Из сказанного можно сделать вывод, что для систем, уравнения движения которых содержат производные от входных воздействий, скачкообразное изменение структуры управляющего устройства приводит к тому, что фазовые траектории в пространстве координат системы претерпевают разрывы. Для того чтобы выяснить особенности движения, вытекающие непосредственно из наличия скачков по координате х2, введем некоторые новые непрерывные фазовые координаты, однозначно характеризующие состояние системы. Другими словами, вместо фазовой плоскости X введем новую фазовую плоскость Г:

Г=(г1,г2),

где причём координата связана с координатой x1 соотношением

(2.89)

Уравнение движения системы (2.84) - (2.87) в этих новых координатах имеют вид

 (2.90)

(2.91)

(2.92)

(2.93)

(2.94)

Из уравнений (2.91), (2.92) следует, что на фазовой плоскости Г существуют две прямые переключения для управления и : S (заданная уравнением S=0) и Е (заданная уравнением у = 0).

Согласно (2.90) - (2.92) координаты г1 и г2 являются непрерывными функциями времени. Они связаны с исходными координатами x1 и х2 взаимно однозначной зависимостью:

(2.95)

(2.96)

Заметим, что из соотношений (2.95) и (2.96) немедленно определяется величина скачка по координате х2 в момент tk разрыва управления. Действительно, согласно (2.95), г1 и г2 - непрерывные функции времени. Это означает, что правые части уравнений (2.95) и (2.96) также должны быть непрерывны, поэтому

(2.97)

Выражение (2.93) определяет s как линейную комбинацию г1, г2 скачкообразно меняющимися коэффициентами. Обозначим функцию

(2.98)

Следовательно, на плоскости (г1,г2) прямая переключения S занимает одно из двух возможных положений: S1 (определяемое уравнением s1=0) или S2 (определяемое уравнением s2=0).

Как следует из (2.92), величина Ш однозначно определяется лишь при s1s2 > 0, так как

(2.99)

(2.100)

Если координаты системы г1,г2 таковы, что s1у>0 и s1у<0, то величина Ш может быть равной как , так и .

Действительно,

(2.101)

В случае, если одновременно выполняются условия

s1у< 0 и s1у> 0 (2.102)

Действительно, предположим, что и s1у <0 (рис. 2.11, точка Р). Тогда в силу (2.92) должно произойти переключение управления, и величина Ш принимает значение Ш=в. Напомним, что в этот момент координата х2 за короткий интервал времени изменит свое значение от х2(tk - 0) до x2(tk + 0), причем, согласно сделанной гипотезе в этом интервале времени, структура управляющего устройства не может измениться. Заметим, что на плоскости (г1,г2) прямая переключения S займет положение S2, так как, согласно (2.98), при Ш=в функция s=s2 (рис. 2.11). Это означает, что при Ш=в произведение s2у > 0. Из (2.98) следует, что движение в системе со значением Ш=в в этом случае невозможно, т. е. структура системы должна измениться, и величина Ш=б. Но как только Ш=б, функция s = s1 и s1у <0.

Рис. 2.11.

Далее следует провести все рассуждения сначала. Аналогичными рассуждениями можно показать, что если Ш=в и s1у <0 (точка М рис. 2.11), то в области s1у <0 и s2у > 0 невозможна ни одна из двух исходных линейных структур. Поэтому в системе при выполнении условий (2.102) происходит непрерывное изменение структуры и возникает скользящий режим.

Изменение фазовых координат г1 и г2 для случая (2.102) описывается уравнениями

(2.103)

д - некоторая непрерывная функция координат системы, равная отношению времени движения в скользящем режиме при Ш=б ко времени движения при Ш=в.

Система дифференциальных уравнений (2.103) совпадает с (2.90), если принять величину Ш соответственно равной и. Иначе говоря, в системах, предполагающих дифференцирование входных воздействий, движение в скользящем режиме возможно в некоторой области фазовой плоскости Г (а следовательно, и X). Это существенное отличие рассматриваемых в настоящем параграфе систем, обусловленное наличием скачков по координате х2. Отметим, что в исследуемой системе, кроме скользящих движений типа (2.103), может возникнуть движение изображающей точки в скользящем режиме по одной из границ S1 или S2, так как на каждой из этих границ, согласно (2.90) - (2.96), управление скачком меняет свое значение.

С геометрической точки зрения условия (2.99) - (2.102) означают, что плоскость разбивается на несколько областей.

В области s1,s2>0 величина Ш=б, а характеристическое уравнение системы (2.90) совпадает с характеристическим уравнением системы (2.84) при и = u1 . Выше мы уже отмечали, что при Ш=б корни характеристического уравнения комплексны. Поэтому в области I (рис. 2.12), где выполняются условия (2.99), фазовые траектории представляют собой дуги спиралей.

В силу условий (2.100) величина Ш=в и характеристическое уравнение системы (2.90) совпадает с характеристическим уравнением системы (2.84) при u=u2

Выше уже отмечалось, что его корни действительные, но разных знаков, т. е. в области II (рис. 2.12) траекториями изображающей точки будут кривые семейства гипербол.

Если параметры системы обеспечивают выполнение соотношений (2.101), то в области III (рис. 2.12) изображающая точка будет двигаться то по дуге спирали, то по дуге гиперболы.

Как было указано ранее, в случае одновременного выполнения условий (2.102) имеет место движение в скользящем режиме, характеризуемое законом (2.103). В области скользящего режима III (рис. 2.13) в зависимости от знака и фазовыми траекториями могут быть дуги спиралей или гипербол (рис. 2.13). В областях I и II (рис. 2.13) выполняются условия (2.99) и (2.100) соответственно.

Рис. 2.12.

В том случае, когда в окрестности границы разрыва S1 или S2 фазовые траектории направлены навстречу друг другу, возможно движение изображающей точки в скользящем режиме по каждой из указанных выше границ.

