С точки зрения фазовых представлений движения, задача управления сводится либо к перемещению изображающей точки из некоторой допустимой области начальных условий в заданную точку фазового пространства, либо к обеспечению движения изображающей точки по некоторой заданной траектории. Вид траекторий, по которым осуществляется переход системы из одного состояния в другое, позволяет судить о динамических свойствах системы.

РАЗДЕЛ II. ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ СПС ДЛЯ УПРАВЛЕНИЯ СВОБОДНЫМ ДВИЖЕНИЕМ ЛИНЕЙНЫХ ОБЪЕКТОВ С ПОСТОЯННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

2.1 Простейшие примеры систем с переменной структурой. Режимы в системах с переменной структурой

Прежде чем приступить к изложению основных идей и принципов построения систем с переменной структурой приведем несколько простейших примеров таких систем, которые позволят получить первые представления о подходе к синтезу управляющего устройства в СПС.

Рассмотрим в качестве одного из примеров задачу об устойчивости свободного движения в системе автоматического регулирования второго порядка. Как известно, в линейной системе устойчивость всегда можно гарантировать, если управление составить в виде линейной комбинации координаты ошибки и ее производных с соответствующими коэффициентами воздействия. Однако при реализации такого управления может оказаться затруднительным получение точных значений производных. В ряде случаев сравнительно простыми техническими средствами удается получить информацию о знаке производной от сигнала ошибки или о знаке линейной комбинации ошибки и ее производной. В связи с этим представляет интерес задача построения устойчивой системы с использованием такой неполной информации о её состоянии.

Будем решать эту задачу для системы автоматического управления, представленной на рис. 2.1. Объектом управления является интегрирующее звено с постоянное интегрирования а', исполнительным устройством - интегрирующий сервомотор с постоянной интегрирования а". Предположим, что задающее и возмущающее воздействия g(t) и f(t) являются постоянными. Тогда уравнение движения системы относительно координаты ошибки х записывается в виде

 (2.1)

где .

Введем обозначения и в дальнейшем вместо (2.1) будем рассматривать систему дифференциальных уравнений

(2.2)

Как уже отмечалось выше, для формирования функции управления и мы располагаем информацией о величине ошибки х1 и

Рис. 2.1

знаке её первой производной sgn x2. Следовательно, при построении линейной системы управляющее воздействие должно иметь вид

. (2.3)

Очевидно, что при любых значениях а система (2.2) либо находится на границе устойчивости (б>0), либо неустойчива (б<0). Таким образом, в рамках фиксированной линейной структуры не удается решить поставленную задачу об устойчивости движения.

Предположим теперь, что в управляющем устройстве предусмотрена возможность изменения структуры системы, причем в зависимости от ее состояния в любой момент времени имеет место один из двух линейных структур. Тогда выходная величина управляющего устройства равна либо , либо , , - постоянные величины. Для того чтобы определить такую последовательность изменения структуры системы, при которой обеспечивается устойчивость, воспользуемся методом «сшивания» фазовых траекторий. Фазовые портреты каждой из используемых структур представлены на рис. 2.2, а, б. На анализе фазовых портретов можно заметить, что если в первом и третьем квадрантах фазовой плоскости (х1 х2) имеют место траектории, соответствующие первой структуре (рис. 2.2, а), а во втором и четвертом - второй структуре, то изображающая точка, двигаясь из любого начального положения по участкам неустойчивых траекторий (рис. 2.3), будет асимптотически приближаться к началу координат.

Рис. 2.2

В итоге мы получили желаемый фазовый портрет системы, обладающей двумя различными структурами. Непосредственно из рассмотрения этого фазового портрета следует закон изменения

Рис. 2.3

структуры и необходимая для его реализации информация. Действительно, структура системы, согласно рис. 2.3, должна меняться при изменении знаков координат х1 и x2 , причем если х1 х2> 0, то выходная величина управляющего устройства должна быть равной бx1 ,а если x1x2<0, то выходная величина управляющего устройства должна быть равной . Следовательно, синтезированный методом фазовой плоскости закон управления должен иметь вид

(2.4)

(2.5)

Очевидно, что логический закон (2.4), (2.5) может быть реализован, так как в управляющее устройство предлагаемой системы с переменной структурой должна поступать информация о величине ошибки х1 и о знаке ее производной x2 . Согласно сделанному выше предположению эта информация имеется в нашем распоряжении.

Само управляющее устройство (рис. 2.4), которое реализует закон (2.4), (2.5), должно содержать ключевой элемент (КЭ), блок изменения структуры (БИС) и сумматор. БИС на основе информации о величине х1 и sgn x2 дает команду на переключение ключевого элемента. Ключевой элемент в зависимости от выходного сигнала БИС может менять свое состояние, меняя тем самым коэффициент воздействия по сигналу ошибки. Поэтому в зависимости от состояния системы выходная величина сумматора будет равна либо , либо , в результате чего будет изменяться структура системы.

Подводя итог сказанному, можно сделать вывод, что в рассматриваемом случае в системе с переменной структурой удается получить свойство устойчивости движения с использованием такой информации, которая была недостаточна для стабилизации линейной системы. Таким образом, за счет сочетания линейных структур в системе с переменной структурой удается получить новые свойства, не присущие каждой из исходных структур.

Рис. 2.4

Рассмотрим теперь другую задачу, относящуюся опять-таки к вопросам стабилизации линейного объекта с постоянными параметрами с использованием ограниченной информации о состоянии системы.

