следующему году размер когорты изменяется как

. (2.9)

При актуарном расчете, как описано выше, актуарий предполагает среднюю смертность, без случайных отклонений. При этом .

2.4 Инвестиции и инфляция

Пусть - уровень инфляции согласно стохастической модели. Логарифм подчиняется процессу авторегрессии первого порядка:

(2.10)

Случайные возмущения стандартно нормальны и независимы.

Инвестиционная доходность определяет процент, начисляемый на остаток пенсионного фонда в году с номером , начиная с момента 0. Например, после выплаты из фонда пенсий и внесения взносов в момент 0, остаток умножается на , что и дает размер фонда на конец года. Общая модель инвестиционной доходности включает четыре актива.

Доходность первого актива

, (2.11)

где соответствует сценарию, - уровень инфляции.

Доходность второго актива

(2.12)

где следует процессу

(возмущения независимы и стандартно нормальны). Коэффициенты отвечают за запаздывающее влияние инфляции. Игнорировать инфляцию можно, обнулив их

Доходность третьего актива

(2.13)

где следует процессу

где возмущения независимы и стандартно нормальны.

Доходность четвертого актива

(2.14)

где следует процессу

где возмущения независимы между собой, стандартно нормальны и коррелированны с возмущениями в модели доходности третьего актива с коэффициентом корреляции . Игнорировать инфляцию можно, обнуляя коэффициенты .

Обозначим через , k=0,2,3,4 относительные веса, т.е. , где . Инвестиционная доходность:

.

2.5 Зарплаты

Уровень прироста зарплат показывает относительное приращение зарплаты одного члена пенсионной схемы в данном году по отношению к прошлому году (так, годовая зарплата, выплаченная одному работнику в момент 1, равна зарплате, выплаченной в момент 0, умноженной на ).

Моделировать прирост зарплат можно следующим способом.

Пусть - уровень прироста зарплат. Положим

(2.15)

2.6 Активы пенсионного фонда

Ежегодное приращение фонда равно

(2.16)

где - фонд прошлого года, - доходность инвестиций за период , т.е. за год с номером , - взнос данного года в пенсионный фонд, - выплаченные в данном году пенсии. Ежегодный взнос рассчитывается путем умножения актуарной нормы взносов для данного года, на фонд заработной платы (т.е. среднюю зарплату данного года, умноженную на число работающих членов пенсионной схемы): . Сумма пенсий вычисляется путем умножения пенсии на число пенсионеров для данного момента, .

При моделировании пенсионного фонда вместо расчетных параметров, используемых актуарием, подставляются смоделированные для данного года согласно описанным выше моделям параметры смертности , инфляции , инвестиционной доходности и прироста зарплат [5].

В этом разделе была описана математическая модель для дальнейшей ее программной реализации. Практическая реализация использует модели и методы формирования открытого пенсионного фонда. Выделены параметры, которые могут подлежать статистическому оцениванию.

3. РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ОТКРЫТОГО ПЕНСИОННОГО ФОНДА

3.1 Входные данные

Рассмотрим так называемую «стационарную» или «зрелую» популяцию (stationary, mature population) участников - как работающих, так и пенсионеров - некоторого пенсионного фонда (пенсионной схемы). Под стационарной популяцией в демографии понимают популяцию устойчивой численности с соотношениями численностей поколений (возрастных когорт), совпадающих с соотношениями чисел доживших, взятыми из актуарной таблицы смертности. В модели стационарной популяции современное состояние популяции как бы «замораживается», демографические тенденции (например, будущее старение населения) не учитываются.

Рассмотрим дискретную модель, в которой как время , так и возраст , в котором могут находиться участники схемы, принимают целые неотрицательные значения (в годах). Пусть - число участников пенсионной схемы, в момент t находящихся в возрасте . Если популяция стационарна, то для любого - функции дожития, т.е. числу членов популяции, доживших до возраста ; - доля тех, кто, достигнув возраста , проживет еще лет - совпадает с актуарной вероятностью дожития . Будем считать, что все участники вступают в схему в начальном возрасте лет и выходят на пенсию в возрасте лет. Смертность членов пенсионной схемы восполняется ежегодным вступлением новых членов возраста .