Рис. 2.13 наглядно иллюстрирует этот факт. В окрестности прямой S1, например, фазовые траектории, которые являются в области I спиралями (Ш=б), а в области III - иперболами, направлены навстречу друг другу. Поэтому в системе, начиная с некоторого момента времени, возникает движение по s1. Из уравнений (2.103) и (2.93) очевидно, что движение в скользящем режиме, в отличие от систем типа (2.21), всегда зависит от коэффициентов аi ,bi.



Рис. 2.13.

Таким образом, фазовая плоскость Г системы (2.127) разбивается на несколько областей:

а) две области, в каждой из которых движение системы характеризуется неизменной структурой;

б) область, где имеет место скользящий режим, характеризуемый непрерывным изменением структуры системы;

в) область, в которой движение системы характеризуется любой из двух возможных структур.

Кроме того, может существовать движение в скользящем режиме и по границам областей s1=0 и s2=0.

Все сказанное достаточно наглядно поясняет особенности структуры фазовой плоскости Г системы (2.90). Для перехода к исходным переменным x1 и x2 , очевидно, следует воспользоваться соотношением (2.89).

Даже на основе проведенного анализа системы второго порядка можно сделать вывод о том, что методы синтеза управляющего устройства в системах автоматического управления объектами, дифференциальные уравнения которых содержат производные от входных воздействий заслуживают специального рассмотрения.

В случае, когда поведение системы управления определялось непрерывными координатами, для получения желаемой реакции системы на входную величину мы широко использовали скользящие режимы. Напомним, что при этом исходными предпосылками являлись непрерывность фазовых траекторий в пространстве х1,..., хп и фиксированное положение гиперплоскости переключения. Попытаемся и в рассматриваемом случае использовать тот же самый подход, т. е. так выбрать функцию управления, чтобы в системе возникали скользящие движения, свойства которых, не зависят от характеристик ее неизменяемой части.

В дальнейшем вместо уравнения (2.81) n-ro порядка будем исходить на системы п дифференциальных уравнений первого порядка

(2.104)

- символ дифференцирования.

Согласно изложенному выше для возникновения скользящего режима величина должна претерпевать разрывы первого рода. Непосредственно из рассмотрения уравнений (2.104) следует, что это условие выполняется, если управление и является непрерывной функцией времени и непрерывно дифференцируемой по времени т-2 раза, a m-1-я его производная претерпевает разрывы первого рода. Опишем один из возможных способов реализации такого управления (рис. 2.14).



Рис. 2.14.

С выхода объекта на вход формирующего устройства (ФУ), принадлежащего управляющему устройству, по каналу обратной связи поступает выходная величина ц=x объекта управлении. В состав формирующего устройства включаются дифференциаторы, осуществляющие дифференцирование сигнала хл и ключевые логические элементы, которые в соответствии с выбранным законом меняют структуру управляющего устройства. Пусть выходная координата х формирующего устройства имеет вид

(2.105)

(2.106)

(2.107)

Очевидно, что формирующее устройство, которое реализует логическую функцию (2.105)-(2.107), по структуре совпадает с управляющим устройством, представленным на рис. 2.4. Разница заключается лишь в том, что на блок изменения структуры (БИС) должна поступать информация не о sgnх2, а о sgns. С выхода формирующего устройства скачкообразно меняющаяся величина х подается на вход фильтра (Ф). Фильтр состоит из т-1 последовательно соединенных инерционных звеньев с выходными координатами zl,...,zm-1 Его движение описывается уравнениями

 (2.108)

все Тi -- постоянные величины, z0 = х, zm-1 = u - управляющее воздействие (выходная величина УУ).

Из уравнений (2.105)-(2.108) ясно, что схема управляющего устройства, изображенная на рис. 2.14, вырабатывает на выходе непрерывное и непрерывно дифференцируемое по времени m-2 раза управление и, причем его (m-1)-я производная претерпевает разрывы первого рода.

Ниже везде будем предполагать, не оговаривая этого специально, что для объектов, уравнения движения которых, содержат операторы дифференцирования перед управлением, всегда используется указанный класс управления.

При выбранной структуре управляющего устройства фазовое состояние системы характеризуется переменными х1...,хn, z1,…zm-1 (предполагается, что движение неизменяемой части системы -исполнительного устройства и управляемого объекта - описывается уравнением (2.104)).

В силу сделанных предположений уравнения движения системы регулирования (рис. 2.14) имеют вид

(2.109)

х определяется согласно (2.105) -- (2.107).

После несложных преобразований величина (2.109) может быть записана в форме

(2.110)

Здесь

(2.111)

Поскольку в (2.166) величина х скачком меняет свое значение на гиперплоскости S, заданной в пространстве х1...,хn, z1,…zm-1 уравнением , а фазовые координаты системы непрерывны, то в рассматриваемом случае возможно движение изображающей точки по S в скользящем режиме [12].

Напомним, что гиперплоскость S будет гиперплоскостью скольжения, если для любой её точки выполнены условия (2.27). Для точек на S (т. е. ) величина , согласно (2.109), (2.110), (2.105-2.107), определяется выражением

(2.112)

Отсюда получаем необходимые и достаточные условия существования гиперплоскости скольжения:

(2.113)

Таким образом, для системы (2.104) параметры управляющего устройства, т. е. величины б, в, Тi ,сi следует выбрать так, чтобы удовлетворялись условия (2.113). Тогда после возникновения скользящего режима закон изменения координат x1,..,xn будет определяться коэффициентами c1,..., cn уравнения гиперплоскости S. В ряде случаев соответствующим выбором этих коэффициентов можно получить требуемые динамические показатели движения в скользящем режиме. Такой метод синтеза имеет довольно очевидную физическую сущность. Действительно, можно показать, что оператор связи между величинами х и и (рис. 2.14) совпадает с оператором P(D) в (2.109). Поэтому, если S является гиперплоскостью скольжения, то исходная система дифференциальных уравнений (2.109) распадается на две независимые системы

(2.114)

(причем в силу (2.105)-(2.107) х не зависит от zi) и систему (2.108), характеризующую состояние фильтра Ф.