Предположим, что источники информации позволяют получить информацию о величине ошибки и о знаке определенной линейной комбинации ошибки и её производной. Требуется выбрать структуру и значения параметров управляющего устройства в случае, когда неизменяемая часть системы описывается дифференциальным уравнением второго порядка общего вида

или с учётом введенных обозначений,

(2.6)

где a1,a2,b1 - постоянные величины, b>0. Для различных управляемых процессов коэффициенты a1 и a2 могут оказаться такими, что при имеющейся информации за счёт линейного закона управления не удается обеспечить даже устойчивости движения, не говоря уже о качественных показателях процесса управления. Действительно, если в (2.6) управление и пропорционально ошибке, а коэффициент , то характеристическое уравнение для (2.6) всегда будет иметь, по крайней мере, один корень в правой полуплоскости. Решим задачу об устойчивости движения в этом случае, по-прежнему комбинируя линейные структуры, т. е. считая, что управление и имеет вид (2.4). Задача синтеза состоит в выборе каждой из структур (или значений коэффициентов и ) непоследовательности их изменения. Осуществим синтез закона управления методом фазовой плоскости. С этой целью обратимся к фазовым портретам линейных систем второго порядка. Выберем одну из структур таким образом, чтобы на её фазовой плоскости существовала траектория, соответствующая устойчивому вырожденному движению. Пусть эта структура имеет место при . Из характеристического уравнения системы следует, что такое всегда найдется. Тогда фазовый портрет системы будет иметь вид, представленный на рис. 1.20, з. Во втором и четвертом квадрантах плоскости (х1, х2) расположена траектория с устойчивым движением, которая является прямой с угловым коэффициентом , равным отрицательному корню характеристического уравнения. Воспользуемся этой особенностью линейной структуры для построения устойчивой СПС. Выберем вторую линейную структуру таким образом, чтобы корни характеристического уравнения были комплексными. Очевидно, что такое всегда найдется. Пусть вторая структура также неустойчива и её фазовый портрет представлен на рис. 1.20, д. Из анализа фазовых портретов обеих структур следует метод получения желаемого фазового портрета системы с переменной структурой. Разобьем фазовую плоскость (x1,x2) (Рис. 2.5) на две области, границами которых являются прямые x1 =0 и прямая S, заданная уравнением,

(2.7)

которая является траекторией с устойчивым движением для одной из структур. Если состояние системы таково, что изображающая точка находится в области x1s>0, то необходимо обеспечить её движение по раскручивающимся спиралям, если в области x1s<0 - по кривым гиперболического типа. Изображающая точка, двигаясь из любого начального положения по участкам неустойчивых траекторий, всегда попадает на прямую S*) (из области x1s>0 - за один интервал, из области x1s<0 - за два интервала) и затем, двигаясь по S, асимптотически приближается к началу координат. В итоге, как и в первом случае, мы получим желаемый фазовый портрет системы с переменной структурой. Аналогичными рассуждениями мы можем определить закон изменения структуры и необходимую для его реализации информацию. Этот закон должен иметь вид

, (2.8)

Где

(2.9)



Рис. 2.5

Напомним, что коэффициенты выбираются таким образом, чтобы линейная структура, соответствующая, была колебательной, а линейная структура, соответствующая, имела устойчивое вырожденное движение. Коэффициент, характеризующий скорость затухания этого устойчивого движения, определяет величину s в логическом законе (2.8) изменения структуры.

Как видно из (2.8), для реализации синтезированного закона управления необходима информация о величине ошибки и о знаке линейной комбинации ошибки и ее производной. Логический закон (2.8) аналогичен закону (2.4), (2.5). Различие заключается лишь в том, что в (2.8) вместо sgn x2 используется информация о величине sgn s. Поэтому для реализации логического закона (2.8) можно воспользоваться управляющим устройством с переменной структурой, представленным на рис. 2 4.

Таким образом, в классе систем с переменной структурой удается обеспечить устойчивость системы второго порядка без введения воздействий по производной на вход неизменяемой части системы. Существенно, что для каждой из линейных структур системы с переменной структурой удаётся отказаться от требования устойчивости их траекторий. Заметим, что рассмотренный пример позволяет отметить одну качественную особенность систем с переменной структурой. Выясним, какими средствами достигается увеличение быстродействия СПС. В линейной системе решение этой задачи может потребовать увеличения коэффициента воздействия одновременно по ошибке и по ее производной. В системе с переменной структурой достаточно увеличить лишь коэффициент воздействия по ошибке. Пусть при заданных и переходный процесс характеризуется фазовой траекторией 1 (рис. 2.6). Выберем . Новым значениям этих параметров соответствует фазовая траектория 2 (рис. 2.6). Очевидно, что время протекания второго процесса будет меньше, так как для любого х абсолютная величина скорости изменения координаты ошибки на траектории 2 больше, чем на траектории 1. Следует при этом иметь в виду, что увеличение приводит к увеличению в (2.7). Поэтому в (2.9) нужно либо увеличить , либо коэффициент перед х2 сделать меньше единицы.

Таким образом, вопрос о повышении быстродействия системы с переменной структурой решается за счет увеличения коэффициента воздействия только по координате ошибки.

Рис. 2.6

Предложенный метод синтеза СПС с использованием устойчивых вырожденных движений пригоден для любой системы второго порядка с постоянными параметрами.

Второй пример, который будет рассмотрен, относится к задаче построения системы регулирования при ограниченных коэффициентах передачи в каналах управляющего устройства.

Для ряда технологических процессов, подлежащих автоматизации, в силу каких-либо условий могут быть ограничены уровни воздействий по различным координатам системы. Эта задача заслуживает специального рассмотрения даже в том случае, когда имеется полная информация о состоянии системы. Очевидно, что ограничения на коэффициенты воздействий по координатам системы накладывают определенные ограничения и на ее качественные показатели. В дальнейшем рассмотрим один из важнейших качественных показателей системы с ограниченными уровнями воздействий - её быстродействие.

Пусть система второго порядка с постоянными коэффициентами описывается системой дифференциальных уравнений

(2.10)

a1,a2,b - постоянные величины, b>0

Предполагается, что для формирования управления u может быть использована информация о величинах ошибки x1 и ее производной х2, но коэффициенты воздействий по этим координатам ограничены соответственно величинами и . В этих условиях при построении линейной системы управляющее воздействие может быть выбрано в виде

(2.11)

где k1,k2 - постоянные и ограниченные величины

. (2.12)

Будем считать, что

(2.13)

Тогда в линейной системе всегда можно обеспечить устойчивость движения. В то же время необходимо отметить, что в линейной системе использование предельных значений коэффициентов воздействий по ошибке и ее производной может оказаться невозможным, так как для достижения требуемых динамических свойств системы эти коэффициенты должны быть связаны определёнными соотношениями.