Рассмотрим пенсионную схему с определенными пособиями, в которой пенсии участников (например, работников некоторой компании) зависят от уровня их заработной платы. Введем годовую ставку безынфляционной инвестиционной доходности . Расчеты будут автоматически вестись в реальных ценах, учитывая индексацию пенсий и зарплаты в соответствии с инфляцией. Для простоты предположим, что единственная причина выбытия из популяции - смертность, единственный вид пенсий - пенсии по старости, выплачиваемые начиная с возраста (одинакового для мужчин и женщин). Последние упрощения, как будет ясно из дальнейшего, несущественны для нашей цели - изучения методов финансирования, поскольку метод финансирования пенсии никак не зависит от ее природы и методов расчета. Единственное, что фактически требуется знать - это актуарная современная стоимость будущего пособия, в которую при необходимости могут быть включены нужные слагаемые (например, пенсии по инвалидности, утрате кормильца, выходные пособия, льготы малообеспеченным и т.д.). Однако это потребовало бы учета частот (вероятностей) получения того или иного пособия, то есть усложнило бы актуарный базис [4].

3.2 Расчет основных параметров

Предположим, что правила расчета пенсий по старости одинаковы для всех членов схемы. Например, пенсия может составлять одинаковую для всех долю от заработка за некоторый период (последний год работы, последние несколько лет, вся карьера, несколько лучших лет). В этом случае пенсии не зависят от дифференциации заработной платы среди работников одного возраста, и можно считать, что в начальный момент () все работающие участники схемы одного возраста получают одинаковую (среднюю) заработную плату . Для последующих лет предусмотрим ежегодное повышение заработной платы всех возрастов в связи с ростом производительности труда: плата работника возраста в момент есть , .

Для простоты будем считать будущую пенсию постоянной и выплачиваемой в форме аннуитета с выплатами в начале каждого года жизни, начиная с момента достижения пенсионного возраста . Тогда пенсии одного работающего («активного») индивидуума, вступившего в схему в момент 0, на момент достижения им возраста лет есть

,

где - коэффициент дисконтирования, - годовая пенсионная выплата участника, вступающего в схему в момент 0 и достигающего пенсионного возраста в момент , - пожизненный аннуитет [5]. Здесь и ниже в отношении индивидуальных взносов/пенсий используется схема обозначений Бауэрса; так, символ слева от основного символа обозначает отношение к активным (работающим) участникам (не путать с возрастом вступления ).

Размер пенсии зависит от момента вступления (или выхода на пенсию), так как пре·полагается изменение всех зарплат со временем.

Взносы в пенсионную схему могут вноситься как работающими участниками, так и спонсором (работодателем); для краткости мы будем говорить просто о взносах, обозначая суммарный взнос, вносимый в момент . Обозначим пенсии, выплачиваемые из фонда в момент , - величину накопленного пенсионного фонда на момент (до выплаты пенсий и поступления взносов). Тогда

(3.1)

Это основное соотношение, описывающее динамику фонда.

Ключевыми понятиями теории пенсионного финансирования являются понятия нормальной цены (normal cost) и накопленной ответственности (accrued liability) . Представим себе схему, которая не имеет никаких проблем с финансированием, т.е. обладает безгранично богатым спонсором, всегда готовым вносить в схему деньги. Нормальная цена и накопленная ответственность представляют собой, соответственно, взнос, который актуарий попросил бы спонсора внести при выбранном методе финансирования, и размер фонда, который бы он поддерживал. Нормальная цена и накопленная ответственность дают, таким образом, «идеальные» значения и . Они должны, конечно, удовлетворять уравнению (3.1), т.е.