Нетрудно убедиться, что система (2.114) совпадает с (2.34), а первая группа условий (2.113) - с (2.45), (2.46). Однако в отличие от (2.34) для суждения о работоспособности системы (2.109) необходимо выяснить закон изменения величин zl,…zm-1 при движении изображающей точки по гиперплоскости S. Так как в скользящем режиме траектории движения изображающей точки принадлежат гиперплоскости скольжения (s?0), то величина

(2.115)

С учетом (2.109) и (2.107) равенство (2.115) перепишется в виде

(2.116)

Из (2.116) следует, что описанный способ управления может быть использован, если решение (2.116) устойчиво. В противном случае, несмотря на то, что

(2.117)

может оказаться, что

(2.118)

и физические ограничения, существующие в любой реальной системе, не позволят использовать этот метод управления на практике. Представляет интерес сравнение систем (2.34) и (2.114) с точки зрения информации о состоянии регулируемого объекта, используемой в процессе управления. В случае (2.34) состояние управляемого процесса характеризуется величинами х1...,хn . Введение фильтра Ф в контур управления приводит к тому, что поведение системы (2.114) полностью определяется координатами х1...,хn, zl,…zm-1, т. е. количество информации, необходимое для построения системы регулирования, увеличилось. Однако этот факт не приводит к существенным затруднениям, так как информация о координатах zl,…zm-1 (выходных координатах инерционных звеньев) всегда имеется в нашем распоряжении.

2.5 Анализ вынужденных движений в СПС. Синтез закона управления в системе второго порядка

Хорошо известно, что любая реальная система автоматического управления функционирует в условиях воздействия на неё внешней среды. Это воздействие может проявляться в виде задающего воздействия, которое должно быть тем или иным образом отработано системой, а также в виде возмущающих воздействий самого разнообразного характера, приложенных к различным точкам системы управления. Обеспечение нормального функционирования системы управления часто осложняется тем, что возмущающие воздействия бывает невозможно измерить. Однако при проектировании системы управления, как правило, имеется некоторая априорная информация о возмущающих воздействиях, которая позволяет синтезировать систему, выполняющую поставленные перед ней задачи без непосредственного измерения возмущающих воздействий. Системы с переменной структурой обладают рядом дополнительных возможностей при решении задач управления вынужденным движением. Ограничимся пока системами с постоянными параметрами. Прежде чем перейти непосредственно к изложению методов управления вынужденным движением в системах с переменной структурой, представляется целесообразным на простейшем примере системы второго порядка проследить особенности, возникающие в СПС при использовании предложенных выше алгоритмов для управления вынужденным движением. Выявив эти особенности, мы сможем более наглядно представить себе пути решения задач синтеза СПС более высокого порядка и предложить алгоритмы управления вынужденным движением в таких системах без измерения внешних возмущений. Однако в тех случаях, когда измерение последних допустимо по условиям задачи, не следует, очевидно, пренебрегать этой возможностью. В связи с этим мы рассмотрим методы синтеза комбинированных систем с переменной структурой.

Рассмотрим особенности, возникающие в простейшей системе второго порядка, изображенной на рис. 2.15, выходная координата которой должна воспроизводить задающее воздействие g(t). Будем предполагать, что на объект, являющийся астатическим звеном первого порядка, действует внешнее возмущающее воздействие f(t). Управление объектом осуществляется с помощью астатического сервомеханизма. Наша цель -

Рис. 2.15

сформировать такой алгоритм работы управляющего устройства (УУ), который обеспечивал бы воспроизводимость регулируемой координатой ц(t) задающего воздействия g(t) независимо от внешних возмущений. Предполагая х =g-ц, ц =у-f и вводя обозначения получим уравнения движения объекта, исполнительного устройствам замкнутой системы соответственно:

(2.118)

(2.119)

 (2.120)

Ранее рассматривалась задача управления свободным движением (F?0) системы подобного вида. Для управления вида (2.22) - (2.24) при выполнении условий (2.32) на прямой S (2.25) всюду возникал скользящий режим и выбором углового коэффициента с этой прямой обеспечивались требуемые характеристики процесса регулирования.

При возмущенном движении системы (F? 0) и использовании законов управления (2.22) - (2.24) в системе также может возникнуть движение в скользящем режиме, описываемое уравнением (2.26), причем это движение не будет зависеть ни от параметров объекта, ни от внешних возмущений. Для того чтобы использовать свойство независимости скользящих движений, можно предложить следующий подход к решению задачи воспроизводимости выходной координатой задающего воздействия: обеспечить, во-первых, попадание изображающей точки на прямую S и, во-вторых, выполнение условий существования скользящего режима в любой точке этой прямой. Тогда после возникновения скользящего режима, согласно (2.26), при с>0 координата ошибки будет асимптотически приближаться к нулю. Однако с помощью управления (2.22) - (2.24) не удается реализовать описанный подход. Этот факт легко устанавливается из рассмотрения фазовой плоскости (x1, х2) системы (2.118), представленной на рис. 2.16.



Рис. 2.16

Оговоримся, что так как дифференциальные уравнения (2.120) являются неоднородными, то фазовый портрет будет нестационарным. Поэтому кривые, показанные на рис. 2.16, вообще говоря, не являются фазовыми траекториями. Каждую из них можно рассматривать как геометрическое место точек, для которых в некоторый фиксированный момент времени касательная к кривой совпадает с направлением вектора фазовой скорости. Фазовая плоскость (x1, х2), делится прямыми S и x1=0 на области, каждой из которых соответствует семейство кривых эллиптического или гиперболического типа. Центр и седло этих кривых находится в точках а и b,причем (если б>0, в<0, F(t0<0).

Непосредственно из рассмотрения рис. 2.16 следует, что на интервале тп прямой S скользящий режим отсутствует. Действительно, для возникновения скользящего режима векторы фазовых скоростей должны быть направлены к S, однако это условие нарушается на интервале пO для кривых гиперболического типа, а на интервале тпО - для кривых эллиптического типа.