В силу ограничений (2.12) корни характеристического уравнения линейной системы не могут быть выбраны произвольно. Именно этим и обусловлено ограничение её быстродействия.

Предположим теперь, что имеется совокупность линейных структур, каждая из которых определяется некоторым управлением вида (2.11), причем для любой из структур выполняются ограничения (2.12). Пусть в управляющем устройстве системы предусмотрен элемент логического типа, который в зависимости от состояния управляемого процесса выбирает ту или иную линейную структуру.

Рассмотрим, какие дополнительные возможности увеличения быстродействия имеются в такой системе с переменной структурой.

Выберем управление в виде

(2.14)

Коэффициенты и могут соответственно принимать два предельных значения: или , или . Всевозможные сочетания коэффициентов , , , определяют совокупность имеющихся фиксированных структур. Очевидно, что в рассматриваемом случае мы располагаем четырьмя линейными структурами. Определим последовательность их изменения. С этой целью рассмотрим фазовые портреты каждой линейной структуры. Если и , и при этом корни характеристического уравнения системы (2.10) действительны, то в силу (2.13) фазовый портрет системы имеет вид, представленный на рис. 1.20, а. Для линейной структуры и корни характеристического уравнения системы (2.10) действительные и положительные. Фазовый портрет системы в этом случае представлен на рис. 1.20, е. Последние две структуры имеют аналогичные фазовые портреты. При и фазовый портрет системы (2.10) изображен на рис. 1.20, к, а при и - на рис. 1.20, з. Обе эти структуры являются неустойчивыми, но обладают устойчивыми вырожденными движениями. Поэтому синтез системы с переменной структурой проведём на основе метода, предполагающего использование устойчивых вырожденных движений. Как видно из фазовых портретов рис. 1.20, з, к, две последние структуры близки по своим динамическим свойствам. Поэтому одну из них можно исключить из рассмотрения. Остановим свой выбор на структуре и , так как соответствующее ей устойчивое вырожденное движение рис. 1.20, к происходит с большими скоростями, что является существенным с точки зрения быстродействия системы.

Итак, для построения системы с переменной структурой будем использовать три линейные структуры с фазовыми портретами рис. 1.20, а, е, к, причем на прямой, соответствующей устойчивому вырожденному движению (рис. 1.20, к) будем осуществлять изменение структуры системы. Выбранный нами метод построения СПС предполагает попадание изображающей точки из любого начального положения на эту прямую. Напомним, что её уравнение имеет вид.

 (2.15)

где - отрицательный действительный корень характеристического уравнения для третьей структуры.

Совершенно очевидно, что в первом и третьем квадрантах плоскости (х1,х2) из трёх имеющихся структур приемлема лишь правая структура (область I на рис. 2.7, а), т.е.

(2.16)

Рис. 2.7.

В секторах между прямой S(s=0) и осью х1 изображающая точка из любого начального положения будет двигаться к прямой S, если ее движение происходит по фазовым траекториям, соответствующим рис. 1.14, е (область II на рис. 2.7, б), т. е.

 (2.17)

Наконец, после попадания изображающей точки на прямую S её дальнейшее движение будет происходить по S, если включится третья структура (). Пусть в секторах между прямой S и осью х2 движение изображающей точки происходит по фазовым траекториям этой структуры (область III на рис. 2.7, в), т. е.

(2.18)

Условия (2.16), (2.17), (2.18) полностью определяют движение системы. Из этих соотношений следует логический закон изменения структуры:

(2.19)

Из (2.19) Следует, что структура, соответствующая и , невозможна. Действительно, для этой структуры знаки величин х1 и х2 должны совпадать. Но при этом, согласно (2.15) и условию , знак величины s совпадает со знаками х1 и x2, и поэтому x1s >0 и x2s> 0, а для упомянутой структуры эти неравенства должны иметь противоположные знаки. Если изменение структуры будет происходить в соответствии с (2.14) и (2.19), то фазовый портрет устойчивой системы с переменной структурой будет иметь вид, представленный на рис. 2.7, г.

Сопоставим быстродействие синтезированной СПС с ограниченными коэффициентами воздействий и линейной системы, работающей в тех же условиях.

Предположим, что линейная система является апериодической и управление (2.11) обеспечивает максимальное быстродействие системы при выполнении ограничений (2.12). На фазовой плоскости (x1,x2) Для начальных условий переходному процессу в линейной системе соответствует траектория 1 (рис. 2.8). Касательной к этой траектории в начале координат является прямая S0 заданная уравнением

(2.20)

где - меньший по абсолютной величине отрицательный корень характеристического уравнения линейной системы

Построим для тех же начальных условий фазовую траекторию, характеризующую движение синтезированной системы с переменной структурой (кривая 2 на рис. 2.8). Отметим, что, во-первых, скорость изменения координаты х2 для системы с переменной структурой, равная и, больше по абсолютной величине, чем скорость изменения х2 для линейной системы, равная и, во-вторых,

Из этого следует, что траектория 2 будет лежать ниже траектории 1. Следовательно, в системе с переменной структурой переходные процессы протекают быстрее, чем в линейной системе. Существенно, что при построении СПС на коэффициенты воздействия по ошибке и её производной накладывались те же ограничения и использовалась та же информация, что и в линейной системе. Заметим, что в системе с переменной структурой удается обеспечить апериодический характер процесса управления и при этом использовать предельные значения коэффициентов воздействий в канале управления, в то время как в линейной системе может возникнуть противоречие между требованиями апериодичности процесса управления и необходимой статической точности (последнее приводит к максимальному воздействию по ошибке).

Рис. 2.8

Таким образом, при наличии ограничений на уровни воздействий в каналах управляющего устройства в классе систем с переменной структурой удается увеличить быстродействие по сравнению с линейной системой.