. (3.2)

Это уравнение иногда называют уравнением равновесия; оно выражает «идеальный» баланс фонда. На каждый момент времени накопленная ответственность может быть вычислена как разность будущих пенсионных пособий и будущих нормальных цен.

В реальности пенсионные схемы не имеют ни бесконечно богатых спонсоров, ни «идеальных», т.е. стационарных и полностью предсказуемых демографических и экономических условий. По первой причине планируется постепенный выход на «идеальный» режим финансирования или приближение к нему. Разность

(3.3)

называется нефинансируемой ответственностью (unfunded liability) схемы. Значение называется начальной нефинансируемой ответственностью (initial unfunded liability). Это сумма, которую в принципе требуется внести в схему при ее организации. Актуарий планирует ее постепенное погашение, таким образом, в схеме может существовать «плановая» нефинансируемая ответственность. С другой стороны, различные отклонения параметров от прогнозных актуарных значений могут приводить к возникновению дополнительной, так сказать, «незапланированной» нефинансируемой ответственности. Оба вида нефинансируемой ответственности могут трактоваться как совместно, так и отдельно. При первом подходе (традиционном для Великобритании) актуарий разрабатывает план дополнительных платежей всей суммы , независимо от ее источников. Второй подход, принятый в Северной Америке, состоит в выделении актуарного убытка (actuarial gain/loss) за период

(3.4)

и выработке отдельного плана его погашения. Здесь под «плановым» значением понимается ожидаемое актуарное значение, рассчитанное в момент . Это значение, которое возникло бы при точном выполнении всех актуарных предположений. При индивидуальных методах пенсионного финансирования вычисляются нормальные цены для каждого участника в отдельности. Если нужно определить, например, нормальную цену работодателя, то она получается суммированием индивидуальных нормальных цен, подлежащих внесению за каждого из работников. Рассмотрим индивидуального участника, вступающего в схему в момент в возрасте . Пусть - нормальная цена (идеальный взнос) этого участника для возраста лет; будем считать, что взносы всех участников вносятся после каждого полного проработанного года, т.е. если - возраст вступления в пенсионную схему, то первый взнос вносится в возрасте . Согласно актуарному принципу эквивалентности взносов и обязательств, для получения адекватного уровня взносов взносов одного участника нужно приравнять пособий:

(3.5)

(здесь вычисляются на момент вступления).

В левой части (3.5) стоит сумма слагаемых, каждое из которых показывает «вклад» в сумму пенсии, даваемый данным годом. Иногда эти величины называют ценой страхового года [6]. Индивидуальные методы финансирования удобно описывать в терминах относительных величин этих слагаемых, или «долей» общей пенсии. Следуя данным рассуждениям, введем величину

,

где коэффициент определяется из условия нормировки

(3.6)

Тогда сумма

показывает долю пенсии, подлежащую оплате, или «покупке», на момент достижения возраста ; поэтому Купер и Хикмен (1967) называют кумулятивной функцией покупки пенсии (cumulative pension purchase function). При этом - доля пенсии, «покупаемой» в возрастной год , т.е. интенсивность покупки пенсии. Как легко видеть, нормальная цена

,

а накопленная ответственность

.

Для получения последней формулы можно воспользоваться тем, что актуарная современная стоимость на момент взноса

.

Метод нормального возраста вхождения (EAN, entry age normal). Простейшими индивидуальными методами пенсионного финансирования являются нормальные возраста вхождения (entry age normal, EAN) и индивидуальные с равномерными премиями (individual level premium, ILP), при которых взносы раскладываются по годам равномерно () либо (чаще) как постоянная доля от заработной платы. В первом случае

(3.7)

во втором

(3.8)

(коэффициенты в этих формулах различны и определяются, как и выше, из условия нормировки (3.6)).