Важно отметить, что за исключением тех моментов времени, когда (t)=0, интервал тп всегда существует. Следовательно, в некоторой конечной окрестности начала координат плоскости (x1,х2) скользящий режим отсутствует и решение системы (2.118) содержит вынужденную составляющую. Именно это обстоятельство приводит к тому, что в системе с переменной структурой с законом управления (2.22) - (2.24) при вынужденном движении не удаётся избавиться от динамической ошибки. Условия существования скользящего режима в окрестности начала координат плоскости (x1, х2) нарушаются из-за того, что величина управления становится малой по сравнению с величиной (t). Поэтому в основном от знака функции (t) зависит, направлены ли векторы фазовой скорости к прямой S или от неё. Например, в рассматриваемом случае при (t)<0 скользящий режим на интервале тп отсутствует, так как на этом интервале векторы фазовой скорости направлены в сторону уменьшения величины s, т. е. при s<0 - от прямой S [13].

Из приведенных рассуждений следует, что управление необходимо сформировать таким образом, чтобы направление векторов фазовой скорости в окрестности начала координат существенно зависело бы не только от внешних воздействий, но и от самого управления. Заметим, что координата у в режиме воспроизведения при (х1=х2=0) отлична от нуля, так как выходная величина исполнительного устройства должна воспроизводить сумму приведенных ко входу объекта внешних воздействий. Поэтому следует ожидать, что направление векторов фазовой скорости в окрестности начала координат будет зависеть от управления, сформированного в виде

(2.121)

(2.122)

(2.123)

(2.124)

Логический закон изменения Шy будет приведен ниже. Движение замкнутой системы с управлением (2.119), согласно (2.181), (2.119), описывается дифференциальными уравнениями

 (2.125)

На рис. 2.17, а и б представлены фазовые портреты такой системы соответственно для случаев F>0, <0, Шy>0 и F>0, <0, Шy<0 в предположении, что |ШyF|>|F| и корни характеристического уравнения системы (2.125) являются комплексными при Шx=бx и любом фиксированном Шy. Каждую из кривых, показанных на рисунках, по-прежнему следует рассматривать как геометрическое место точек, для которых касательная к кривой совпадает с направлением вектора фазовой скорости. Для бх>0, вx<0 абсциссы фокуса и седла этих кривых находятся в точках a и b, причем .Пусть угловой коэффициент с прямой S, заданной уравнением s=0 (4.6), всегда больше отрицательного корня характеристического уравнения системы (2.125) Шx=вx, (т.е. больше углового коэффициента асимптоты

Рис. 2.17.

I для кривых гиперболического типа). Тогда, как это следует из рассмотрения фазовых портретов, в обоих случаях на прямой S существует интервал тп, включающий начало координат, на котором не может возникнуть движение в скользящем режиме. Следовательно, если величина коэффициента Шy в управлении (2.121) неизменна, то в системе (2.125), так же как и в системе (2.120), при F?0 динамическая ошибка не может быть сведена к нулю. Однако существенно, что знак коэффициента Шy определяет направление векторов фазовой скорости вблизи прямой S на интервале тп. Так, при Шy>0 векторы фазовой скорости направлены в стороны увеличения s, т. е. >0, и поэтому при s>0 нарушаются условия возникновения скользящего режима (2.27), при Шy<0 имеет место обратная картина. Нетрудно видеть, что на всей прямой S будет существовать скользящий режим, если построить такую систему, фазовый портрет которой при s<0 совпадает с фазовым портретом рис. 2.17, а, а при s>0 - рис. 4.3, б (рис. 2.18). Это условие будет выполнено, если в результате изменения коэффициента Шy окажутся справедливыми неравенства

(2.126)

Напомним, что по нашему предположению | ШyF|> |F|. Пусть возмущающее и задающее воздействия таковы, что выполняется следующее соотношение:

(2.127)

Тогда из (2.126) и (2.127) получаем следующий закон изменения коэффициента Шy, обеспечивающий существование скользящего режима всюду на прямой S:

 (2.128)

Важно отметить, что логический закон (2.128) может оказаться неприемлемым, так как для его реализации необходимо осуществить непосредственное измерение внешних возмущений (для формирования функции F), а это во многих случаях невозможно. Согласно (2.118) информация о величине F может быть получена косвенно, с использованием координат x и у. В результате приходим к более удобному с точки зрения практических приложений закону изменения коэффициента Шy:

(2.129)

Рассматривая различные сочетания знаков функций F и ,можно легко проверить, что при выполнении ограничения (2.127) и изменении коэффициента воздействия по выходной координате исполнительного устройства в соответствии с (2.128) или (2.129) встречное направление векторов фазовой скорости в любой точке прямой S всегда имеет место. Следовательно, в построенной таким образом системе прямая S является прямой скольжения.

Рис 2.18.

Сам по себе факт существования прямой скольжения ещё не гарантирует воспроизводимости. Необходимо обеспечить возникновение скользящего режима в системе или, другими словами, обеспечить попадание изображающей точки из любого начального положения её на прямую S. Только в этом случае в системе начнется независимое от внешних воздействий движение, в котором сигнал ошибки будет асимптотически стремиться к нулю.

Было показано, что для свободного движения необходимым и достаточным условием попадания является отсутствие положительных действительных корней характеристического уравнения при Шx=бx. Если условия этой теоремы выполняются как при Шy=A, так и при Шy= -А, то она справедлива также и для вынужденного движения Приведём сейчас лишь некоторые предварительные соображения, подтверждающие это положение. Существенно, что следует рассмотреть лишь вопрос о достаточности условий теоремы, так как необходимость следует из того, что свободное движение является частным случаем вынужденного.