Поэтому СПС целесообразно использовать при автоматизации таких производственных процессов, в которых из-за каких-либо технических ограничений с помощью линейных систем не удается обеспечить требуемого быстродействия.

Режимы в системах с переменной структурой. Выше были рассмотрены простейшие примеры систем с переменной структурой, которые позволяют получить первые представления об этом классе систем. На этих примерах мы убедились, что изменение во время протекания процесса управления структуры системы в зависимости от выбранного алгоритма и имеющейся информации значительно расширяет возможности управления. Напомним коротко последовательность рассуждений, которая была проведена выше. При построении систем с ограниченной информацией о состоянии управляемого процесса, а также систем при наличии ограничений на уровни воздействий по различным координатам системы параметры управляющего устройства выбирались таким образом, чтобы по крайней мере одна из линейных структур имела устойчивое вырожденное движение. В момент попадания изображающей точки на фазовую траекторию, соответствующую устойчивому вырожденному движению, происходило переключение управления, т. е. замена одной линейной структуры на другую. В дальнейшем условимся называть прямую, на которой осуществляется изменение структуры системы, прямой переключения. Заметим, что для системы произвольного порядка вместо прямой переключения будем иметь гиперплоскость переключения. В рассмотренных выше примерах прямая переключения совпадала с фазовой траекторией устойчивого вырожденного движения. После попадания изображающей точки на прямую переключения структура системы уже не менялась. Движение такой системы при любых начальных условиях характеризуется конечным числом переключений, а финальная стадия переходного процесса описывается уравнением вырожденного движения одной из структур.

Однако из-за неточного знания параметров объекта, неточностей аппаратурной реализации вызванных нестабильностью характеристик элементов управляющего устройства и других технических причин не удается обеспечить изменение структуры системы строго в требуемые моменты времени. Поэтому в системах с переменной структурой могут возникать другие виды движения. Остановимся теперь на основных режимах движения, которые могут наблюдаться в этом классе систем.

Специфика всех видов движения может быть полностью выявлена и наглядно проиллюстрирована на примере системы второго порядка. В связи с этим рассмотрим систему с переменной структурой второго порядка, описываемую следующей системой дифференциальных уравнений.

 (2.21)

(2.22)

(2.23)

(2.24)

- постоянные коэффициенты,

Согласно (2.23), (2.24) изменение структуры управляющего устройства происходит на прямых переключениях х1=0 и S, заданной на плоскости (х1, х2) уравнением s = 0.

Не нарушая общности рассуждений, можно для определенности считать, что при линейная структура (2.21) является колебательно неустойчивой (рис. 1.14, д), а при - апериодически неустойчивой (рис. 1.14, з). Для второй структуры существует устойчивое вырожденное движение, определяемое отрицательным корнем характеристического уравнения. В рассмотренных выше примерах коэффициент с, определяющий положение прямой переключения на фазовой плоскости (x1 ,х2), выбирался равным . Такой режим работы, при котором изменение структуры системы происходит па фазовой траектории, соответствующей устойчивому вырожденному движению (рис. 2.9, а), будем называть режимом работы с движением по вырожденным траекториям. В системе произвольного порядка такой режим возникнет в случае, если гиперплоскость переключения является совокупностью фазовых траекторий для одной из структур (см. (1.26)).

Предположим теперь, что угловой коэффициент с прямой переключения больше . Тогда устойчивая траектория линейной структуры, определяемая , будет целиком принадлежать, области I(x1,s>0) в которой движение изображающей точки происходит по раскручивающимся спиралям, соответствующим линейной структуре (рис. 2.9, б). В этом случае после попадания на прямую переключения S изображающая точка будет уходить от нее, двигаясь по кривым гиперболического типа. При изменении знака х1, произойдет смена структуры системы. Затем изображающая точка, двигаясь по раскручивающимся спиралям, вновь попадёт на прямую переключения S и т. д. Очевидно, что в линейной системе с некоторой конечной частотой будет изменяться и структура управляющего устройства. Такой режим работы системы будем называть режимом переключений. Как видно фазового портрета, при выбранном значении с система устойчива, положение равновесия достигается в колебательном режиме.

Осталось рассмотреть последний случай, когда угловой коэффициент с прямой переключения меньше . При таком соотношении параметров системы траектория, характеризующая устойчивое вырожденное движение, принадлежит области , рис. 2.9,в.) и фазовые траектории, а точнее говоря, векторы фазовых скоростей обеих структур, в точках прямой переключения оправлены к S. После попадания на S изображающая точка не может уйти от прямой переключения ни по одной из структур и будет двигаться вдоль S. При этом в системе с бесконечно большой частотой возникают переключения структуры с одной на другую. Такой режим работы, при котором на прямой переключения (а для системы произвольного порядка на гиперплоскости переключения) изменение структуры происходит с бесконечно большой частотой, будем называть скользящим режимом. Следует отметить, что прямая переключения не является фазовой траекторией ни для одной из линейных структур. Следовательно, за счёт скользящего режима удается получить искусственное вырожденное движение. В дальнейшем идея создания искусственных вырожденных движений за счет скользящих режимов будет широко применяться при синтезе систем с переменной структурой. Поэтому остановимся несколько подробнее на особенностях движения системы в скользящем режиме и условиях его возникновения.

Рис. 2.9.

Из того факта, что изображающая точка, попав на прямую переключения, уже не может сойти с неё и продолжает своё движение по ней, следует равенство нулю величины s в скользящем режиме, т. е.

(2.25)

Имея в виду, что величина ошибки х равна х1 , a dx/dt=x2, получаем из (2.25) дифференциальное уравнение движения системы в скользящем режиме относительно координаты ошибки:

(2.26)

Согласно (2.26) движение рассматриваемой системы в скользящем режиме описывается уже уравнением первого порядка, и, это особенно важно, это уравнение не зависит от параметров неизменяемой части системы. Выбирая соответствующим образом коэффициент с, мы можем наделить движение системы в скользящем режиме желаемыми свойствами. Например, для устойчивости точно выбрать с>0, а увеличивая с, можно повысить скорость затухания этого движения. Особенность скользящих движений, связанная с независимостью их от характеристик управляющего объекта и возможностью наделить их желаемыми свойствами, и обусловливает широкое использование в СПС этого вида изменения.