Различие между EAN и ILP методами состоит в подходе к участникам, вступающим в схему в возрастах, больших . При ILP сумма, необходимая для финансирования будущей пенсии, просто раскладывается равномерно по оставшимся до выхода на пенсию годам. При EAN же нормальные цены для вступающих позже начального возраста считаются так же, как для прочих работающих; при необходимости заработная плата «проектируется» назад к возрасту , т.е. как бы считается, что участник работал с возраста . При этом возникает, конечно, нефинансируемая ответственность, способ покрытия которой не регламентируется данным методом и зависит от правил пенсионной схемы. Так как в нашей упрощенной модели все участники вступают в возрасте , различий между EAN и ILP методами нет, поэтому ниже говорится только о EAN методах.

Названные выше методы - представители семейства так называемых методов возраста вхождения (entry age), называемых также методами проектируемых пособий (projected benefit cost methods). Дело в том, что на практике будущий размер пенсии обычно зависит от заработной платы в течение карьеры и поэтому не известен заранее. Указанные методы основаны на «проектировании» пенсии и затем «раскладке» ее оплаты по годам карьеры. Однако в случае отклонений заработной платы от проектируемых значений возникают проблемы недо- или перефинансирования пенсий. Как правило, на практике не удается сохранять пенсионные отчисления на уровне, например, постоянного процента от заработной платы.

В США и Канаде популярны более гибкие методы заработанных пособий (accrued benefit cost methods), основанные на расчете «заработанной части» будущих пенсий. В наиболее «чистом» виде этого метода «заработанной» в возрасте считается пенсия, размер которой рассчитывается путем применения существующих правил пенсионной схемы. Например, пенсия может рассчитываться путем умножения числа лет стажа на финальную (среднюю, среднюю по некоторым годам) заработную плату с некоторым коэффициентом. В дальнейшем остановимся на первом принципе (финального заработка). Обычно методы финансирования все-таки используют элементы «проектирования» (projecting). Так, наращивание «заработанного» пособия пропорционально числу лет стажа приводит к популярному методу стандартного кредита (unit-credit method) [7].

Метод стандартного кредита (Unit - credit method). При этом методе постоянна, а именно

, (3.9)

то есть за каждый год «зарабатывается» одна и та же доля пенсии. При этом

.

Если же считать функцию пропорциональной не только числу лет стажа, но и заработной плате:

,

то получим

. (3.10)

Предлагая различные формы функции , можно «конструировать» различные методы финансирования, отвечающие тем или иным желаемым свойствам. Рассмотрим эти методы.

Линейный метод (Linear method)

(3.11)

Экспоненциальный метод с увеличением (Exponential accelerating method)

. (3.12)

Экспоненциальный метод с уменьшением (Exponential decelerating method). Если взять коэффициент в показателе экспоненты отрицательным, то получится метод с уменьшением (decelerating), т.е. с уменьшением темпа «покупки пенсии» (3.12). Интересно отметить, что EAN-методы, описанные выше, при которых вносятся равномерные в течение всей карьеры взносы, на самом деле относятся к методам с «замедлением», т.е. пенсия покупается наиболее интенсивно в начале карьеры.

Построить «чистый» accrued benefit метод, т.е. совсем без использования проектирования зарплаты, можно, например, следующим образом. Возьмем за основу unit-credit метод. Будем вычислять современную стоимость пенсии на основе текущей (а не «спрогнозированной») зарплаты, полагая

,

где - некоторый коэффициент (он может зависеть от стажа).

Будем вычислять нормальные цены, руководствуясь unit-credit методом, как описано выше. Взнос за первый год (вносимый в момент ) вычислим согласно этой нормальной цене. В случае, например, повышения зарплаты в следующем году возникнет нефинансируемая ответственность, так как взнос , поступивший в предыдущий год, уже не соответствует переоцененной нормальной цене . Другими словами, фактический фонд одного участника на момент (до внесения взноса) должен составлять , а на самом деле он составляет .

Страница:


Подобные документы

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.

© 2000 — 2023, ООО «Олбест» Все права защищены