Пусть в начальный момент времени изображающая точка находится в первом квадранте (рис. 2.19). Так как в этот момент времени х2>0 , то величина х1 начнет возрастать. По условию теоремы при свободном движении и фиксированном Шy любая траектория должна пересечь прямую S, поэтому траектории 1 и 2, исходящие из начальной точки а0 и соответствующие Шy =А и Шy = - А для F?0, пересекают ось х1 в точках b и с. Следует отметить, что, согласно (2.125) - (2.128), величина для вынужденного движения при s>0 всегда меньше, чем для свободного движения. Следовательно, траектория, соответствующая вынужденному движению и исходящая из точки a0, не может иметь общих точек с траекторией 2 и пересекает ось х1 в некоторой точке а1 на отрезке dc . Проведем из точки а1 траектории 3 и 4, соответствующие Шy=+А и Шy= -А при F?0, до пересечения с прямой S в точках е и f . Заметим, что для F?0 траектория, исходящая из точки а1, не имеет общих точек с траекторией 3. Это в свою очередь означает, что изображающая точка из а1 всегда попадает в некоторую точку а2 на отрезке eg, т. е. на прямую S. Если в начальный момент времени изображающая точка находится в области х1>0, s<0, то при дальнейшем движении либо произойдет попадание на S, либо сменит знак величина х1. Для х1<0, s<0 можно повторить приведенные рассуждения и также убедиться в том, что попадание на прямую S всегда имеет место. Существование прямой скольжения одновременно с выполнением приведенных условий попадания на эту прямую уже может гарантировать возникновение скользящего режима и, как следствие, сведение к нулю координаты ошибки.

Рис. 2.19

Приведем теперь аналитический метод синтеза управления для системы второго порядка общего вида с постоянными параметрами (рис. 2.20). Уравнение объекта, исполнительного устройства и замкнутой системы записываются в виде

(2.130)

(2.131)

(2.132)

где a11, а12, а21, а22 - постоянные, а12>0, а21>0,

Покажем, что если для функции F выполняется неравенство (2.127), то с помощью управления вида (2.121) за счёт скользящих

Рис. 2.20.

режимов в системе может быть достигнута полная воспроизводимость регулируемой координатой ц задающего воздействия g(t). Согласно (2.121) и (2.130) вместо (2.131) можно рассматривать систему

(2.133)

Предположим, что каждый из коэффициентов Шx и Шy может принимать одно из двух фиксированных значений соответственно бх или вx и бу или ву, т. е. в нашем распоряжении имеются четыре линейные структуры. Задача состоит в выборе такой последовательности изменения этих структур, а также параметров каждой из них, при которых на некоторой прямой S, заданной в плоскости (x1,x2) уравнением s=cx1+x2=0 выполнялись бы условия существования скользящего режима (2.27). Определим величину на прямой S.

(2.134)

Потребуем, чтобы выполнялись соотношения

(2.135)

(2.136)

Для функции F, удовлетворяющей соотношению (2.127), неравенство (2.135) справедливо, если

(2.137)

или, согласно (2.130),

(2.138)

где

 (2.139)

Запишем теперь закон изменения коэффициента Шx, обеспечивающий выполнение неравенства (4.19)

(2.140)

где

(2.141)

Если все коэффициенты (2.141) выразить через параметры объекта и исполнительного устройства, то с учётом (2.139) неравенства (2.141) перепишутся в виде

(2.142)

Если значения коммутируемых коэффициентов Шу и Шх выбраны в соответствии с (2.139) и (2.142), то управление (2.121), (2.138), (2.140) обеспечит существование прямой скольжения. Что касается условий попадания изображающей точки на прямую скольжения, то необходимость специального рассмотрения этого вопроса - отпадает, так как все рассуждения, касающиеся условий попадания для системы (2.125), справедливы и для произвольной системы второго порядка. Для попадания изображающей точки из любого начального положения на прямую S необходимо и достаточно, чтобы характеристическое уравнение системы (2.133) для Шх=бх как при Шy = А, так и при Шy = -А не имело положительных действительных корней, т. е.

(2.143)

Очевидно, что неравенства (2.142) и (2.143) всегда можно выполнить одновременно как при Шy=А, так и при Шу= -А. Тогда любое движение в системе, начиная с некоторого момента времени, перейдет в скользящий режим, описываемый линейным однородным дифференциальным уравнением , не зависящим от внешних воздействий. Это означает, что с помощью системы с переменной структурой, в которой скачкообразно меняется не только коэффициент воздействия по сигналу ошибки, но и по выходной координате исполнительного устройства, удается решить задачу о полной воспроизводимости для входных воздействий вида (2.127).

Наиболее существенная особенность описанного закона Управления заключается в том, что для его реализации не возникает необходимости в непосредственном измерении приложенных к объекту внешних возмущающих сил; требуется информация о состоянии управляемого процесса в виде координаты ошибки, её производной и выходной величины исполнительного устройства. Уместно также пояснить эффект полной воспроизводимости в такой системе с физической точки зрения. Присутствие в управлении выходной координаты исполнительного устройства (ИУ) означает, что ИУ охвачено местной обратной связью, знак которой меняется. В случае положительной обратной связи ИУ оказывается неустойчивым звеном. При этом выходной сигнал его быстро нарастает до тех пор, пока не сравняется по абсолютной величине с приведенным ко входу объекта внешним возмущением. В установившемся режиме, когда координата ошибки и её производная равны нулю, автоматически обеспечивается такое чередование положительной и отрицательной местной обратной связи, при котором регулируемая величина повторяет задающее воздействие.

Таким образом, система с переменной структурой, сочетая в себе свойства нескольких линейных структур, открывает дополнительные возможности управления вынужденным движением. Сопоставляя описанную систему с переменной структурой с линейными системами, заметим, что применение методов, разработанных в теории инвариантности, повышение порядка астатизма для компенсации внешних воздействий в линейных системах в конечном счёте сводится к выбору такой устойчивой линейной структуры, при которой особая точка фазовой плоскости находится в начале координат. Однако организация управления в этих случаях может натолкнуться на трудности, связанные либо с непосредственным измерением внешних воздействий, либо с тем, что класс допустимых внешних воздействий оказывается слишком узким. Полная воспроизводимость в СПС обеспечивается за счет скользящего режима, существование которого, как это следует из рассмотрения фазовых портретов, определяется лишь тем, с какой стороны от начала координат расположена особая точка семейства кривых, соответствующего той или иной линейной структуре. Описанный метод позволяет свести динамическую ошибку в системе к нулю, и при этом не возникает необходимости в выборе такого управления, при котором правая часть дифференциального уравнения движения обращается в нуль. Это различие является весьма существенным, так как при реализации управления в СПС достаточно иметь информацию только о знаке функции F, характеризующей внешние воздействия, и не возникает необходимости в повышении порядка астатизма регулятора.