Финальная стадия процесса управления всегда будет протекать в скользящем режиме, если при выбранных линейных структурах управляющего устройства и при выбранной последовательности их изменения в любой точке прямой переключения S существует скользящий режим, а изображающая точка из любого начального положения попадает на S.

Условия существования скользящего режима на гиперплоскости можно получить, исходя из того, что в точках S векторы фазовых скоростей обеих структур должны быть направлены навстречу друг другу, либо должны принадлежать S.

Запишем условия существования скользящего режима в аналитической форме. Рассмотрим некоторую точку гиперплоскости S, в которой имеет место скользящий режим. Очевидно, изображающая точка не покинет гиперплоскость S в области s>0, если для s >0 будет такая структура, при которой величина s неположительна. Изображающая точка не покинет S в область s<0, если для s <0 будет такая структура, при которой величина s неотрицательна. Отсюда получаем условия, при выполнении которых на гиперплоскости S существует скользящий режим:

(2.27)

Заметим, что если в (2.27) пределы равны нулю для всех точек S, то в системе имеет место режим работы с движением по вырожденным траекториям.

Если неравенства (2.27) выполняются для любой точки гиперплоскости (прямой) переключения S, т. е. на всей S существует скользящий режим, то условимся называть в этом случае гиперплоскость (прямую) S гиперплоскостью (прямой) скольжения [5].

Покажем, как с помощью соотношений (2.27) для системы второго порядка можно выбрать две линейные структуры таким образом, чтобы на плоскости координат этой системы существовала прямая скольжения. Другими словами, поставим задачу отыскания таких значений , при которых в любой точке прямой переключения S(s = 0) выполняются неравенства (2.27).

Найдем величину

(2.28)

Согласно (2.21) и (2.22) вместо (2.28) имеем

(2.29)

Как уже отмечалось, условия существования скользящего режима должны выполняться в точках прямой S, т.е. для точек хг= -сх1 . Поэтому величина ds/dt определяется выражением

(2.30)

С учетом (2.30) неравенства (2.27) могут быть представлены в виде

(2.31)

Замечание. Неравенства (2.31) получены в предположении, что величина s=0. Здесь и в дальнейшем при выводе условий существования скользящего режима выражения «при s>0» и «при s<0» означают, что коэффициенты, определяющие структуру системы (в нашем случае ) должны принять значение, соответствующие s>0 и s<0.

Предположим, что х1>0 и, следовательно, согласно (2.23) . Очевидно, первое неравенство будет выполняться, если . Если же , то первое неравенство (2.31) выполняется для . Нетрудно заметить, что при этом второе неравенство (2.31) также будет всегда выполняться. В результате получаем условия, при которых прямая S является прямой скольжения:

(2.32)

При выполнении (2.32) после попадания на S изображающая точка будет двигаться по прямой переключения, так как в любой её точке существует скользящий режим. Но для того чтобы воспользоваться полезными свойствами скользящих движений, необходимо обеспечить попадание изображающей точки на прямую S из произвольного начального положения [2].

Итак, мы рассмотрели три основных режима работы систем с переменной структурой: режим работы с движением по вырожденным траекториям, режим переключений и скользящий режим. Первые два режима, как следует из приведенных выше примеров, могут быть достаточно эффективно использованы в различных задачах управления объектами с постоянными параметрами. При любого рода не идеальностях режим работы с движением по вырожденным траекториям может переходить либо в режим переключений, либо в скользящий режим. Скользящий режим обладает интересным свойством, которое выделяет его среди остальных режимов работы СПС. Речь идёт о свойстве независимости этого вида движения от характеристик неизменяемой части системы.

2.2 Управление линейным объектом с использованием воздействий по координате ошибки.

Пусть движение объекта регулирования описывается линейным дифференциальным уравнением вида

(2.33)

где - постоянные параметры объекта, х- сигнал ошибки и - управление.

Будем предполагать, что на координаты системы не накладывается ограничений и что информация о состоянии системы, поступающая в управляющее устройство, складывается из непрерывно измеряемых точных значений величин ошибки и её производных.

Введем обозначения , и в дальнейшем при изложении методов теории систем с переменной структурой вместо (2.33) будем рассматривать систему дифференциальных уравнений

(2.34)

Относительно управления и предполагается, что оно представляет собой линейную комбинацию координат системы, причем коэффициенты каждого члена являются кусочно-постоянными функциями и их изменение осуществляется в зависимости от состояния системы. Именно в эти моменты изменения значений коэффициентов и происходит изменение структуры рассматриваемой системы.

Первые представления о методах синтеза управляющего устройства в системах с переменной структурой мы уже получили для случая, когда управление формируется в виде скачкообразно меняющегося воздействия по ошибке. Использование этого вида управления, наиболее простого в классе систем с переменной структурой, показало нам на примере системы второго порядка дополнительные возможности улучшения ее динамических свойств, которые появляются в СПС за счет рационального выбора структуры управляющего устройства и его параметров. Было бы весьма интересно рассмотреть возможности такого управления (управления без введения воздействий по производным на вход неизменяемой части системы) для объектов произвольного порядка.

Итак, для системы (2.34) функцию управления выберем в виде

(2.35)

(2.36)

(2.37)

- постоянные коэффициенты

Введём в рассмотрение n-мерное пространство координат x1,…,xn. Соотношение

s=0 (2.38)

задает в этом пространстве некоторую гиперплоскость S, которая, согласно (2.35), (2.36), является границей разрыва для управляющего воздействия u. В таких системах, как уже отмечалось выше, при выполнении условий (2.27) возникает скользящий режим, характеризуемый тем, что траектория изображающей точки принадлежит границе разрыва. Поскольку идея использования скользящих режимов представляется весьма плодотворной, выясним далее, какими дифференциальными уравнениями описывается движение системы (2.34) в скользящем режиме. Для этой цели используем последовательность рассуждений, проведенную ранее для системы второго порядка. Выполнение условий (2.27) для точек (гиперплоскости S означает, что после попадания на S изображающая точка продолжает свое движение в скользящем режиме по траекториям, принадлежащим этой гиперплоскости. Другими словами, из этого факта следует равенство нулю величины s в скользящем режиме, т. е.

(2.39)

(2.40)

Из (2.40) видно, что в скользящем режиме порядок дифференциального уравнения движения системы понижается, и при этом характер изменения координаты ошибки определяется только коэффициентами с, Если за счет соответствующего выбора коэффициентов сi удается наделить это движение желаемыми с точки зрения выбранного критерия показателями, то гиперплоскость S в пространстве целесообразно сделать гиперплоскостью скольжения. Тогда, если изображающая точка из любого начального положения попадает на S, финальная стадия процесса управления всегда будет протекать в скользящем режиме и, что особенно важно, не будет зависеть от параметров исходной системы уравнений. Таким образом, при синтезе функции управления в СПС следует так выбрать линейные структуры управляющего устройства и последовательность их изменения, чтобы, начиная с некоторого момента времени, в системе всегда возникало, а затем не прекращалось движение в скользящем режиме. Рассмотрим только необходимые и достаточные условия существования гиперплоскости скольжения для системы (2.34). Для решения этой задачи нужно воспользоваться условиями возникновения скользящего режима (2.27).

Найдем величину на гиперплоскости S

(2.41)

Согласно (2.34) и (2.35) вместо (2.41) имеем

(2.42)

Условия существования скользящего режима должны выполняться в точках гиперплоскости S, т. е. для точек Поэтому величина определяется выражением

 (2.43)

Для того чтобы для структуры, соответствующей s>0, величина была неположительна, а для структуры, соответствующей s<0, величина была неотрицательна (см. условия (2.27)), как следует из (2.43), достаточно потребовать выполнения следующих соотношений:

(2.44)

или, что то же,

(2.45)

(2.46)

Если условия (2.45) выполнены, то гиперплоскость S, заданная согласно (2.37), (2.38), будет гиперплоскостью скольжения. Заметим, что при нарушении хотя бы одного из условий (2.45) всегда найдется точка на S, в которой скользящий режим отсутствует, поэтому условия (2.45) являются также и необходимыми.

Для рассматриваемого закона управления (2.35) - (2.37) все сi должны удовлетворять (2.46). Эти условия накладывают определённые ограничения на выбор коэффициентов ci , и может оказаться, что в рамках этих ограничений движение системы в скользящем режиме, описываемое уравнениями (2.40), будет неустойчивым. Сформулируем и докажем теорему об устойчивости движения по гиперплоскости скольжения для системы произвольного порядка.

Будем рассматривать по-прежнему систему (2.34), для которой управление и определяется согласно (2.35) - (2.37), причем гиперплоскость S, задаваемая в пространстве (x1,...,хп) уравнением (2.38), является гиперплоскостью скольжения, т.е. коэффициенты ci, определяющие положение в этом пространстве, и коэффициенты б и в закона управления удовлетворяют соотношениям (2.45), (2.46). Введём в (2.34) вместо координаты xn новую координату , которая равна нулю на гиперплоскости переключения. Система (2.34) запишется следующим образом:

(2.47)

Системы (2.34) и (2.47) эквивалентны. Для системы (2.34) управление u выбрано так, что существует гиперплоскость скольжения, т.е. выполняются условия (2.40). Это означает, что все коэффициенты при х2,...,хn-1 в последнем уравнении системы (2.47) обращаются в нуль. Таким образом, вместо (2.47) имеем

(2.48)

Отметим одно свойство (2.48), которое в дальнейшем используем при формулировке и доказательстве теоремы об устойчивости движения системы (2.34) в скользящем режиме.

Пусть . Тогда систему (2.48) можно переписать в виде

(2.49)

Нетрудно заметить, что в этом случае система (2.49) имеет один очевидный корень . Следовательно, при и при выполнении условий существования скользящего режима характеристическое уравнение исходной системы

(2.50)

также имеет корень .

Теорема. Пусть выполнены условия (2.45), (2.46). Для того чтобы движение изображающей точки по гиперплоскости скольжения для системы (2.34) было устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения этой системы при , помимо очевидного , лежали в левой полуплоскости плоскости корней.

Предположим, что характеристическое уравнение системы при имеет корни , причём, согласно изложенному выше, один из корней, например лn, равен по условию теоремы остальные корни имеют отрицательные вещественные части. В этом случае решение системы (2.34) может быть представлено в виде

(2.51)

где Аi - постоянные интегрирования, зависящие от начальных условий.

Заметим, что для рассматриваемой линейной системы, т. е. при выполнении условии (2.46) и при Ш=Щ в силу системы (2.49) величина S изменяется по закону.

(2.52)

где А - постоянная интегрирования, зависящая от начальных условий.

В начале при исследовании вопроса об устойчивости различных движений в линейной системе был отмечен тот факт, что если в системе отсутствует движение, соответствующее одному из корней характеристического уравнения (начальные условия таковы, Ак=0), то в её фазовом пространстве существует гиперплоскость, которая является совокупностью траекторий.

Пусть начальные условия таковы, что движение, соответствующие) корню лn=cn-1-an, отсутствует. Тогда величина s?0, и при выполнении условий теоремы в силу (2.49) движение системы описывается уравнениями

(2.53)

Это движение устойчиво, так как по условию теоремы Re лj<0 (j=1,…,n-1). Замечаем, что (2.53) совпадает с уравнениями (2.40) движения системы в скользящем режиме. Отсюда приходим к выводу, что и движение в скользящем режиме устойчиво. Таким образом, доказана достаточность условий теоремы. Необходимость легко доказывается от противного. Действительно, если (2.50) имеет больше одного корня в правой полуплоскости, то, как следует из (2.49), движение в скользящем режиме (2.53) не может быть устойчивым.