Рассмотренный пример системы второго порядка показывает эффективность алгоритмов СПС при решении задач управления в условиях действия на систему внешних возмущений.

2.6 Синтез закона управления в СПС произвольного порядка

Рассмотрим систему, структурная схема которой представлена на рис. 2.21. Будем предполагать, что действующие на объект в различных его точках возмущающие воздействия f1(t),...,fk(t) невозможно измерить непосредственно, но можно привести к его входу. Приведённое ко входу объекта возмущающее воздействие обозначим F1(t), Необходимо так построить систему, чтобы выходная координата ц объекта воспроизводила задающее воздействие g(t) c точностью до переходной составляющей.

Пусть движение объекта описывается дифференциальным уравнением порядка (п -- т)

(2.144)

Здесь м - выходная координата исполнительного устройства (ИУ). Параметры bi объекта предполагаются постоянными, а bn-m=1. Функцию F1(t) будем предполагать непрерывно дифференцируемой до порядка т включительно

Рис. 2.21.

Движение исполнительного устройства описывается дифференциальным уравнением m-го порядка

(2.145)

где Иi1 - параметры ИУ, Ит1=1

Предположим, что исполнительное устройство можно охватить местной обратной связью (ОС) такой, что

(2.146)

где Иi2 - коэффициенты звена ОС, которые можно изменять в зависимости от значений координат системы. Из (2.145) и (2.146) можно получить следующее уравнение движения исполнительного устройства с учетом местной обратной связи:

(2.147)

где Иi =Иi1+Иi2, и - управляющее воздействие, формируемое при помощи управляющего устройства УУ.

Сформируем управление и в виде линейной комбинации координаты ошибки и (п-2) её производных:

(2.148)

где Шi+1 - коэффициенты УУ, которые так же, как Иi определяются координатами системы; х - координата ошибки:

(2.149)

Уравнения (2.144) и (2.149) позволяют найти связь между регулирующим воздействием и координатой ошибки

(2.150)

(2.151)

Из (2.147), (2.148) и (2.150) получаем дифференциальное уравнение движения замкнутой системы

(2.152)

здесь все аi являются коэффициентами полинома п-й степени, полученного в результате перемножения полиномов

(2.153)

Запишем уравнение (2.152) в виде системы п дифференциальных уравнений первой степени:

 (2.154)

Сформируем в системе функцию переключения следующего вида:

(2.155)

где ci - постоянные коэффициенты, сп=1, и зададим следующие законы изменения коэффициентов Шi и Иi:

(2.156)

(2.157)

Нетрудно заметить, что в построенной таким образом системе может возникнуть скользящий режим. Действительно, в фазовом пространстве системы (2.154) уравнение

(2.158)

задает гиперплоскость S. При пересечении изображающей точкой этой гиперплоскости вектор фазовой скорости меняет свое направление, так как компонента этого вектора зависит от величин Шi и Иi, которые на гиперплоскости вменяют скачкообразно свое значение. Очевидно что выбором значений этих величин можно обеспечить встречное направление векторов фазовой скорости на гиперплоскости S, т. е. выполнить условие возникновения скользящего режима. Точнее, как это ранее уже отмечалось, для возникновения скользящего режима необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение вектора фазовой скорости на нормаль к гиперплоскости S меняло знак на этой гиперплоскости в соответствии с неравенствами

(2.159)

где вектор c=(cl ..., сп).

При возникновении скользящего режима движение системы доопределим, как и ранее, равенствами

С помощью такого доопределения нетрудно найти, что движение системы в скользящем режиме будет описываться системой линейных однородных уравнений

(2.160)

Существенно, что движение в скользящем режиме не зависит ни от параметров объекта, ни от приложенных к нему возмущений и полностью определяется параметрами ci гиперплоскости S.

Теперь становится очевидным следующий путь решения задачи о воспроизводимости выходной координатой ц задающего воздействия. При любых начальных условиях для системы (2.154) необходимо обеспечить возникновение скользящего режима, с помощью которого свести к нулю координату ошибки х1. Другими словами, изображающая точка в фазовом пространстве должна из любого начального положения попасть на гиперплоскость S, а затем двигаясь по этой гиперплоскости, прийти в начало координат. С этого момента выходная координата будет точно воспроизводить задающее воздействие g(t). Совершенно очевидно, что движение в скользящем режиме должно быть устойчивым. Если других требований к процессу управления не предъявляется, то именно из этого условия и следует исходить, выбирая величины ci.

Будем предполагать, что гиперплоскость S - гиперплоскость скольжения.

Покажем, что выбором значений Шi и Иi можно выполнить неравенства (2.159) в любой точке гиперплоскости S, если функция F(t) удовлетворяет соотношению

(2.161)

Заметим, что класс функций F(t), для которых выполняется соотношение (2.161) - для удобства изложения в дальнейшем этот класс будем называть классом - достаточно широк. Так, например, классу принадлежат показательные функции, полиномы, непрерывные знакопостоянные функции с ограниченной первой производной; классу принадлежат показательные и гармонические функции и полиномы, корни которых различны. Соотношение (2.161) не выполняется, например, для F(t)=еxt при б>1.

Неравенства (2.159) для системы (2.154) можно записать в виде

 (2.162)

Здесь Шn=0. Если потребовать выполнения этих неравенств всюду на гиперплоскости S, т.е. в любой точке с координатами

то (2.162) примут вид

(2.163)

где

Последние неравенства будут выполнены, если значения величин Шi и Иi, будут выбраны следующим образом:

(2.164)

Следует отметить, что коэффициенты ai, определяемые согласно (2.153) меняются вместе со скачкообразным изменением Иi. Чтобы учесть эти изменения при выборе значений бi и вi, во второй группе неравенств (2.164) взяты соответственно максимальные и минимальные значения. Конечно, вначале надо определить гi и сi а затем - величины бi и вi.

При выполнении условий (2.164) после попадания изображающей точки на гиперплоскость S её дальнейшее движение не зависит от приложенных к объекту возмущений и определяется только коэффициентами ci системы (2.160). После попадания изображающей точки в достаточно малую окрестность начала координат фазового пространства, определяемую требуемой точностью, координата ц будет отслеживать задающее воздействие g(t)

Таким образом, логические законы (2.156) и (2.157) изменения коэффициентов Шi и Иi, главной и местной обратных связей позволяют для внешних воздействий класса (2.161) обеспечить воспроизводимость регулируемой величиной задающего воздействия без измерения внутренних координат объекта.

Если возмущающие воздействия недоступны для непосредственного измерения, как это часто бывает на практике, и следовательно реализация закона (2.157) невозможна, его надо заменить законом, который очевидным образом следует из (2.150) и (2.157)

(2.165)

При реализации логического закона (2.165) требуется информация о выходной координате исполнительного устройства и ее производных. Как правило, такую информацию легче получить, чем информацию о внешних воздействиях, действующих на объект управления.

Рассмотренная задача о воспроизведении задающего воздействия позволила достаточно наглядно проиллюстрировать принципы синтеза законов управления вынужденным движением в системах с переменной структурой. Центральной идеей здесь является, пожалуй, введение коммутируемой обратной связи, охватывающей исполнительное устройство. Это позволяет обеспечить существование скользящего режима в системе при действии на объект внешних возмущений независимо от точек их приложения.

Выводы по ІІ разделу

В данном разделе были рассмотрены три основных режима работы систем с переменной структурой: режим работы с движением по вырожденным траекториям, режим переключений и скользящий режим.

Задача синтеза СПС состоит из выбора гиперповерхностей фазового пространства, на которых функции управления будут претерпевать разрывы. При этом искусственно создается так называемый скользящий режим. Это особое движение САУ, при котором изображение точки колеблется с бесконечно возрастающей частотой в некоторой малой окрестности гиперповерхности переключений

Режим, при котором на прямой переключения изменение структуры происходит с бесконечно растущей частотой, называется скользящим режимом. Скользящий режим может получить новые искусственные вырожденные движения. Движение системы в скользящем режиме описывается дифференциальными уравнениями меньшего порядка, чем собственное движение системы. При этом качественные показатели синтезированной САУ определяются только положением линии переключения и не зависят от параметров системы.

Таким образом, процесс синтеза СПС имеет две стадии: определение закона управления и выбор поверхности переключения (поверхностей), анализ существования в системе скользящего режима

Общий недостаток такого подхода в том, что практически не существует универсальных методов, позволяющих выбрать поверхность переключения, обеспечивающую работу САУ в скользящем режиме.

РАЗДЕЛ III. РАЗРАБОТКА МОДЕЛИ СИСТЕМЫ С ПЕРЕМЕННОЙ СТРУКТУРОЙ

3.1 Инструменты для визуального объектно-ориентированного моделирования сложных динамических систем.

Подсистема Simulink пакета MatLab.

Среди большого числа пакетов визуального моделирования пакет MatLab занимает особое место. Первоначально ориентированный на исследовательские проекты, пакет в последнее время стал незаменимым рабочим инструментом. Одной из основных причин широкого использования MatLab является широкий набор средств, предоставляемых пользователю для решения разнообразных инженерных и научных задач. Среди этих средств особое место занимает подсистема Simulink.

Основные свойства подсистемы Simulink - интерактивная среда для моделирования и анализа широкого класса динамических систем, использующая графический язык блок-диаграмм.

Подсистема Simulink:

а) предоставляет возможность моделирования непрерывных, дискретных и гибридных - как линейных, так и нелинейных - систем;

б) включает в себя обширную библиотеку блоков (непрерывные элементы, дискретные элементы, математические функции, нелинейные элементы, источники сигналов, средства отображения, дополнительные блоки), которые можно использовать для создания новых систем;

в) позволяет объединять блок-диаграммы в составные блоки, что обеспечивает иерархическое представление структуры модели;

г) содержит средства для создания блоков и библиотек, определяемых пользователем;

д) даёт возможность проектировать подсистемы, имеющие изменяемую во времени структуру, но эти возможности весьма ограничены.

Начиная с версии 3.0, в Simulink появились специализированные приложения, значительно расширившие её возможности, в частности:

а) подсистема StateFlow - даёт возможность моделировать поведение гибридных или сложных событийно-управляемых систем, базируясь на картах состояния Харела. Уже созданные пользователями пакета Simulink модели рассматриваются как объекты, закон управления которыми реализуется в StateFlow.

б) подсистема StateFlow Coder предназначена для генерации С-кода при реализации диаграмм StateFlow. Применяя StateFlow и StateFlow Coder? пользователь может генерировать нужный код на алгоритмическом языке С только для управляющих моделью блоков, реализованных с помощью StateFlow;

в) подсистема Real-Time WorkShop дополняет Simoink и StateFlow Coder? обеспечивая автоматическую генерацию кода С для моделей, разработанных в Simulink;

г) подсистема Simulink Report Generator позволяет создавать и настраивать отчеты из моделей Simulink и StateFlow в различных форматах, среди которых HTML? RTF? XML и SGML.[7]

Model Vision Studium

Model Vision Studium(MVS) - это интегрированная графическая оболочка для быстрого создания интерактивных визуальных моделей сложных динамических систем и проведения вычислительных экспериментов с ними. Пакет MVS 3.2 работает на Intel-совместимых компьютерах в среде MS Windows 95/98/2000. Пакет занимает примерно 15 Мбайт на жестком диске и не предъявляет к компьютеру никаких особых требований. Кроме наличия аппаратной поддержки операций с плавающей точкой.

Пакет MVS 3.2 разработан исследовательской группой «Экспериментальные объектные технологии» (XJ), созданной на кафедре «Распределенные вычислительные сети» факультета Технической Кибернетики Санкт-Петербургского Государственного Технического Университета.