Таким образом, для системы произвольного порядка были рассмотрены условия существования гиперплоскости скольжения и условия устойчивости движения по ней. Но помимо устойчивости предъявляются определенные требования и к характеру протекания процесса управления при движении системы в скользящем режиме. В связи с этим остановимся кратко на вопросах, связанных с получением желаемых динамических свойств скользящих движений. Напомним, что в скользящем режиме движение системы управления описывается системой линейных дифференциальных уравнений (2.40) с постоянными коэффициентами сi, и полностью определяется этими величинами. Поэтому для выбора параметров ci можно использовать все известные в теории автоматического регулирования способы оценки процессов в линейной системе, с той лишь разницей, что в нашем случае на ci накладываются специфические ограничения (2.46), вытекающие из условий существования гиперплоскости скольжения. Так, например, для суждения о быстроте затухания скользящих движений можно использовать, как косвенную оценку, степень устойчивости и выбрать сi так, чтобы минимизировать её. Оптимальные значения параметров сi, можно также выбирать исходя из интегральных оценок. Эти методы хорошо известны. Поэтому мы на примере системы с переменной структурой третьего порядка, описываемой уравнениями (2.54) - (2.56), проиллюстрируем применение упомянутых критериев качества для выбора наилучшей гиперплоскости скольжения.

Пусть для системы дифференциальных уравнений (2.34) п=3, a1=а2= а3= 0, b = 1; тогда

 (2.54)

(2.55)

где

(2.56)

Как уже говорилось, при выполнении условий

(2.57)

(2.58)

в рассматриваемой системе возникает устойчивое движение в скользящем режиме, описываемое, согласно (2.40), линейным дифференциальным уравнением

x+c2x+c1x=0 (2.59)

с постоянными параметрами с1 и с2

Выберем, исходя из оценки «степень устойчивости», коэффициенты с1 и с2 так, чтобы обеспечивалась максимально возможная быстрота затухания скользящих движений.

Характеристическое уравнение для (2.59) имеет вид

p2+c2p+c1=0 (2.60)

Имея в виду (2.57), исключим из (2.58) и (2.60) величину с1. Тогда получим

(2.61)

(2.62)

Найдем корни характеристического уравнения (2.62)

(2.63)

Из (2.63) очевидно, что чем больше величина с2, тем быстрее затухает движение системы в скользящем режиме. Это означает, что коэффициент с2 следует выбрать максимально большим. Но при этом следует помнить о том, что величина с2 должна удовлетворять (2.61) и при её увеличении может нарушиться последнее из неравенств (2.61). Поэтому искомое значение с2 обеспечивающее максимально возможную быстроту движения системы в скользящем режиме, получаем из (2.61)

(2.64)

Рассмотрим теперь задачу выбора коэффициентов c1 и с2 для той же системы, но уже исходя из другого критерия - интегрального. Выберем с1 и с2 из условия минимума интеграла

(2.65)

Примем за начало отсчёта момент попадания изображающей точки на плоскость скольжения и допустим, что при t=t0,, x0=1, x0=0. В рассматриваемом случае интегральная оценка (2.65) имеет вид

(2.66)

Поскольку в скользящем режиме с1=с22, то

(2.67)

Очевидно, I=Imin, если , т.е.

(2.68)

Напомним, что величина с2 должна удовлетворять (2.61). Поэтому, если для значений с2, доставляющих минимум выбранному интегральному критерию, (2.61) справедливо, то это значение и следует принять за искомое; если минимум I достигается при значениях с2 таких, что (2.61) нарушается, то в качестве искомого значения с2 следует принять одно из граничных значений (т.е. значений, при которых начинают выполняться условия (2.61)) [12].

В заключение на основании изложенных выше результатов, наметим методику выбора параметров управляющего устройства в системе с переменной структурой (2.34) - (2.37), которые гарантируют существование гиперплоскости скольжения с устойчивым движением. Задача состоит в выборе таких коэффициентов б, в, сi, чтобы удовлетворялись (2.45), (2.46) и решение системы (2.53) было устойчивым. Из (2.46) следует, что один из коэффициентов ci , например cn-1 можно задавать произвольно, а затем найти оставшиеся. Далее по полученным значениям с1 и cn-1 найти согласно (2.45). Из всех возможных значений сn-1 следует выбрать такие, чтобы выполнялись условия приведенной выше теоремы. Если не ограничены, то сn, может принимать любое значение; если ограничены, то сn-1, можно выбирать из некоторой ограниченной области. Заметим, что даже при неограниченных не всегда удается одновременно удовлетворить условиям теоремы и условиям существования гиперплоскости скольжения.

2.3 Управление с использованием воздействий по ошибке и её производным

Рассмотрим систему с переменной структурой, в которой управление формируется в виде суммы воздействий по ошибке и некоторым ее производным, причем каждый из коэффициентов воздействий принимает одно из двух возможных значений. Пусть эти коэффициенты скачкообразно изменяются на некоторой гиперплоскости в пространстве координат системы. Выясним, при каких условиях эта гиперплоскость является гиперплоскостью скольжения и движение по ней устойчиво. При сделанных выше предположениях СПС описывается уравнениями

(2.69)

(2.70)

(2.71)

(2.72)

постоянные величины.

Гиперплоскость S, заданная в пространстве (х1,…хп) уравнением s= 0, будет являться гиперплоскостью скольжения, если для любой её точки выполнены условия (2 27). Для точек на S (т.е. ) величина ds/dt запишется в виде

(2.73)

Отсюда получаем необходимые и достаточные условия существования скользящего режима:

(2.74)

(2.75)

Теперь выясним условия, при которых скользящие движения устойчивы. Ответ на этот вопрос дает приводимая ниже теорема.