Ключевыми проблемами при разработке MVS 3.2 являлись:

а) поддержка технологии объектно-ориентированного моделирования (ООМ);

б) удобное и адекватное описание гибридных (непрерывно-дискретных) систем;

в) обеспечение достоверности численного решения;

г) обеспечение моделирования и визуализации результатов без написания какого-либо программного кода.

Технология моделирования в MVS.

Как и в большинстве других современных графических инструментов моделирования, в основе технологии MVS лежит понятие виртуального лабораторного стенда. На этом стенде размещаются различные виртуальные блоки моделируемой системы - вновь создаваемые и стандартные, такие как «генераторы сигналов», «измерительные приборы», «устройства отображения», соединенные виртуальными «кабелями». Вся виртуальная квазиаппаратура функционирует независимо и параллельно, подобно её физическим двойникам «в металле».

Для получения виртуального стенда необходимо описать моделируемую систему на входном языке пакета и создать соответствующий этому описанию программный код, выполнение которого компьютером и будет восприниматься как работа стенда. Структура пакета MVS приведена на рис. 3.1

Интегрированная оболочка пакета представляет собой многооконную среду позволяющую редактировать проект, автоматически преобразовывать графическое описание модели в текстовое и текстовое в графическое, подключать библиотеки в классов, создавать свои библиотеки классов, создавать выполняемые модели и запускать их, а также запускать специальные подсистемы(оптимизации и символического анализа).

Предполагается, что каждой модели (проекту) соответствует определенная папка, в которой хранятся файл внутреннего представления проекта (mvb), файлы установок проекта и выполняемой модели (ini), а также картинки для анимации, DLL пользователя и т.п. Описание проекта и библиотек классов хранится виде дерева объектов в объектно-ориентированной базе данных MVBase (отдельный файл с расширением mvb на каждый проект и библиотеку классов). Библиотеки классов (за исключением стандартной библиотеки SysLib) являются обычными проектами, их могут создавать и редактировать пользователи.

Описание проекта пользователь может вводить и редактировать как в визуальном, так и в текстовом виде. При открытии в интегрированной среде какого-либо проекта его внутреннее представление автоматически разворачивается в визуальное представление. В любой момент с помощью специальной команды может быть получено текстовое описание проекта на специальном языке Model Vision Language (MVL), включающее в себя два текстовых файла: собственно функциональное описание (расширение mvl) и описание визуальных элементов (расширение pra). Импорт проекта из текстового представления осуществляется специальным MVL-компилятором.[4]

Описание проекта включает в себя описание классов и устройств, глобальных констант и алгоритмических процедур и функций, а также описание конкретной конфигурации виртуального стенда, с которой будет проводиться вычислительный эксперимент. Предполагается, что виртуальный стенд является устройством-контейнером TestBench - экземпляром предопределенного класса _CTestBench . Пользователю необходимо поместить в его локальную структуру конкретные локальные устройства - экземпляры классов, определенных в данном проекте или импортируемых из подключенных к проекту библиотек классов. Стандартная библиотека классов SysLib, включающая определения типовых блоков (линейные и нелинейные блоки, генераторы сигналов и т.д.), подключена к любому проекту по умолчанию. При создании выполняемой модели программный код создается только для классов, реально используемых (прямо или косвенно, через другие классы) в TestBench.

Рис. 3.1

Все визуальные редакторы работают в режиме так называемой «инкрементальной компиляции», т.е. по завершении ввода какой-либо законченной конструкции они немедленно проверяют её синтаксическую и семантическую правильность в контексте уже существующего описания и при обнаружении ошибок выводят соответствующие сообщения.

При генерации выполняемой модели сначала проводится полный комплексный анализ контроль классов, используемых в TestBench, а затем для каждого класса генерируется соответствующий программный модуль на промежуточном языке программирования и в зависимости от типа модели генерируется соответствующий главный модуль программы. Затем полученная программа компилируется с помощью компилятора командной строки для промежуточного языка. На этом этапе к сгенерированным модулям присоединяются стандартные модули промежуточного языка и библиотека периода исполнения (RTL) пакета MVS для данного промежуточного языка.

В MVS 3.2 возможны три типа выполняемых моделей:

а) визуальная интерактивная модель в виде 32-разрядного приложения для MS Windows;

б) «скрытая» модель в виде 32-разрядной DLL для MS Windows;

в) визуальная интерактивная модель в виде Java-приложения, выполняемая на любой платформе, где имеется виртуальная машина Java. В версии 3.2 визуальная Java-модель не поддерживает векторных и матричных переменных, а также анимации.

При генерации моделей для Windows в качестве промежуточного языка используется Object Pascal 10.0 (Borland Delphi 3). Необходимые для компиляции модули устанавливаются автоматически при инсталляции пакета MVS.

При генерации Java-моделей пользователь должен предварительно установить на своём компьютере JDK 1.2.

В описании проекта пользователь может употреблять свои собственные внешние процедуры и функции, программную реализацию которых он должен выполнить в соответствующих DLL или Java-классах.

3.2 Краткое руководство пользователя

В начале работы с пакетом Model Vision Studium следует указать, что интегрированная оболочка пакета является приложением с многооконным интерфейсом (MDI). Многооконный интерфейс предполагает наличие главного окна приложения и произвольного числа дочерних окон (Рис. 3.1). Заголовок главного окна содержит наименование пакета и путь к открытому в данный момент проекту. Проект - это совокупность данных, относящихся к одной модели. Данные проекта хранятся в нескольких файлах, расположенных в папке данного проекта. Основной файл проекта (база данных проекта) имеет расширение *.mvb.

Рис 0.1. Интегрированная оболочка пакета MVS

После этого в интегрированной среде появятся следующие окна:

а) окно управления проектом (рис. 3.2) содержит дерево основных составляющих проекта. К составляющим проекта относятся: классы блоков, глобальные (т.е. видимые во всех составляющих проекта) константы, глобальные процедуры и функции, виртуальный стенд и импортируемые библиотеки классов;

б)

Рис. 3.2. Окно управления проектом

в) окно виртуального стенда (рис. 3.3) содержит структурную схему моделируемой системы, т.е экземпляры блоков и связи между ними