Теорема. Пусть выполнены условия (2.74), (2.75). Для того чтобы движение изображающей точки по гиперплоскости скольжения для системы (2.69) было устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения этой системы при помимо , лежали в левой полуплоскости плоскости корней.

В рассматриваемом случае выбор параметров управляющего устройства следует производить следующим образом. Произвольно задаем величину сn-1 и из (2.75) находим ск,...,сп-2 . Затем произвольным образом задаем c1,..., ск-2 и выбираем такие при которых выполняются неравенства (2.74).

Коэффициенты c1,…ck-1,cn-1 подбираются таким образом, чтобы удовлетворялись условия теоремы, причем, если на , не накладывается ограничений, то следует рассмотреть все k-мерное пространство параметров c1,…ck-1,cn-1, в противном случае - лишь некоторую его часть. И, наконец, осталось решить вопрос о требуемом числе коммутаций. Отметим, что число коммутаций k сначала следует принять равным единице и проверить, выполняются ли одновременно условия существования гиперплоскости скольжения и условия устойчивости движения по ней. В случае, если эти условия выполнить не удается, число k необходимо последовательно увеличивать. Заметим, что вопрос о существовании гиперплоскости скольжения и о выполнении условий устойчивости движения по ней решается в результате рассмотрения k-мерного пространства параметров. С практической точки зрения было бы гораздо удобнее иметь дело с одномерной задачей. Приводимая ниже теорема в случае неограниченных указывает процедуру отыскания числа k для системы с переменной структурой вида (2.69) - (2.72), которое обеспечивает выполнение указанных условий, причём на каждом шаге этой процедуры возникает задача выбора всего лишь одного параметра.

Теорема. Для того чтобы движение изображающей точки по гиперплоскости скольжения для системы (2.69) - (2.72) было устойчивым, достаточно, чтобы для СПС п-k+1-го порядка с одной коммутацией

 (2.76)

(2.77)

(2.78)

- постоянные величины, cn =1, гиперплоскость Sk, заданная в пространстве x1,..., хп уравнением sk =0, была гиперплоскостью скольжения с устойчивым движением [12].

Это означает, что для (2.76) - (2.78) должны выполняться соотношения

(2.79)

(2.80)

и, согласно теореме, приведенной выше, характеристическое уравнение системы (2.76) при

имеет все корни в левой полуплоскости, за исключением лn=cn-1-an.

2.4 Управление объектами, дифференциальные уравнения движения, которых содержат производные от входных воздействий

Как уже было отмечено выше, что для определенного класса управляемых объектов, описываемых уравнениями (2.34), системы с переменной структурой могут найти плодотворное применение.

Заметим, что уравнения, характеризующие вышеупомянутый класс объектов, не предполагали дифференцирования функции управления. Однако весьма важным для практических приложений является случай, когда движение неизменяемой части системы описывается уравнением, более общего по сравнению с (2.33) или (2.34) вида

(2.81)

где n, m - целые постоянные числа (); ai,bi - постоянные параметра объекта; x - сигнал ошибка, u-управление.

Очевидно, что в линейных системах с управлением вида (или ) необходимость дифференцирования входных управляющих воздействий не приводит к качественно новым явлениям в поведении системы. Но в системах с кусочно-непрерывным законом управления (2.35) - (2.37) необходимость дифференцирования управления приводит к ряду особенностей, не наблюдаемых ранее.

Рассмотрим структурную схему системы управления, изображенную на рис. 2.10. Пусть движение управляемого объекта О описывается уравнением второго порядка

(2.82)

где - постоянные коэффициенты, х - ошибка

На вход объекта поступает выходная величина у исполнительного устройства ИУ. Предположим, что движение ИУ описывается уравнением

(2.83)

Из (2.82) и (2.83) очевидно, что движение разомкнутой системы описывается уравнением (2.81), если положить .

В фазовых координатах х = х1 и х2 =dx1/dt это уравнение

переписывается в виде следующей системы:

(2.84)

где постоянные, - символ дифференцирования.

Как и ранее, об управлении u будем предполагать, что оно является разрывной функцией координат системы

u=Шx1 (2.85)

(2.86)

(2.87)

постоянные величины,

Рассмотрим движение изображающей точки на плоскости X(x1,x2), происходящее в соответствии с уравнениями (2.84). Прямая S, заданная в Х уравнением

(2.88)

делит фазовую плоскость на области X1 и Х2 , в каждой из которых управление и принимает значение и соответственно. На прямой S в силу (2.86) функция управления скачком меняет свое значение с u1 на u2 (или наоборот).

Пусть при и = и1 корни характеристического уравнения системы (2.84) комплексны. Обозначим их через . Для определенности рассмотрим случай . Тогда в области X1 фазовые траектории представляют собой дуги скручивающихся спиралей (рис. 1.14, в).

Если при и = u2 корни характеристического уравнения системы (2.84) действительные, но разных знаков, то в области Х2 фазовая плоскость X будет заполнена семейством кривых гиперболического типа (рис. 1.14, к).

В момент, когда управление и скачкообразно меняет свое значение, согласно уравнениям (2.84) координата х2 претерпевает разрыв, так как в момент разрыва управления и импульсная функция должна быть и в левой части последнего уравнения системы (2.84). Следовательно, в момент tk , соответствующий к-му разрыву функции управления, величина . Необходимо отметить, что из-за неучтенных малых постоянных времени различных элементов системы изменение координаты х2 от до будет происходить не мгновенно, а в течение достаточно малого интервала времени. В дальнейшем при исследовании систем подобного вида будем придерживаться следующей гипотезы: будем предполагать, что время изменения величины х2 от x2(tk-0) до х2(tk+0) меньше времени срабатывания переключающего устройства, которое меняет структуру системы.

Эта гипотеза позволяет провести анализ движения системы (2.84), если все неучтенные постоянные времени достаточно малы. При таком предположении можно считать, что координата х2 в момент разрыва управления скачком меняет свое значение. Тогда для определения решения исходной системы (2.84) необходимо знать не только начальные значения функций х1 , х2, но и величины их разрывов [1].